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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



L'Enseignement mathém., 22» année ; 1921 et 1922. 



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in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat22inte 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



METHODOLOGIE ET OIJGANISATION DE L ENSEIGNEMENT 

PHILOSOPHIE ET HISTOIIJE DES MATHEMATIQUES 

C H lî () N I 9 U E SCIENTIFIQUE MELANGES lî I 15 1. I () G It A P H I E 

REVUE INTERNATIONALE 

P A II A I s s A N r TOUS LES DEUX MOIS 
Fondée en 1899 par C.-A. LAISANT et H. FEHR 



DIRIGKF, PAR 



H. FEHR 

Docteur es sciences 

Professeur à l'Université 

de Genève. 



A. BUHL 

Docteur es sciences 

Professeur à rUniversité 

de Toulouse 



VINGT-DEUXIEME ANNEE 

1921 et 1922 




PARIS 
GAUTHIEU-VILLARS & C''-, ÉDITEURS 



GENEVE 
GEORG & C'*', ÉDITEURS 



1921-1922 



GENEVE 
IMPRIMERIE ALBERT KUN'DIG 



APPLICATIONS GEOMETRIQUES 

DE LA 

CRISTALLOGRAPHIE 

PAR 

Marcel Winants (Liège). 



Introduction. 

On sait que la cristallographie fut créée, il y a plus d'un siècle, 
par Haiiy. Tout d'abord, on ne la considéra que comme un cha- 
pitre préliminaire de la minéralogie. Mais son importance ne 
cessa de grandir; on peut aujourd'hui l'envisager comme une 
science indépendante: elle a d'ailleurs pour objet l'étude géné- 
rale des cristaux, que ceux-ci soient naturels ou bien artificiels. 

La cristallographie ainsi conçue est une branche de la physico- 
chimie mathématique. Elle se divise en deux grandes parties: 
la cristallographie géométrique et la cristallographie physique. 

Entre les propriétés physico-chimiques et la forme géomé- 
trique d'un cristal il existe une dépendance telle que, de la 
forme seule, on peut déduire plusieurs propriétés. Réciproque- 
ment, les propriétés optiques, électriques ou calorifiques per- 
mettent de prévoir la forme. 

La conclusion de la cristallographie est la nécessité de conce- 
voir un cristal comme formé de certaines molécules ou de cer- 
taines associations de molécules, rangées dans un certain ordre. 

La forme géométrique ou la symétrie cristalHne n'est que 
l'expression symbolique de la symétrie intérieure que révèlent 
les propriétés physico-chimiques. 

A la suite de plusieurs recherches de Gauss, on a fondé une 
géométrie des surfaces. 



6 M. MINANTS 

Sur une surface donnée, on considère des points et des lignes 
remarquables. Citons les ombilics, les points paraboliques, les 
points singuliers, les lignes de courbure, les lignes de courbure 
totale constante, les géodésiques. Ces lignes et ces points ne sont 
pas distribués d'une façon quelconque. 

Nous nous proposons d'appliquer la symétrie cristallogra- 
phique à l'étude de certaines surfaces. Cette symétrie nous 
donnera d'utiles renseignements sur la répartition des proprié- 
tés géométriques. 

Nous poursuivons un double but: 

1° montrer les avantages qui peuvent résulter de cette méthode 
pour la description d'une surface particulière; 

2» faire voir que cette méthode pourrait servir de base à une 
classification rationnelle des surfaces. 

Nous nous adressons à la fois à des géomètres et à des cristal- 
lographes. Nous rappellerons le plus brièvement possible les 
définitions fondamentales de la géométrie et de la cristallographie. 

Dans le premier chapitre nous ferons une étude détaillée d'une 
surface du troisième ordre; dans le chapitre II nous ferons une 
étude succincte de deux surfaces du quatrième ordre. 

Dans ces deux premiers chapitres, nous aurons eu l'occasion 
de rencontrer plusieurs principes généraux que nous résumerons 
et que nous généraliserons dans le chapitre III. 

L'application de ces principes nous permettra d'aborder 
quelques courbes et surfaces plus compliquées. Ce sera l'objet 
du chapitre IV. 

Enfin, dans un cinquième et dernier chapitre, nous esquisse- 
rons une classification des surfaces au point de vue de la symétrie. 

Chapitre premier. 
Etude détaillée d'une surface tétraédrique. 

i^i 1. — Etude sommaire de quelques cubiques planes. 

1. — Nous ferons précéder Tétude de chaque surface de celle 
des principales courbes que l'on peut obtenir en la coupant par 
des plans. 



GEOMETRIE 



Dans la description des courbes algébriques planes du troi- 
sième ordre, nous adopterons la classification de ces courbes en 
cinq grandes familles : 

iiou sina^ulières i bipartiles 1" 

\ i\'I| ( unipartites 2« 

Cubiques ( nodales l acnodales 3" 

\ unicursales . . < (IV) ( crunodales . . . . ^o 

f cnspidales (III) 5^ ' 

Les cubiques non singulières sont de la VI<^ classe; les cubiques 
nodales de la IV®; et les cubiques cuspidales de la III*^. 

Les cubiques non singulières sont du premier genre, et les 
cubiques unicursales du genre zéro. 

Nous subdiviserons chaque famille en quatre groupes. Une 
cubique peut rencontrer la droite de l'infini en : 

a) trois points réels et distincts; 

h) un point réel et deux points imaginaires; 

c) un point simple et deux points coïncidents ; 

d) trois points coïncidents. 

Les courbes algébriques planes du troisième ordre se trouvent 
ainsi distribuées en vingt grandes espèces. Par exemple, le folium 
de Descartes {^x' — ?jaxy + 2/'' = 0] est une cubique [4o, h' ; la 
cissoïde de Dioclès \x {x^ + if) = ay-\^ une cubique [5°, h\ ; la 
courbe xij{x + y) = a- {x — /y), une cubique [1°, a] ; enfin la 
parabole semi-cubique (my' = x^) est une courbe [5°, d . 

Chaque espèce se divise encore en plusieurs variétés ou sous- 
variétés. Mais les vingt espèces nous suffiront pour ce qui va suivre. 

2. ■ — Commençons par étudier le 
lieu géométrique des points dont les 
distances aux trois côtés d'un tri- 
angle équilatéral ont un produit 
constant. 

Nous prendrons ce triangle comme 
triangle fondamental, et nous em- 
ploierons les coordonnées trilinéaires 
absolues. 

L'équation du lieu pourra s'écrire: 




a |i Y :=: /»r 



8 M. WIN A NT S 

La courbe est une cubique ne rencontrant aucun côté du triangle 
à distance finie. 

Si la cubique passe par le point: a = a, (3 = b. y = c, 
elle passe également par le point: a = 6, /S = c, y = a, et par le 
point: a = c, (S = a,y = b. On ne doit pas perdre de vue que 
l'on a: 

a + [i -(- Y = A = hauteur . 

Si donc on fait tourner la cubique d'un angle de 120" autour 
d'une droite passant par le centre de gravité du triangle fonda- 
mental, et perpendiculaire à son plan, la courbe viendra prendre 
une position d'apparence identique à sa position première. Nous 
dirons que la cubique possède un axe ternaire normal à son plan. 

En cristallographie, on appelle axe d'ordre n, et l'on repré- 
sente par A" une droite qui jouit de la propriété suivante: quand 
on fait tourner une certaine figure autour de cette droite, de la 
n^ partie d'un tour, elle vient occuper une position nouvelle, 
complètement indiscernable de la position primitive. La figure 
est aloi^s dite restituée. 

Les trois hauteurs du triangle de référence sont des A", c'est-à- 
dire des axes de symétrie ordinaire. Si la courbe passe par le 
point (f/, b, c), elle passe par le point (a, c, b). Une rotation de 
180° autour d'une hauteur amène donc la restitution. 

La courbe que nous étudions, admet alors quatre axes de 
symétrie: A', 3 A". 

3. — Cette cubique ne peut avoir aucun point d'inflexion. 

D'abord un pareil point ne peut se trouver en G. car Taxe ter- 
naire exigerait la présence d'au moins trois tangentes inflexion- 
nelles (trois ou bien un multiple de trois), ce qui ne peut pas être. 

La courbe ne peut pas avoir d'inflexion, en dehors du point G, 
car les quatre axes entraîneraient deux ou cinq autres inflexions, 
suivant que la première appartiendrait ou non à l'une des hau- 
teurs du triangle ABC. Toutes ces inflexions se trouveraient sur 
une morne circonférence de centre G. 

Mais une courbe algébrique plane du troisième ordre n'admet 
jamais plus de trois inflexions réelles, et, quand elle en admet 
trois, elles sont collinéaires. Or l'existence d'une droite d'in- 
flexions iTcst j)as conij)atible avec la symétrie autour du A'. 



GEOMETRIE 9 

4. — La courbe n'a certainement pas de centre, car le centre 
d'une courbe d'ordre impair est toujours une inflexion. 

Des raisonnements analogues prouvent que la cubique ne peut 
avoir de nœud ni de rebroussement. On se rappellera qu'une 
courbe non dégénérée du troisième ordre ne peut avoir qu'un 
seul point double. 

5. — Des deux numéros qui précèdent, on peut conclure à la 
proposition suivante: 

Théorème: Quand une courbe algébrique plane du troisième 
ordre, non dégénérée, possède un axe de symétrie ternaire, normal 
à son plan, elle n'admet ni inflexion, ni centre, ni nœud, ni rebrous- 
sement. 

6. — D'après ce que nous avons rappelé plus haut (1), toute 
cubique rencontre la droite de l'infmi en trois points dont, au 
moins, un réel. Ce point réel, à l'infmi, est le sommet d'un faisceau 
de cordes parallèles, asymptotiques à la courbe. Il détermine 
donc une direction asymptotique. 

La symétrie ternaire associe, à cette direction, deux autres 
directions asymptotiques. Toute cubique à A^ appartient donc 
au groupe a (1). 

La courbe ne rencontre aucune de ses trois asymptotes. Car, 
si elle en rencontrait une, elle devrait les rencontrer toutes les 
trois, en vertu de la symétrie ternaire. Mais on sait que les trois 
intersections d'une cubique avec ses asymptotes, sont colli- 
néaires. La droite, qu'elles déterminent, s'appelle la satellite de 
la droite de l'infini. La symétrie exigerait que cette dernière eût 
trois satellites, ce qui est absurde. Donc: 

7. — Théorème: Quand une courbe algébrique plane du troi- 
sième ordre, non dégénérée, possède un axe de symétrie ternaire, 
normal à son plan, elle admet toujours trois asymptotes, et n'en 
rencontre aucune. 

8. — La cubique a^y = m', que nous avons définie plus haut 
(2), ne rencontre aucun côté du triangle fondamental, à distance 
finie. Par conséquent, elle les rencontre tous trois à distance 
infinie. Elle admet donc ces trois côtés comme asymptotes. 

9. — Le triangle fondamental ABC (2) partage le plan en sept 
régions. L'une de ces régions est intérieure au triangle ; trois autres 
sont adjacentes à des côtés; et trois autres opposées à des angles. 



10 M. WIN A NT S 

Si la constante m est négative, la courbe ne pénètre pas à l'inté- 
rieur (lu triangle; elle se compose de trois branches, situées dans 
les régions adjacentes aux côtés. Elle est donc unipartite [2», a]. 

Si la constante m est positive, la courbe comprend toujours 
trois branches, situées dans les régions opposées aux angles. Mais 
il peut y avoir un ovale intérieur au triangle. Suivant les valeurs 
positives de m, la courbe sera donc unipartite ou bipartite. 

Comme transition, nous aurons une courbe unicursale, néces- 
sairement acnodale (4). 

Nous nous proposons d'étudier séparément chacun de ces cas. 

10. — Voyons d'abord comment la cubique rencontre les 
médianes du triangle de référence. Entre les trois coordonnées 
trilinéaires absolues d'un point quelconque, on a la relation fon- 
damentale. : 

h désigne une hauteur-médiane (2). 

Nous devons résoudre les trois équations suivantes, considé- 
rées comme simultanées: 

a, 3 y ^ Hi-' , a + j: 4- y 1= /« , [i ^ y . 

En vertu de la troisième, les deux autres peuvent s'écrire: 

a|b- zzz /«■■' , a -|- 2 [î r= Il . 

L'avant-dernière montre que a et m ont toujours le même signe. 
Eliminons a ; il vient: 

m^ = [^-^{li — 2{i) = li[-i^- — 2,'i3 ; 

si nous divisons par nf' (5\ nous obtiendrons: 

Le discriminant de cette équation cubique est: 
• 1 /'■■' !.. 

Il en résulte immédiatement le tableau suivant: 
m < cubique unipartite non singulière [2^, a] ; 



GEOMETRIE 11 

m = cubique dégénérée en trois droites ; 

< />^ < 77 cubique bipartite [1°, a] ; 

m = 77 cubique acnodale [3o, a] ; 

m > 7^ cubique unipartite non singulière [2^, a]. 

11. — Cubique acnodale. Le point double isolé ne peut être 
que G, en vertu de la symétrie. La courbe est unicursale. Nous 
allons chercher son intersection mobile avec une droite variable 
passant par G. Nous devons résoudre les équations: 

/■■ r , r ''■'■ 

117. + r,: 4- ii-y = — u/ + r + if) , a + ^i + y = /( , a.iy = — . 

Nous avons proposé ce système, sous le n^ 9214, dans le Jour- 
nal de mathématiques élémentaires (Paris, Vuibert, 15 juillet 1920). 
La nature géométrique du problème suggère la solution: des 
deux premières équations, on tire la valeur de /S et de y en fonc- 
tion de y. : on substitue dans la troisième; on obtient une équa- 
tion qui DOIT admettre la racine double: a = t^. On divise par: 

(oa — //i- =z 9 a- — 6// 7. + h- , 

et l'on conserve une équation linéaire, de résolution facile. On 
trouve ainsi: 

h [v — ^v{^ 



3 ( « V)\H il- ) 

,6 et y s'obtiennent par permutation tournante. 

12. — Cubique bipartite. < m < ^. Plus haut (10), nous 

avons cherché les points communs à la bissectrice /3 = y et à la 
courbe. Nous avons obtenu l'équation: 

2 y- — h y- -\- nr =z . 

Puisque la cubique est bipartite, cette équation a ses trois 
racines réelles. On applique le théorème de Descartes, et Ton 
trouve une racine négative, et deux positives. La bissectrice 
envisagée rencontre donc la courbe en trois points réels et dif- 
férents, deux à l'intérieur du triangle, le troisième dans la ré- 



12 



M. ]VINAi\rs 



gion A (2). On a vu (10) que les trois valeurs de a ont le signe 
de m. 

On fera le même raisonnement pour les deux autres bissec- 
trices. Ainsi la cubique possède un ovale, intérieur au triangle 
asymptotique (8). Cet ovale est 1res différent d'une ellipse: il 
admet la symétrie du triangle équilatéral, A^, 3A'^ 

La cubique bipartite a neuf sommets. Nous appellerons som- 
met tout point où la courbe est rencontrée par l'un de ses axes 
de symétrie. 

13. — Nous proposons d'appeler Iricentre le point où le plan 
d'une courbe est rencontré par un axe de symétrie ternaire. 

Quand une courbe plane possède un tricentre, elle est repré- 
sentable, en coordonnées trilinéaires absolues, par une équation 
symétrique. On doit prendre, comme figure de référence, un 
triangle équilatéral dont les médianes concourent au tricentre. 

Nous croyons pouvoir affirmer que l'étude de la courbe sera 
beaucoup plus simple en coordonnées trilinéaires qu'en coor- 
données cartésiennes. A propos de chaque problème particulier, 
la symétrie cristallographique d'une figure suggérera les coor- 
données dont on doit se servir. 



;j '1. — Symétrie du tétraèdre régulier, 



14. — Soit ABCD un tétraèdre régulier. Ce polyèdre n'admet 
aucun centre. La perpendiculaire AH, abaissée d'un sommet sur 
la face opposée, est un axe ternaire, car, si l'on fait tourner le 
solide, autour de cette droite, d'un tiers de tour, il y a restitu- 
tion (2). Par chaque sommet, passe un A''; il y a donc 4A''. 

La droite MN, qui joint les milieux 
de deux arêtes opposées, est un axe de 
symétrie binaire. Donc SA"'. 

Les sept axes de symétrie se coupent 
au centre de gravité du tétraèdre. 

Le plan ABM, qui contient une arête 
et le milieu de l'arête opposée, est un 
plan de symétrie. Chaque arête déter- 
^"'£ - mine un pareil plan P. Donc 6 P. 




GEOMETRIE 



13 



15. — On appelle symbole de symétrie d'un polyèdre, un 
tableau comprenant l'indication de tous ses éléments de symétrie. 

16, — Le symbole de symétrie du tétraèdre régulier est donc: 



4 A3 



3 A- . 



6P 



!^ 3. — Forme générale de la surface. — Ombilics. 

17. — Xous allons étudier le lieu géométrique des points dont 
les distances à trois plans fixes rectangulaires ont un produit 
constant. C'est une surface ayant pour équation : 

xyz = p-- . 




Nous pouvons supposer p > 0, car, si p était < 0, on change- 
rait le sens de l'un des axes. 

La surface ne rencontre ni les axes 
ni les plans coordonnés, à distance finie. 
Elle ne pénètre dans aucun des trièdres 
suivants: x'yz, xy'z, xyz', x'y'z', dans 
chacun desquels le produit des coor- 
données est négatif. 

On peut immédiatement trouver qua- 
tre points de la surface: (+ /). + p, 

+ p) ; (+ P, — />, — p) ; (— P, 
+ P, — p) ; (— p, — />, + p)- Ce 
sont les quatre points A, B, G, D, som- 
mets d'un tétraèdre régulier, dont le centre de gravité se trouve 
à l'origine des coordonnées. 

La surface x y z = p^ se compose donc de quatre nappes indé- 
finies, asymptotes aux plans coordonnés. 

Son équation ne change pas quand on remplace xyz par y x z, 
zy X, X zy, X y z, xy z, etc. La surface admet six plans de symé- 
trie, qui sont les mêmes que ceux du tétraèdre ABCD. 

On démontre, en cristallographie, que l'intersection de n plans 
de symétrie est un A". II en résulte que la surface, dont nous 



Fis 



M. WiyANTS 



nous occupons, possède exactement la même symétrie cristallo- 
graphique qu'un tétraèdre régulier. Les axes ternaires ont pour 

équations: 




j- ^ in V = 



Fig. 4. 



les doubles signes sont in- 
dépendants. 

18. — Dans la suite, le 
tétraèdre ABCD va jouer 
un rôle important. On peut 
aisément trouver les équa- 
tions de ses quatre faces: 

BCD : ,r + _> -i- ; = _ yg ; 

CDA : — X + y + z = p ; 
DAB : X — y + z = p , 
ABC : .r -{- y — z z= p . 



19. — Sur une surface, considérons un point ordinaire, c'est-à- 
dire un point pour lequel le plan tangent est parfaitement 
déterminé. La perpendiculaire menée au plan tangent, par le 
point de contact, s'appelle normale. 

Par cette normale faisons passer un plan quelconque ; il va 
déterminer, dans la surface, une « section plane normale » laquelle 
possède, au point considéré, une courbure bien déterminée. 

Faisons tourner le plan sécant: la courbure variera d'une 
manière continue. Euler a démontré que la courbure restait 
comprise entre un maximum et un minimum, et que les Sections 
normales, correspondant au maximum et au minimum, étaient 
perpendiculaires Tune sur l'autre. Ces deux sections sont dites 
principales. 

Depuis Monge, on appelle « ombilic « un point autoiu* duquel 
la courbure est la même dans toutes les directions. 

Si, en un point d'ime surface, le plan tangent n"esl pas bien 
déterminé, ce point est dit singulier. Le sommet d'un cône quel- 
conque est toujours un point singulier. 

20. — Pour la surface que nous considérons, les points 
A, B, C, D sont des ombilics. Il est facile de s'assurer que les 



GÉOMÉTRIE 15 

plans tangents y ont pour équations respectives: 

X + V -f c = ;jy; ; 

.»■ — V — z :=! op ; 

— X -\- y — ; = op ; 

~ X — y + z = 3/j . 

Ces quatre points ne sont donc pas singuliers. 

D'autre part, la présence d'un A^ est incompatible avec l'exis- 
tence de deux sections principales perpendiculaires entre elles. 
Ces points sont donc des ombilics. 

Au polyèdre ABCD, nous donnerons le nom de tétraèdre 
ombilical. 

21. — D'une manière plus générale, nous énoncerons la pro- 
position suivante: 

Théorème: Quand une surface est rencontrée par un axe de 
symétrie d^ordre supérieur à deux, chaque point d' intersection est 
un point singulier, ou bien un ombilic. 

22. — Xous pouvons, d'ailleurs, chercher les ombilics par 
l'analyse. On démontre que les coordonnées d'un tel point véri- 
fient les équations: 



i)^Z 

dx- 


i>^z 
dx àY 

~ dZ ()Z ~ 

Ox ■ dy 


à^z 


-(^r" 


'-œ/ 



Dans le cas actuel, nous avons: 

xyz — p-- 

xy 
^-z _ -Ip^ 
>>.r- x^y ' dxdy x'-y- i>v-' .»v^ 

Les équations aux coordonnées des ombilics deviennent alors: 



l>- p^ 
^x ~ x^y ' 


ùv ~ xy' 


^2z _ ^3 


à^Z _ 2/33 



2 




1 




2 


x^y 


= - 


x-'y- 


rn: 


.rv' 




x\r^ 


■+c 


2xv 




.fi 




2xy 



ou bien: 

jAyi _|_ ^-a — -p — _,•-', 4 _|. ^6 



16 M WINANTS 

On peut en déduire: 

x*y- — .r^/ =/>•', (E) 

puis: 

d'où: 

xr = zh p' . 

et, par conséquent: 

z = ±p . 

De la première équation (E), on lire encore: 

X- =r: y- , c'est-à-dire : .r = + ) =r + ^ , c. q. f. d. 

23. — Pour mettre complètement en évidence la symétrie 
tétraédrique de la surface, nous allons rapporter cette dernière 
au tétraèdre ombilical (20) comme tétraèdre de référence. 

D'un point quelconque de l'espace, nous abaisserons des per- 
pendiculaires sur les quatre faces de ce tétraèdre; nous repré- 
senterons ces perpendiculaires par a, /3, y, (î; nous les prendrons 
pour coordonnées tétraédriques du point ; nous choisirons les 
signes de telle façon qu'un point, pris à l'intérieur du tétraèdre, 
ait ses quatre coordonnées positives. 

Les équations des quatre faces sont connues (18) ; les distances 
d'un point quelconque de l'espace à ces faces, sont: 

a = {X -t- _v -f ; -f /;) : V^ • 
[5= (_.r + v-f z-p\ : (- V3") . 
^- = {X — y + z — p) : I— V3 ) , 
=: \x -f _v — c — />) : I— V3 I . 

De ces quatre équations, l'on déduit: 



•»■ + >■+:= a]/S — p , 
-•' +.V+ Z = -:,\/J+ p , 



(Fl 



.r -j-y — z = — ^'\/'3 + p 

De la somme des trois dernières équations (F) retranchons la 
première ; il vient: 



GÉOMÉTRIE 17 

ce qui prouve que les quatre coordonnées tétraédriques d'un 
même point ne sont pas indépendantes. Du reste, il est facile 
de montrer, a priori^ que leur somme est égale à la hauteur du 
tétraèdre de référence. La hauteur de ce tétraèdre est donc: 

« + ? + T + ^ = 3-iP V3 • 

Si, de la première équation (F), on retranche, successivement, 
chacune des trois autres, on obtient: 

2x = U -f 31 V3"— 2p. 

2r = la + y) V^^— V • 

2c = (a + r,)\l^ — -Ip . 

Si l'on tient compte de Téquation (G), on trouve: 

4a; = la + ,3 — y — 0) y/o , i 

4r = (a — .: + y — 0) VS" , [ (") 

4: = (a — ; — y + S) V3" . ] 

24. — Si le point {x, y, z) doit appartenir à la surface que 
nous étudions, ses coordonnées doivent vérifier l'équation : 
xyz = p\ En multipliant les équations (H) membre à membre, 
on obtient: 

-^ = x^ + 'f + f + 63 _ a.3(a '+ |i) — ay(a-+ y) 

V27 

— a6(a + 0) — [;y(;j + y) — |îo(|3 + 8) — yoiy + 6) 
+ 2(a|îy + a|5o -|- ayo + ,3y5) . 

Mais, d'après l'équation (G) du numéro précédent, on a: 

^ + ? + T + 5 = ^ . 

L'équation de la surface peut donc s'écrire: 

^7} 4- 3i:a-,3 + eHa.'Jy = il x^ — la'.^ + 2Sx.;y . 

On en conclut: 

4(i:a2,3 + ïla.'iy) = . 

c'est-à-dire: 

»3l« + .3) + ayla + y) + ao|a + 01 + liyff: + y) + |j6|,: + 6) 

~f T^tT "i~ ^' "T *,3t 4" ''/^ ~t" ^T^ ~l~ l'-'T'^ -— ^ ■ 
L'Enseignement mathém., 22" année, l'J2l et 1»22. 2 



18 



M. WINANTS 



De cette dernière équation, il résulte: 

io que la surface admet la symétrie cristallographique du 
tétraèdre régulier; 

2° qu'elle ne pénètre pas à l'intérieur du tétraèdre ombilical. 



§ '^■ 



Sections planes. 



25. — Tout plan, parallèle à l'un des plans coordonnés, 
coupe la surface suivant une hyperbole équilatère. En effet, les 
deux équations: 

xyz z= p" , z z= c , 

entraînent : 

xy = 1- . 



26. — Tout plan passant par Tun des axes coordonnés, coupe 

la surface suivant une cubique 
cuspidale(l). Caries deux équa- 
tions: 




xyz = p' 

entraînent : 



> = ix 



ou 



tx^ zz= p'- , 



X- z =. a" . 



C'est une cubique [5^, c] dont 
le rebroussement se trouve à 
l'infini. Cette cubique est for- 
mée de deux branches, symétriques l'une de l'autre par rapport 
à l'axe des z. La constante a^ a le même signe que t. La courbe 
rencontre les bissectrices des angles que font les axes coordonnés, 
aux points: 



En ces points, les tangentes ont, pour coefficients angulaires: 



GEOMETRIE 



19 



Ceci démontre que les branches, prises séparément, ne sont 
pas symétriques par rapport aux bissectrices. 

27. — Pour étudier les sections faites par des plans perpen- 
diculaires à un A^ nous allons, tout d'abord, établir des formules 
de transformation des coordonnées, dont nous aurons souvent 
à faire usage. 

Tout plan perpendiculaire à la droite x = y = z, coupe le 
trièdre coordonné trirectangle suivant un triangle équilatéral 
ABC, que nous prendrons comme triangle de référence. 

Soient M un point quelconque du plan sécant ; .r, y^ z ses coor- 
données rectilignes dans l'espace; a, /3, -/ ses coordonnées trili- 
néaires absolues dans le plan sécant. 
La figure montre qu'on a: 



mais: 



donc 



r = Y sin b 



3cos-0 = 1 



sin f) = 



et, par conséquent: 




D'autre part: 

^ + } + 1= [i- + y + ')\/ ô" = constante 

est l'équation du plan. 

28. — Coupons donc la surface xyz = p' par le plan 
^ + y + z=^l'i en coordonnées trilinéaires absolues, la sec- 
tion sera représentée par l'équation: 



=(viy 



C'est donc la courbe que nous avons étudiée plus haut (2-12). 
Le triangle fondamental a pour hauteur: 



« + > + T 



=V1 



20 M. WINANTS 

En faisant varier / de — go à + oc, on obtient toutes les 
cubiques indiquées dans le tableau de la fin du n» 10. 

29. — Toutes les sections planes ont des symétries parti- 
culières, mais qui sont compatibles avec la symétrie tétra- 
édrique de la surface. Il suffit qu'on tienne compte de la position 
particulière du plan sécant (25, 26, 28). 

,^ 5. — Propriétés du plan tangent. 

30. — Nous allons établir quelques propriétés de la surface, 
dont on ne verra pas immédiatement les relations avec la 
symétrie. 

Nous représenterons les coordonnées courantes d'un point de 
l'espace par X, Y, Z, et celles du point de contact par a", y, z. 
L'équation du plan tangent est: 

(X — x)yz -f (Y — r)zx + (Z — z)xy = , 

ou 

X Y Z ^ 

- + - + - = 3 . 
X y z 

Donc, les coordonnées à Torigine du plan tangent sont triples 
des coordonnées du point de contact. Soit ABC le triangle sui- 
vant lequel le plan tangent coupe le trièdre coordonné. Le point 
de contact est le centre de gravité du triangle ABC. 

Tout plan tangent détermine, avec les plans coordonnés, un 
tétraèdre de volume constant: 

Tout ceci rappelle des propriétés de l'hyperbole algébrique 
plane du second ordre. 

3L — Calculons la distance d'un plan tangent à forigine. 
Cette distance est donnée par une formule bien connue de Géo- 
métrie analytique. 

. _ — -i _ 3jryz 

~ _^ / J^ ■ 1_ , J_ ~~ Vf-- + z^x^ + X\)^ 
y x- y- c*"* 

OU 






GÉOMÉTRIE 21 

32. — Nous allons chercher l'intersection de la surface par 
un plan tangent. Un pareil plan coupe le trièdre coordonné sui- 
vant un triangle acutangle ABC, que nous prenons comme 
triangle de référence. 

En représentant par 9' , 9'\ 9"\ les angles que font les plans 
coordonnés avec le plan tangent, nous aurons: 

(Cf. no 27). Mais, on a: 



cos 6" 



/l 1 1 



donc: 



\/^ + F 



+ 1/^-1 5- ^r 

sin 6'" — * -^ — ^ 



/ 1 1 1 Vv- =^ + z'X- -\- x^^ - 

V X- y- z- 

On a (30) : OA = 3 a; ; OB = 3 ?/ ; OC = 3 c. Appelons «, b, c 
les côtés du triangle ABC ; alors: V^x"^ + ï/"^ = ^> et 



sin 6'" = m = ^ . 

par conséquent: 

_ cdzy 

Pour tout point de la section, nous aurons ainsi: 

ahc . d^. aj;*/ 



p^ = XYZ = 



1-I9p^ 



La cubique, suivant laquelle le plan tangent coupe la surface, 
a donc pour équation: 



:29/;S 



'^ = -.dT^ ■ ''' 



D'autre part, on a: 



1 1 

- X triangle ABC X </ = - X OA X OB X OC ; 

•> D 

270=» 

rt a -|- h j -\- c 7 ^ —jj- . fi ) 



22 M. WINANTS 

Cherchons les coordonnées triangulaires du point de contact; 
dans la formule (2), supposons Z = :; ; il en résulte: 



(5) 









7 = 


cd 


p 


ar analogie: 










a =: 


ad ' 


fi — 


9p=» 
bd 




A titre d'abréviation, 


nous 


poserons: 






m- : 


~ d ' 





(6) 



les équations (3, 4, 5) deviennent alors: 



cubique : aiy =r — -— ; (7 

abc 

condition : a%-{-h''^-\-cy-=. 3/h- : (8 

, ;«- ^ m- Hi- ^ 

point de contact : a = — ; .3 := — ; 7 = — ; j 

a b ' c { 

ai. = b[j z= cy = m^ . 



(91 



Les dernières équations prouvent que le point de contact est 
le centre de gravité du triangle ABC (30). 

33. — On sait que tout plan, tangent à une surface, coupe 
cette surface suivant une courbe à point double. Dans le cas 
actuel, nous obtiendrons une cubique acnodale [3°, «], qui géné- 
ralisera celle du n" 11. En opérant comme pour cette dernière, 
nous allons rechercher les coordonnées d'un point quelconque 

de la courbe. Une droite, passant par le point (~. '^ , — )»& 

pour équation: 



«a + r,i + u'v = m- _ + -j- _ ) . 
\a b c J 



lOl 



En résolvant les équations (7, 8, 10), on trouve: 

am^{c\' — bw)^ 

bciav — bu] (rtif — eu) 

puis /3, y par permutation tournante. Ces équations prouvent 
que la courbe envisagée est unicursale. 



GEOMETRIE 23 

34. — Examinons enfin la section faite par un plan parallèle 
au plan tangent, c'est-à-dire par un plan quelconque. Cherchons 
si la cubique rencontre les médianes du triangle de référence. 
Nous aurons les équations: 



cubique : 




a:-/ 


= X^ 


médiane : 




/>> 


= cy 


condition : 


a y. -{- b ^'j 


+ CV 


= 3/» 



On cherche d'abord une équation en «, en éliminant ^ et ^ : 

a- y:' — 6am-a- -|- 9Hi^a — '^bclr = . 

D'après un théorème de Descartes, cette équation n'admet 
aucune racine négative, ou bien elle en admet une et une seule, 
suivant que la constante k est positive ou négative. 

On cherche ensuite une équation en /3, en éliminant a et y: 

1 Zbm- 1 -ib- _ 

On forme le discriminant de cette équation, et Ton arrive aux 
conclusions suivantes : 

cubique unipartite non singulière [2°, a] ; 
cubique dégénérée en trois droites ; 

cubique bipartite [1°, a] ; 

cubique acnodale [S", a] ; 

cubique unipartite non singulière [2°, a]. 

Cette discussion ressemble beaucoup à celle du n^ 10. Elle 
reste la même, que le triangle de référence soit acutangle ou 
non (32). 

De cette discussion, l'on peut déduire le théorème suivant: 
Si l'on demande le lieu géométrique des points dont les dis- 
tances aux trois côtés d'un triangle ont un produit constant, et 
si l'on détermine cette constante de manière que la cubique soit 
unicursale, elle sera toujours acnodale, et le centre de gravité du 
triangle sera le point double isolé. 



k' 

k' 


<o 

= 


o<:k' 


^ abc 


k' 

k' 


abc 
-^ abc 



24 M USINANTS 

^6. — Sections sphériques. 

35. — Nous allons étudier rapidement la courbe d'intersec- 
tion de la surface: 

xyz z= p^ (1) 

et de la sphère: 

.1-2 + r^ + 2= = «2 . (2, 

En éliminant z entre (1)) et (2), on trouve: 

(•*■- + r — (t-}x-y- + //' = . , (3) 

L'intersection complète des surfaces (1) et (2) est une courbe 
gauche algébrique du 6^ ordre, composée de quatre parties, 
dont chacune entoure la projection d'un ombilic sur la sphère. 

Cette courbe gauche possède encore la symétrie du tétraèdre 
régulier. 

Elle se projette sur le plan des a;, y suivant la sextique que 
représente l'équation (3). On a nécessairement: 

.r~ + r^ _ «2 < . 

Donc, la sextique, qui se compose évidemment de quatre 
ovales, est intérieure au cercle: x- + y^ = a'. 
La courbe ne rencontre pas les axes. 

36. — En résolvant l'équation (3), on obtient: 



2.n- = xia^ — x^) ± y.r" — 2a^x* + a^ x"^ — 4/?6 . 

Examinons le cas où l'on aurait: a = p\/3. La quantité 
subradicale deviendrait alors: 

(.*•' — p-l'{x^ — 'tp'-) . 

Or (35) X est moindre que a ; donc: x'^ < 3p'-. La sextique 
se réduit à quatre points isolés: ce sont les projections des ombi- 
lics sur le plan des x, y. 

37. — L'équation polaire de la sextique est la suivante: 

ç^ sin" cos-Ola^ — c-| =r p^ , ('») 

ou bien: 

4p« 



GEOMETRIE 25 

38. — Le maximum et le minimum de 9 correspondent au 
minimum de sin 2^, donc au maximum de: 

p4(rt2 — p2| _ (.2,2 y^ ^,j2 _ (.2j _ 

Les rayons vecteurs correspondants sont donnés par l'équa- 
tion : 



donc: 



■'=V^ 



On trouve ensuite: 

sin- 20 , = 



_ llp^ 



g^'Xs'^^ 



d'où: 



sin 2 6 



e-f)" 



Cette valeur est toujours acceptable quand la sphère coupe la 
surface proposée, c'est-à-dire quand on a: 

Les valeurs de Bm et les valeurs correspondantes de p pourront 
être construites à l'aide de la règle et du compas. On voit aisé- 
ment qu'on obtient ainsi huit points de la sextique, et les tan- 
gentes en ces points. De l'origine^ on peut donc mener huit tan- 
gentes à la courbe. Ce sont, d'ailleurs, quatre bitangentes. 

39. — Recherchons le maximum et le minimum de p. Soit 
F(p, ^) = l'équation (4) du dP 37. On a: 

Mais dp — 0, donc -j = 0, c'est-à-dire: 

— (sin* 6 cos-0) = , d'où = ~ . 

Comme la sextique ne rencontre pas les axes coordonnés (35), 



26 M. WIN A NT S 

on ne peut donner à k que des valeurs impaires. Il suffît d'exa- 
miner: ^ = Ç. 

L'équation polaire de la sextique (37) donnera les valeurs 
correspondantes de p : , 

C^(rt2 — o2) ~ 4/' , 

OU bien: 

rj — a- p^ + 4^6 = . 

Cette équation, du troisième degré en p'^, admet toujours une 
racine négative, qui est à rejeter. Les deux autres sont positives 
quand on a: « ^ pV'S. 

40. — La sextique admet 4 . Q = 24 bitangentes. 

De la discussion qui précède, ainsi d'ailleurs que de son équa- 
tion cartésienne (35), il résulte qu'elle admet la symétrie du 
carré. Dans son plan, elle possède quatre axes de symétrie A* ; 
perpendiculairement à son plan, un A\ 

41. — On arriverait à la même sextique en étudiant la sur- 
face: 

Ce fait s'explique, de soi-même, si l'on se rappelle que la symé- 
trie tétraédrique est une hémiédrie de la symétrie cubique. 

42. — Nous allons chercher l'équation de la sextique gauche 
(35) en coordonnées sphériques trilinéaires absolues. Nous 

emploierons un système que 
nous a suggéré M. Louis 
FouARGE, chargé de cours à 
l'Université de Liège. 

Une sphère, ayant son 
centre à l'origine, coupe le 
trièdre coordonné suivant 
un triangle trirectangle ABC, 
K que nous prendrons comme 
figure de référence. D'un 
point quelconque M, nous 
abaisserons, sur les côtés du 
triangle fondamental, les 
perpendiculaires a, /3, y. Soit 




GEOMETRIE 27 

OA = OB = OC = m le rayon de la sphère. On a encore 
OM = m. Les formules de transformation sont: 

X = m sin a ; ^' ^= '" s'" r* ! z z= m sin y . 

De l'équation de la sphère: x' + y- + z^ = m'-, on déduit: 

sin- a -|- siii- |j -\- sin-'y= 1 . (1| 

Un système de coordonnées sphériques n'est entièrement 
déterminé que si l'on connaît l'équation d'un grand cercle. 

Dans le n^ 1 de la 14^ année (novembre 1911) du Bulletin 
scientifique de V Association des Elèves des Ecoles Spéciales^ 
(A.E.E.S., Université de Liège), MiNL V. Lejeune et A. Schlag 
ont donné l'équation d'un grand cercle, en employant les coor- 
données : 

p = BM ; 'o = angle ABM . 

Cette équation peut s'écrire {loc. cit., page 17): 

1 



V cos (ij -|- VV sin 



De la considération des triangles sphériques rectangles MRB, 
MPB, on tire: 

sin y = sin p sin oj , sin a = sin p cos w ; 

l'équation (2) peut s'écrire: 

sin 

tc' = ■ 

* ' V sin OL -|- ^V sin 7 

ou: 

V sin a -{- W sin y = cos p : 

mais on a: 

? = "2 — .' ; 

l'équation d'un grand cercle peut donc s'écrire: 

a sin -x -\- h sin ^3 + c sin 7 = . (3) 

On en conclurait aisément l'équation du grand cercle passant 



28 M. WIN A NT S 

par deux points donnés de la sphère, puis celle du grand cercle 
tangent à une courbe donnée en un point donné. 

Si le point M doit appartenir à la surface tétraédrique que nous 
étudions, il faudra qu'on ait: 

sin a . siii i . sin 7 ^ ^ . (4) 

En discutant les signes, on verra que l'équation (4) représente 
les quatre ovales et démontre la symétrie tétraédrique de leur 
ensemble. 

Î5 7. — Etude de la courbure. 

43. - — En géométrie infinitésimale, on démontre que la cour- 
bure totale, en un point ordinaire d'une surface, est l'inverse 
du produit des rayons de courbure principaux (19). Elle est sus- 
ceptible de l'expression suivante: 



44. — Appliquons cette formule à la surface: 

xyz = p^ . 

Les dérivées partielles ont été données plus haut (22). On a, 
après un calcul facile: 

^ ^ '6p^xH'-J 3 ^^^ 

p.. j f-.J + -J,-^ 4. ^.^^ 1" e j i^ + 4 + 1 '" 



'P- ,2. 



Ces formules nous montrent que la courbure est constamment 
positive. Tous les points de la surface sont donc des points ellip- 
tiques. 

45. — De la formule (1), on déduit que c'est aux ombilics 
que la courbure totale est maxima. 

46. — Recherchons les lignes en tous les points desquelles 



GEOMETRIE 29 

la surface a la même courbure totale. D'après la formule (1), on 

doit avoir: 

1111 

-+ — +- = -,• 



Cette équation représente des surfaces algébriques du sixième 
ordre, à huit nappes, admettant les plans 

comme plans asymptotes. L'origine est un point quadruple 
isolé. Toute section faite dans l'une de ces surfaces par un plan 
parallèle à un plan coordonné, est une krenzcurve. 

On obtient un résultat d'apparence plus simple en considé- 
rant l'équation (2). Une ligne de courbure totale constante est 
représentée par les équations: 

\-z- -(- z-x- -\- x'-y- = a^ , xyz = p^ . 

On pourrait faire ici la même remarque qu'au n^ 41. 

47. — Au iP 31, nous avons trouvé la longueur de la perpen- 
diculaire abaissée de l'origine sur le plan, tangent à la surface, 
au point (.r, ?/, z) : 

,^ 'P' ■ * 

Vr=*:2 _,_ ^2^2 _,_ ^.2^.2 

Il en résulte: 

rf. = , 81^^- _ 



-f z^-a- + x^f 



En comparant cette formule à la formule (2) du n» 44, on 
trouve : 

^ - 27^" • 

Théorkme: Si, en chaque point d'une ligne de courbure 
totale constante, on mène le plan tangent à la surface, tous ces 
plans enveloppent une sphère, dont le centre se trouve à l'ori- 
gine. 

Cette propriété est encore compatible avec la symétrie de la 
surface (41). 

(A suii'/e . 



SUR LE RAYON DE COURBURE D'UNE COURBE 



B. NiEWENGLOwsKi (Paris) 



1. — Le rayon de courbure d'une conique en un point M est 
donné par la formule 

R = -, , (i) 

P- 

p désignant le paramètre de la courbe et N la longueur du seg- 
ment MN de la normale en M, N étant sa trace sur un axe de 
symétrie de la conique. 

Plus généralement, s'il s'agit d'une courbe plane quelconque, 
en gardant les mêmes notations, on a 

d'où il suit que 

{l +/'-{' = - , 
et par conséquent 

La formule (1) se déduit d'ailleurs très simplementMe (2) si 
l'on prend pour axe des x un axe de symétrie de la conique consi- 
dérée, l'origine étant l'un des sommets situés sur cet axe. En 
effet, l'équation de la conique étant alors 

f = 2/J.r + 7» - , 

on a successivement 

>•>' =. p -\- qx , v'2 -f- rv" r= 1/ , y- y'- -\- y^y" =z (//' , 

jV" = </['^P-r + </•»■-) — ip + q-r)- = — f . 



RAYON DE COURBURE U 



2. — Remarque I. L'équation (1) caractérise les coniques. 
En eiïet, si cette équation est vérifiée on a 

.) Ir" = « , 

a désignant une constante. On en tire successivement 

J y3 • y- 

b étant une nouvelle constante, et ensuite 



dx 



_ j^.r 



et enfin 

{x + c)- = hy- — a 

c étant encore une constante. 

3. — Remarque IL Le cas de l'hyperbole équilatère mérite 
d'être signalé. En prenant pour axes de coordonnées les axes de 
symétrie, l'équation peut s'écrire 

X- — y- = a- 

ce qui donne yi/' = x ; alors N" = y^ + a;^ = f\ ?• désignant la 
distance du point M (x, y) au centre et dans ce cas : R = -, . 

4. — Cas où Von prend pour variable indépendante Varc s de 
la courbe plane que Von étudie. Dans ce cas la relation entre le 
rayon de courbure R et la normale N prend un autre aspect. 

Les axes de coordonnées étant toujours supposés rectangu- 
laires, si a désigne l'angle de la tangente en M (x, y) avec l'axe 
x'x., on sait que 

x' = cos a , y' '^^ ^i" * • 

d'où 

x" = — s in a. a' , y" = cos a.a' , et a' := -- , 

K 

les dérivées x', //', a', x\ y" étant prises par rapport à s. 
On en déduit 

R = ;^ = - ^ . (3) 



32 B. NIEWENGLOWSKl 


D'autre part 


^- _ y _ y 


donc R = -;— - 

r" is 


cos a x' 


au signe près; ou plus correctement 


y 


1 



Pareillement si N' désigne la longueur de la normale comptée 
jusqu'à l'axe du y^ on trouvera 

\ x\ 1 

H = |,-r,|x^. (4', 

5. — Applications. Courbes telles que R = zh N. 
1° Posons, en premier lieu 



r" ~ P ' °" ■'■ ' ~ •^•^ • 
Mais puisque s est la variable indépendante, on sait que 

donc 

r/ + v'^' = 1 ; 

une première intégration donne 

yy' = .s- -f- h , 

h étant une constante. En changeant l'origine des arcs par la 
courbe, on peut supprimer h et écrire 

yy' = s 
d'où l'on tire 

1- := A- + o- 

a désignant la valeur de y pour 5 = 0, 
On en tire 

, _ s x' _ 1 

ce qui donne, en supposant a: = pour s = (ce qui est per- 
mis car une translation parallèle k x' x hq change ni R ni N): 

X x 

V«2 4- a- + .s- = «e" , y s- + a- — s = ae " . 



RAYON DE COUR RU RE 

On en tire 

s = rt Sh - 
a 

et par conséquent 

r =z a Cil - . 
a 

La courbe est une chaînette. 
2^ Posons maintenant 



ce qui peut s écrire — ^ :ir '— 



d'où 



a désignant une constante arbitraire on a ainsi 



Mais si l'on pose x' = sin ^, y' = cos t on en tire: ?/ = a sin / 
donc 

dt ds 

) = a cos t -r- et par suite -- z=: a 

ds ^ dt 

en prenant convenablement l'origine des arcs on peut donc poser 
i = — et Ton a 

s 

V = a sin — 

a 

.r =z sin — , donc x =: — a cos h .rv, , 

a a " 

et enfin 

i-^ — ■»o'' + ?' = «' ' 

solution évidente a priori. 

6. — Courbes telles que R = ± 2N. 
1° Posons tout d'abord 

^ = 2^ ou 2^=^ 

x" Jl' ' .» ' 1- 

on en tire 

,.. ^ 1 _ ,.. ^ r ^ 

a étant une constante arbitraire. 

l.'Enseignemenl m;ithéni., 22" année; 1921 et l!f22. -i 



34 B. NIEWENGLOWSKI 

La dernière équation pouvant s'écrire ainsi: 

a 

posons 

— := siii- — < d'où ■>'=zcos— -< 

«2 •'2 

On en déduit 

rfv =: a sin — / cos — t.dt . 

•' 2 2 

Mais 

I 

d\ = y'ds =: cos -^ l .as 

ce qui entraine cette conséquence: 

1 

ds =z a siii —t.dt . 

Mais 

.»•'- =: 1 — r'* = sin-— -/ . 
•' 2 

On peut prendre 

dx . 1 

^ =j; = ""2' • 



donc 



1 1 

dx ■=z sin — tds = a s'm'-'-t.dt 



En intégrant on obtient 
et l'on a déjà 



X = -^{i — sin t] + .Vq 



r = ^(1 — '^os/) 



La courbe cherchée est donc une cycloïde. 
2o Soit maintenant 



2l=:-2^, , ou 2^^ + - =0 

x" x' .» y 

On a ainsi 

,., a 

r 



a désignant une constante arbitraire. 



HAYON DE COURBURE 35 

On a donc 

1 - v'^ = "- . 

y 

En posant x' = cos ç, y' — sin f on en déduit 



a 



cos- œ 



(5) 



-^a sm ? . 

«>• rr 5 — ^ a zi =r sui s rfi 

cos-* © 



a.s := ^ et <r.r = 3-^ 

cos'^ œ COS'' o 



donc 
donc enfin 

.»• = 2(1 tg ç + .»o . (6) 

En éliminant (jp entre les équations (5) et (6), on trouve 

j = rt H — ^ 

équation d'une parabole. 

7. — ■ Extension a l'Espace. Nous commencerons par la 
formule (4). Nous prendrons trois axes rectangulaires et nous 
appellerons N la longueur MN comprise entre le point iNI et le 
point N où la normale principale relative à M perce le plan xoy. 

Les équations de la normale principale étant 

X — X Y — r Z — s 



s'x" — x's" s'y" — r's" s':" — z's" 

On en déduit aisément 

(.s :; — c A r L J 

Mais le crochet a pour valeur 

z-s'-[x"^ + y"- + z"^ — s"'] 
5'2[x"2 4- v"2 + z"- - *"-] . donc N2 = *- .Z,/ ^^_ -^ 

D'autre part 

li- 



On en conclut que 



R= - . (7) 

is'z" — s'i")N 



36 H . N lE UENG /. O If S Kl 

La variable indépendante est arbitraire — choisissons Taxe s 
pour paramètre — il vient, puisqu'alors 5-' = 1, 5" = 0: 



R = 



is"i\ 



(81 



Pour obtenir une relation analogue à la formule (2), on peut 
procéder de la manière suivante: 

La normale principale peut être définie comme étant l'inter- 
section du plan osculateur et du plan normal relatifs au point M. 
Les dérivées étant prises par rapport à un paramètre arbitraire t, 
si Ton pose 

A = r'r." — rV B = z'.i" — x'z" C = ,» 'r" — y'x" , 

on reconnaît que les équations de la normale principale peuvent 
s'écrire ainsi: 

X — -r _ Y — r _ Z — z 
B:' — Cv' "" C.r' — Ar' ~ Ar' — B.r' ' 

et par suite : 

N^ = ,, , "" ,, n^^' - <^-^''' + <C'' — Ar'l- + lAv' - B.x'\^] . 
{Ay — Bx r •- • ■ J 

Mais 

,A2 + B- + C-')(.r'=^ + r" -f z'h = (A.r' + B.v' + Cr.'r' + {Bz' — C/r 

+ (Cl' — A.»')- + (Av' — Bx'r , 

et si l'on remarque que 

\x' + Bv' + C;' = et .» '^ -^ v'- -f- z'- = s'- , 

on voit que 

^^ ^ z^s'^lA^ -f B^ + O'i 



(Ar' — Bz'r 

D' autre part 

.s'-'' 

u = 



,A2 + B2 + O'i 
donc 

,,A/ — B.r')3 



H = 



(9) 



(A2 + B^ + cr- ■ 



NJYOy DE COURBURE 37 

Remarque. — Si dans la formule (9) on suppose y ^ o, ce qui 
revient à dire que la courbe est plane et tracée dans le plan des 
yz, on a dans ce cas y' = 0, y" = 0, par suite A = G = et 
la formule se réduit à 

I x'^ \ 

R = ± N3 , 



formule qui coïncide avec la formule (2) si j;' = 1, x" = 
z remplaçant //. 

Pareillement si Ton suppose la courbe plane et tracée dans le 
plan des a:, y la formule (7) donnera 



I }-.s'» I 1 

\s y — 1- .s A 



qui coïncide avec la formule (4) quand s' = 1, s" = 0. 

Application. On peut mettre les équations d'une hélice cir- 
culaire dont Taxe est pris pour axe des .r, sous la forme 



hs 
IÏtzJi 



où ^ = v/«' + 7-^2 , a étant le rayon de la section droite du 
cylindre sur lequel l'hélice est tracée et h le pas de cette hélice. 
On trouve alors N = a, et puisque }„ = - — b'^ 



a i ~- a 



SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, 
DONT LA SOMME EST UNE FONCTION ALGÉBRIQUE 

PAR 

G. PôLYA (Zurich). 



1. — Outre la formule du binôme on connaît depuis l'époque 
d'EuLER plusieurs exemples de séries simples, dont la somme est 
une fonction algébrique, par exemple, la série de Lambert, ser- 
vant à la résolution des équations trinômes. Ces divers résultats 
sont, croyons-nous, contenus comme cas particuliers dans le 
théorème général suivant: 

Soient (p (z) et (p {z) deux fonctions algébriques régulières 
autour du point z = 0. Posons 

^{-■) = Ko + \,- + Aoo;-- + A,^.-' + ... 

<i)(-)ç(;^ = A,„ + A„: + A,,:^ + A,,-J + ... 
4)(;)?|r.)2= A,, + A.3,r. + A,,:" + A,,z^ + ... 
<t.(3|ç(z.|3= A3„ + A,,z + A,,:.- + A,,-J + ... 



et disposons les termes de ce tableau régulièrement^ c'est-à-dire 
de la manière suivante: après avoir choisi un axe des x dirigé 
de haut en bas et un axe des y dirigé de gauche à droite, conve- 
nons d'écrire le terme A^i z' au point x = k, y = L Traçons dans 
ce tableau une droite quelconque non parallèle à l'axe des x ; 
Vensemble des termes disposés le long de cette droite forme une série 
entière dont le rayon de convergence est différent de zéro et dont la 
somme est une fonction algébrique. 

Dans cet énoncé, les fonctions rationnelles sont considérées 



SERIES ENTIERES 39 

comme des fonctions algébriques particulières. S'il n'y a qu'un 
nombre fini de termes le long de la droite en question, l'ensemble 
de ces termes forme une fonction rationnelle entière; dans ce 
cas-là, le théorème est trivial. Si la droite est horizontale, paral- 
lèle à l'axe des z/, le théorème est encore évident, le produit de 
deux fonctions algébriques étant algébrique. Si la droite est ver- 
ticale, la série obtenue peut être divergente (c'est pour cela que 
ce cas a été écarté dans l'énoncé) mais si elle converge, elle rej)ré- 
sente une fonction rationnelle particulièrement simple. 
Il y a encore un cas où le théorème est évident. En posant 

f{z) -a, + a,z^ a,-J + a,-J + ... . w = e ^' : 

on a 

f(z) + w-Vitoc) + ro--V(w2c| + ... + t. -'*"-" Vtc/~'-) 



et cette dernière fonction est algébrique si /(:;) l'est. Voilà à quoi 
se réduit essentiellement le théorème, si «p(c) = az"% a étant une 
constante, fu un nombre entier, m > 0. 

Le tableau le plus simple du genre considéré est le triangle de 
Pascal, que j'écris comme suit: 

1 

1 + c 

1 + 2z + z^- 

1 + 3c + 3.^ + z' 

1 -f- 4c + 6z'-' + ic--» + :.-• 



(On a dans ce cas-là $(:;) = 1, (^(z) = 1 + z.) Les droites pa- 
rallèles à la bissectrice des deux axes rectangulaires contiennent 
des séries entières dont la somme est rationnelle, = (1 — z)~^ 
(1 — z)--, (1 — z)^'\ ... . La droite passant par les trois termes 
en caractères gras engendre la série 



1 + 2c + Gc2 + 



Sril.3.5 ... 2n — 1 



n Il n Il ' 



W G. POLYA 

2. — Les points du plan, dont les coordonnées rectangulaires 
sont des nombres entiers non négatifs, forment un réseau. Xous 
avons à nous occuper des droites qui passent par une infinité 
des points de ce réseau, sans être parallèles à un des deux axes. 
Ces droites ont \me équation de la forme 

rtV — hx = q (1) 

où a, è, q sont des entiers, a > 0, 6 > 0. Le plus grand commun 
diviseur de a et de b doit diviser q ; il peut être supposé, sans 
restriction, égal à l'unité. Toutes les solutions de (1) en nombres 
entiers non négatifs peuvent être représentées par une formule 

.i=c-\- an , y z= d -\- hn , [n z= 0, 1, 2, 3. ...). 

n = donne la «plus petite» solution de ce genre, x = c, y = d. 
Il s'agit donc de la somme de la série 



'\+an,é+!,n=''^'" = P^^-^ ■ (2) 



On a 



1 /" <ï)(>/l9(»)^+°" chi 



'^c+an. <l+l,n 



L'intégration est étendue le long d'un contour circulaire 
\u\ = r, 7' étant choisi de manière que l'aire \u\< r ne contienne 
aucun point singulier des branches considérées des fonctions 
algébriques '^(m) et <1)(m). (Plus tard r sera assujetti à une nou- 
velle condition.) Soit sur la circonférence |zj = /• 

\0(ll) I ^ /• . ; <1>|//| I ^ K . 

On a alors d'après (3) 

I A I ^ K /•'+"" ..—d—bn 

! ^c+an, d+bn | < 1^- • * ■ ' 

ce qui montre que la série (2) converge sûrement dans le cercle 



\<rk '> . 








On a d'après (2) (3) 








2-iJ „d 


~% 




du 
II 



SÉRIES ENTIERES 41 

la série géométrique étant convergente pour \z\ assez petit, d'où 
l'on tire 

-.1 



et ^ I. 



Considérons les racines multiples ii qu'on obtient en égalant 
à zéro le dénominateur de la fraction à intégrer. Elles satisfont 
aux deux équations simultanées 

d'où résulte 

aua'iii) — hz,{ii\ = . i5i 

Si cette dernière équation est identique, on aura ©((0^ = C«'', 
où C est une constante. Je laisse de côté ce cas qui peut être traité 
directement, comme je viens de le faire remarquer. 

L'équation (5) a nn nombre fini de racines. 

On peut choisir le chemin des intégrations (3) et (4) c'est-à- 
dire le contour circulaire [h| = r de manière qu'il ne contienne 
qu'une racine ou qu'il n'en contienne aucune, suivant que le 
point II = est ou n'est pas racine de (5). Le rayon r étant choisi 
définitivement, je prends z assez petit en valeur absolue pour 
qu'on ait sur le contour \u\ = r 

«1* > !r.|«;ç(«||*. 

D'après le théorème de Rouché, l'intérieur du contour \U\ — r 
contient exactement b racines de l'équation a'' — c'' çp(M)" = 0; 
w = peut être une racine multiple, mais les autres racines 



contenues à l'intérieur du contour \u\ = r sont sûrement simples 
d'après le choix de r. On a (i S b. 

L'intégrale (4) étant égale à la somme des résidus relatifs aux 
pôles à l'intérieur de la circonférence \u = r on obtient d'après 
la discussion précédente 



42 G . PO I. Y A 

R(z) est le résidu correspondant au point u = 0. 

R(z) est une fonction rationnelle, qui peut se réduire à 0. On 
sait que les fonctions algébriques d'une fonction algébrique sont 
algébriques, ainsi que la dérivée d'une fonction algébrique ; donc 
it, , M,, ... Mr. sont algébriques, chaque terme de la somme dans 
l'équation (6) est algébrique et F(z) est aussi algébrique, c. q. f. d. 

3. — Comme premier exemple, posons $(z) = 1, (f{z) = 
1 + z + z"^ et considérons avec Euler ' le tableau 

1 

1 + Z + z'- 

1 + 23 + 3z= + 2=3 + r." 



On trouve la somme de la série qui commence par les termes 
en caractères gras d'après la méthode exposée. 

M, désignant la racine de l'équation u — z {i -\- u -\- u-) = qui 
se réduit à zéro pour z = 0. On a donc 



— ^/ 1 — 2z — 3z^ 



2s 

1 -j- c -1- 3;.2 + 7;3 _^ 19-4 _^ __ 



Vl - 23 — 33* 



résultat dû à Euler, loc. cit. *. 

Je considère un second exemple. Je désigne par 
a, (S deux nombres rationnels, par 
a, b deux nombres entiers non négatifs. 

Je pose <I>(z) = (1 + z)^, (p(z) = (1 + z)-^ et je considère la 
droite 7j = a -{- bx. J'obtiens la série 



2 



H=0 



a + hn)" 



' L. Eui.i;». Opiisciila anati/tica, Toniiis I (Potropoli, 1783), p. 48-62. 



S/iJHfES EMIERES 43 

dont la somme est ime fonction algébrique de z ainsi que la 
somme de la série 

2 /a + 'pi 



D'après une remarque faite auparavant, l'évaluation de cette 
dernière série se ramène facilement à l'évaluation de celle-ci: ' 

1 /- Il + U\<^d„ \ . ,r. 



^rj'y=A.j 



Il — r.|l + II)' 1 — 3 ri-;' 

où l'on désigne par c, la racine de l'équation trinôme 

zv' _ ,. + 1 = l8i 

qui se réduit à l'unité pour 2 = (1 + ii = ç'). La formule (7) 
contient un grand nombre de cas particuliers intéressants. La 
série (7) reste inchangée si l'on change simultanément 

a eu — 1 — a , ,: tri 1 — ji , ; en — : ; 

elle se réduit à la formule du binôme pour /3 = et /5 = 1 ; elle 
a une somme très simple, si (5 = 2 ou /3 = 1 — 2 = — 1. On 
obtient d'après (7) en résolvant l'équation trinôme (8) qui devient 
quadratique pour (3 = 2 



V 23 / Vl — 4= 



Vl 
Cette formule était aussi connue d'EuLER - qui donne à la 



' M. HuRwnz. dans ses exercices, a posé l» problème suivant : en admettant que jJ est 
rationnel, démontrer que 



iC:)=" 



représente une i'oactidn algébrique. C'est ce problème qui, conjointement avec le problème 
d'Eui.KR précité, m'a suggéré le théorème général que je viens de démontrer. 
' L. EuLER. Opéra postuma, Tom. 1 (Pelropoli, 1862). p. 299-314. 



4'i G. POL Y A 

somme la forme équivalente 
On a d'après (7) 

3 

On obtient par soustraction 






s = i+2' '" 



^// — 1 / // ' 



ce qui est la série bien connue de Lambert ^ écrite sous une 
forme simplifiée; elle donne la solution de l'équation trinôme (8) 
qui se réduit à 1 pour :; = 0. 

En mettant w = v'^ on obtient par un calcul analogue la solu- 
tion i,\\ de l'équation trinôme plus générale 

;.,.« __ .,« + 1 = 



= l+a^L 



z." /a+ {,n - 1 



//— 1 



w^ se réduisant à l'unité pour z = 0. D'autre part, en changeant 
simultanément dans les formules (7) et (8) 

*' en 1 + — , c en -^ 

on obtient pour ^6 = ce les séries simples 

^ //' z" 1 



H 1 _/i 



1 1' ^ibJ // ! 



1 • 



' Voir [). ex. Encyklopn die d. mathcnt. Wi.ts., W, I). I (Osoooi>|. p. 't'i. 



.s ÉRi i: .s i: y tier e s k 5 

Ci désignant la solution de Téquation transcendente 

re'' — f = 

qui se réduit à pour :; = et à 1 pour c = e~'. 

4. — J'expose deux problèmes caractéristiques, où les calculs 
précédents peuvent être utilisés. 

En jetant In dés à la fois, on peut obtenir différentes sommes 
de points de 2/? à 12/?. Le cas le plus probable est celui de 7 n 
points. Désignons par A„ le nombre des combinaisons où se pro- 
duit cet événement, de manière que A„ 6~-" soit la probabilité 
d'amener In points avec 2n dés. Je considère la série 

1 + A,: + A,,r.- + A, c^ -f •■• • (10) 

Comme on sait A„ est le coefficient de w'" dans le développement 
de la puissance (m + w- + m-' + m^ + m" -[- »')-". 
On a donc 

^„ „ ^. - , [u + «2 _|_ _^ „6;i" ^„ 



2 2^/ 



u^ du 



•1-lJ 11= 



:il + H + ... + u^]'^ 

d'où l'on conclut par le raisonnement précédent que la série 

envisagée (10) représente une fonction algébrique. 

EuLER a fait connaître la remarquable transformation de 

séries 

I J^ / , \" _^ 

<"A%/„ (11) 



qui porte son nom et qui joue un rôle important dans certaines 
recherches modernes sur les séries entières ', On désigne comme 
d'habitude par A" a, l'expression 

A" «,.=%+,.-(';)«„+,._. + (';)^,+._.-.. + < !''«,.• 

Les quantités «„ , /la,,, A'-ao?--- interviennent dans la solu- 
tion de ce problème: trouver un polynôme do degré s /?, prenant 
des valeurs données ao, a, , a.^, ... a» aux jioints successifs z = 



' Voir p. ex. Phincsiikim. Vcher einige funktionentheoretische Aiuvendungen der tuUrscheit 
lieiherttransformation. t^itzungsber. Miinchen, 1912, p. 11-92. 



46 G. POL Y A 

0, 1, 2, ... n. C'est ce que j'appellerai le problème de l'interpola- 
tion unilatérale ou Newtonienne. Comme interpolation bilatérale 
ou Laplacienne ' je désignerai le problème suivant: chercher un 
polynôme de degré ^ 2n prenant des valeurs données aux 
2^ + 1 points 

; = — rt , — H + 1 , ... — 1 , , + 1 , ... n — i, n . 

Je me suis proposé de chercher une transformation de séries 
qui ait le même rapport à l'interpolation bilatérale que la trans- 
formation d'Euler à l'interpolation unilatérale. J'ai trouvé qu'il 
faut distinguer deux cas; le cas pair et le cas impair. Bref, je suis 
arrivé aux formules suivantes: 

en supposant a_„ = «« (12) 

vTttt 2^"+2^'"V 2t ; i-22'^ «-« 

en supposant a-,, = — a« (12') 

Je démontre la première de ces formules. On a, k désignant un 
entier: 

d'après la formule (9). En substituant cette expression dans la 
formule (12) on obtient 

2Vl + 4f yi + 4f -^ ^ V - -' / 



ll — \ 



t:sC:)'-^'"'"+2'"2'-^''^'''^''-'- "^' 



' Lahlacb. Théorie analytique des probabilités, chap. I, n» 4, 



SEn/ES ENTIERES 47 

J'ai introduit le nouvel indice de sommation n par l'équation 
n ^= k + l. Remarquons qu'en vertu de la supposition a_„, = a,„, 
on a 

,-i,'(^;')„„_, = ,-„-'(J: ,)„.._,_,. 

Donc la dernière ligne de la formule (13) peut être écrite 
comme suit: 






(-!)'(':' u. 



7!=0 1=0 

ce qui démontre la formule proposée (12). 

J'ai démontré autrefois ^ que la plus petite fonction entière 
transcendante qui prend des valeurs entières pour z = 0, 1, 2, 3, ... 
est la fonction simple 2" et que la plus petite fonction entière 
transcendante qui prend des valeurs entières pour toutes les 
valeurs entières 

...—«,... — 2.-1,0, + 1 , + 2 , ... + «,.. 

de z est la fonction impaire 

Le premier et le second de ces théorèmes ont le même rapport 
entre eux que l'interpolation unilatérale et bilatérale ou bien que 
la transformation d'EuLER et les nouvelles formules (12) et (12'). 



' (jr. PoLVA. U'-ber ganze ganzwertige Funktionen, Rendiconti, Palermo, T. 40 (1916, 2), 
p. 1-16. — Gôttinger Nachrichten, 1920, p. 1-lU. 



SUR LE NOMBRE e. 



Michel Petrovitch (Belgrade) 



1. — Le développement classique exprime le nombre e sous 
la forme de somme de fractions rationnelles ayant pour numé- 
rateurs l'unité. L'identité 

(fl, + «,.r + «,.r-^ + ... + o^.iP)e' ^ ■^'«•*'" ' 
OÙ 

ri ti «., ait 



" // I I /i 1 i 

fournit le moyen d'exprimer e, et cela d'une infinité de manières, 
sous la forme de somme de fractions rationnelles irréductibles 
ayant pour numérateurs des entiers autres que 1. Et en par- 
ticulier: 

// est possible d'exprimé}' e comme somme de fractions ration- 
nelles irréductibles ayant pour numérateurs la suite naturelle de 
nombres premiers impairs 

1, 3, 5, 7, 11, 13. 17, ... 

En effet, l'identité 

(.r+l)e-=2^'-" ^1' 

fait voir, pour a: = 1, que 

X 



LE NOMBRE e 

OÙ 

1 '( + 1 



2 n : 



D'après la conséquence connue du théorème de Wilson, 
lorsque /«. + i est composé et ^i > 3 on a 



= nomni'e entier 



et lorsque n + 1 est premier, on a 



= nombre entier — 



n + 1 n -{- 1 

Il s'en suit que les /„ sont des fractions rationnelles, lesquelles, 
réduites à leurs plus simples expressions, ont pour numérateur 1 
lorsque n —- 1 est composé, et ai + 1 lorsque c'est un nom.bre 
premier, ce qui démontre la proposition. 

Le nombre e se laisse ainsi exprimer sous la forme 






où p,„ q,„ s„ sont des nombres entiers tels que, la fraction — étant 

réduite à sa plus simple expression, p„ soit le n ''"'■ terme de la 
suite naturelle de fiombres premiers impairs. 

2. — Au point de vue de la propriété arithmétique précé- 
dente le nombre e n'est qu'un cas particulier d'une classe plus 
générale de nombres jouissant de la même propriété. 

Soient a,,, a,, «.^ ••• des nombres entiers quelconques et consi- 
dérons la fonction 

i X x^ 

holomorphe dans tout le plan de la variable x. On a 



et par suite 



rf r . 1 -^^ 't -t- i M 



/■(i) ^- fil] _ '^>-" 



2 



2 



où /.„ est le nombre précédent (2). 

L'Enseignement mathém., 22' année, 1921 et 1922 



50 M. PETROVlTCh 

Le nombre 



se laisse donc exprimer sous la forme de somme de fractions ration- 
nelles irréductibles n'ayant pour numérateurs que des nombres 
premiers. 

Dans le cas où «„ n'est pas divisible par n + i pour ^ + 1 
premier, le nombre M se laisse exprimer sous la forme (3). Tel 
est, par exemple, le cas de 

a„ = (n\f , a,^= [n + 2)(/i!)^ , etc.. 

k étant un entier positif. Le nombre e correspond au cas parti- 
culier oîi 

a^ = l /•(.r) = e^. 

Etant donnée une fonction (f{x) développable pour | j;| ^ 1 en 
série de la forme 

^{x) ^ _ + - + — 4- ... , 

«0 *1 ^2 

les a , étant des entiers quelconques, il est possible d'en former 
un nombre précédent M sous la forme d'une intégrale définie 
portant sur des combinaisons simples de !p(x). On partira des 

formules connues exprimant le nombre — sous forme d'une inté- 
grale définie, à l'aide de laquelle en exprimera la fonction f{x) 
à l'aide de ^(x). Telles seraient, par exemple, les formules sui- 
vantes: 

I "^ /' 

— - = - 6*^°*' cos (sin /) cop ni di , 

1 2 r t 

— - = - e'°* sin (sin /) sin nt dl , 

II \ T^ J 



— =: / ~ dt , 

"• '^'^ .^ *« + '') 

(c et la partie réelle de a étant des quantités positives). 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet 

A propos d une coininunicalion de M. I.éon Aubiy. 

par M. Marius Bedarida (Gênes). 

Dans une Note ' présentée au Congrès de l'Association française 
pour l'avancement des sciences (Strasbourg, juillet 1920), M. Léon 
AuBRY croit constater une erreur dans la démonstration que donne 
Dirichlet du théorème suivant : « Toute progression arithmétique dont 
le premier terme et la raison sont premiers entre eux, contient une 
infinité de nombres premiers. » 

Or, les considérations sur lesquelles M. Aubry base sa remarque, ne 
sont pas justes. 

Dirichlet établit l'égalité fondamentale {Jour, de Liouville, t. 4, 
1839, p. 396): 

n — - = ^u>yl^ = L, (i) 



dans l'hypothèse 5 > 1. Par cette égalité, avec des raisonnements 
rigoureux, toujours dans l'hypothèse 5 > 1, il déduit (p. 411, où 

5 = 1 + r., ^ > 0) 

^ 2-I--2P 1^ •-! :'-l-3P ' 



P 



= -^[log L„ + i^-'"'" log L. + Q-''^'" log U+... Q '-'''"' ,o^ L,.,J 



(2) 



Ici Dirichlet passe à la limite pour /> = 0. Après ce raisonnement 
on a le théorème. 

La valeur de s dont M. L. Aubry parle, sans préciser, est .v = 1, 

' Voir le résmiié reproduit dans Vtns. math., t. XXI, n" '•<-'*, p. 211. 



52 CHRONIQUE 

c'est-à-dire p = 0. Maintenant dans l'expression (2), démontrée pour 
p > 0, passant à la limite pour o = 0, tous les termes doivent être 
étudiés séparément, et après les conclusions qui s'y rattachent, on 
ne doit plus penser à la relation (1) et à celle dont elle a été déduite, 
toujours dans l'iiypothèse 5 > 1. De plus il faut observer que Dirichlet 
démontre, et n'admetpas, commeditM. Aubry, quelim log L^ =+ ce 
(p. 598, § II). ''=' 

L'objection de M. L. Aubry, qui consiste dans Fexamen des rela- 
tions dont on déduit (2), pour 9=1, n'est pas compatible avec les 
considérations du passage à la limite, qui suivent ces relations. 

Gênes, le 27 juillet 1921. 



CHRONIQUE 



Académie des Sciences de Paris. — Prix décernés. 

Mathématiques. — Prix Francœur (1000 fr.), M. René Baire, pro- 
fesseur à la Faculté de Dijon. 

Mécanique. — Prix Montyon (700 fr.), M. E. Fouché. — Prix 
Poncelet (2000 fr.), M. Jouguet, professeur à l'Ecole des Mines. — 
Prix Boileau (1300 fr.), M. Maillet, professeur à l'Ecole des Ponts 
et Chaussées. 

Astronomie. — Prix Lalande (540 fr.), M. P. Strobant, directeur 
adjoint de l'Observatoire de Belgique. — Prix \'alz (460 fr.), M. 
Trousset, astronome à l'Observatoire de Bordeaux. — Prix G. de 
Pontécoulant (700 fr.), M. Crgmmelin, astronome à l'Observatoire 
de Greenwich. 

Prix généraux. — Prix Petit d'Ormoy, sciences mathématiques 
(10.000 fr.). Le prix est décerné à feu Georges Hlmbert, membre 
de l'Académie, pour l'ensemble de ses travaux. — Prix Saintour 
(3000 fr.), M. Pierre Boutroux, professeur au Collège de France, 
pour ses travaux sur la théorie des équations différentielles et ses 
études sur l'histoire de la philosophie des Sciences. 

Fonds de recherches scientifiques. — Fondation Henri Becquerel 
(prix de 3000 fr.), M. Camille Flammarion, directeur de l'Observa- 
toire de Juvisy, pour l'ensemble de son œuvre scientifique. 



CHRONIQUE 53 



Académie Royale de Belgique. 

Prix décernés. — La Classe des Sciences a décerné un prix de 
mathématiques à M. P. Montel (Paris), pour son Mémoire « Sur 
les familles quasinormales de fonctions holomorphes. Un autre prix 
de mathématiques a été attribué à M. L. Godeaux (Bruxelles), 
auteur du Mémoire « Sur les transformations rationnelles de Jonquières 
de l'espace ». 

Concours de 1923. — La Classe de sciences met au concours les 
questions suivantes: 

L On demande une contribution importante à la géométrie infi- 
nitésimale. 

IL On demande une contribution au problème des corps dans la 
théorie d'Einstein. 

Pour chacune des questions, l'Académie peut accorder un prix de 
1500 fr. — Délai: 1" août 1922. 



Conférences mathématiques à Bruxelles. 

L — A VInstitut des Hautes Etudes de Belgique (anciennement 
Université Nouvelle) M. Ivraitchik a exposé en 25 leçons pendant le 
dernier trimestre 1920, la Théorie des Abaques et ses applications. 

Le 20 décembre 1920, le même auteur a fait une conférence spéciale 
sur la Nomographie. 

Le 19 mai 1921, M. Kraitchik a terminé son cours sur la théorie 
des nombres. Procédés graphiques et applications à la factorisation. 

Le 23 mai. M. Pierre Boutroux a fait une conférence sur V Œuvre 
scientifique de Pascal. 

Les 30 et 31 mai, M. Charles Moureu, membre de l'Institut, a fait 
deux conférences avec projections lumineuses sur les gaz rares des 
gaz naturels. 

M. A. Gérardi>', de Nancy, a fait les 2, 3 et 4 juin, trois conférences 
sur les sujets suivants: Carrés magiques en nombres tous premiers. 
Construction mécanique; applications au tissage, à l'ameublement, aux 
mosaïques et aux travaux de dames. — Les jeux et les nombres entiers. 
Historique. Questions attachantes pour parents et enfants. Enseigne- 
ment visuel. Nombres pensés. — La Théorie des Nombres. Son domaine 
et son histoire. L'avenir passionnant de cette « Reine des Sciences ». 

IL — Deuxième quinzaine internationale (20 aout-5 septembre)'au 
Palais Mondial (Cinquantenaire). — Le 24 août 1921, conférence^^de 
M. Paul Otlet, sur la question bibliographique et documentaire, k* 

Les 1, 2 et 3 septembre, M. A. Gérardin a fait trois conférences 
dont voici les titres: Origine de nos chiffres. Systèmes de numéra- 



54 CHRONIQUE 

tion. — Questions d'analyse indéterminée en nombres entiers, sur les 
degrés 2, 3 et 4. Méthode universelle. — Polynômes de degrés quel- 
conques ne donnant que des nombres premiers pour les h premières 
valeurs de la variable. 

Aux mêmes dates, M. Kraitchik a fait trois conférences sur la 
nomographie (abaques). Après avoir exposé une théorie sommaire des 
différents modes de représentation graphique, l'auteur — qui depuis 
des années fait des abaques pour les divers services de la Société 
Financière de Transports et d'Entreprises Industrielles — a montré 
différents abaques; la plupart sont faits pour les besoins de la sus- 
dite Société. 11 a exposé plus en détail le Tokomètre (dont il est parlé 
spécialement dans la chronique A. F. A. -S. 1921). Il est vraiment 
regrettable que cet appareil, d'une utilité indiscutable pour les ban- 
quiers soit si peu connu. Et cependant il existe sous sa forme actuelle 
depuis 1914, et il a été utilisé avec succès. 



54* Congrès des Sociétés savantes, Paris, mars 1921. 

La section des Sciences, sous-section de mathématiques et astro- 
nomie s'est réunie à la Sorbonne le mardi 29 mars 1921, à 14 h. 30 
sous la présidence de M. Bigourdan, membre de l'Institut et du Comité 
des travaux historiques et scientifiques. 

M. Bigourdan donne lecture de certains paragraphes de son mé- 
moire: Un essai d'Institut d'optique au XYlIl^ siècle, à Paris. 
L'auteur raconte les efforts faits sous Louis XV et Louis X\l pour 
créer à Poissy le cabinet de physique du roi. On devait y perfection- 
ner ou y construire les instruments d'optique et principalement 
d'astronomie. 

L'impulsion la plus vigoureuse a été donnée à cette institution par 
l'abbé Rochon qui construisit divers appareils encore utilisés de nos 
jours. On lui doit la découverte de la distribution de la chaleur dans 
le spectre, puis le spectre infra-rouge, les miroirs de platine, le prisme 
objectif, etc.. 

Ce cabinet de physique fut supprimé en 1790. 

M. A. Gérardin, de Nancy, présente une communication sur la 
Primalité et la Factorisation, suite de ses recherches pour le 53^ Congrès 
des Sociétés savantes. 

Par exemple: 

y := 2'^ — 1 , q premier = 2// -(- 1 

si 

".,„ = — 3 avec la loi "»-i-i ^^^ "], (inod. N) 

et u^ — 3, le nombre X est premier s'il n'est pas divisible par 6qx + 1. 



r H MON I QUE 55 

Lorsque N est composé, u.>,, est différent de — 3; on poursuit le 
calcul jusqu'à la rencontre d'un deuxième nœud ce qui donne la facto- 
risation. 

Exemple: 

r/ = 11 , N = 2017 , 

3, 9, 81, 420. 358, —797. 639, 968, —.502, 223, 601, 929, —793, 420 

Les diviseurs sont donnés par 793- — 81'-. 

M. H. Grouiller, assistant à l'Observatoire de Lyon, envoie une 
note pour la septième question du programme: Utilisation d'une série 
importante d'observations non encore publiées d'étoiles variables. 



Les travaux de la Section de mathématiques et d'astronomie 
de l'Association française pour l'Avancement des Sciences. 

Congrès de Rouen, 1-6 août î'J'Jl. 



Les sections I et II (mathématiques, astronomie, géodésie, méca- 
nique) ont fonctionné du premier au six août sous la présidence de 
M. Lelieuvre (Rouen), assisté de M. A. Gérardin (Nancy), comme 
Secrétaire. MM. J. de Lassus (Paris) et M. Kraitchik (Bruxelles) 
ont été élus Vice-Présidents. 

Coinniiin ications présentées. 

1. — M. Lelieuvre. — Note sur les surfaces cerclées. — L'auteur 
montre la possibilité d'arriver sans intégration à la représentation 
paramétrique des surfaces cerclées rapportées à leurs génératrices 
circulaires et aux trajectoires orthogonales de ces génératrices. 

2. — M. J. DE Lassus. — Sur un compresseur rotatif dit « hydro- 
mécanique ». 

3. — M. Kraitchik. — Applications industrielles des abaques. 
Tokomètre. Calcul des titres à revenu fixe. — L'auteur montre les 
ressources que la théorie des abaques offre aux applications indus- 
trielles. Il a fait un abaque pour les calculs concernant les obligations 
(titres à revenu fixe). Cet abaque est un véritable appareil, car l'échelle 
mobile se déplace dans deux directions par des dispositifs mécaniques. 
Au moyen de cet appareil, que l'inventeur appelle « Tokomètre » (du 
grec Tokos = intérêt) on peut résoudre par simple lecture, donc pour 
ainsi dire instantanément, les problèmes suivants: 

a) Etant donné le taux effectif qu'on se propose de réaliser par un 
placement en obligations, trouver la parité (prix) d'un titre. 



56 CHRONIQUE 

b) Etant donné le prix d'un titre (cote de la Bourse) trouver le 
taux effectif . (Partant, on trouve le placement le plus avantageux 
entre plusieurs titres). 

c) Trouver le taux d'une annuité donnée. 

4. — M. Eœile Belot, Vice-Président de la Société Astronomique 
de France, adresse son mémoire. — Sur V évolution de la Cosmogonie 
dualiste et tonrbillonnaire. — La faillite de la cosmogonie jusqu'ici est 
due à une faute de méthode dans la recherche. Les Astronomes ont 
abandonné la méthode inductive suivie inconsciemment par Kepler 
trouvant des lois empiiiques du système solaire d'où Newton put 
remonter à une hypothèse explicative. C'est en reprenant cette mé- 
thode et trouvant de nouvelles lois empiriques de notre système que 
l'auteur a pu fonder la nouvelle cosmogonie dualiste qui explique 
l'origine des Mondes dans tous leurs détails et dans toutes leurs formes. 

Voici la conclusion du mémoire: Tous les êtres cosmiques comme 
les êtres organisés, doivent leur naissance à un dualisme où se ren- 
contrent deux procréateurs différents dans leur nature, qui transmet- 
tent à leurs descendants les caractères propres de leur espèce. 

5. — M. J. Camescasse (Paris) envoie un mémoire intitulé: 
V Initiateur mathématique^ et Véducation mathématique objective (avec 
fig. et tableaux). — Origines et procédés antérieurs. — Unité de la 
Mathématique et Avantages de la Présentation simultanée (Arithmé- 
tique, Algèbre, Géométrie) grâce à la méthode Objective Expérimen- 
tale. — Indélébilité des Impressions et connaissances acquises par 
le contact et la vue des Formules et Phénomènes Mathématiques 
matériellement présentés. — Connaissance et Compréhension instan- 
tanée du système métrique décimal quand numération apprise pai" 
l'Initiateur Mathématique. — Règle des opérations Fondamentales 
comprises parce que Objectives. 

6. — M. Krvitchik présente sa note Sur un procédé graphique de 
criblage. — L'auteur explique en quelques mots son procédé qui sera 
exposé avec détails dans le volume I de sa Théorie des Nombres, que 
la maison Gauthier- Villars éditera fin 1921. Il donne deux exemples 
de recherche des facteurs de grands nombres: 

253 _|_ 2-'- -I- 1 z= 15 358 129 x 586 477 649 , 
961 _|_ 23' -(- 1 = 3 456 749 X 667 055 378 149 . 

7. — M. Cl APiER envoie un mémoire: Sur les équations aux déri- 
vées partielles dont les caractéristiques sont des géodésiques sur les sur- 
faces intégrales. 

8. — M. A. Gérardi^'. — Problèmes sur des soiutnes de carrés 
égalant d'autres sommes de bicarrés « Solutions nouvelles ». — L'auteur 



CHRONIQUE 57 

indique la bibliographie du sujet, donnée dans VHistonj oj Theory 
of Numbers de L. E. Dickson, et il rappelle que l'étude de toutes 
ces questions se ramène à 

\in^ + \iin- + Cm -f D = , (1) 

où A, B, C, D sont des fonctions de nouvelles indéterminées. Il a exposé 
ce procédé en détail dans V Intermédiaire des mathématiciens (1915, 
pp. 149-161). 

L'étude complète de (1) se ramène à 11 cas généraux. Les identités 
données par le procédé de Fermât, ou trouvées par d'autres mathé- 
maticiens découlent de l'un seulement de ces onze cas, dont l'ensemble 
fournit bien toutes les solutions, comme M. G. Humbert l'a confirmé 
par les hautes mathématiques. L'auteur utilise ici sa méthode uni- 
verselle {Bull. Soc. Philom., 1911). 

9. — M. Léon Aubry envoie une note, présentée par M. A. Gérar- 
din: Solutions récurrentes du système en nombres entiers 

X- -\- laxy -\- Ijy- =z ir x^ + 2cxy -\- cf\- = v- . 

L'auteur a donné dans le Sphinx-Œdipe (Numéro Spécial, avril 
1920, p. 8-9), pour le cas particulier: a = — 3, è = — 9, c = — 1, 
rf = 3, que Ed. Lucas avait signalé à tort comme impossible, une 
méthode qui permet de déduire par récurrence une infinité de solu- 
tions de la solution immédiate a; = w = f = 1, y = 0. Il généralise 
cette méthode, pour tous les systèmes dans lesquels on n'a pas c = a 
ou b — a^ = d — c'-. 

10. — M. R. GooRMAGHTiGH adresse un mémoire, présenté par 
M. A. Gérardin: Extension aux cycloidales delà propriété fondamen- 
tale de la spirale logarithmique. — La spirale logarithmique coupe sous 
un même angle tous les rayons vecteurs menés du pôle; or la spirale 
appartient, avec la cycloïde et les épi-hypo- et pseudocycloïdes, à 
la classe des cycloidales, caractérisées par l'équation intrinsèque 
p- + Is^ — a^. L'auteur établit dans sa note le théorème suivant: 

Pour une cycloïdale quelconque, il existe toujours dans Vespace un 
point tel que les rayons vecteurs menés de ce point rencontrent tous la 
courbe sous un même angle. 

Le pôle n'est réel que pour les spirales logarithmiques et les pseudo- 
cycloïdes avec rebroussements. Dans le cas de la cycloïde ordinaire, 
le pôle est à l'infini. 

11. — M. PoMEY, Ingénieur des télégraphes, envoie un mémoire: 
Remarques sur V application du théorème des moments cinétiques. — « La 
vitesse de l'extrémité de l'axe du moment des quantités de mouve- 
ment est équipollent à l'axe du moment des forces extérieures. >■ Dans 



58 CHRONIQUE 

un énoncé de ce genre tous les vecteurs sont censés ramenés parallè- 
lement à eux-mêmes à une même origine. Qu'arrive-t-il si l'on prend 

— »- 

les moments par rapport à un point A animé d'une vitesse V^ ? 
— >~ 
Si AK est le moment cinétique par rapport à A, M la masse du sys- 
— >- • — -*- 

tème, Vc la vitesse du centre de gravité, AJTl le moment par rapport 

à A des forces extérieures, on a: 

dt ^ * '■-' 

les crochets indiquant un produit vectoriel: ce terme complémentaire 
provient de la vitesse du point A; la note a pour objet d'exposer sa 
raison d'être. 

En appliquant de même le théorème dans le mouvement autour du 
centre de gravité, mais en prenant les moments par rapport à un point 
A: 

Le moment cinétique par rapport à A est le même que par rapport 
à G et l'on a: 



GK = kdf<. + [ga , j^ MV 1 . 



Le terme complémentaire disparaît quand A coïncide avec G; il 
faut remarquer que dans ce terme la dérivation ne porte que sur le 
second facteur. 

12. — M. Véronnet, astronome à l'observatoire de Strasbourg: 
Sur les Etoiles nouvelles et Etoiles géantes. — Le calcul permet de mon- 
trer que les deux composantes d'une étoile double peuvent se rappro- 
cher, se fusionner et produire une température intense, qui explique 
les principaux caractères des étoiles nouvelles. La pression de radiation, 
due à cette température, peut repousser certaines fines particules 
avec des vitesses comparables à celle de la lumière, expliquer les nébu- 
losités et les nébuleuses spirales, en tenant compte de la rotation ori- 
ginelle. Ces nébulosités, en se contractant, peuvent former une enve- 
loppe continue autour de l'étoile centrale, expliquer ainsi les étoiles 
géantes, Bételgeuse, Antarés, d'un diamètre extérieur mesuré de 300 
et 40 fois celui du soleil, expliquer les étoiles variables du genre 
céphéide, et plusieurs phénomènes de notie soleil. 

13. — M. A. Gérardin présente à la Section Treize Lettres iné- 
dites de J. J. SyU'ester et six de Th. Pépin adressées à Ed. Lucas de 
1877 à 1880. — Cette importante contribution à l'Histoire de la Théo- 
rie des Nombres étudie surtout les solutions initiales de x^ + ?/' = Az^. 
Après traduction et réajiisteme.it, elles seront publiées au Sphinx- 
Œdipe. 



CHRONIQUE 59 

14. — M. A. Gérardin. — Histoire des Sciences, un ancêtre de la 
presse mathématique française: « Le Géomètre >). — Ce recueil, à l'usage 
des candidats aux écoles spéciales, était édité en 1836 à Paris par 
Guillard. L'exemplaire, cartonné, contient quatorze feuilles 13 X 21 
et 9 planches. Gerono, Sturm, Miquel, Catalan, Terquem, Chasles... 
s'y sont intéressés. On y trouve des mémoires, des questions et répon- 
ses, la solution de certains concours généraux, et des problèmes résolus 
ignorés des mathématiciens et géomètres modernes. 

15. — M. A. Gérardin expose divers Procédés et problèmes de calcul 
mental, avec applications à des problèmes des 2®, 3®, et 4^ degrés. — 
Partant àhine solution rationnelle de a.x'^ -\- hx -\- c — //-, l'auteur 
apprend à trouver toutes les solutions entières. 

La juxtaposition de ses méthodes fournit une solution élégante de 
la question. 

16. — M. Tripier. — Mouvement d''une surface invariable. — Déter- 
mination graphique de la caractéristique. 

17. — M. le Cdt Litre. — Principes de la rotation des fluides. 

18. — M. Cadenat. — Sur des formes se reproduisant par la multi- 
plication. 

Ainsi: 

^a2 ^ „i, ^ /,2) (,.1- ^ ,.^ ^ ^2) --e- + ef+p 

avec 

e = ac -{- d{a -\- h] , /" := l'C — ad ; 

OU encore 

e = ad -{- l>{c -\- d) f z= ac — bd . 

Le prochain Congrès se tiendra à Montpellier. Le président des 
Sections I et II sera M. E. Fabry, et le secrétaire M. A. Gérardin. 



Société mathématique suisse. 

Réunion de Belle, H mai 19'21. 

Les mathématiciens suisses ont tenu leur réunion de printemps à 
Bâle, le 8 mai 1921, sous la présidence de M. L. Cre lier, professeur 
à l'Université de Berne. Donnant suite à un vœu qui avait été émis 
en septembre 1920, à l'occasion du Congrès de Strasbourg, le Comité 
avait invité les mathématiciens de Strasbourg à prendre part à la 
réunion. 

L'ordre du jour comprenait deux conférences, l'une de M. Kréciiet, 
Directeur de l'Institut de mathématiques de rUniversité de Stras- 



60 CHRONIQUE 

bourg, l'autre de M. Gustave Dumas, professeur à l'Université de 
Lausanne, puis une série de courtes communications. 

Conférences. 

1. — Conférence de M. Maurice Fréchet (Strasbourg). — Sur la 
désaxiomalisation de la Science. — L'auteur rappelle d'abord qu'ayant 
fondé sur la méthode axiomatique la plupart de ses propres travaux, 
il ne saurait être suspecté de vouloir diminuer l'importance de cette 
méthode. 

Mais il estime qu'il serait dangereux de lui assigner un rôle exclusif. 
Rien souvent cette méthode substitue à un concept d'ordre concret 
un concept abstrait sur lequel on peut édifier des raisonnements rigou- 
reux; mais il arrive trop souvent qu'on en applique les conséquences 
à la réahté concrète en substituant sans s'en apercevoir le concept 
concret qui était le but de l'étude au concept abstrait, base unique 
de ces déductions logiques. L'auteur cite quelques exemples: la défi- 
nition usuelle de la tangente impossible à réaliser graphiquement, 
la définition de la différentielle totale exacte qu'on abandonne taci- 
tement après l'avoir énoncée, etc.. Il y aurait lieu d'introduire des 
définitions on intervient l'ordre d'approximation admis pour l'élé- 
ment à définir. Par exemple, à titre d'indication, la dérivée moyenne 
dans un intervalle de longueur f remplacerait la dérivée exacte, 
la valeur de s étant trois ou quatre fois supérieure à l'épaisseur 
concrète de la courbe, etc. 

2. — Conférence de M. Gustave Dumas (Lausanne). — Tableaux 
de Poincaré et propriétés topologiques des surfaces. — Poincaré, dans 
ses recherches mémorables d'Analysis Situs, a fait usage de tableaux 
permettant de caractériser, au point de vue topologique les variétés 
d'un nombre quelconque de dimensions. 

M. Gustave Dumas, dans une large esquisse, montre, à grands 
traits, comment ces tableaux facilitent l'étude des propriétés des 
surfaces bilatérales ou unilatérales de l'espace à trois dimensions et 
comment le nombre permet de retrouver, d'une manière rigoureuse, 
tous les résultats que l'on doit à l'intuition géométrique. 

La méthode, dans son essence, fait correspondre à des polyèdres, 
tracés sur les surfaces, certaines formes bilinéaires. 

Les polyèdres sont orientés de la manière indiquée par MM. ^'eblen 
et Alexander, lesquels ont introduit encore, à propos des formes 
ci-dessus, des systèmes d'équations linéaires '. 

" Les solutions de ces systèmes fournissent un moyen avantageux 
de représenter les contours fermés. On est ainsi conduit directement 



* G. Vkbi.en and ,T.-W. Alicxandem, Maiiit'olils of N diiiionsions. Aimais of Mathcmatics, 
"'« série, t. 14, p. IGH, 1912-13. 



CHRONlOUi: 61 

à la notion d'homologie que Poincaré a introduite et dont la place 
est prédominante dans ses travaux'. 

La première formule d'Euler acquiert de son côté une interprétation 
facile -, tandis que, d'un autre, on se trouve en possession d'un pro- 
cédé commode donnant les contours d'encadrement ^. 

Les questions d'homéomorphie, enfin, se grefïent sans grande 
difficulté sur ceci *. 

On sait, ce qu'en esprit de finesse, les plus illustres, les Riemann, 
les Jordan, les Môbius et, combien d'autres, ont dépensé d'ingéniosité 
dans l'exploration de ce domaine si riche et si attrayant de l'Analysis 
Situs, dernière citadelle, selon quelques-uns, de l'esprit de finesse. 

Leurs efïorts n'ont point été vains ; mais, dans ce champ aussi, 
grâce au génie si varié et si illimité de Poincaré, l'on verra peu à peu 
les tendances des Weierstrass et des Kronecker prédominer. Tant il 
est vrai, comme souvent on l'a dit, que, si les nombres ne gouvernent 
point le monde, ce sont eux néanmoins qui nous enseignent comment 
le monde est gouverné. 

Communications. 

1. — M. G. \'aliron (Strasbourg). — Sur les jonctions entières. — 
Soit j{z) une fonction entière d'ordre fini non entier p ; l'exposant de 
convergence de la suite des zéros est égal à p. Soit r„ le module du 
n"'""' zéro, je dirai que la fonction est de première classe si la série 



27 



converge, dans le cas contraire qu'elle est de deuxième classe. En 
m'appuyant sur une généralisation simple de l'inégalité de AL Jensen, 
j'ai établi que, la condition nécessaire et suffisante pour que la fonc- 
tion soit de première classe est que l'intégrale 



/ 






dans laquelle ^\{x) désigne le maximum de |/(c)| pour s = ;r, converge. 
Si l'on désigne par R„ le rapport rectifié du coefiTicient de rang n au 



* Gustave Dumas et Jules Ciiuard, Sur les homologies de Poincaré. Comptes rendus de 
l'Ac. des Se, t. 171, p. 1113, 1920. 

Voir aussi la thèse •< Questions d'Analysis Situs » présentée n l'Université de Lausanne 
par M. J. Chuard. 

Hendiconti del Circolo mat. di Palcrmo, t. 4C. 

' Voir à ce propos : 0. Vrblkn. An application of modular équations in Analysis Situs. 
Annals of Mathematics, 2» Série, t. 1'*, p. 86. I'.il2-13. 

' Gustave Dumas, Sur les contours d'encadrement. Comptes nndus de l'Ac. des Se, 
t. '.72, p. 1221, 1921. 

♦ (iustave Du.MAS, Sur un tableau norniat relatif aux surfaces unilatérales. Comptes rendus 
de r.\c. des Se, t. 17'i, p. 93, 1U22. 



62 CHRONIQUE 

coefficient de rang n — 1 dans le développement de Taylor de /(z), 
on déduit de la proposition précédente que la série (1) converge ou 
diverge en même temps que la série 



2r> 



(3) 



Dans le cas de l'ordre p entier, la convergence de (3) entraîne que le 
genre est p — 1. Il résulte de là que la classe se conserve par la déri- 
vation, que les fonctions /(z) — x sont toutes de même classe ; de 
même ces opérations conservent le genre dans le cas de l'ordre entier 
lorsque (3) converge. 

Comme application on voit que si l'on pose 

. /•(=! = 2 «.=" 

et si l'on suppose que la série 



converge, ou bien l'ordre de j{z) est moindre que A", ou bien l'ordre est 
k et la fonction de la première classe et si k est entier le genre est A: — 1 
au plus (Voir la communication de M. Polya à la dernière réunion de 
la Société, Neuchâtel, août 1920. UEns. Math., t. XXI, p. 217). 

2, — M. R. FuETER (Zurich). — Le critère de Kummer relatif au der- 
nier théorème de Fermât. — Afin de pouvoir appliquer les méthodes 
de la théorie moderne des nombres à l'étude de l'équation de Fermât 

a -\- h -\- c ^^ ^ [l nombre premier impair! , (1) 

il faut d'abord remplacer la forme additive de l'énoncé de Fermât par 
une forme multiplicative. Des transformations simples permettent 
de ramener l'expression (1) à 



{„ _|_ hh)''o{a -\- l,li'')''-i ... {a + l>h'' )''-^+2 — Ir6 



'2ni 



on h = e '■ , r étant une racine primitive (mod. /) et r, le plus petit 
reste positif de /•'. di est un nombre du corps k{h) et p un nombre 

y 

déterminé par o ^ r (mod /). 

*^ '^ (i -\- 1/ 

La formule (2) est valable pour c premier avec /. Elle fournit immé- 
diatement les critères de Wieferich et de Furtwaengler. On peut aussi 
en déduire facilement les conditions de Kummer et de Mirimanoff. 



CHRONIQUE 63 

3. — M. Alex. Véronnet (Strasbourg). — Variation de la masse et 
de la distance d'une planète dans un milieu résistant. — On suppose que 
l'atmosphère de la planète absorbe toutes les particules rencontrées. 
Alors sa distance au centre d'attraction varie en raison inverse du 
carré de sa masse: m^ r = const. L'équation du mouvement et l'équa- 
tion de la trajectoire se déterminent facilement quand on se donne 
la loi de variation de la densité du milieu. De deux planètes, celle dont 
la valeur de m-r est la plus faible se rapproche le plus vite du soleil. 
Le calcul montre que, quelque soit la loi de densité, les planètes n'ont 
pas pu se former à des distances très différentes des distances actuelles 
sans se rencontrer. 



4. — M. A. Speiser (Zurich). — Sur la décomposition des nombres 
premiers dans les corps algébriques. — Etant donnée une équation à 
coefficients entiers 

x" = «,,»•"-' + ■■ f «„ . 

on peut former avec les nombres a,,, a„_,, ... , a, une série récurrente 
en commençant par n nombres entiers quelconques, par exemple par 
0, ... ,0, L En réduisant les termes de cette série par un nombre pre- 
mier p qui ne divise pas a„, on reçoit une série périodique. Soit u le 
nombre de termes dans la période et soit / le plus petit nombre satis- 
faisant à l'équation p^= 1 (mod u), on démontre que / est le degré 
des idéaux premiers divisant p dans le corps algébrique formé par les 
racines de l'équation proposée. 



5. — M. Maurice Fréchet (Strasbourg). — Sur divers modes de conver- 
gence. — Les ensembles de fonctions où la limite d'une suite est défi- 
nie au moyen d'une définition particulière de la convergence donnent 
lieu à une extension plus ou moins complète des propriétés des ensem- 
bles linéaires suivant que la définition adoptée pour la convergence 
peut ou non s'énoncer au moyen d'un écart de deux fonctions. 

La convergence uniforme, la convergence en moyenne de Fischer, 
la convergence en mesure de F. Riesz convenablement généralisée, 
la convergence relativement uniforme de E. H. Moore peuvent être 
définies par l'intermédiaire de définitions, convenant à chaque cas, 
de la distance de deux fonctions. 

Dans un mémoire sous presse ', l'auteur a montré qu'au contraire 
la convergence ordinaire, la convergence quasi-uniforme d'Arzelà, 
la convergence presque partout de Lebesgue ne peuvent être définies 
par l'intermédiaire d'une définition de l'écart, quelle qu'elle soit. 



» Bulletin, of the Calcutta Mathcmatical Society, 1921. 



64 CHRONIQUE 

6. — M. L. Crelier (Berne). — Sur la puissance de la droite\ — La 
puissance d'une droite par rapport à un cercle que nous avons définie 
par l'expression 

a a'c r + d 

peut être établie également sans difficultés par la géométrie synthé- 
tique, en considérant la puissance d'une involution circulaire de points 
et en passant à celle de Finvolution circulaire des tangentes corres- 
pondantes. La puissance de l'involution est alors égale à la puis- 
sance de l'axe de l'involution par rapport au cercle considéré. 

En outre tous les théorèmes et toutes les constructions déduits de 
la puissance d'un point par rapport à un cercle correspondent à des 
théorèmes et des constructions analogues déduits de la puissance d'une 
droite. 

Enfin la notion de puissance se laisse parfaitement étendre à la 
sphère. Nous aurons la puissance d'un point et la puissance d'un plan 
par rapport à une sphère avec des propriétés analogues aux précé- 
dentes. 

Les propriétés involutives déduites de la théorie de la puissance du 
point ou de la droite se retrouvent également dans la puissance du 
point ou du plan par rapport à une sphère. 

7.-^M. L. KoLLROs (Zurich). — Invariants orthogonaux de V espace 
à n dimensions. — La généralisation, dans l'espace à n dimensions, 
des notions de distance, d'angle et de courbure conduit aux résultats 
suivants: 

i. En géométrie euclidienne, deux espaces linéaires e^ et -^ n'ayant 
aucun point commun (dans le fini et à l'infini) ont une seule perpen- 
diculaire commune; il y en a plusieurs en géométrie non euclidienne. 

2. Si •f_ et £^ (/v + / ^ n) ont un seul point commun, le nombre de 
leurs angles ;p est le plus petit des 4 nombres h\ /, n — k, n — /. Ce 
résultat, démontré par Jordan {Bull. soc. math., t. III) avait été 
trouvé (22 ans auparavant) par Schlafli dans un mémoire: Théorie 
der vieljachen Kontinuitàt qui n'a été publié qu'en 1901. Schlafli appelle 
facteur de projection d'un espace sur l'autre le produit des cosinus de 
ces angles et le travail de Jordan permet de trouver l'équation qui 
détermine ces cosinus. La forme de cette équation ne montre pas immé- 
diatement que ces angles © sont réels, quand les espaces g^. et î^ le sont. 
Or, en prenant un des espaces donnés comme espace de coordonnées, 
on trouve pour tg'o une équation séculaire; toutes les racines sont 
donc réelles et, de plus, positives, car tg'^œ s'exprime, d'ailleurs, par 



' Enseignement mathémalique, N» 1-2, XIX» année, jnnvior-iiiars 101". 
youvcUes Annales de Mathématiques, 4' série, t. XVII, ^loùt et se|)teml)re V^\'i 



CHRONIQUE 



65 



le quotient de 2 formes quadratiques définies et positives. Les côtés 
(Wj, n^) ... {m^, n^) de ces angles sont tels que chaque m, ou «i est 
perpendiculaire à tous les m^ et n, (où h ^ i). Si l'on considère les 
éléments à l'infini de nos espaces, on déduit du résultat précédent un 
théorème de géométrie non euclidienne, car Vsn—i à l'infini d'un c„ 
euclidien est un espace de Riemann. Pour n = 4, on retrouve cette 
proposition connue ' : 2 droites gauches d'un espace de Riemann à 
3 dimensions ont 2 perpendiculaires communes, toujours réelles, l'une 
AAj correspond à un minimum de la distance, l'autre BB, à un maxi- 
mum; 2 plans passant respectivement par les 2 droites ont un angle 
maximum lorsqu'ils contiennent AA,, minimum quand ils passent 
par BB,. 

3. Pour généraliser la notion de courbure totale, nous utilisons un 
théorème de Jordan (C. R.; 79) (Euler pour n = 3). Considérons dans 
Vsii = Sm+k une « ^--surface « définie par un système de A" équations 
simultanées: x,,^^; = //(a:,, ..., x„,) pour i = i ... k; elle présente en 
chaque point w directions rectangulaires telles que la somme des 
carrés des angles formés par deux « A;-plans » tangents consécutifs 
divisée par ds- soit maximum ou minimum. En désignant ce quotient 

par -^, ... , -j- pour chacune de ces m directions, nous appellerons 

courbure totale de la « /c-surface » en un de ses points P le produit: 
1 . ; ^'fi 



K. 



K. 



. Si l'on représente les dérivées secondes par /-^^ 



et la double somme 2^)a^)i P^^ ^^ symbole (a, b), on trouve, en pre- 

i.i 
nant P pour origine et son « A-plan » tangent pour espace de coor- 
données 

(1,1) '1, n 



Il (III , III) 



Pour i = 1, on a la surface: «„ = /(x, ... x^—i) ; le déterminant 
ci-dessus est alors un carré parfait et l'expression de la courbure 
totale est: 



'11 • • 


• • 'Im 




'•/«l ■ ■ • 


mm 



(rt — s^ pour n = 3). 



en posant 






z=z r^^ |/ et a z= 1 ... m) 



' Uakboux. Principes de géom. anal., \'i\', p. 310. 
L'Enseignement mathéiti., 22« année: 1921 et 1922. 



66 CHRONIQUE 

8. — Chargé par le Comité de la Société mathématique suisse 
d'introduire la question de V adhésion de la Suisse à V Union interna- 
tionale mathématique^ M. H. Fehr donne un aperçu des statuts de 
l'Union adoptés à Strasbourg le 20 septembre 1920. Cette union se 
rattache au Conseil international de recherches créé sous les aus- 
pices de la Conférence internationale des académies. L'admission d'un 
pays à l'Union est subordonnée aux conditions fixées par le Conseil 
international de recherches. La Société helvétique des sciences natu- 
relles ayant adhéré au Conseil international, en août 1920, la Société 
mathématique suisse ne saurait se tenir à l'écart de l'Union inter- 
nationale mathématique. La question sera soumise à l'assemblée 
annuelle (Schaiïhouse, août 1921) après entente avec le Comité central 
de la Société helvétique. 



Société mathématique suisse. 

Schnffhouse, '21 août 19'JJ. 

La Société mathématique suisse a tenu sa onzième réunion annuelle 
à Schaffhouse, le 27 août 1921, sous la présidence de M. le Prof. 
L. Crelier (Berne), à l'occasion de la cent-deuxième réunion annuelle 
de la Société helvétique des sciences naturelles. 

Dans sa séance administrative la Société a décidé, à l'unanimité, 
d'accord avec le Comité central de la Société helvétique, d'adhérer à 
V Union internationale mathématique. Puis, après avoir donné décharge 
au trésorier sortant de charge, elle a constitué comme suit le comité 
pour les années 1922 et 1923: M. Gustave Dumas (Lausanne), prési- 
dent; M. 0. Spiess (Bâle), vice-président; M. A. Speiser (Zurich), 
secrétaire-trésorier. 

La prochaine réunion annuelle aura lieu à Berne. 

Communications scientifiques. 

1. — M. S. Bays (Fribourg). — Sur la généralisation du problème des 
triples de Steiner. — Appelons n-uple une combinaison n à n, et pro- 
blème des n-uples, le problème suivant, généralisant le problème des 
triples de Steiner : 

Pour quel nombre N d'' éléments, peut-on trouver un système de 
n-uples, contenant une fois et une seule fois chaque (n — l)-uple 
de ces éléments ^ ? 



1 Exemple : I.u Iriplo 123 contient les trois couples 12. 13, 23. cl le système do triples 
(do Stcineri 123, 145, 107, 2'i(i, 257, 3'i7, 35C, contient une ibis et une senle lois chaque couple 
des sept éléments 1, 2, ..., 7. Voir Nktto, Cumbinatoiik, chap. Kl, p. 202. 



CHRONIQUE 67 

Je peux établir, pour ce problème général, les résultats suivants: 
La condition nécessaire pour l'existence d'un système de ^z-uples, 
est l'intégrité de tous les quotients: 

NiN — lllN — 2| ... (N — /; 4- 2i |N _ l) (X _ 2) . . (.\ — « + 2) 

ÂH ' [n — I) : 

X — 7i + 2 



I. Il y a^ quel que soit n, indéfiniment des N remplissant cette condi- 
tion nécessaire. Il suffît de prendre N = m n\ -\- n {m entier positif). 

II. Pour un n donné, les N remplissant cette condition nécessaire, 
sont tous les nombres N tels que N — n n''est pas congru à — 1, suivant 
un module premier inférieur ou égal à n. Ainsi le problème des triples 
(de Steiner) est possible pour tous les N tels que N - — 3 n'est pas 
= — 1 mod. 2 ou 3, ce qui donne les formes N = 6a; + 1 et 6a; + 3. 
Le problème des quadruples est possible pour N = 6a; + 2 et 6a; + 4. 
Le problème des quintuples est possible pour tous les N tels que N — 5 
n'est pas ^ — 1 mod. 2, 3 ou 5; etc. 

III. D\in système de n — uples avec N éléments, f obtiens uji sys- 
tème de (n — i)uples avec N — 1 éléments, par suite un système de 
(n — 2)-uples avec N — 2 éléments, etc. Si donc, pour un certain n, 
il n'existe plus de systèmes de «-uples pour aucun N, il n'en existera 
plus pour aucun n supérieur. Mais ceci est peu probable. Pour tout 
N = 6a; + i et 6a; + 3, il existe des systèmes de triples (de Steiner). 

IV. Appelons système cyclique de /i-uples, celui qui possède le 
groupe cyclique | (123 ... N) {. On a le théorème: les systèmes cycliques 
de n-uples vont par paires de systèmes conjugués; les 2 systèmes de la 
même paire sont déductibles Vun de Vautre par la substitution Jx, N — x| 
et n'ont aucun n-uple conunun. 

Je puis donner des systèmes de quadruples {n = 4) et de quin- 
tuples [n = 5) pour les premières valeurs de N permises, et j'ai le 
moyen de reconnaître les systèmes de «-uples différents, c'est-à-dire 
ne provenant pas l'un de l'autre par une permutation des éléments. 
Exemple: les éléments étant 0, 1, ..., 9, 0', les 2 systèmes cycliques 
conjugués déterminés par ': 



01235 


01269 


01278 


01347 


01368 


01579 


01239 


01247 


01256 


01348 


01357 


01469 



sont les 2 seuls systèmes cycliques de quintuples pour 11 éléments. 



* Chaque syslème est constitué des 66 quintuples découlant des 6 donnés par la per- 
mutation cyclique (012 ... 0'). 



68 CHRONIQUE 

2. — M. G. PÔLYA (Zurich). — Sur les zéros des dérivées successives. 
— 1. On désigne a comme valeur exceptionnelle de la fonction entière 
g{z), si la fonction g{z) — a n'a qu'un nombre fini de zéros. Supposons 
que g{z) ne soit pas de la forme P{z) e*^''-' + a, où P(:;) et Q(z) sont des 
polynômes et a une constante. Alors au moins une des trois fonctions 
g{z), g'(z), g" {z) ne possède aucune valeur exceptionnelle. 

2. Soit ¥{z) une fonction méromorphe. Le « champ d'activité « d'un 
pôle de ¥{z) soit défini comme l'ensemble des points plus rapprochés 
du pôle en question que des autres pôles de Y{z) ; le champ d'activité 
de chaque pôle est un polygone convexe. Les zéros des fonctions 
F(z), F'(z), F"(z), ... forment un ensemble dénombrable; l'ensemble 
dérivé de celui-ci coïncide avec la totalité des segments séparant les 
champs d'activité des différents pôles de Y{z). 

3. Soient P(3), Q(î:) des polynômes, de degré p, q respectivement, 
g ^ 2. Posons ¥{z) = V{z) e^'-'. On peut déterminer l'ensemble 
dérivé de l'ensemble dénombrable formé par les zéros des fonctions 
F(3), F'(2), F"(s), ...: il consiste en q demi-droites issues de la racine 
de l'équation linéaire Q '^"~ \z) = 0, partageant le plan en q angles 
égaux et tendant vers les directions dans lesquelles F(z) décroît le 
plus vite. 



3.— -M. Chr. MosER{Berne). — A propos d'équations se rapportant à 
une association qui se renouvelle, avec application aux caisses d'assu- 
rances sociales. — Soient H personnes qui se réunissent pour consti- 
tuer une association. A la suite de diverses circonstances (décès, etc), 
l'association, que nous supposons tout d'abord fermée, c'est-à-dire 
ne se renouvelant pas, sera devenue plus petite à l'époque t. Le nombre 
des participants sera représenté à ce moment-là par H . p(0, où p{t) 
désigne la probabilité pour un adhérent du début d'appartenir encore 
à l'association au temps t. de telle sorte que p{0) = 1 et p(co ) = 0. La 
fonction p{t) est supposée connue. 

Si l'association se renouvelle d'une manière continue, dans la même 
mesure qu'elle diminue, et par tîes éléments tels que, dans leur compo- 
sition, ils correspondent à la génération du début au moment de la 
constitution de l'association, et si, de plus, le renouvellement à 
l'époque - est désigné par H f{-f) d-, il faut que l'équation suivante 
soit satisfaite, pour toutes les valeurs de t, et indépendamment de la 
base H : 

i = p\t} + ffr.\p\t — -)(t- . iii 

L'association a pour but de supporter en commun un risque bien 



CHRONIQUE 69 

déterminé, par exemple, garantir des rentes de veuves dans le tas 
d'une caisse de secours pour veuves. 

La veuve d'un participant décédé touchera, durant la période 1, 
une rente 1, donc durant le temps rfr, une rente rfr ^ Si H &)(/) désigne 
le nombre de veuves, provenant de l'association fermée Hp(-), 
O-^-.^t, qui jouissent de leur rente à l'époque /, o. (/) indique la 
probabilité pour un adhérent du début de n'être plus en vie à l'époque 
t, mais de laisser une veuve, en jouissance de la rente à ce moment-là. 
Dès lors, le nombre de veuves H£>(/) pour l'association qui se renou- 
velle se déterminera à l'aide de la relation 



Lil^ — '..i/i -j- ff\-\'.i[t — -\d- . (Il) 



D'une manière analogue, la réserve mathématique HZ(/) afférente 
à l'association qui se renouvelle pourra être exprimée par l'équation 
suivante: 



y.{t] = z\l\ -\- j f\-\z\l — -\d- , |1II) 



en désignant par H:(0 la réserve mathématique pour l'association 
fermée. 

Le passage à l'époque du plein fonctionnement de l'assurance pré- 
sente un intérêt particulier. .Si P désigne la prime nette constante 
d'un adhérent pour la période 1, Prf-, pour la période d- et si v repré- 
sente la valeur du capital qui, avec ses intérêts, au bout du temps 1 
atteindra la valeur 1, nous aurons 



P='^ . ilV 

/ v' p[l\ dt 



et si l'on considère que. pour l'époque du plein fonctionnement de 
l'assurance, les fonctions /, il et Z doivent se rapprocher de cons- 



> D' 0. SciiE.NKEB. — II'"" Bulletin de l'Association des .\ctuaires suisses. — Berne, 
1916. 



70 



CHRONIQUE 



tantes, nous aurons 



a = lim f(t) = 



lim Q(f) =r 



lim Z ii) 



00 

fp(t)dt 

œ 

f<o{t)dt 

fp[t)dt 

(I 

or 

fz{t]dt 
(I 

fp\t)dt 



et nous pourrons établir les relations 

V 

e ' — 1 



et 



P fp(t]dt + S fz{t]dt = fo>{t)dt , 



(V) 



(VI) 



lYIIl 



où e désigne la base des logarithmes népériens, i - — — 1 , l'intérêt, 

et §, l'escompte logarithmique. 

Pour l'époque du plein fonctionnement de l'assurance, le rapport R 
entre les recettes en intérêts de la réserve, d'une part, et les recettes 
en primes, d'autre part, est donné par la relation 



00 oc 

f z[t\dt ^V. p[t)dt 



R = 



T • • 17 



iVIII) 



on cr 

Çp(t)dt l\''.'o[(\dt 



On remarquera la facilité et l'élégance avec lesquelles les grandeurs 
principales, valables pour l'époque du plein fonctionnement de l'assu- 
rance, peuvent être établies. La considération d'autres risques, par 
exemple, du risque d'invalidité, ou la combinaison de divers risques, 
conduirait à des équations tout à fait analogues. 



CHRONIQUE 71 

4. — M. Emile MAr.CHA.ND (Zurich). — Le problème fondamental de 
Vassurance. — Le problème fondamental de l'assurance peut être 
énoncé comme suit: 

« Etant donné le principe de la péréquation des ressources avec les 
engagements^ ayant établi une hypothèse quant au développement futur 
d'un groupement d'assurance, et étant connues les prestations futures 
aux adhérents, comment déterminer les primes et répartir les charges». 

Le problème formulé d'une manière aussi générale conduit à une 
infinité de solutions, qui toutes doivent satisfaire l'équation suivante ' : 

en désignant par: 

r 1 -j- i, i étant le taux annuel de l'intérêt, 

X l'âge des assurés au moment de leur adhésion, a'„ Tâge minimum, 
0) l'âge maximum, 

t l'époque de l'adhésion, comptée à partir de la constitution du 
groupement, 

n la durée d'assurance, comptée à partir de l'adhésion de l'assuré 
au groupement, N la plus grande durée qui puisse inter- 
venir, 

M*^'^^ le nombre de personnes qui adhèrent au groupement à l'époque /, 
âgées de x années^ et qui en font encore partie comme 
payeurs de primes, à l'époque t -\- n, âgées de x ^ n an- 
nées, avec une activité de n années, 

p^\^ le montant que chacun des M"*^^ assurés doit verser à l'époque 
t -f n. 

A la valeur des versements aux assurés, à effectuer dans Tinter- 
valle de temps t -\- n k t -\- n -^ i, valeur rapportée à 
l'époque t -f n, et correspondant à l'ensemble des assurés 
qui ont adhéré à l'époque t, à l'âge r, et pour lesquels, 
après n années, des droits aux prestations subsistent pour 
eux-mêmes ou pour leurs ayants droit. 

Tous les systèmes d'assurance doivent satisfaire cette équation et, 
réciproquement, de cette équation doivent dériver tous les modes de 
répartition des charges dans tout groupement d'assurance. Les diverses 
possibilités pour la répartition des charges diffèrent l'une de Vautre 
uniquement par la manière dont le groupement total est subdivisé en 

* D' Julius Kaan. Die Fiiianzsystfime in der (inenUicheii und in dei- privaten Ver- 
sicherung. — VersicherungsiKissenschaftUche MitteUungen des Ôsterreichisch-ungarischen 
Verbandes der Privât- f'ersicherungsanstaUen. Neuo Folge, 5. Bd. Wien, 1910. 



X,ll 



72 CHRONIQUE 

sous-groupemenis, tels que chacun subvienne à ses propres charges^ sans 
apport extérieur. 

En se servant d'une représentation graphique, — deux systèmes de 
coordonnées rectangulaires dans l'espace, x,n,t: le système des 
dépenses et celui des recettes — il est aisé de définir les modes les plus 
usuels de répartition des charges. Il suffit de considérer, entre ces deux 
systèmes, l'équivalence par points, par droites, par plans, dans diver- 
ses positions. 

Le rapporteur termine par quelques remarques concernant les prin- 
cipes de la capitalisation des primes et de la répartition des charges 
annuelles, et indique qu'il a préconisé ce dernier principe pour l'intro- 
duction des assurances sociales en Suisse '. 



5. — M. Jules Chuard (Lausanne). — A propos des komologiesde 
H. Poincaré. — La notion d'homologie est fondamentale en Analysis 
situs. Pour la définir, l'auteur envisage des surfaces fermées de l'espace 
usuel, qu'il suppose triangulées et orientées de manière à faire appa- 
raître un polyèdre de a^ sommets, a, arêtes et «2 faces. Il en tire 
les tableaux de Poincaré: T^ de rang p^ et T^ de rang 62- 

A la matrice T,, il associe un système d'équations linéaires et homo- 
gènes, le système A. 

Il a démontré, dans sa thèse de doctorat, que: 

1° Le système A possède un système fondamental de fx solutions 
en nombres 0, + 1 el — 1, (a = «i — /s,). 

Si donc c, c, ... Cu sont ces u solutions, toute solution entière du 
système A peut se mettre sous la forme 

f* 
i—i 

les ti étant des nombres entiers. 

20 A toute solution en nombres entiers du système A, correspond 
un contour fermé, constitué par des arêtes du polyèdre et réciproque- 
ment. 

L'expression (1) représente donc indifTéremment un contour fermé 
ou la solution correspondante. 

Soient Fa {k = 1, 2, ..., x^) les solutions correspondant aux fron- 
tières des faces. Elles sont définies par les colonnes de la matrice T.,. 

3° Si la surface est bilatère, l'on peut former un système fondamen- 
tal avec Oo solutions Tk- et ^■. — p.2 = a, —pi — p-2 = '^ solutions Ct 



1 Emile Marchand. A propos de l'introduction des assurances sociales en Suisse. 
Contribution à l'étude des diverses possibilités pour la répartition des charges. BuUetin 

de l'Associalion des Actuaires siUsses, \fi""' Bull., 1921. 



CHRONIQUE 73 

de sorte que toute solution entière peut se mettre sous la forme 



C =:' 



les i^ et les t^. étant des entiers. 

4° Si la surface est unilatère, le même système de solutions est 
complet. Il existe alors des solutions entières de la forme (2) dans 

lesquelles les t^ sont des fractions multiples de - . Cela résulte de la 

présence, dans la matrice T.^, d'un coefficient de torsion (invariant ou 
diviseur élémentaire) égal à 2. 

Mais une homologie nulle caractérise un contour fermé, qui sur 
une surface, limite une aire. Nous avons donc, avec Poincaré, les homo- 
logies fondamentales 

r\. r^ a . [k z=. \, 1, ... , a,) 

Puisqu'une aire se compose nécessairement de faces, toute homo- 
logie s'exprimera à l'aide des homologies fondamentales. 

Une homologie apparaît donc comme une solution entière du sys- 
tème A qui résulte uniquement des colonnes de la matrice To. 

Si C ^ 0, c'est que dans (1) tous les ti sont nuls. D'où 



-Si, d'autre part 



l=\ k—\ 



c = 

T^ 1 



sont tels que toutes les diiïérences t^ — 1\ soient nulles, l'on a les 
homologies 

G — C r^ soit C '■^ C . 

Plus généralement, soient tj contours C7 



74 CHRONIQUE 

l'on peut écrire l'homologie 



C^ ~ , 



7=1 
si les X égalités suivantes sont satisfaites 

(T 

7=1 

d'où une conséquence importante: Entre X + 1 contours fermés 
tracés sur une surface fermée, il existe toujours une homologie nulle. 
?. + 1 exprime l'ordre de connexion de la dite surface. 

Les homologies possèdent toutes les propriétés des solutions entières 
d'un système d'équations linéaires et homogènes. On peut addition- 
ner ou soustraire deux homologies, multiplier ou diviser (quand c'est 
possible) tous les termes d'une homologie, l'on retrouve une homo- 
logie. 

Relativement à la division, il faut remarquer qu'elle peut conduire 
à un contour C défini par (3), tel que les t^. soient des fractions. Dans ce 
cas l'homologie G f^ est dite « par division ». Dans tous les autres 
cas elle est dite « sans division ». 

L'homologie « par division » est une expression symbolique qui ne 
peut exister que dans le cas de surfaces unilatères. Elle met en évi- 
dence des contours fermés qui, parcourus une fois, ne limitent pas 
d'aire, mais qui en deviennent frontières, si on les parcourt deux ou 
un nombre pair de fois dans le même sens. 

6 et 7. — M. Rolin Wavre (Neuchâtel). — L Réponse à la question 
posée par M. Plancherel sur le problème de la médiane à une courbe 
fermée plane. — Voir VEns. math., t. XXI, p. 265-277, Sur P équation 
fonctionnelle f[iy,(t)] = f[(]5.2(t)]. 

IL Remarque sur quelques équations de Fredholm dans le domaine 
complexe. — M. Pincherle a montré le parti que l'on pouvait tirer 
de l'équation de Fredholm pour l'étude de certaines équations fonc- 
tionnelles dans le domaine complexe notamment l'équation de 
Schrôder à une variable pour le problème local. Je voudrais en par- 
tant d'un point de vue un peu dilïérent traiter l'équation de 
Schrœder à plusieurs variables étudiées par M. Leau dans sa thèse 
{Annales de Toulouse, 1897). 

Soient r,r„ ..., r,,, n courbes fermées simples analytiques situées 
dans les plans des variables complexes x^ x., ... a„ limitant un domaine 
D à 2n dimensions et n fonctions '\ip{x^ ... x„), {p = 1, 2 ... n) holo- 
morphes dans le domaine D et sur sa frontière, telles que 



CHRONIQUE 75 

x^x.^ ... Xn étant quelconque sur F,, F.,, ... , F„ respectivement, ^j, 
soit intérieur à Tp . 

Ceci étant, on peut démontrer en transformant légèrement une 
méthode employée par M. Julia, dans son mémoire sur l'itération des 
fonctions rationnelles, qu'à tout point intérieur au domaine D corres- 
pond également un point intérieur à D et que les itérés successifs 
^p{x^ , ... Xn) ... . fppi'pj {x^ ... x„), '^„ , ... , ']>„ j d'un point quelconque de 
D convergent vers le point double unique P de la substitution Xp, ép. 
Il est dès lors immédiat que sous ces conditions l'équation de Fred- 
holm 



*'''■■ -^'''^S^" f flT 



dz, ... dz. 



^,(.r-,,...,x„)]X...X[3„-|„(^,,...,x„)] 



est entièrement équivalente à l'équation de Schrœder 

o(.r^ . ... .rj = lo[6, (r. .r„| .... •}„(.*•, .... .r„)] . 

Système d'équations fonctionnelles. Je vais donner une condition 
suffisante pour que le système 

oc 

-7=1 

où les fonctions U^, (x) sont inconnues puisse se ramener à une unique 
équation de Fredliolm. Les A^^ {x) et tpg (x) étant holomorphes à 
l'intérieur d'un cercle C et sur ce cercle lui-même, il suffît que x étant 
quelconque sur C, rlj,j{x) soit intérieur à C et cela pour tous les 
g = 1,2,3 ...; et que l'on ait, les a^ formant une suite de nombres po- 

sitifs tels que ^y aq converge: 

«7=1 






<\ 



quels que soient ^ = 1,2,3... et les variables x et z sur C. Les systèmes 
de la forme (1) à un nombre fini de fonctions inconnues 



^p\-r\ 



^-'^^p,^^\^,Vi,\-^-)\ 



ont été étudiés par M. Leau dans sa thèse et dans le cas où toutes les 



76 CHRONIQUE 

fonctions ^.-ji.x) sont identiques par M. Bottcher {Annales de V Ecole 
Normale, 1909). 

8 et 9. — M. G. Ji'VET (Neuchâtel). — I. Sur la méthode de la varia- 
tion des constantes en mécanique céleste. — Soit un système canonique: 

dq. (^H dp- oH 

dt t'p- dt c^q^ ' 

OÙ H = H, + R. Supposons que ni H^, ni R ne dépendent explicite- 
ment du temps t. Si l'on sait résoudre le système canonique où H = H^, 
on sait qu'il est aisé de résoudre, grâce à la méthode de la variation 
des constantes arbitraires, le problème posé et cela, en le ramenant 
à un système canonique où H = R. La démonstration que nous 
donnons ici, et que nous croyons nouvelle, utilise systématiquement 
la notion de transformations canoniques (T.C.)- 
Soit une T.C: 

'7i = /';l»A-' a' • Pi = r"i*«A-. ?A-' ■ »2) 

transformant H^ en o{y.^ ■■■ a«); alors, on sait que: 

'"^s -> . 

7. =z const. i- =: ■— t 4- v, . (31 (ou 7- = const) 

On peut prendre a. et -> comme nouvelles variables canoniques au 
lieu de «. et /3., et chercher à mettre à leur place dans (2), des fonctions 
de t, tellement choisies que (2) donne l'intégrale générale de (1), où 
H = H, + R. On a, en effet, 

i,'j;8a; = Sy^Ôa. — o(<ç) , 

ce qui montre bien qu'on peut conjuguer à a-, la grandeur y.. D'autre 
part: 

d'où: 

i:v, oa, = ^f>,oq, + o{tz. — Si . (4i 

Or la fonction génératrice H' du système canonique, qui définit les 
fonctions «- et y., est: 

d X;, 

H' = - 1/ 4- vy, -^' (5) 

OÙ L' est définie par: 



dt 



oL' 



CHRONIQUE 77 

Mais on sait que 

dt 
(3) montre donc que: 



= 5L (,, = _ H + v„,i!i) 



L' = L + - i/c — Si (6, 

dt ' ^ 

Exprimons H' au moyen des a et des y. On a d'après (3) : 

da- da- ^ _ 

^^1 dt -"^" dt ^ dt ■ 

or 

^^i~dt - -Pf^- dt ~ dt 

car d'après les hypothèses faites S ne dépend pas explicitement de t 
et fis = (îS. On a donc: 



""^^ dt P'' dt dt ^ dt 



où la barre indique qu'il faut efïectuer le changement de variables 
indiqué. (5) devient alors, en utilisant (G): 

W ] 7? , rfS . dq, dS do 

dt ' ^ dt ' '' dt dt ' dt 



dqic 

= -L + Sp,^-,= H-.ç 

Or H = (p + R ; donc: H' = R. Le système canonique cherché est 
bien, comme les résultats classiques nous le confirment: 

^ _ ^1 dy- _ oR 

dt ri y- ' dt i>a,- 

IL Les équations aux dérivées fonctionnelles et la théorie de la rela- 
tivité. — M. VoLTERRA^ a montré que les équations lagrangiennes qui 



' liendiconti dei Lincei, 1890, VI. p. 127. 



78 CHRONIQUE 

définissent les fonctions y^ ... yk, rendant extrémale l'intégrale mul- 
tiple : 

^ =/--/f"(^-. - ^k-y. ■■■ y,' —' - ^y - ^j^., - d., 

peuvent prendre une forme canonique. On définit de nouvelles varia- 
blés pour remplacer les — = y-, par 'Jne transformation analogue 

. i>K 

à celle de Poisson-Hamilton: p'J = — , alors si l'on introduit la 

fonction 

H =. _ F + ^i/Jj.. , 
V 

le système canonique définissant les y et les p est: 

Lorsque F dépend des yjj par l'intermédiaire exclusif des déter- 
rer; . Xi ••• Ti^.; 

minants fonctionnels ^--^ r , M. Volterra a montré que le 

système canonique (C) (déforme légèrement différente de celle de C) 
peut être résolu si l'on connaît une solution de certaine équation 
aux dérivées fonctionnelles partielles dépendant d'un nombre suffisant 
de constantes arbitraires. Il généralise ainsi les méthodes de Jacobi. 
Dans le cas qui nous occupe et qui se présente en relativité (déter- 
mination des gn- par un principe de moindre action, ou équations du 
champ électromagnétique, etc.) ', je n'ai pu obtenir que l'équation 
aux dérivées fonctionnelles partielles à laquelle satisfait la fonction- 
nelle I. I est en effet une fonctionnelle qui dépend de la frontière R/;_i, 
limitant la région de l'espace à k dimensions sur laquelle on intègre, 
et qui dépend encore des valeurs des y^ sur cette frontière. 
En suivant pas à pas les idées de Jacobi '-^^ on arrive à démontrer que 
I satisfait à l'équation: 

(1) 



> Voir Wi'.Yi. : Raii/n, Xeit, Materie (Die Miesche Théorie et le chapitre IV), Berlin. 
4« éd., 1921. — Une odition française de cet ouvrage vient de paraître. 
* Vorlesitngcn Uber Dynamik, 10' leçon. 



CHRO.XIQUE 79 

On a remplacé dans H(a;y, y,, p'J), les p'J par les — ^^ — ;- qui sont 

les dérivées fonctionnelles partielles de I, par rapport à 2/i, dans la 
direction de l'axe Xj. I'^ est la dérivée normale de I. Ces grandeurs 
sont définies par les identités suivantes. Calculons (îl, en variant les 
yi sur le contour de quantités §yi sans altérer le contour R/,._ i, alors: 

R/i-1 L i ( j • ' ^ ) J 

OÙ {Xj^ n) est l'angle que fait la normale à Rft_i avec l'axe des Xj^ et 
où c?<''~" T est l'élément d'hypervolume de R/;_i. 

Si maintenant on fait varier le contour, sans toucher aux ?/,, cette 
variation étant définie par un glissement dn de chacun des points de 
la frontière R;;_i, le long de la normale qui y est relative, la dérivée I„ 
est définie par la formule qui donne la variation à'\ de la fonctionnelle I, 
dans ce cas: 

Nous avons cherché à tirer de la considération de l'équation (1) 
des conséquences utiles pour l'intégration du système (C); le problème 
est plus difficile que celui que s'est posé M.Volterra. Nous avons obtenu 
jusqu'ici quelques résultats intéressants grâce à l'emploi de deux 
méthodes dont on trouvera l'une dans les C. R. de la Société suisse de 
physique, mais nous ne sommes pas encore parvenu à généraliser 
tous les résultats de Jacobi '. 

10. -- M. C. Carathéodory (Smyrne). — • Sur des trajisjormations 
générales de Le gendre. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — M. M. Dehn, professeur à l'Ecole technique 
supérieure de Breslau, a été nommé professeur ordinaire à l'Uni- 
versité de Francfort a. M. 

M. P. GuTH.MCK a été nommé professeur ordinaire d'astronomie 
à l'Université de Berlin et directeur de TObservaloire universitaire 
à Neubabelsberg. 



» Depuis le mois de septembre, nous avons pu faire notamiiienl avancer celte question 
(janyior 1922. date de la correction des épreuves). 



80 CHRONIQUE 

M. 0. Haupt, professeur à l'Université de Rostock, a été nommé 
professeur ordinaire à l'Université de Erlangen. 

M. le Prof. M. von Laue (Berlin), a été appelé à la chaire de phy- 
sique théorique de l'Université de Hambourg. 

M. L. LicHTENSTEiN, professeur à l'Université de Munster, a été 
nommé professeur ordinaire à l'Université de Leipzig. 

M. P. RiEBESELL a été nommé professeur à l'Université de Hambourg. 

M. le Prof. A. Schoenflies, de l'Université de Francfort a. M., 
a pris sa retraite. 

La préparation des professeurs de mathématiques en Prusse. — 
Jusqu'en juin 1921 les candidats aux examens d'Etat pour le profes- 
sorat dans l'enseignement secondaire supérieur devaient avoir passé 
par les universités, les semestres suivis dans une Ecole technique 
supérieure n'étant compté que pour trois au maximum. A la suite 
d'un décret ministériel l'Ecole technique supérieure est mise sur le 
même rang que l'Université pour ce qui est de la préparation des 
candidats à l'enseignement des sciences mathématiques, physiques 
et chimiques. En outre les ressortissants d'une Ecole technique 
supérieure qui auront subi avec succès l'examen d'Etat, auront accès 
au grade de docteur-ingénieur. 

Belgique. — Cercle mathématique de Belgique. — Le 20 octobre 
1921 a été fondé à Bruxelles le Cercle mathématique de Belgique. 
Cette société, qui a son siège à Bruxelles, a pour but de contribuer 
au progrès et à la diffusion des sciences mathématiques en Belgique. 
Elle s'occupe exclusivement des questions touchant les mathématiques 
pures et appliquées au sens le plus large de ces mots. Elle s'efforcera 
d'établir un lien permanent entre l'enseignement secondaire et l'en- 
seignement supérieur. Le Cercle tient une séance ordinaire par mois, 
sauf en août et en septembre. Le premier comité, nommé pour deux 
ans, est composé comme suit: Président: M. Th. De Donder; \'ice- 
Président: M. Mineur; Secrétaire: M. Errera; Secrétaire-adjoint: 
M. \'an Muldera; Trésorier: M. Casteels; Trésorier-adjoint: 
M. Vanderlinden. 

Les Amis des nofubres. — Le 3 juin 1921, à Bruxelles, MM. A. 
Gérardin et Kraïtchik ont fondé la société « Les Amis des nombres » 
dont le but est de réunir les professionnels et les amateurs qui s'inté- 
ressent surtout aux nombres. La séance de constitution a eu lieu au 
Palais mondial, Bruxelles-Cinquantenaire, siège social. Le Bureau 
est composé de M. Otlet, président, et de MM. Kraïtchik, A. Errera, 
BoSiMAN et A. Gérardin, secrétaire. Le « Sphinx-Œdipe », dirigé 
par M. Gérardin (Nancy) insérera les communications officielles du 
Comité. 

Danemark. — M. J. Nielsen, professeur à l'Ecole technique 
supérieure de Breslau, a été nommé professeur à l'Académie d'agri- 
culture de Copenhague, en remplacement de M. le Prof. Chr. Crone. 



CHRONIQUE 81 

Etats-Unis. — Mouvement de réforme de V enseignement mathé- 
matique. — A la suite des travaux publiés par la sous-commission 
américaine de la commission internationale de l'enseignement mathé- 
matique, un important mouvement de réforme a pris naissance aux 
Etats-Unis. Un comité national (National Committee on Mathema- 
tical Requirements) a été constitué sous les auspices de l'Association 
mathématique américaine. Il est composé de MM. J.-W. Young, 
Dartmouth Collège (Hannover, N. H.), président; J.-A. Foberg 
(Chicago), vice-président; A.-R. Crathorne, University of Illinois; 
C.-N. MooRE, University of Cincinnati; E.-N. Moore, University 
of Chicago; David-Eugène Smith, Columbia University, New York; 
H.-W. Tyler, Massachusetts Institute of Technology; W.-F. Downey 
Boston, Mass.; V. Blair, New- York City; A.-C. Olney, Sacramento, 
Cahf. ; Raleïgh Schorling, New-York City; P. -H. Undervvood, 
Galveston, Tex.; Eula A. Weeks, St. Louis, Mo. 

Nous ne manquerons pas de tenir nos lecteurs au courant des 
résultats de l'enquête que vient d'entreprendre le comité américain. 

France. — M. E. Borel a reçu le grade de docteur honoris causa 
de l'Université de Dublin. 

M. CoTTON, professeur de physique théorique et de physique 
céleste, est appelé à prendre la chaire de physique générale à l'Uni- 
versité de Paris, vacante à la suite du décès de M. Lippmann. 

M. Darmois est nommé professeur d'Analyse supérieure à l'Uni- 
versité de Nancy. 

M. Deltheil est nommé professeur de mathématiques générales à 
l'Université de Toulouse. 

M. Drach, professeur de mathématiques générales, est appelé à 
la chaire d'application de l'analyse à la Géométrie de l'Université 
de Paris. 

M. GiRAUD est nommé professeur de Calcul différentiel et intégral 
à l'Université de Clermont. 

M. P. Hu.MBERT est nommé professeur de mathématiques à l'Uni- 
versité de Montpellier. 

M. Pérès est nommé professeur de mécanique rationnelle à l'Uni- 
versité d'Aix-Marseille. 

M. E. Turriere est nommé professeur de mécanique rationnelle 
à l'Université de Montpellier. 

Académie des Sciences de Paris. — M. J. Andrade, professeur à 
l'Université de Besançon a été élu correspondant de la section de 
mécanique. — M. .Marcel Brillouin, professeur au Collège de France, 
a été élu membre de la section de physique générale, en remplacement 
de Gabriel Lippmann, décédé. 

Italie. — R. Accademia dei Lincei. — M. R. Marcolongo, 
professeur à l'Université de Naples, a été élu membre national dans 
la section des mathématiques pures et appliquées. — Dans la même 

L'Enseignement malhém., 22' année; 1921 et 1922. •• 



82 CHRONIQUE 

section M. G. Armellini, professeur à l'Université de Pise, a été élu 
membre correspondant; MM. A. Einstein (Berlin) et Ch. De la 
N'allée Poussin (Louvain) ont été élus associés étrangers. 

Società dei XL. — La Société des XL a conféré le prix de mathé- 
matiques pour 1921 à M. 0. Tedone, professeur à l'Université de 
Gênes. Elle a admis au nombre de ses membres MM. E. Almansi, 
professeur à l'Université de Rome, et G. Ricci, professeur à l'Uni- 
versité de Padoue. 

Université de Rome. — A la suite d'un vœu de la Faculté des Sciences 
ont été transférés à l'Université de Rome: M. G. Bagnera, de Palerme, 
pour l'Analyse infinitésimale; M. F. Severi, de Padoue, pour l'analyse 
algébrique; M. F. Enriques, de Bologne, pour l'enseignement qu'on 
vient d'instituer, de Méthodologie mathématique. — M. Zondadari 
a été admis, en qualité de privat-docent pour la géométrie descriptive, 
à la Faculté des Sciences de Rome. 

Institut technique supérieur de Milan. — M. U. Cisotti, profes- 
seur de Physique mathématique à l'Université de Pavie, a été nommé 
professeur de mécanique rationnelle. 

Conférence de M. A. Einstein. — M. A. Einstein a tenu en octobre 
dernier quelques conférences de vulgarisation sur sa théorie de la 
relativité: trois à Bologne sur l'invitation de la société de philosophie 
scientifique présidée par M. Enriques, et une à Padoue, sur l'invitation 
de l'Académie de cette ville. Ces conférences ont attiré une foule 
extraordinaire de savants et d'amateurs donnant heu à grand reten- 
tissement même dans la presse quotidienne. 

Società Italiana di Maiematiche « Mathesis ». — La Société italienne 
de Mathématiques « Mathesis » s'est réunie à Naples, du 13 au 16 
octobre 1921, en un congrès présidé par M. le Prof. F. Enriques 
(Bologne). L'organisation locale de la réunion avait été confiée à 
un comité dirigé par M. le Prof. R. Marcolongo. Nous aurons l'occa- 
è\on de revenir sur quelques-uns des objets inscrits à l'ordre du jour 
de ce congrès qui avait attiré un grand nombre de mathématiciens 
venus de toutes les parties de l'Italie. Bornons-nous pour le moment 
de signaler les conférences de MM.: 

F. Enriques: Evoluzione del concetto délia Scienza nei pensatori 
matematici. — G. Scorza : Il principio di causabilità e le appli- 
cazioni délie matematiche alla Scienze economiche e sociali. — 
R. Marcolongo: Sul materiale diddattico d' insegnamento. — 
R. Marcolongo: Nel mondo degh atomi. — D. Mercogliano : 
L' insegnamento dinamico. — Bemporad: L' astronomia nelle scuola 
medie. — Gallucci : Critica e ipercritica. — G. Fano: Le Scuole di 
Magistère. 

Suisse. — Université de Genève. — M. le Professeur G. Cailler 
prend sa retraite pour raison de santé. — M. R. Wavre a été admis 
en qualité de privat-docent. 



C H ROM QUE 83 

Nécrologie. 

Ed. GuBLER. — Nous apprenons avec regrets la mort de M. le 
Prof. Ed. GuBLER, survenue à Zurich le 6 novembre 1921. Né le 
7 juillet 1845, E. Gubler fit toute sa carrière dans l'enseignement 
secondaire; il prit sa retraite en 1914. On lui doit des manuels très 
appréciés et de nombreux rapports sur l'organisation et la métho- 
dologie des mathématiques dans les écoles moyennes. Il fut, avec le 
regretté C. Bra.nden*^ergep, l'un des fondateurs de la Société suisse 
des professeurs de mathématiques (1901). Gubler fit partie de la 
sous-commission suisse de l'enseignement mathématique et rédigea 
le rapport sur les mathématiques dans les Ecoles supérieures de 
jeunes filles. 

En qualité de privat-docent, puis de chargé de cours à l'Université 
de Zurich, Ed. Gubler eut l'occasion de prendre une part active à 
la préparation des candidats à l'enseignement scientifique par ses 
cours sur la Trigonométrie, l'Algèbre, l'Analyse et la théorie des 
assurances. 

Ses recherches mathématiques se rattachent à l'Analyse et plus 
particulièrement à la théorie des fonctions de Bessel. Il publia 
avec le Professeur .l.-H. Graf, une introduction à la théorie des 
fonctions de Bessel de l''^ et de 2me espèces (Berne, 189«-1900), d'après 
les leçons et les manuscrits de son illustre maître le Professeur L. 
SCIILAEFLI. H. F. 

H -A. ScHWARZ. — On annonce la mort du mathématicien alle- 
mand M. Hermann-A. Schwarz, décédé à Berlin dans sa 79'' année. 
Elève de Weierstrass, Schwarz débuta dans l'enseignement supérieur 
en 1867 en qualité de professeur extraordinaire à l'Université de 
Halle. Nommé professeur à l'Ecole polytechnique fédérale, à Zurich, 
en 1869 en remplacement de Christofl'el, il y resta six ans. En 1875, 
il fut appelé à l'Université de Gœttingue, puis, en 1892, à la mort 
de Weierstrass, il rentra à Berlin pour occuper la chaire de son 
illustre maître. 

L'œuvre mathématique de Schwarz appartient aux domaines de 
l'Analyse et de la théorie des surfaces. Tous ceux qui ont suivi les 
progrès de la Géométrie infinitésimale connaissent ses importants 
mémoires sur les surfaces minima. 

Schwarz était membre de l'Académie des Sciences de Berlin, de 
la Société des Sciences de Gœttingue et correspondant de l'Académie 
des Sciences de Paris. 

Au moment de mettre sous presse nous apprenons le décès de 
M. Camille Jordan, membre de l'Institut, et de M. Charles Cailler, 
professeur honoraire de l'Université de Genève. 



NOTES KT DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Année 1921-1922. 

ITALIE^ 

Bologna ; Università. — Burgatti: Teoria matematica dei fluidi e 
cinetica dei gas, 3. — Enriques: Teoria délie funzioni ellittiche e abeliane, 
3. — Pincherle: Omografie ed equazioni lineari negli .spazi ad infinità 
numerabile di dimensioni. Equazioni integrali. Elément! délia teoria dei 
gruppi continui, 5. — N. N.: Fisica matematica, 3. 

Catania; Università. — Cipolla: Applicazioni diverse délia teoria 
dei gruppi d' ordine fmito, 4. — Lazzarino: Dinamica dei sistemi rigidi 
e semi rigidi, 4. — Picone: Calcolo délie variazioni, 5. — N. N.: Geometria 
superiore, 3. 

Genova ; Università. — Loria: Geometria nunierativa, 5. — Severi.m: 
Calcolo délie variazioni, 4. — Tedone: Fondameuti di ottica geometrica. 
Principi di cristallografia ed ottica dei cristalli, 4. 

Messina ; Università. — Calapso: Teoria générale délie superficie, 4. 
— Giambelli: Brève introduzione alla geometria algebrica. Interpre- 
tazioni geometriche dell' eliminazione algebrica, 4. — Palatini: Calcolo 
assoluto con applicazioni alla relativité, 4. 

Napoli ; Università. — Amodeo: Il secolo di Newton e Leibniz, 3. — 
Del Re: Teoria analitica délia propagazione dei calore, 3. — Marcolongo: 
Teoria délia elasticità, 3. — Montesano: Corrispondenze birazionali 
involutorie nel piano e nello spazio, 3. — Pascal: Le funzioni analitiche. 
Le funzioni abeliane, 3. 

Padova ; Università. — d'Arcais: Funzioni armoniche. Funzioni di 
variabile complessa; rappresentazioni conformi. Integrali euleriani, 4. — 
Gazzaniga: Teoria dei numeri, 3. — Ricci: Esposizione dei metodi di 
calcolo differenziale assoluto. Teoria délia elasticità, 4. — Severi: Geo- 
metria non euclidea, 4. — Soler: Teoria délia forma dei pianeti e teoria 
délie marée, 4. — Tonolo; Equazioni a derivate parziali dei primo e dei 
secondo ordine, 3. 



' Les cours iondamcntaux, tels que Analyse aljjébrique et inrinitûsiniale, Géométrie ana- 
lytique, descriptive, prqjeclive. Mécanique rationnelle, existant dans toute université, ne 
figurent pas dans la liste. 



BIBLIOGRAPHIE 85 

Palermo ; Università. — Bagnera: Funzioni di variabile complessa. 
Funzioni di due variabili. Funzioni algebriche e loro integrali, 3. — De 
Franchis: Funzioni algebriche ed integrali abeliani, 3. — Gebbia: Elettro- 
magnetismo, elettroinduzione, elettrodinamica, 4 ^2. — Signorim: Teoria 
délia relatività, 3. — Strazzeri: Geometria difïerenziale, 3. 

Pavia; Università. — Berzolari: La geometria sopra una curva alge- 
brica svolta con metodo algebrico e con metodo iperspaziale, 3. — Bru- 
soTTi: Curve piane algebriche reali, 2. — Cisotti: Teoria dell' elettricità, 3. 

— Gerbaldi: Funzioni di variabile complessa. Funzioni ellittiche, 3. — 
S1BIRAN1: Problema ristretto dei tre corpi, 3. — Vivanti: Calcolo délie 
variazioni, 3. 

Pisa ; Università. — Armellim: Teoria délia Luna, 4. — Bertim: 
Iperspazi e geometria sopra una curva algebrica, 4. — Bianchi: Equazioni 
difîerenziali ordinarie e aile derivate parziali. Geometria infmitesimale, 3. 

— Maggi: Ottica fisica, 3. 

Roma; Università. — Bisconcini: Applicazioni geometriche del cal- 
colo, 3. — B0MPIAN1: Teoria geometrica dei numeri, 3. — Cantelli: 
Statistica matematica, 3. — Matematica attuariale, 3. — Castelnuovo: 
Funzioni ellittiche e funzioni abeliane, 3. — Crideli: Introduzione agli 
studi superiori di elettricità, 3. — Levi-Civita: Questioni e valutazioni 
asintotiche, 3. — Perna: Teorie complementari di analisi matematica. 3. 

— Volterra: Equazioni integrali, integro-difïerenziali, a derivate fun- 
zionali e applicazioni alla fisica matematica, 3. — Masse fluide vuotanti, 3. 

Torino; Università. — Boggio: Teoria délie figure d' equilibrio délie 
masse fluide rotanti, 3. — Flbini: Le equazioni aile derivate parziali, 3. — 
Segre: Capitoli scelti di geometria algebrica, 3. — Somigliana: Capil- 
larità e fenomeni collegati, 3. — Togliatti: Geometria iperspaziale, 2. 



B I B L 1 G 1^ A P H I E 



P. Appell. — Eléments de la Théorie des vecteurs et de la Géométrie ana- 
lytique. — L^n vol. petit in-S» relié de 148 p. et 57 figures; 4 francs; 
Payot et C^e, Paris, 1921. 

C'est toujours une chose intéressante que de voir comment un ouvrage 
d'enseignement très élémentaire est écrit par un grand savant. 

Ce fut évidemment pour M. Appell un simple jeu que d'amalgamer, avec 
le maximum d'harmonie, les premiers principes de géométrie vectorielle 
et de géométrie analytique. Et il paraît étonnant que cette chose si simple 
n'ait pas été faite depuis longtemps, du moins de manière aussi explicite. 

Tout bachelier devrait prendre l'opuscule en question pour s'élever 
au-dessus du programme acquis et quelle que soit l'orientation projetée 
pour de nouvelles études mathématiques. 



86 m B L I O G R A P II I E 

On arrive, de la manière la plus simple, aux conceptions vectorielles 
fondamentales, telles celles des produits intérieur et extérieur, la géométrie 
analytique leur donnant immédiatement leur sens tangible.- 

La normale à une surface apparaît avant le plan tangent ce qui donne sa 
véritable signification à la notion de différentielle totale. 

On pressent que les propriétés des coniques centrées peuvent se dérouler 
derrière la proportionnalité qui existe, en ces courbes, entre l'abscisse et 
la sous-normale.... Ne multiplions point les citations. Ajoutons plutôt que 
ce petit livre inaugure une <; Collection Pavot » à laquelle on peut prédire 
un retentissant succès si les opuscules à venir sont tous susceptibles de rendre 
les mêmes services que le premier publié grAce à M. Appell. 

A. BuHL (Toulouse). 

Pierre Boutroux. — L'idéal scientifique des mathématiciens. — 1 vol. 

in 16 de 276 pages; 8 fr. ; F. Alcan, Paris, 1920. 

M. Pierre Boutroux en deux volumes sur « Les Principes de l'analyse 
mathématique», volumes analysés ici (1914, p. 151; 1919, p. 391), avait 
déjà fait œuvre de mathématicien, de philosophe et d'historien. Le présent 
ouvrage, publié dans la Nouvelle Collection scientifique de M. E. Borel, 
paraît revenir, surtout au point de vue philosophique, sur la constitution 
de la pensée mathématique prise dans sa forme vivante, pratique et féconde 
et non dans un des aspects chers à telle ou telle école logique. 

Nous ne pouvons dire que très brièvement que l'historien a fait un inté- 
ressant tableau de la conception hellénique et des conceptions synthétiques 
qui ont suivi; le mathématicien et le philosophe apparaissent avec l'histoire 
de l'analyse moderne, avec l'étude de l'objectivité des faits mathématiques 
et surtout avec les si troublantes questions actuelles et relatives aux corré- 
lations physico-mathématiques. 

De remarquables passages sont empruntés au si regretté Duhem et 
commentés dans un esprit de sympathie qui les met admirablement en 
lumière. Les constructions mathématiques ont une valeur propre; elles 
n'ont point besoin des vérifications continuelles des physiciens anglais. Et, 
en effet, un enchaînement correct de pensées est conditionné par tout l'uni- 
vers sensible; il doit naturellement donner quelque chose de correct égale- 
ment interprétable dans cet univers. De là la valeur constructive des 
mathématiques à laquelle on peut se fier sans recourir continuellement aux 
vérifications. 

Il est particulièrement indiqué ici d'insister sur les dernières pages rela- 
tives aux méthodes d'enseignement. Là encore M. Pierre Boutroux est 
éclectique et conseille l'éclectisme. Les méthodes de découverte et les 
méthodes pédagogiques sont loin d'être les mêmes mais le pédagogue le 
plus inflexible est généralement celui qui n'a rien découvert. L'originalité 
créatrice ira rarement sans originalité d'exposition et, finalement, c'est 
surtout celle-ci qui est désirable comme pouvant donner l'idée la plus exacte 
de la souplesse et de la richesse de la science. A. Bihl (Toulouse). 

A. S. Eddington. — Espace, temps et gravitation. La tliéorie de la 
relativité généralisée dans ses grandes lignes. Exposé rationnel suivi 
d'une étude mathématique de la théorie. Ouvrage traduit de l'anglais 
par J. Rossignol, avec une Introduction de P. Langevin. — 1 vol. in-8o, 
430 p.; 28 fr. ; Librairie Scientificpie J. Ilormann, Paris, 1921. 



B I H LlOGIiAP m !■: 87 

Aucun lecteur de V Enseignement mathémalique ne sera resté étranger au 
mouv'ement scientifique issu des idées d'Einstein. Les ouvrages en français 
sont rares sur ce sujet. Celui de M. Eddington vient combler une lacune 
et ne saurait être assez recommandé aux physiciens, mathématiciens 
ou philosophes qui «désirent s'initier aux théories nouvelles et se faire 
une juste idée de leur signification et des conséquences qu'elles com- 
portent. 

Ce livre débute par un exposé (262 pages) n'exigeant aucune connais- 
sance technique. Cette première partie est suivie d'un complément mathé- 
matique (119 pages) écrit spécialement pour l'édition française. Dans la 
partie mathématique qui nous intéresse particulièrement les principes du 
calcul tensoriel sont exposés d'une manière aussi claire que brève et le 
mathématicien auquel le nouveau symbolisme ne serait pas connu y trou- 
vera le moyen de se le rendre familier. La mécanique de la relativité, 
l'électro-magnétisme et la géométrie de M. Weyl de date très récente y sont 
exposés d'une manière très claire et ce qu'elles contiennent d'essentiel ne 
peut échapper au lecteur. M. Eddington ne pouvait en un nombre si res- 
treint de pages aborder les détails des déductions et son ouvrage ne peut 
nous dispenser de la lecture des mémoires originaux sur ces questions nou- 
velles; mais il atteint son but en mettant vivement en lumière les caractères 
essentiels des problèmes nouveaux. Cet exposé mathématique à lui seul est 
des plus suggestifs. 

M. Eddington dans l'ensemble de son livre expose les résultats fondamen- 
taux de la théorie de la relativité qui semblent désormais acquis à la science. 
Il ne s'arrête pas là. Plusieurs chapitres sont consacrés aux questions qui 
restent encore ouvertes: l'univers considéré comme un tout, et la géométrie 
de M. Weyl qui est une extension de la géométrie de Riemann et qui permet 
de rendre compte géométriquement des phénomènes électromagnétiques 
de la même manière que la géométrie riemannienne rend compte des phéno- 
mènes gravitiques. On sait d'ailleurs que dans cette voie où l'on cherche à 
créer une géométrie naturelle assez vaste et assez souple de manière à y 
faire entrer la physique tout entière: M. Eddington lui-même est allé plus 
loin encore que M. Wej'l qui s'imposait quelques conditions supplémentaires 
suggérées par l'expérience. 

Il y est fait allusion dans l'exposé mathématique. Dans les derniers cha- 
pitres, à propos de l'électromagnétisme l'auteur montre pourquoi les elïorts 
des physiciens doivent être dirigés aujourd'hui vers la théorie des quanta 
et pourquoi la théorie actuelle d'Einstein et Weyl est incapable de percer 
le mystère de la structure de l'électron tant que la fusion des deux théories 
n'aura pas été faite. Ce livre donne un aperçu général de la position actuelle 
du problème de la matière. 

Il faut mentionner à part le prologue >< Qu'est-ce que la géométrie ? » 
écrit sous forme de dialogue entre un mathématicien, un physicien et un 
relativiste qui résume élégamment les controverses agitées ces dernières 
années sur le rapport de la géométrie et de l'expérience; et le chapitre 
intitulé ". La lumière pesante » relatant les expéditions à l'isle du Prince et 
au Brésil dont l'une fut dirigée par M. Eddington lors de l'éclipsé de mai 
1919. Ce livre peut donc intéresser ceux qui ne possédant pas l'instrument 
mathématique désirent se faire une idée claire des notions fondamentales 
de la théorie: temps local, contraction de Lorentz, multiplicité rieman- 
nienne, géométrie non euclidienne, courbure de l'espace... et ceux auxquels 



88 B I B f.lOG H AP ni E 

la théorie est déjà familière par les problèmes qu'il pose et les horizons qu'il 
ouvre. 

Première partie. — Prologue. Qu'est-ce que la géométrie ? — Chap. I. 
La contraction de Fitzgerald Lorentz. — II. La relativité. — III. L'univers 
à quatre dimensions. — IV. Les champs de force. — V. Les différents 
genres d'espaces. — VI. La nouvelle loi de gravitation et l'ancienne. — 
VII. La lumière pesante. — VIII. Autres preuves de la théorie. — IX. 
Quantité de mouvement et énergie. — X. Vers l'infini. — XI. Electricité 
et gravitation. — XII. Sur la nature des choses. — Appendice. Notes 
mathématiques. Note historique. 

Deu.rip.me partie. — Partie théorique. — I. Principes élémentaires. — 
II. Le calcul tensoriel. — - III. La loi de gravitation. — IV. La mécanique 
de la relativité. — V. Electricité. R. Wavre (Genève). 

G. -H. Halphen. — Œuvres publiées par les soins de G. Jordan, H. Poincaré, 
E. Picard, avec la collaboration de E. Vessiot. Tome III. — 1 vol. gr. in-S" 
de XII-520 p.; 90 francs; Gauthier- Villars, Paris, 1921. 

Nous avons déjà publié (1916, p. 365; 1919, p. 393) les analyses des deux 
premiers volumes de ces magnifiques Œuvres. Pour le tome troisième un 
aperçu condensé est particulièrement facile, car ce tome ne contient que 
quatre mémoires dont deux sont si célèbres que les titres seuls suffiraient 
à attirer les mathématiciens désireux de se replonger dans ces belles pro- 
ductions. Précédés par une Notice due à M. Camille Jordan, les écrits en 
question sont: 

I. Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux 
formes intégrables (pp. 1-260). 

II. Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques (pp. 261- 
455). 

III. Sur quelques équations différentielles linéaires du quatrième ordre 
(pp. 457-462). 

IV. Sur les invariants des équations différentielles linéaires du quatrième 
ordre (pp. 463-514). 

Faut-il rappeler que le premier mémoire fut présenté au concours du 
Grand Prix des Sciences mathématiques en même temps que celui où Henri 
Poincaré, inspiré du même sujet, construisait les fonctions fuchsiennes. 
Quel admirable assaut d'intelligence ! Et comme les traits du génie se 
reconnaissent bien dans le choix heureux d'une idée fondamentale. L^n des 
mo^'Cns les plus utiles, écrit Halphen (p. 3), pour étendre le champ de nos 
connaissances en calcul intégral consiste dans les changements de variables. 
La chose était vraie; elle le sera sans doute toujours. Elle sort des champs 
où Halphen opérait et aujourd'hui se révèle tout aussi féconde en Physique 
mathématique là où, par exemple, les formules fondamentales de l'électro- 
magnétisme se rattachent aux principes les plus simples de l'analyse. 

Pour Halphen, il s'agit surtout de substitutions x = v(X), y — ^ H>{^) 
telles que l'équation différentielle transformée soit à coefficients constants, 
où à intégrale rationnelle, où à coefficients doublement périodiques et à 
intégrale uniforme. Une équation linéaire d'ordre quelconque ne peut 
évidemment être ramenée à une forme donnée par une substitution aussi 
simple que celle qui vient d'être indiquée mais c'est alors qu'intervient 
la notion des inçarianis, l'étude de ceux-ci indiquant s'il est possible ou 



/>' l H L I OG 1{ A P H I E 89 

non de transformer l'équation en un type maniable soit algébriquement 
soit par le moyen des transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. 
Pour ne citer que les noms français, rappelons que la question a été égale- 
ment travaillée par Laguerre, par MM. P. Appell, E. Picard, Ed. Goursat. 
Elle est trop fameuse pour que nous ayons à insister. 

La classification des courbes gauches algébriques est encore une question 
que personne n'avait jamais traitée avec la magistrale puissance qu'y 
révéla Halphen. Elle est inépuisable et alimente des travaux récents; 
là encore, la première chose à conseiller aux jeunes chercheurs est de 
revenir à Halphen même. On sait combien le sujet est fuyant. Déjà pour les 
courbes du quatrième degré, cette notion de degré ne suffit plus; les quar- 
tiques gauches se scindent en deux types essentiellement distincts d'après 
le nombre des points doubles apparents. Au neuvième degré les deux 
notions deviennent insufTisantes à leur tour et il faut faire intervenir des 
propriétés de cordes et ainsi de suite. Les entiers que l'on introduit, concur- 
remment avec le degré, sont liés par de curieuses relations arithmétiques 
dont il serait imprudent de juger du sens sur des cas trop réduits; leur 
illustre auteur crut nécessaire de s'expliquer en traitant de la classification 
des courbes de degré 120. 

Rappelons encore que la méthode algébrique fondamentale consiste à 
faire usage de la représentation 

s|< , _r) = . -•/.(•«•. v) = '}(-i'. v) . 

Ainsi toute courbe gauche est l'intersection d'un cylindre et d'une 
moiioide de Cayley. La science actuelle n'a pas trouvé mieux et l'on peut 
remarquer que ces dernières équations ne manquent point d'analogie 
formelle avec celles de la substitution qui, dans le mémoire précédent, 
transformait les équations différentielles linéaires. C'est toujours le génie 
qui, malgré la diversité de ses aboutissements, révèle sa présence sous des 
aspects simples et immuables; nous sommes même tenté de dire sous des 
aspects «invariants». A. Buhl (Toulouse). 

Harold Hilton. — Plane algebraic Curves. — 1 vol. de XVl-388 p. avec 
nombreuses figures. Oxford, at the Clarendon Press, 1920. 

Ceci est un volume extrêmement remarquable, que l'auteur s'est proposé 
d'écrire pour compléter l'œuvre analogue de Salmon. On connaît assez 
l'excellence de cette dernière, mais les progrès de la Science commencent 
à la faire vieillir. 

M. Harold Hilton est d'ailleurs fort consciencieux; sa préface nous 
confie quelques craintes, par exemple celle de s'attirer le reproche de ne 
traiter, dans un si vaste sujet, que les points l'intéressant personnellement. 
Qu'il se rassure ! Les lecteurs discerneront rapidement les remarquables 
innovations dues à ses travaux personnels et le tact avec lequel il a dirigé 
ses emprunts aux productions d'autrui. 

Je n'essaierai pas d'une analyse détaillée se poursuivant de manière 
logique; elle risquerait d'être presque aussi longue que le livre. Mais que 
de glanes merveilleuses il y a à faire. 

A la page 10 et dans la moitié de cette page, il nous est démontré que 
deux courbes d'ordres N et n se coupent en N» points ! Il sufilt de consi- 
dérer le faisceau défini par l'origine et les points d'intersection. 11 déiH-iid 



90 B l B LJOC HA P II 1 E 

d'un éliminant, en forme de détermmant, dont le degré est immédiatement 
visible ! 

Si l'on compare avec les interminables mémoires écrits jadis sur cette 
question on conviendra que le présent livre débute par de bonnes impres- 
sions. La construction des courbes est enrichie de nombreux exemples; 
les foyers et les points singuliers sont classés d'une manière systématique. 
Sous le nom de branches siiperlinéaires, nous étudions celles qu'on peut 
atteindre, en partant d'un point de la courbe pris pour origine, au moyen 
d'un développement de y suivant les puissances fractionnaires de .t. Faut- 
il rappeler l'usage de tels développements quant à la distinction des bran- 
ches d'une fonction algébrique. 

Les polaires d'ordre quelconque sont immédiatement définies et conduisent 
aux courbes associées (hessienne, steinérienne, cayleyenne, jacobienne, 
etc.); toutes aident à la recherche des singularités de la courbe primi- 
tive ou sont des lieux de singularités de ses polaires: elles trahissent, des 
unes aux autres, des singularités qu'il serait fort difficile d'apercevoir sur 
une courbe isolée! Aux nombres de Plùcker est joint le genre (deficiency) 
si bien qu'après les unicurales nous étudions tout naturellement les courbes 
de genres 1 et 2 avec les fonctions elliptiques associées au genre 1. 

M. P. Appell a écrit quelque part qu'il ne fallait pas creuser à l'envie la 
géométrie des courbes algébriques sans montrer les relations de la chose 
avec la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes. M. H. Hilton semble 
s'être très heureusement inspiré de la même idée. 

Sous le nom de courbes dérivées, voici les développées, les courbes inverses, 
les podaires, les orthoptiques, les cissoïdes, conchoïdes, parallèles et autres 
types. L'intérêt ici consiste surtout en la dérivation des singularités qui se 
produit quand on passe de la courbe primitive à la courbe dérivée. 

A propos de l'intersection de deux courbes, je signale la théorie des 
points résiduels, peu connue en France. Il s'agit d'égaler un polynôme / à 
K(p + B(/j mais ceci peut se faire sous une forme particulièrement symé- 
trique en adjoignant un sixième polynôme d'où six courbes dont les inter- 
sections se peuvent figurer conventionnellement, sur les faces et les arêtes 
d'un cube, par groupe corésiduels entre lesquels existent des lois de symétrie 
que la construction spatiale indiquée rend intuitives. 

Les généralités jusqu'ici exposées occupent exactement 200 pages. Voici 
maintenant des études extrêmement intéressantes des cubiques. Leur 
représentation paramétrique est étudiée aussi bien avec les fonctions ellipti- 
ques de Jacobi qu'avec celles de Weierstrass. L'auteur évite de tracer des 
courbes canoniques particulièrement symétriques; que de tracés simples et 
bizarres nous sont ainsi révélés notamment avec les quartiques unicursales 
à trois nœuds réels. D'ailleurs la classification des quartiques est tout 
simplement merveilleuse: toutes les singularités y défilent. Quant aux 
quartiques absolument générales, ce sont leurs 28 tangentes doubles qui 
servent de point de départ. Elles donnent des groupes syzy^étiques ou 
asyzygétiques suivant que les points de contact sont ou non sur des coniques. 
Nous retrouvons ici des questions qui étaient chères au regretté Humbert 
et, d'autre part, les complexes de Steiner formés de tangentes syzygétiques. 
On sait aussi que l'algèbre des 28 droites précédentes est analogue à 
celle des 27 qu'on peut placer sur une surface cubique. Le rapprochement 
est élégamment étudié. 

Les deux derniers chapitres se rapportent aux singularités réelles, avec 



HIHLIO Cr R AP II lE y 1 

d'élégants théorèmes de Klein et Hilbert, ainsi qu'à de nouvelles corres- 
pondances interprétables sur surfaces algébriques. Hors du texte courant 
se trouvent partout d'innombrables problèmes souvent pourvus de brèves 
explications. L'ouvrage est d'une haute valeur éducative et esthétique. 

A. BiHL (Toulouse). 

H. A. LoRENTz; A. Eixstein: H. Mixkowski. — Das Relativitatsprinzip. 
Eine Sammlung von Abhandlungen. Mit Anmerkungen von A.Sommer- 
FELD undVorwort von O. Emmenthal. Dritte, verbesserte Auflage. — 

I vol. in-80, 146 p.; B. G. Teubner, Leipzig. 

II nous suffira de signaler brièvement cette nouvelle édition du petit 
volume renfermant les Mémoires fondamentaux de MM. Lorentz, Einstein 
et Minkowski sur la théorie de la relativité. Tous ceux qui désirent appro- 
fondir cette théoiie tiendront à avoir constamment sous la main les tra- 
vaux originaux qui ont seivi de point de départ aux nombreuses recher- 
ches d'ordre mathématique ou physique. 

Le célèbre Mémoire de Minkowski ,.Raum und Zeit " est suivi d'une 
intéressante note de M. Sommerfeld contenant une série d'annotations et 
d'utiles remarques sur ce mémoire. 

La 3e édition a été augmentée des mémoires récents de M. Einstein 
sur la théorie générale de la relativité. H. F. 

Michel PÉTRoviTCH. — Mécanismes communs aux phénomènes dispa- 
rates. — 1 vol. in-16 de 280 pages; 8 fr.; F. Alcan, Paris, 1921. 

Le sujet n'est pas nouveau pour qui connaît les préoccupations de 
M. Michel Pétrovitch, de l'L'niversité de Belgrade. L'éminent professeur 
nous avait déjà donné une " Mécanique des phénomènes fondée sur les 
analogies " publiée, en 1906, avec tout l'appareil mathématique nécessaire, 
dans la Collection Scientia. M. R. Marcolongo a anah'sé ce petit livre ici- 
même (t. IX. 1907, p. 78). 

Aujourd'hui les mêmes et ingénieuses idées reviennent au jour, en lan- 
gage ordinaire, dans la Nouvelle Collection scientifique dirigée par M.-E. Borel. 

Et le langage ordinaire, dans un tel sujet, n'est pas moins expressif que 
le langage mathématique, puisqu'on parle couramment d'un « accord » 
sentimental, d'une « inharmonie » entre caractères et que le gros bon sens 
populaire a même toute une provision de mots variés pour assimiler à des 
milieux visqueux l'ensemble des difficultés qui éteignent tant d'énergies. 

Des phénomènes mécaniques à schèmes analogues, l'auteur passe, en 
effet, non seulement aux phénomènes physico-chimiques, mais aux phéno- 
mènes biologiques, normaux ou pathologiques, et, de môme, aux phé- 
nomènes sociaux, économiques et moraux. 

Il y a longtemps, à coup sûr, que savants et philosophes ont été hantés, 
par l'idée de telles généralisations. La première difficulté est d'avoir, à 
l'appui de celles-ci, un nombre suffisant de faits; or le livre de M. Pétrovitch 
est extrêmement riche à cet égard et témoigne d'un esprit d'oltservation 
auquel on ne peut adresser le fréquent reproche d'être localisé sur un trop 
petit nombre de points. S'il ne donne une science nouvelle, il montrera tout 
au moins que la science ordinaire est d'une plasticité bien plus grande qu'on 
ne le croit communément. A. Bihl (Tnulouso). 



92 li l li L l O G R A P H l E 

L. Roy. — Cours de Mécanique appliquée, à l'usage des élèves des 
Instituts techniques et des candidats au Certificat de Mécanique appli- 
quée. — 1 vol. gr. in-80 de VIll-216 p. et 86 fig. ; 30 Ir. ; Gauthier- Villars 
et C'«, Paris, 1921. 

Ceci est le tome second d'un nouveau cours de Mécanique appliquée qui, 
avec le concours de MM. Camichel et Lamotte, sera publié en quatre volumes. 
Il n'y a évidemment aucun inconvénient à commencer par la volume actuel 
qui l'orme un tout absolument complet. Il se divise en deux parties: Statique 
graphique et Résistance des matériaux. 

On sait que la statique ordinaire, avec sa géométrie spatiale, n'est guère 
adaptable aux besoins de l'ingénieur; ce dernier a particulièrement besoin 
du trait et des épures intuitives et c'est ce que fournit immédiatement 
M. L. Roy en partant des conceptions fondamentales du dynamique et du 
funiculaire d'un système statique. Le solide reposant sur deux appuis, 
l'appui à rotule, l'appui à rouleaux, le solide à trois articulations et le solide 
encastré illustrent immédiatement les constructions fondamentales. Dans 
le cas de forces continues, les contours polygonaux du dynamique et du 
funiculaire se changent en des courbes; au cas usuel des forces parallèles 
correspond notamment une courbe funiculaire et une équation difTéren- 
tielle à intégration graphique immédiate. 

Ces préliminaires permettraient de passer rapidement sur les systèmes 
articulés si l'auteur, à propos des fermes, ne nous en présentait une, dite 
en éventail, uniquement triangulée par des tirante, qui relève de ses concep- 
tions personnelles et qui apporte une note bien originale parmi les systèmes 
que la pratique semblait avoir fixés. Une ligne polygonale d'arbalétriers 
supérieurs admet évidemment des compressions; une ligne de clôture infé- 
rieure n'admet que des tensions, qui seront les plus considérables de toutes, 
et, entre ces deux lignes, il n'y a que des tirants à tension si faible qu'on 
pourra les réaliser par des fils métalliques échappant à la vue. Curieuse, 
économique et invisible architecture ! 

La première partie de l'ouvrage se termine par les quadratures graphiques 
et mécaniques; nous y trouvons naturellement les quadratures approchées 
ainsi que les déterminations graphiques de centres de gravité et de moments 
d'inertie, toutes choses indispensables pour aborder élégamment la Résis- 
tance des matériaux. 

Cette dernière science est intermédiaire entre la théorie générale de l'élas- 
ticité trop compliquée et la statique rationnelle absolument insuffisante. 
La voie la plus commode semble celle qui consiste à établir des équations 
générales d'équilibre aussi élémentaires que celles de la statique pure et à 
montrer, sur de très nombreux exemples, comment on doit les compléter 
et les interpréter dans le cas des solides naturels. L'idée n'est pas neuve 
mais M. L. Roy en a tiré un parti particulièrement brillant en prenant des 
exemples très variés, simples et fort bien uniformisés malgré la première 
apparence disparate de beaucoup de questions. 

Les tractions sur les fils nous conduisent aux cables des puits de mine, à 
la chaînette des lignes télégraphiques, aux fibres artificielles telles que celles 
du béton armé. Les rivures illustrent la résistance au glissement. Les flexions 
des poutres et des ressorts vont jusqu'à la théorie du ressort en spirale. Les 
torsions aboutissent aux ressorts à tige et en hélice. Les déformations 
composées se rapportent aux maçonneries et aux poutres assemblées. Avec 
l'étude des lignes élastiques on perçoit particulièrement bien le caractère 
ingénieusement utilitaire des théories en litige. Les lignes élastiques dépen- 



H r H 1. I O C RAPIIIE 93 

dent des fonctions elliptiques, mais ce que la pratique en utilise se peut traiter 
en leur attribuant une allure parabolique; aussi n'avons nous ici qu'une 
analyse polynomiale très simple qui se continue d'ailleurs avec les poutres 
à travées solidaires. 

Euler ne dédaigna point de donner, pour les poutres chargées debout., 
une formule encore attachée à une équation difïérentielle réduite à une 
forme élémentaire. 

Les arcs sont rattachés à l'idée de retournement de la parabole des ponts 
suspendus et les principes des constructions statiques se retrouvent dans 
les machines quand il s'agit de juger de la résistance à l'éclatement des 
chaudières ou des volants. 

Les chapitres sont nombreux et courts, les exemples numériques très 
abondants; M. L. Roy, en ce volume si aisé et si documenté a remarqua- 
blement ouvert la voie à ses collaborateurs. A. Buhl (Toulouse). 

Emile Tirrière. — Sur le calcul des objectifs astronomiques de Frauen- 
hofer. Travaux du Bureau d'études d'optique du Service géographique 
de l'Armée, fascicule No 1, décembre 1917. — 1 fasc. in-8o, de 123 p. 
avec 3 figures de texte et trois planches hors texte; Paris, Imprimerie 
du Service géographique de l'Armée. 

Id. — Le problème des objectifs de longues-vues dans la dloptrique contem- 
poraine. Exposition des recherches de M. H. Harting. Travaux du 
Bureau d'études d'optique du Service géographique de l'Armée. — 
1 fasc. in-8° de 149 p., avec 10 fig. et deux planches hors texte; Paris, 
Imprimerie du Seivice géographique de l'Armée. 

Id. — Optique industrielle. Tome premier: Verres et verreries d'optique, 
objectifs photographiques (Petzval Steinheil, Goerz, Taylor, Zeiss) 
Téléobjectifs. Appendice: Calcul des objectifs astronomiques de Fraun- 
hofer (Deuxième édition du fascicule N" 1 des travaux du bureau 
d'études d'optique du Service géographique de l'Armée). — 1 vol. in-8°, 
de VI, 265 + 115 = 380 p. avec un portrait hors texte, trois planches hors 
texte et 83 figures; 22 francs; Ddagrave, Paris, 1921. 

1. — Le premier fascicule concerne les calculs d'établissement d'avant- 
projets d'objectifs de lunettes astronomiques à deux lentilles simples et 
accolées. L'auteur a ramené les équations du problème à une forme parti- 
culièrement élégante. Il a pu former effectivement l'équation du cinquième 
degré de Mossotti qui détermine le choix des verres pour une correction 
simultanée des deux aberrations de sphéricité dans l'axe et hors de l'axe; 
ce qui lui a permis de présenter diverses remarques sur les travaux effectués 
en Allemagne, par M. E. vox Hoegh et par M. H. Harting. Il a repris 
d'autre part l'étude des conditions d'IlERscHEL, d'AiRV et de Prazmowsky 

De nombreuses indications liistori(|ues sur ces types d'objectifs sont don- 
nées dans ce travail. 

2. — Les travaux de dwptnquc de M. IL Harting sont bien connus en 
Allemagne. 11 a paru utile d'en présenter un exposé et d'en reproduire tous 
les résultats pratiques susceptibles d'intéresser les construclenrs d'instru- 
ments d'optique. 

Le plan de cet opuscule est le suivant: 

Introduction aux recherches de M. H. Harting. Les tables de Harting. 
Le mémoire de M. H. Harting sur la théorie de l'objectif astronomique à 
deux lentilles accolées. Les objectifs de Fraunhofer d'après M. H. Harting. 



94 h I h Ll OGliAPII lE 

Calcul d'un aplanat. L'astigmatisme et la courbure d'image dans les objec- 
tifs astronomiques. Les objectifs de microscopes de M. H. Harting. L'objec- 
tif de longue-vue à prisme. Les objectifs à trois lentilles accolées de M. H. 
Harting. Les objectifs à trois lentilles accolées, l'équation générale de 
Mossotti. Verres de Guinand et verres d'Iéna. 

L'opuscule se termine par la traduction de deux notes de M. W. Zschokke 
et M. VON RoHR sur le verre d'optique. 

3. — Le premier tome du Traité cPoptique industrielle de M. Turrière 
est essentiellement un ouvrage de documentation, établi en vue de recher- 
ches sur la construction des instruments d'optique. Plus de cent pages 
concernent tout d'abord les verres d'optique; avant toute étude d'optique, 
il est, en effet, indispensable de connaître les matières dont on dispose. 

Un premier chapitre contient des généralités sur les verres d'optique, les 
lois de dispersion des verres et quelques indications bibliographiques sur 
l'influence de la température et de la pression. 

Le chapitre II est consacré à l'étude des essais des verriers antérieure- 
ment à Fraunhofer et aux verres de Fraunhofer. 

Le chapitre III contient l'historique des verres de Guinand. C'est à 
P.-L. Guinand, né en 1748 aux Brenets, canton de Neuchâtel (Suisse)^ que 
revient, en effet, l'honneur d'avoir porté au plus haut degré de perfection 
la fabrication des verres destinés aux instruments d'optique. Ce même cha- 
pitre se poursuit par l'historique de la célèbre verrerie Feil, qui est devenue 
actuellement l'étabhssement Parra-Mantois. Le catalogue ce cette der- 
nière verrerie est reproduit in-extenso. 

Dans le chapitre IV, l'auteur s'est efforcé de mettre au point l'étude des 
essais effectués en Angleterre, par Chance principalement. Il a rendu compte 
des travaux tout récemment entrepris par M. M. T. Smith et R. W. Ches- 
HiRE sur l'emploi des verres de Chance en vue de la construction d'objectifs 
de longues-vues. 

Dans le chapitre V, on trouvera une étude des travaux effectués à léna, 
à la suite de E. Abbe et de Schott. L'auteur a donné toutes les caracté- 
ristiques des verres d'Iéna, d'après le catalogue de Schott. Quelques indi- 
cations sur la verrerie de Sendling terminent ce chapitre . 

Un court chapitre VI sur les objectifs à liquides termine cette étude, 
inédite et entièrement nouvelle, de ces diverses questions relatives aux verres 
d'optique. 

Au Vllroe chapitre commence l'étude des objectifs photographiques les 
plus anciens et les plus simples: les objectifs photographiques avec dia- 
phragme antérieur; puis viennent successivement les objectifs de Petzval 
(chapitre VIII), les objectifs de Steinheil (IX), les objectifs symétriques 
et pseudo-.symétriques (X). les objectifs de Goerz (XI); un chapitre XII 
particulièrement étendu, en raison de l'importance du sujet, est consacré 
aux objectifs de Taylor et des formes qui en dérivent: les triplets de 
Voigtlaender, les triplets de Zeiss, le tessar de Zeiss. Le chapitre XIII 
complète l'étude des objectifs de Zeiss, par une étude des travaux de 
P. Rudolph. 

Au chapitre XIV, on trouvera des données et des indications biblio- 
graphiques sur les téléobjectifs, depuis les lunettes polyaldes jusqu'aux 
instruments modernes. 

En appendice, est reproduit le mémoire sur le calcul des objectifs astrono- 
miques de Fraunhofer dont il est rendu compte plus haut. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Livres nouveaux : 

Tous les ouvrages adressés à la Rédaction sont signalés ici avec une brève 
indication de leur contenu, sans préjudice de l'analyse dont ils peuvent être 
ultérieurement Vobjet sous la rubrique « Bibliographie » . 

Les Maîtres de la pensée scientifique, collection de mémoires et ouvrages 
publiée par les soins de Maurice Solovi>-e; Librairie Gauthier A'illars & 
Cie, Paris. Viennent de paraîtra: 

André-Marie Ampère. — Mémoires sur l'électromagnétisme et l'éleetro- 
dynamique. — 1 vol. in-16, xiv-110 p., 17 figures, broché, Fr. 3,50. 

Pierre-Simon Laplace. — Essai sur les probabilités, I et II. — 2 vol. 
in-16, xi-110 p., broché, fr. 3,50 le volume. 

Le volume consacré à Ampère contient les deux célèbres mémoires trai- 
tant « de l'action exercée sur un courant électrique, par un autre courant, 
le globe terrestre ou un aimant » et de la « Détermination de la formule 
qui représente l'action mutuelle de deux fractions infiniment petites de 
conducteurs volta.ques. » 

L'essai philosophique sur les probabilités de Laplace a été reproduit 
d'après la 5^ édition (1825); c'est la dernière faite du vivant de l'auteur 
et la plus complète. 

P. Appell. — Eléments d'Analyse Mathématique, à l'usage des candidats 
au certificat de mathématiques générales, des ingénieurs et des physiciens. 
Cours professé à l'Ecole centrale des Arts et Manufactures. Quatrième édi- 
tion entièrement refondue. — 1 vol. in-8, de 716 p. avec 220 fig., fr. 65; 
Gauthier-Villars & Co., Paris. 

Quatrième édition entièrement refondue, de l'excellent traité dans lequel 
M. P. Appell expose les éléments essentiels d'analyse mathématique en 
vue de leur application à la Géométrie, à la Mécanique et à la Physique. 
Sous sa nouvelle forme cet ouvrage est appelé à rendre de réels services aux 
ingénieurs et aux physiciens, aux élèves des grandes Ecoles techniques et 
aux candidats au certificat de mathématiques générales. 

P. Bachma>;\. — Grundlehren der neueren Zahlentheorie (Gôschens 
Lehrbiicherei, I Gruppe, Reine Mathemaiik), mit 10 P'iguren. Zweite vcr- 
besserte Auflage mit einem Gedàchnisworte, herausgegeben von Prof. 
Dr. R. Haussner. — 1 vol. in-8; 2*6 p., broché, 50 Mk.; Walter de Gruyter 
& Co. Berlin-Leipzig. 

Nouvelle édition des principes fondamentaux de la théorie moderne 
des nombres de Paul Bachmann, publié par le Prof. R. Haussner. Elle débute 
par une notice sur P. Bachmann (1837-1920). 



96 nV LLETI S BI BI.IOGUAP HIQUE 

L. BiEBERBACH. — Lehrbuch der Funktionentheorie. Band I, Eleraente 

der Funktionentheorie. — 1 \o]. in-8, 314 p. et 80 û^.; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

Ce premier volume du traité sur la théorie des fonctions entrepris par 
M. Bieberhach comprend dans leurs parties essentielles, les notions qui 
jouent aujourd'hui un rôle fondamental dans la théorie des fonctions: 
nombres complexes, limites, séries, fonctions d'une variable complexe, inté- 
grale de Cauchy, fonctions elliptiques, fonction gamma. 

S. Bloch. — Cours élémentaire de Géométrie descriptive, à l'usage des 
élèves de mathématiques A et B, des candidats aux écoles navales de Saint - 
Cyr. à l'Institut agronomique. — 1 vol. in-8, de 218 p. et 337 fig; 18 fr.; 
Librairie Hachette, Paris. 

Ce Cours élémentaire de Géométrie descriptive forme la première partie 
du Cours de Géométrie descriptive rédigé par le même auteur à l'usage des 
candidats aux Grandes Ecoles. Ces éléments ont pour but d'initier les élèves 
de mathématiques aux méthodes de géométrie descriptive qu'ils appro- 
fondiront plus tard. 

Introduction. — I. Géométrie cotée. — IL Géométrie à deux plans de 
projection. — III. Courbes èf surfaces, ombres. — IV. Notions de Plani- 
métrie et de Nivellement. Notions sur les cartes. 

T. BoGGio. — Calcolo differenziale con applieazioni geometriche. Volume 
I : Funzioni di una variabile [Collczione Lattes). — 1 vol. in-18, 611 p., 
Lire 58; S. Lattes & Co; Torino-Genova, 1921. 

Ce premaer volume est consacré exclusivement à l'exposé des propriétés 
fondamentales des fonctions d'une variable réelle et aux applications géo- 
métriques. Par la méthode suivie il se rattache plus particulièrement aux 
travaux de MM. Peano et Burali-Farti. 

B. Braxford. — A Study of Mathematical Education including the 
Teaching of Arithmetic. New Edition enlarged and revised. — 1 vol. in-8, 
420 p.: 7 sh. 6, Clarendon Press, Oxford, 1921. 

Ecrites par un professeur possédant une grande expérience de l'ensei- 
gnement, ces considérations sur la méthodologie des mathématiques seront 
lues avec profit par les maîtres de l'enseignement primaire et secondaire. 
Elles sont aus'^i de nature à intéresser tous ceux qui suivent les progrès de la 
philosophie et de la psychologie des mathématiques. 

L. Brouhon. — Méthode élémentaire entièrement inédite pour la réso- 
lution facile et rapide des équations algébriques de tous degrés et des équa- 
tions transcendantes. — 1 vol. in-8. 138 p.; Bénaird. Soc. An., Liège, 1914. 

— Résolution facile et rapide des équations numériques, supplément au 
mémoire de 1914. — 1 vol. in-8, 31 p.; Bénard, Soc. An., Liège, 1921. 

L'auteur expose une méthode qui permet d'obtenir, sans recherches 
préalables ni tâtonnements, à l'aide d'un certain nombre d'opérations élé- 
mentaires, les racines réelles d'une équation algébrique à coefTicients numé- 
riques dr degré quelconque et d'un grand, nombre d'équations transcen- 
dantes. 



BULLETIN LU H LlOGll Al'UlQUE 97 

C. Blrali-Forti. — Geometria descrittiva. Vol. I, Assonomelria, — 
1 vol. in-18, 170 p.; XXI planches comprenant 170 fig.; Lire 17. — Vol. II 
Proiezione quotata. Proiezione Monge. Prospettiva. — 1 vol. in-18, 144 p., 
XIX planches et 143 fig.; Lire 14; S. Lattes & Co., Torino-Genova. 

Le premier volume débute par une introduction (76 pages) dans laquelle 
l'auteur examine 1. les éléments fondamentaux concernant la représentation 
d'une figure sur un plan; 2. des'compléments de géométrie utiles dans l'étude 
de la Géométrie descriptive. Le reste du volume est consacré à l'Axono- 
métrie et à ses applications. 

Le deuxième volume comprend l'étude des projections cotées, des pro- 
jections orthogonales sur deux plans (méthode de Monge) et de la projec- 
tion centrale avec application à la perspective. 

C. Blrali-Forti et T. Boggto. — Meccanica razionale {CoUezione Lattes). 
— 1 vol. in-18, 425 p. Lire 24; S. Lattes & Co, Torino-Genova, 1921. 

Les auteurs se sont proposés de présenter sous une forme élémentaire 
les notions de mécanique rationnelle qui constituent les fondements de la 
mécanique appliquée. La méthode d'exposition est basée sur l'emploi systé- 
matique du calcul vectoriel. 

C. Blrali-Forti e R. Marcoloxgo. — Elementi di calcolo vettoriale 

con numerose applicazioni alla geometria, alla meccanica e alla fisica- 
matematica. — 1 vol. in-8, xix-250 p.; Lire 20; Xicola Zanichelli, Bologne. 
Deuxième édition, revue et augmentée, de l'ouvrage bien connu dans 
lequel MM. Burali-Forti et Marcolongo exposent les éléments du calcul 
vectoriel. Les notions théoriques sont groupées dans la première partie 
sous le titre « opérations et opérateurs vectoriels ». La seconde partie est 
entièrement consacrée aux applications à la géométrie, à la mécanique et à 
la physique mathématique. 

H. BuRKHARDT. — EînfUhrung in die Théorie der analytischen Funk- 
tîonen einer komplexen Verânderlichen, funfte umgearl)eitete Autlage 
besorgt von Dr. G. Faber, mit zahlreichen Figuren im Text. — 1 vol. in-8, 
286 p.; Walter de Gruyter & Co, Berlin-Leipzig. 

Très appréciée et très répandue dans les pays de langue allemande cette 
introduction à la théorie des fonctions analytiques paraît aujourd'hui en 
5 éditions, revue et complétée par M. le prof. Faber. 

C. Caxesi. — Vocabolario interlingua, italiano (inglese) e italiano, 
interlingua, con una prefazione di G. Peano. — 1 vol. in-8, 174 p.;Lire 10; 
G. B. Paravia & Co, Torino, 1921. 

Vocabulaire de la langue internationale « Interlingua» avec orthographe 
latine, publié sous les auspices de l'Académie pro interlingua. 

H. S. Carslaw. — Introduction to the Theory of Fourier's Séries and 
Intégrais. Second Edition completely revised. — 1 vol. in-8, 323 p.; 30 Sh.; 
Macmillan and Co., Londres. 

Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in 
Solids. Second Edition complcti'ly revised. — l vol. in-8, 2<)'i p.; 30 sh.: 
Macmillan and Co., Londres. 

Deuxième, entièrement remaniée, de l'ouvrage publié en 1906 par -M. 

L'EnseigDement malhém., 22» année ; 1921 et 1932. "^ 



98 BULLETIN hl R L I O l. H A P H l Q LE 

Carslaw sous le titre Fourier^s Séries and intégrais and the ntathematical 
Theory oj Conduction of Heat. 

Le premier volume comprend l'étude des séries, des intégrales définies, 
des séries de Fourier et des intégrales de Fourier. Le second est consacré 
à la théorie mathématique de la conductibilité de la chaleur dans les solides. 

W. DiECK. — Mathematisches Lesebuch fur die Mittelstufe hôherer 
Lehranstalten aller Art, fur Volkshochschulen, Fachschulen u.s.w. — 
5 fasc. in-8, de 80 p.; prix: fasc. 1, 5 M. 40; fasc. 2-4, 6 M. 40; fasc. 5, 10 M. 40; 
W. Osterkamp in Sterkrade, 1920-1921. 

Dans ce choix de lectures mathématiques destiné à l'enseignement secon- 
daire supérieur, le Professeur Dieck a groupé, à côté d'articles originaux, 
des mémoires et conférences de divers auteurs sur des sujets accessibles 
à cette catégorie d'élèves : histoire des mathématiques, biographies de mathé- 
maticiens, sur le rôle des mathématiques, méthodologie et philosophie des 
mathématiques. 

P. B. Fischer. — Darstellende Géométrie. (Aus Natur und Geisteswelt). 
— 1 vol. in-16, 90 p. et 59 fig.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Introduction à la géométrie descriptive contenant les notions essentielles 
relatives aux projections cotées, à la projection centrale et à la méthode 
de Monge. 

M. Franck. — La loi de Newton est la loi unique, Théorie mécanique de 
l'univers. — 1 vol. in-8, de 158 p.; Fr. 12,50; Gauthier- Villars & Cie, Paris. 

Dans cet ouvrage de philosophie scientifique, l'auteur examine quelle 
serait la loi mécanique régissant l'Espace, si l'on admettait: 

1. que toute l'Energie potentielle réside dans le vide absolu des physi- 
ciens; 

2. que toute la matière est formée d'un élément origine unique d'inertie, 
mobile dans le vide. 

Le développement du travail consiste dans l'examen de la concordance 
avec les faits constatés des conséquences de la loi unique ainsi formulée. 

La première conséquence de la confirmation de la formule newtonienne, 
à laquelle la loi énoncée permettrait de donner son interprétation exacte; 
telle est la raison du titre que l'auteur a donné à son Ouvrage. Cette théorie 
utilise seulement les notions d'espace, temps, force, inertie admises en géo- 
métrie euclidienne et en Mécanique rationnelle. 

J. Haag. — Cours complet de mathématiques spéciales. Tome 11: Géo- 
métrie. — 1 vol. in-8 de Vll-662 p., 65 fr.; Gauthier- Villars & Cie, Paris. 

Désirant ne pas se limiter exclusivement à la méthode analytique, l'au- 
teur a intitulé ce tome 11: Géométrie et non pas « Géométrie analytique.» 
Cela lui permet d'employer le raisonnement géométrique toutes les fois que 
cette méthode est plus simple ou plus féconde. 

L'ouvrage est divisé en deux parties. Dans la première sont exposée 
les théories générales, dans la seconde, les applications à l'étude des courbes 
et des surfaces classiques. 

P. HuMBERT. — Introduction à l'étude des fonctions elliptiques. — 1 fasc. 
in-8, 38 p.; 3 fr.; Librairie Scientifique J. Hermann, Paris. 

Destinée aux étudiants des Facultés des sciences, cette Introduction à 



BULLETiy B IB LIOGliAPlII QUE 99 

l'étude des fonctions elliptiques complète d'une manière utile les notions 
sur les fonctions analytiques que l'on donne généralement au cours de calcul 
différentiel et intégral. 

L'auteur montre comment la notion de double périodicité d'une fonction 
se rattache immédiatement par l'inversion de l'intégrale elliptique, à la 
théorie des résidus avec laquelle l'étudiant est déjà familiarisé. 

C. M. Jessop. — Elementary Analysls. — 1 vol. in-8, 174 p.; 6 sh.; Univer- 
sity Press, Cambridge. 

Première introduction à l'étude du calcul différentiel et intégral, avec de 
nombreux exercices et problèmes. 

Notions de coordonnées. — Fonction. — Continuité. — Limite. — Déri- 
vées et différentielles. — Applications. — La notion d'intégrale. Méthodes 
d'intégration. Applications. 

G. J^GER. — Theoretische Physik. B. IL Licht und Wàrme, Mit 47 Figu- 
ren, Fiinfte Auflage; IV. Elektromagnetische Lichttheorie und Elektronik, 
mit 17 Figuren, dritte verbesserste Auflage. {Sammlung Gôschen). — 2 vol. 
in-16, de 155 et 146 p.; Walter de Gruyter & Co., Berlin-Leipzig. 

Tomes II et IV de l'abrégé de Physique théorique publié par M. Jàger, 
professeur à l'Université de Vienne. Le priemer, qui paraît en cinquième 
édition, traite de la lumière et de la chaleur, le second, en 3^ édition, 
est consacré à la théorie électromagnétique de la lumière et à l'électronik. 

A. LoTZE. — Die Grundgleichungen der Mechanik insbesondere starrer 
Kôrper, neu entwickelt mit Grassmanns Punktrechnung. (Abhandlungen 
und Vortràge aus dem Gebiete der Mathematik, Xaturwissenschaft und 
Technik). — 1 vol. in-8, 50 p.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Cet opuscule est destiné à montrer le parti que l'on peut tirer de la mé- 
thode ponctuelle de Grassmann appliquée à l'étude des systèmes de points 
matériels en mécanique. 

H. Malet. — Etude géométrique des transformations birationnelles et 
des courbes planes. — 1 vol. in-8. 259 p., Ui figures, 32 fr.; Gauthier- Villars 
& Co., Paris, 192Î. 

On sait le rôle fondamental que joue en géométrie moderne l'emploi des 
transformations. Cet ouvrage est consacré principalement aux transfor- 
mations dites birationnelles et à leurs applications à l'étude géométrique 
des courbes planes. 

L Transformations de première grandeur. — IL Transformations simples 
du plan. — III. Etude géométrique des courbes planes. — IV, Transfor- 
mations birationnelles générales. — V. Transformations à base commune. 
Transformations involutives. — VI. Correspondances simplement ration- 
nelles de première grandeur. 

R. Marcolongo. — Relativita (Biblioteca di Matematiche Superiori). — 
1 vol. in-8 de 192 p., L. 30; G. Principato, Messine, 1921. 

Dans cet ouvrage, destiné aux étudiants en mathématiques et en phy- 
sique, l'auteur expose, dans la première partie, les fondements analytiques 
de la théorie de la relativité (forme quadratique différentielle. Eléments 
du calcul différentiel absolu). Les parties II et III sont consacrées à l'étude 
de la relati\ ité restreinte et à la théorie générale de la relativité. 



100 HU LLET IN H l HI, I O G H A P IH Q U E 

P. Meth. — Théorie der Planetenbewegung. 2. Aufl. (Mathematisch- 
Physikalische Bibliothek, n. 8). — i vol. in-lC, 54 p. et 14 fig.; B.G. Teubner, 
Leipzig. 

Notions élémentaires sur le mouvement planétaire basées sur l'emploi 
des hodographes de Hamilton et mises à la portée des élèves de l'enseigne- 
ment moyen. 

R. DE MoNTEssus DE Ballore. — Indcx Generalis 1920-1921, Annuaire 
Général des Universités. The Yearbook of the Universities. — 1 vol. in-16 
de 1800 p., broché, 50 fr.: Gauthier- Villars & Cie, Paris. 

La deuxième édition de VIvdex Generalis marque un grand progrès sur 
la première parue en novembre 1919. Elle s'étend à toutes les nationalités. 
Des chapitres nouveaux sont consacrés aux grandes académies. Archives, 
Bibliothèques, Instituts scientifiques. Jardins botaniques et zoologiques, 
Musées, Observatoires et Sociétés savantes. 

UIndex Generalis étant un Ouvrage de documentation, entrepris sans 
aucune préoccupation commerciale, le Directeur et les Editeurs de cet 
Annuaire ont préféré ne publier que les renseignements directement commu- 
niqués par les personnes spécialement compétentes, évitant ainsi la plu- 
part des erreurs qui se glissent dans les Ouvrages similaires. 

J. Pacotte. — La Physique théorique nouvelle. Avec une préface de 
M. Emile Borel. — 1 vol. in-8, de V1IM82 p., 12 fr.; Gauthier-Villars & 
Cie, Paris. 

Cet Ouvrage résume en un livre de dimensions modestes et sans appareil 
mathématique, l'ensemble des théories qui constituent la Physique théo- 
rique nouvelle. Cette science nouvelle a pour origine l'électrodynamique 
de Lorentz qui est la forme définitive de celle de Maxwell; ses théories les 
plus avancées sont dues à Einstein; elles concernent la relativité, l'équi- 
valent énergétique des deux masses matérielles, les atomes d'énergie. 

L'auteur présente un essai historique, critique et méthodologique de 
la physique théorique nouvelle en se basant sur les travaux fondamentaux 
d'Henri Poincaré, de Walter Ritz, de H. -A. Lorentz et de Max Abraham. 

W. Pauli. — Relativitâtstheorie mit einem Vorwort von A. Sommerfeld. 
(Sonderabdruck aus der Encykiopàdie der mathematischen Wissenschaften). 
— 1 vol. in-8, 240 p.; B. G. Veubner, Leipzig, 1921. 

Ce fascicule, qui est un tirage à part de l'Encyclopédie des sciences mathé- 
matiques, est appelé à rendre de grands services à tous ceux qui désirent 
suivre les progrès de la théorie de la relativité. Le temps était venu de 
dresser dans un ordre méthodique le tableau des recherches effectuées 
dans ce domaine depuis quinze ans et d'en indiquer les principales sources. 
Il s'agit donc ici d'un recueil bibliographique indispensable aux mathéma- 
ticiens et aux physiciens. 

J. PoiRÉE — Précis d'arithmétique. — l vol. in-8, de 64 p., fr. 7,50; 
Gauthier-Villars & Cie, Paris, 1921. 

Dans ce Précis l'auteur a condensé en un petit nombre de pages les 
notions essentielles d'arithmétique inscrites dans les programmes de l'ensei- 
gnement moyen. Il s'est attaché à expliquer le pourquoi et le mécanisme 
de chaque opération. L'ouvrage se termine par une introduction à la théorie 
des nombres. 



BULLETIN BIBLlOGRAyU iqiJ E 101 

O. Perron. — Irrationalzahlen. {Gôschens Lehrbucherei, I. Gruppe, 
Reine Mathematik). — 1 vol. in-8, 185 p., 50 Mk.; Walter de Gruyter & Ce: 
Berlin-Leipzig. 

Cette nouvelle collection débute par une monographie sur les nombres 
irrationnels. L'auteur se base sur la théorie de Dedekind et passe en revue 
les propriétés fondamentales des nombres irrationnels. 

H. PoiNCARÉ. — Les fondements de la géométrie. — 1 vol. in-8, 63 p., 
3 fr.; Chiron, Paris. 

Ce travail, absolument inédit pour le public de langue française, est le 
plus considérable et le plus synthétique qu'Henri Poincaré ait écrit sur 
les fondements de la géométrie. On y trouve longuement établie cette thèse, 
aujourd'hui universellement célèbre: la métrique d'Euclide est simplement 
commode et ses axiomes sont des conventions. Non seulement cette thèse 
bouleverse les opinions communément accréditées sur la philosophie des 
sciences et sur l'économie de la connaissance, mais elle constitue encore, 
avec une divination géniale de l'avenir, l'introduction toute naturelle à 
la théorie de la Relativité d'EiNSTEiN. 

L. RoLGiER. — La matière et l'énergie selon la théorie de la relativité et 
la théorie des quanta. — 1 vol. in-8 de XI-112., 9 ir. 50; Gauthier-Villars 
& Cie, Paris. 

Dans cet ouvrage, M. Rougier, qui a été un des premiers à faire connaître 
en France les théories d'Einstein, développe et met au point la conséquence 
la plus paradoxale et la moins discutée du Principe de Relativité : celle 
qui attribue à l'énergie une masse, un poids en proportion et une struc- 
ture, si bien que ce que nous appelons la matière n'est plus qu'un cas 
particulier de l'énergie. L'antique dualité du pondérable et de l'impondé- 
rable fait place à celle du champ électromagnétique ou énergie, dont le 
rayonnement et la matière sont de simples modalités, et du champ pur 
de gravitation ou espace einsteinien. 

L. RoY. — Cours de Mécanique rationnelle à l'usage des élèves de l'Ins- 
titut électrotechnique et de mécanique appliquée et des candidats au cer- 
tificat de mathématiques générales. — 1 vol. m-8, de 251 p. avec 103 fig., 
25 fr.; Gauthier-Villars & Cie, Paris. 

Ce cours est la rédaction de celui que professe l'auteur, à raison d'une 
leçon par semaine, devant les élèves de première année de l'Institut électro- 
technique et de mécanique appliquée et les candidats au certificat de mathé- 
matiques générales de l'Université de Toulouse (voir plus haut, p. 92). 

S'adressant surtout aux débutants,, l'auteur s'est borné à n'exposer que 
les éléments de cette science; il a néanmoins tenu essentiellement à être 
précis, à ne pas éluder certaines questions d'intérêt purement théorique, 
questions qui se posent inévitablement à la réflexion et sur lesquelles 
glissent généralement les Ouvrages didactiques. L'auteur énonce ainsi 
explicitement certains postulats, implicitement admis dans les exposés 
classiques et démontre comment la force appliquée à un point ne dépend que 
du temps, de la position du point et de sa vitesse. Il insiste spécialement 
sur les conditions analytiques qui doivent être remplies par les forces, 
pour que les réciproqu s des conditions d'équilibre soient vraies. 



102 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

C. RuNGE. — Praxis der Gleichungen. (Goschens Lehrbiicherei, I Gruppe, 
Reine Mathematik). Zweite verbesserte Auflage. — 1 vol. in-8 170 p., 8 fig., 
30 Mk.; Walter de Gruyter & Co, Berlin-Leipzig. 

Cet Ouvrage contient des indications très précieuses d'ordre pratique 
sur les calculs numériques quo l'on est appelé à effectuer dans la résolution 
des équations numériques à une ou à plusieurs inconnues. 

G. ScoRZA. — Corpi numerici e algèbre. (Biblioteca di Matematiche 
superiori). — 1 vol. in-8, 462 p., L. 50; G. Principato, Messine, 1921. 

Importante contribution à l'étude des théories modernes de l'algèbre 
comprenant I. la théorie générale des corps numériques; II. la théorie géné- 
rale de l'algèbre des systèmes de nombres à plusieurs unités. Dans l'appen- 
dice on trouve des compléments relatifs à la théorie des matrices et aux 
groupes d'ordre fini. 

Dr F. Severi. — Vorlesungen iiber algebraische Géométrie Géométrie 
auf einer Kurve Riemannsche Flachen Abelsche Intégrale; berechtigte 
deutsche Uebersetzung von Dr. E. Lœffler mit einem Einfiihrungswort 
von A. Brill und 20 Figuren. — 1 vol. in-8, 408 p.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Etude méthodique de Géométrie algébrique basée sur les travaux des 
géomètres allemands Brill et de Noether et des géomètres italiens Segre, 
Castelnuovo, Bertini, Enriques, auquels sont venus s'ajouter les belles 
récherches de l'auteur. 

D. E. Smith. — Computing Jetons (Numismatic Notes and Monographs, 
No. 9). — 1 vol. in-16, 70 p., 25 plates, ^ 1,50; New- York. 

Bien que spécialement destinée aux numismates, cette monographie sera 
lue avec intérêt par tous ceux qui s'intéressent aux systèmes de numéra- 
tion des anciens et à leur procédés de calculs. 

H. E. TiMERDiNG. — Die Fallgesetze ihre Geschichte und ihre Bedeutung, 
zweite Auflage (Mathematisch-Physikalische Bibliothek No. 5). — 1 vol. 
in-16, 51 p., 25 figures et un portrait de Galilée; B. G. Teubner, Leipzig. 

Exposé élémentaire des lois de la chute des corps envisagées dans leur 
développement historique. 

E. Vessiot et P. Montel. — Cours de Mathématiques générales pro- 
fessé à la Faculté des Sciences de Paris en 1919-1921. Première partie : 
Eléments d'algèbre, de calcul différentiel et de géométrie analytique (M. 
Vessiot). — 1 vol. in-8, de 504 p. et 298 fig., 30 fr. — Deuxième partie : 
Eléments de calcul intégral (M. Vessiot). — Eléments de Mécanique (M. 
Montel). — 1 vol. in-8, de 548 p. et 310 fig., 30 fr.; Léon Eyrolles, Paris. 

L'ensemble des matières exposées dans ces deux volumes correspond au 
Cours professé à la Faculté des Sciences de Paris, en 1919-1920, confor- 
mément au Programme du certificat de mathématiques générales (prépa- 
ratoire à l'étude des sciences physiques), y compris les méthodes de calcul 
numérique se rapportant à l'épreuve pratique de ce certificat. 

J. ViLLEY. — Physique élémentaire et théories modernes. Première par- 
tie: Molécules et atomes. Etats d'équilibre et mouvement de la matière 
(Mécanique, statique des fiuides, Chaleur, Elasticité et Acoustique). — 1 vol. 
in-8 de 198 p., avec 23 fig., 15 fr.; Gauthier- Villars & Co, Paris, 1921. 

D'abord préparé pour les étudiants (fu P.C. N., cet ouvrage sera aussi lu 



BULLETIN BI B LIOC RAI'HIQUE 103 

avec intérêt par tous ceux qui désirent s'éclairer sur les phénomènes fonda- 
mentaux de la Physique et sur ses théories les plus modernes. 

Les questions étudiées sont groupées en deux volumes. Le premier 
volume qui vient de paraître est consacré à l'équilibre et aux mouvements 
de la matière. L'ensemble des questions qu'il traite y sont exposées au point . 
de vue de la théorie cinétique ; et le dernier chapitre donne un exposé résumé 
des conceptions modernes de la matière. 

H. Weyl. — Temps, espace, matière. Leçons sur la théorie de la relati- 
vité générale. Traduites sur la quatrième édition allemande par G. Juvet 
et R. Leroy. (Collection de monographies scientifiques étrangères). — 1 vol. 
in-8, 290 p., 20 fr.; Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris. 

Importante contribution à la théorie de la relativité générale. L'auteur 
présente une théorie qui fait de la matière le lieu des singularités limites 
du champ, et où la masse et la charge se comportent comme les flux de 
certains tenseurs dans le champ. 

L L'espace euclidien; son expression mathématique et son rôle en phy- 
sique. — IL Le continuum métrique. — III. Relativité de l'espace et du 
temps. — IV. Théorie générale de la relativité. 

E. J. WiLLis. — The Mathematics of Navigation. — l vol. in-8, de 34 p., 
3 •^; J. W. Fergusson & Sons, Richmond, U. S. A. 

Passant en revue les notions de mathématiques les plus utiles dans la 
pratique de la navigation, l'auteur estime que la Géométrie sphérique et 
la Trigonométrie sphérique ne sont pas nécessaires au débutant. 

A. WiTTiNG. — EinfUhrung in die Trigonométrie, eine elementare Dar- 
stellung ohne Logarithmen (Mathematisch-PhysicalischeBibliothek, No. 43). 
— 1 voi. in-16, 46 p. et 20 fig. und zahlreichen Aufgaben; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

Introduction à la Trigonométrie limitée aux notions essentielles sans 
emploi du calcul logarithmique. 

J. W. YouNG. — I Concetti fondamentali dell' Algebrate délia Geometria, 

con una nota di U. G. Mitchell sullo sviluppo storico del simbolismo alge- 
brico. Versione e note di D. Mercogliano con prefazione di G. Loria. — 
1 vol. in-8, 418 p.. Lire 8; L. Pierro, Naples. 

Dans cet ouvrage l'auteur examine les concepts fondamentaux de l'Algè- 
bre et de la Géométrie. Grâce aux nombreuses annotations l'édition ita- 
lienne marque un réel progrès sur l'édition originale. 

E. ZiEPRECHT. — Verzeichnls raathematischer und naturwissenschaft- 
licher Schriften zusammengest'-llt im Auftrage der Ortsgruppe Hannover 
des Vereins zur Fôrderung des mathematischen u. naturwissenschaftl. 
Unterrichts. 

Liste d'ouvrages scientifiques de langue allemande à la portée des élèves 
de l'enseignement secondaire. Publiée sous les auspices de la section de 
Hanovre de l'Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles, ce petit catalogue signale les 
principaux ouvrages d'initiation, de vulgarisation et de récréation scien- 
tifique, ainsi que des ouvrages classiques des grands savants qui ont leur 
place dans les bibliothèques d'élèves. 



104 hUf.LETiy HIB LIOG liAP H IQL'E 



2. Publications périodiques : 

Acta Mathematica. — Tome 43 : 1 et 2. — G.-D. Birkhoff: Surface 
transformations and their dynamical applications. — N.-E. Xôrlund: 
Mémoire sur les polynômes de Bernoulli. 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l*^"^ semestre 1921. — 3 jan- 
vier. — E. Picard: Sur certaines fonctions se rattachant à des surfaces 
fermées. — Angelesco: Sur certaines équations difïérentielles linéaires 
complètement intégrables. — A. Petot: Sur les chocs dans les engrenages 
de changement de vitesse des automobiles. — 17 janvier. — Th. Varo- 
pouLOs: Sur les fonctions ayant un nombre fini ou infini de branches. — 
C. GuicHARD : Sur les couples de deux congruences O, polaires réciproques 
par rapport à un complexe linéaire. — 7 février. — R. Birkeland: Réso- 
lution de l'équation algébrique générale par des fonctions hypergéo- 
métriques de plusieurs variables. — 14 février. — G. Girald: Sur les 
fonctions automorphes. — Th. Varopoulos: Sur quelques points delà 
théorie des nombres. — A. Egnell: Sur la détermination des congruences 
de droite dont le plan moyen est donné. — 21 février. — C. Guichard: 
Sur certains réseaux qui se présentent dans l'étude des congruences qui 
appartiennent à un complexe linéaire. — R. Wavre: Sur une équation 
de Fredholm dans le domaine complexe et son application à la théorie 
des systèmes d"équations linéaires à une infinité d'inconnues. — G. Bouli- 
gaxd: Sur certains modes de détermination des solutions de Am — 'o-u. — 
B. Delauxay: Résolution d'une équation indéterminée. — 28 février. — 
G. Cerf: Sur certains systèmes d'équations de Pfaff et les transformations 
des équations aux dérivées partielles. — G. Humbert: Sur les formes 
d'Hermite ternaires dans un corps quadratique imaginaire. — D. Riabou- 
CHiNSKi: Mouvement initial d'un liquide en contact avec un obstacle 
à arêtes vives. — 7 mars. — G. Julia: Variation de la fonction qui fournit 
la représentation conforme d'une aire sur un cercle, lorsque le contour 
de l'aire varie. — B. Gambier: Systèmes articulés déformables et couples 
de surfaces qui s'en déduisent. — G. Lippmann: Détermination de l'axe 
de rotation de la vitesse de rotation d'un corps solide et réalisation d'un 
corps solide sans rotation. — 14 mars. — G.-J. Remolxdos: Sur les couples 
de fonctions algébroïdes d'une variable correspondant aux points d'une 
courbe algébrique de genre supérieur à Tunité. — C.-E. Traynard: Sur 
les fonctions hyperelliptiques singuhères. — M. Abra.mesco: Sur les déve- 
loppements en série .suivant les inverses de polynômes donnés. — Th. 
Varopoulos : Sur quelques points de la théorie des fonctions et de la théorie 
des nombres. ■ — A. Dexjoy : Sur un calcul de totalisation à deux degrés. — 
T. Carleman: Sur une classe d'équations intégrales à noyau asymétrique. 
— L.-E. Dickson: La composition des polynômes. — Hj. Mellix: Réso- 
lution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma. — 
J.-L. Walsh: Sur la position des racines des dérivées d'un polynôme. — 
E. Picard: Sur la détermination de l'axe de rotation et de la vitesse de 
rotation d'un corps solide. — 21 mars. — G. Jllia: Deux conséquences 
de l'équation aux dérivées fonctionnelles qu'on tire de la représentation 
conforme. — G. Valiron: Sur des fonctions entières d'ordre infini. — 



BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 105 

L. Lecornu: Sur la détermination expérimentale du mouvement d'un 
solide quelconque. — 29 mars. — C.-E. Traynard: Sur certaines surfaces 
hyperelliptiques singulières. — M. Hamy: Sur l'approximation des fonc- 
tions de grands nombres. — 4 avril. — G. Julia: Sur une équation aux 
dérivées fonctionnelles analogue à l'équation de M. Hadamard. — A. Den- 
joY : Sur la détermination des fonctions présentant un certain caractère 
complexe de résolubilité. — Th. Varopoulos: Le théorème de M. Landau 
et les fonctions multiformes. — F. Carlson: Sur les séries de Dirichlet. — 
H avril. — • P. Humbert: Les polynômes d'Hermite-Didon et les fonctions 
de Laplace dans l'hyper-espace. — A. Denjoy: Caractères de certaines 
fonctions intégrables et opérations correspondantes. — P. Appell: Sur le 
mouvement périodique d'un fluide. — 18 avril. — B. Gambier. Courbes 
algébriques non unicursales à torsion constante. — 25 avril. — L. Gci- 
CHARD : Sur les systèmes triplement indéterminés de droites et leurs conju- 
gués par rapport à un complexe linéaire. — 2 mai. — T. Bonnesen: Sur 
une amélioration de l'inégalité isopérimétrique du cercle et la démonstra- 
tion d'une inégalité de Minkowski. — Alayrac: Mouvement du centre 
de gravité d'un solide symétrique par rapport à un plan vertical se déplaçant 
dans un milieu résistant. — 9 mai. — F.Vaney: Sur les polynômes de La- 
guerre. — A. Axgelesco: Sur les représentations des polynômes par des in- 
tégrales. — R. Birkeland: Sur la convergence des développements qui 
expriment les racines de l'équation algébrique générale par une somme de 
fonctions hypergéométriques de plusieurs variables. — B. Gambier: Courbes 
algébriques réelles non unicursales à torsion constante. — 17 mai. — A. Den- 
.joy: Calcul des coefTicients d'une série trigonométrique convergente quel- 
conque dont la somme est donnée. — G. Dumas: Sur les concours d'encadre- 
ment. — Bratu : Sur les séries dont le terme général tend vers o. — G. Va- 
liron: Sur les fonctions entières d'ordre fini. — J. Le Roux: Sur la théorie 
de la relativité et le mouvement séculaire du périhélie de Mercure. — 23 mai. 
— L. Guichard: Sur les systèmes 3 I dont toutes les droites appartiennent 
à un complexe linéaire. — G. Julia: Sur les discontinuités des solutions 
de certaines équations de Fredholm. — P. Humbert: Sur les polynômes 
hypergéométriques. — P. Levy: Sur quelques questions de calcul fonc- 
tionnel. — 30 mai. — B. Jekhowshy: Sur les fonctions de Bessel à deux 
variables. - — E. Kogbetliaxtz: Sur les développements de Jacobi. — 
E. Delassus: Sur une conséquence des lois du frottement. — 6 juin 192L 
S. Pincherle: Sur une équation intégrale dans le domaine complexe. — 
B. Gambier: Sur les surfaces applicables et l'équation de Laplace. — Auric: 
Sur la théorie des nombres algébriques idéaux. — 13 juin. — G. Bertrand : 
Equations de Fredholm à intégrales principales au sens de Cauchy. — 
H. Mixeur: Sur les fonctions qui admettent un théorème d'addition algé- 
brique. — J. Kampe de Feriet: Sur les fonctions hypercylindriques. — 
J. Le Roux: La loi de gravitation et ses conséquences. — 20 juin. — 
H. Andoyer: Démonstration directe d'un théorème de Tisserand relatif 
au développement de la fonction perturbatrice. — B. Gambier: Défor- 
mation des surfaces et équation de Laplace. — 27 juin. — Riquier: Sur 
les familles complètes de figures intégrales d'un système d'équations aux 
dérivées partielles du premier ordre. — J. Kampe de Feriet: Sur les 
systèmes d'équations aux dérivées partielles des fonctions hypergéomé- 
triques les plus générales. — M. Janet: Sur les systèmes aux dérivées 
partielles comprenant autant d'équations que de fonctions inconnues. — 



106 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Th. Varopoulos: Sur une classe de fonctions transcendantes. — Id.: Sur 
les lignes de courbure des quadriques. — Juvet: Les formules de Frenet 
pour un espace de M. Weyl. 

American Journal of Mathematics. Vol. XLII. — G. -A. Miller: Groups 
of Order 2 •"' Which Contain a Relatively Large Xumber of Operators of 
Order Two. — H.-D. Frary : The Green's Function for a Plane Contour. — 
W. G. Simon: On the Solution of Certain Types of Linear Differential 
Equations in Infinitely many Variables. — D. Buchanan: Periodic Orbits 
on a Surface of Révolution. — R. D. Carmichael: On the Convergence 
of Certain Classes of Séries of Functions. — J. L. Walsh: On the Solution 
of Linear Equations in Infinitely Many Variables by Successive Appro- 
ximations. — L. E. Wear: Self-Dual Plane Curves of the Fourth Order. — 
L. C. Mathewson: On the Groups of Isomorphisms of a System of Abelian 
Groups of Order p/n and Type (n, 1, 1,..., 1) — R. M. Winger: On the 
Satellite Line of the Cubic. — W. C. Carver: The Failure of the ClilTord 
Chain. — E. T. Bell: On the Représentations of Xumbers or Sums of 3, 
5, 7, 9, 11 and 13 Squares. — A. Emch: On a Certain Class of Rational 
Ruled Surfaces. — E. J. Wilczynski: Geometrical Significance of Iso- 
thermal Conjugacy of a Net of Curves. — P. J. Damell: Observations 
Weighted According to Order. — L. H. Rice: Some Déterminants Expan- 
sions. — K. W. Lamson: A General Implicit Function Theorem w-ith an 
Application to Problems of relative Minima. — R. F. Borden: On the 
Laplace-Poisson Mixed Equation. — G. A. Miller: Characteristic Sub- 
groups of an Abelian Prime Power Group. 

Annali dl matematica pura ed applicata. Série III, Tome XXIX. — 
Mancinelli: Sulle superficie rigate che hanno per asintotiche infinité 
cubiche gobbe. — Calapso: Sulla teoria générale délie trasformazioni 
di Ribaucour, e sue applicazioni alla generalizzazione délie trasformazioni 
di Darboux. — Id.: Sulle trasformazioni délie superficie di Guichard. — 
Segre: Sulle corrispondenze quadrilineari tra forme di 1^ specie e su alcune 
loro rappresentazioni spaziali. — Calapso: Sulla teoria générale délie 
trasformazioni délie superficie per inviluppo di sfere. — Darbi: Proprietà 
délie equazioni Abeliane di grado p-. — Palatini: Spazi a tre dimension! 
con una curvatura nulla e le altre due eguali ed opposte. — Bette: Sulla 
riduzione del problemi di geodesia ellissoidica alla sfera. — Nicoletti: 
Sulla dipendenza lineare délie funzioni di una variabile reale. — Belar- 
DixELLi: Sulla risoluzione délie equazioni algebriche mediante sviluppi 
in série. 

Annals of Mathematics. Vol. 22. — P. Boutroux: On multiform func- 
tions defined by differential Equations 6i the first order. — ■ J. L. Coolidge: 
Hermitian Metrics. — R. D. Carmichael: On the Expansion of certain 
analytic functions in séries. — F. V. Morley: Note on the preceding paper. 
— T. H. Gronwall: Qualitative properties of the ballistic trajectory. — 
N. Wiener: The mean of a functional of arbitrary éléments. — J. F. 
Trevor: On certain déterminants associatedwith transformations employed 
in thermodynamics. — L. P. Eisenhart : The permanent gravitational 
field in the Einstein theory. — S. D. Zeldin: On the structure of finite 
continuons groups with a finite number of exceptional infinitésimal transfor- 



BULLETIN m B LKJGRAPII IQUE 107 

mations. — T. H. Gronwall: Conformai mapping of a family of real 
conics upon another. — J. L. Walsh: On the location of the roots of the 
derivative of a polynomial. — F. H. Murray: The asymptotic expansion 
of the Sturm-Liouville fimctions. — J. F. Ritt: On the conformai mapping 
of a région into a part of itself. • — L. P. Eisenhart: Conjugale nets R and 
their conformations. — T. C. Fry : The Application of modem théories 
of intégration to the solution of differential équations. — T. Hayashi: 
An Analytical Solution of Biot's Problem. — J. K. Whittemore: Minimal 
Surfaces Containing Straight Lines. — E.'B. Van Vleck: An Extension 
of Green's Lemma lo the Case of a Rectifiable Boundary. — E. S. Ham- 
mond: Periodic Conjugale Nets. — J. L. Walsh: On the Transformation 
of Convex Point Sets. 

Atti délia Reale Accademla dei Lincei. Vol. XXX. — M. Pascal: Circui- 
tazione superficiale. 11 Sua espressione vettoriale e teoremi generali ana- 
loghi a quelli sulla ordinaria circuitazione. — Id. : III. Il teorema délia 
forza sostentatrice nel caso di una corrente fluida spaziale. — E. Bompiani: 
Invarianti e covarianti metrici nelle deformazioni di specie superiore délie 
superficie. — L. Brusotti: Sulla « piccola variazione •> di una curva piana 
algebrica reale. — C. Burali-Forti: Sui numeri reali e le grandezze. — 
G. Castelnuovo: Sulle funzioni abeliane. — A. Comessatti: Saggi d'una 
teoria geometrica délie forme binarie IV: Rappresentazione tipica dei 
covarianti. — S. Lefschetz: Sur le théorème d'existence des fonctions 
abéliennes. — J. Pérès: Transformations qui conservent la composition. — 
Id.: Sur les fonctions permutables. — M. Picone: Sul potenziale di doppio 
strato superficiale. — C. Segre: Sui fochi di 2° ordine dei sistemi infiniti 
di piani e sulle curve iperspaziali con una doppia infinità di piani plurise- 
canti. — Id.: Le linee principali di una superficie di S, e una proprieta 
caratteristica délia superficie di Veronese. — R. Serini: Risoluzione dei 
problema simmetrico di Dirichlet pel cilindro circolare. — F. Severi: 
Sulla teoria degl' integrali semplici di prima specie appartenenti ad una 
superficie algebraica. — E. G. Togliati: Sulle varietà a tre dimensioni 
e di quart' ordine che sono luoghi di almeno ao^ rette. — C. Severini: 
Equazioni integrali. — L. Tonelli: Su due proposizioni di J. W. Linde- 
berg e E. E. Levi, nel Calcolo délie variazioni. 

Bulletin des Sciences mathématiques. Deuxième Série; Tome XLIV. — 
MoNTESSLS DE Ballore : Lcs biquadratiques gauches. — B. Gambier: 
Application de deux surfaces l'une sur l'autre. — G. Valiron: Remarques 
sur le théorème de M. Picard. — Id. : Les fonctions entières de deux variables 
et les ensembles de mesure nulle. — B. Hostinsky: Sur une nouvelle solu- 
tion du problème de l'aiguille. — A. Rosenblatt: Sur un théorème de 
A.*Liapounoff. — N.-E. Nôrlund: Sur l'état actuel de la théorie des 
équations aux différences finies. — H. Vérone : Sur quelques points d'hydro- 
dynamique. — Le Congrès international de Mathématiques à Strasbourg, 
Allocutions de M. Picard. — C. de la Vallée Poi ssin: Les fonctions à 
variation bornée et les questions qui s'y rattachent. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 29. Band, 1920. 
— A. Barich: Die Verwcndung dfr Koinzidcnzebene zur Losung voa 
Aufgaben der darstellenden Géométrie. — F. Bkknstein: Berichtigung 



108 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

zu der Arbeit; Die Uebereinstimmung derjenigen beiden Summationsver- 
fahren, welche von P. J. Stieltjes iind E. Borel herrùhren. — P. Frank: 
Die paraboloidischen Flàchen und ihre Lieschen Paraboloide. — Id. ; Berich- 
tigung zu meiner Arbeit <- Ueber die paraboloidischen Flachen. 2 Mitteilung.» 

— R. Grammel: Ueber einige Bewegungen des unsymmetrischen schweren 
Kreisels. — H. Jonas: Ueber die Konstruktion der W-Kongruenzen zu 
einem gegebenen Brennflàchenmantel und ùber die Transformation der 
R-Flachen. — K. Kommerell: Ueber nichtafiine Raumkollineationen. — 

E. Laxdat: Ueber einen Satz des Herrn Rosenblatt. — Id.: Xeuer Beweis 
eines Satzes von Herrn Valiron. — L. Schlesinger: Ein Beitrag zur 
Lebensbeschreibung von L. Fuchs. — Id.: Jan Versluys. — J. A. Schouten: 
Die relative und absolute Bewegung bei Huygens. — I. Schur: Beispiele 
fur Gleichungen ohne Afîekt. — J. Thomae : Ueber die Cassinischen Kurven. 

— H. Tietze: Ueber den Richtungssinn und seine Verallgemeinerung. — 
.\. Wangerin: Ueber das Potential dreifach belegter Flàchen. — S. Wies- 
xer: Zur Biographie Johann Bolyais. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 151. Band. — 
G. Polva: Arithmetische Eigenschaften der Reihenentwicklungen ratio- 
naler Funktionen. — P. Epstein: Ueber Elementarkettenbrûche lineare 
Substitutionen und indefinite binàre quadratische Formen. — O. Perron: 
Ueber das Verhalten einer ausgearteten hypergeometrischen Reihe bei 
unbegrenztem Wachstum eines Parameters. — J. Schur: Ueber lineare 
Transformationen in der Théorie der unendlichen R^ihen. — K. Hensel: 
Ueber dei- Zerlegung der Primteiler in relativ cyklischen Kôrpern; nebst 
einer Anwendung auf die Kummerschen Korper. — A. Fraenkel: Ueber 
einfache Erweiterung zerlegbarer Ringe. — J. Hor.n : Laplacesche Intégrale 
als Lôsungen nicht linearer DifTerentialgleichungen. — K. Hensel: Die 
Zerlegung der Primteiler eines beliebigen Zahlkôrpers in einem auflôsbaren 
Oberkorper. — K. Hensel: Zur multiplikativen Darstellung der algebrais- 
chen Zahlen fur den Bereich eines Primteilers. 

Mathematische Annalen. 80. Band. He]t 1. — R. Kœnig: Die Intégrale 
der Riemannschen Transzendenten. — B. von Kerekjarto: Ueber die 
Brouwerschen Fixpunktsàtze. — Id. : Ueber Transformationen des ebenen 
Kreisringes. — Id. : Ueber die periodischen Transformationen der Kreis- 
scheibe und der Kugelflàche. ■ — L. E. J. Brouwer: Ueber die periodischen 
Transformationen der Kugel. — M. Lagally: Beitrag zur Laplaceschen 
Cascadenmethode. — L. Tschakaloff: Arithmetische Eigenschaften 
einer unendlichen Reihe. — R \^eit7enbôcx : Die In' arianten der Galilei- 
Newton-Gruppe. — F. Klein: Bericht iiber den Stand der Herausgabe 
von Gaus's Werken. — He]t 2. — Gêner aire gister zu den Bànden 51-80 
zusammengestellt vcn H. Vermeil in Gôttingen mi' einem Bildnisse von 
C. Xeumann. 

81. Band. — H. Beck: Ueber lineare Somenmannigfaltigkeiten. — 

F. Bernstein: Bemerkung zu der Abhandiung: Ueber die Konvergenz 
eine<-- mit einer Potenzrdhe assoziierten Ketfenbruchs von H. Hamburger 
in Berlin. — K. Bœgel: Ueber die Stctigkeit und die Schwankung von 
Funktionen zweier reeller Veranderlichen. — J.-G. van der Corpit: Ueber 
Gitterpunkte in der Ebene. — H Hambirger: Ueber die Kouv'ergenz 
eines mit einer Potenzreihe assoziierten Kettenbruch*. — Id.: Ueber eine 
Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems. — P. Hertz: Ueber 



BULLETIN m BLIOGRAP H IQUE !09 

eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — N. Kritikos: Ueber 
ganze transzendente Funktionen mit reellen Xullstellen. — J. Nielsen: 
Ueber fixpunktfreie topologische Abbildungen geschlossener Flàchen. — 
E. îsœther: Zur Reihenentwicklung in der Formentheorie. — A. Os- 
TROwsKi : Ueber die E dstenz einer endlichen Basis bei Systemen 
von Potenzprodukten. — H. Rademacher: Ueber partielle und totale 
Differenzierbarkeit ^on Funktionen mehrerer Variabeln. — W. Schmei- 
dler: Ueber die Singularitaten algebraischer Gebilde. — W. Sternberg: 
Ueber die asymptotische Intégration von Differentialgleichungen. — 
J. Wolff: Ueber Folgen analytischer Funktionen. 

82. Band. - — E. Hilb: Lineare Difïerentialgleichungen unendlich hoher 
Ordnung mit ganzen rationalen KoefTizienten. — Id.: Ueber dieienigen 
Intégrale linearer Diiîerentialgieichungen, welche sich an einer Unbestinimt- 
heitstelle bestimmt verhalten. — F. Noether: Ueber eine Klasse singu- 
larer Integralgleichungen. — A. Ostrowsri: Ueber die Reihe 2q"'\v''. — 
G. Doetsch: Ein Konvergenzkriterium *ur Intégrale. — J. Nielsen: 
Ueber die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Abbildungstypen der Ring- 
flàchen. — L. E. J. Brouwer: Ueber die Minimalzahl der Fixpukkte 
bei den Klassen von eindeutigen stetigen Transformationen der Ring- 
flâchen. — E. Trefftz: Ueber die Torsion prismatischer Stâbe von poly- 
gonalem Querschnitt. — W. Pacli : Die Ausbreitung des Lichts in bewegten 
Medien. — H. Hamburger: Ueber eine Erweiterung des Stieltjesschen 
Momentenproblems. — Fr. Schur: Theodor Reye. — H. Hamburger: 
Ueber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentproblems. — G. Szego: 
Ueber die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen 
eines Orthogonalsystems. — A. Schur: Zur Entwickelung willkiirlicher 
Funktionen nach Lôsung von Systemen linearer Differentialgleichungen. 

— A. Terracim: Eine Bemerkung ûber die Funktionalgleichungen der 
isomorphen Abbildung. — H. W. E. Jung: Ueber Flàchen mit einem 
Bûschel rationaler Kurven. — Ph. Furtwangler: Punktgitter und Ideal- 
theorie. — L. E. J. Brouwer: Aufzàhlung der Abbildungsklassen endUch- 
fach zusammenhângender Flàchen. — H. Kneser: Eine Erweiterung des 
Begriffes « konvexer Kôrper ». — W. Slss: Begrûndung der Lehre vom 
Polyederinhalt — E. Trefftz: Zur Prandtlschen Tragflàchentheorie. 

Mathematische Zeitschrift. 6. Band. — H. Hamburger: Ueber eine Rie- 
mannsche Formel aus der Théorie der Dirichletschen Reihen. — E. Hecke: 
Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung 
der Primzahlen, II. — P. Koebe: Ueber das Schwarzsche Lemma und einige 
damit zusammenhàngende Ungleichheitsbeziehungen der Potential- 
theorie und Funktionentheorie. — W. Blaschke: Ueber afTme Géométrie 
XXVI: Wackelige Achtflache. — Id.: Frenets Formeln fiir den Raum von 
Riemann. — E. Jacobsthal: Mittelwertbildung und Reihentransformation. 

— K. Knopp: Mittelwertbildung und Reihentransformation. — R. Gram- 
mel: Die Stabilitàt der Staudeschen Kreiselbewegungen. — M. Lagally: 
Ueber die Zerlegbarkeit von flàchentreu aufeinander abgebildeten Gebieten 
in unendlich kleine, paarweise kongruente Telle. — E. Landau: Ueber die 
Nullstellen der Zetafunktion. — H. Cramer: Bemerkung zu der vorste- 
henden \rbeit des Herrn Landau. — O. Perron: Zur Théorie der diver- 
genten Reihen. — Id.: Ueber nichthomogene lineare Differentialgleichun- 
gen. 3 4 Heft. — G. SzEGo: Beitràge zur Théorie der Tœplitzschen Formen. 



JIO BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

— H. Happel: Ueber das Gleichgewicht von elastischen Platten unter einer 
Einzellast. — O. Haupt: Ein Satz liber die Abelschen Intégrale 1. Gattung. 

— E. R. Neumann: Der Poincarésche Satz iiber Differenzengleichungen 
in seiner Anwendung auf eine Integralgleichung. — L. Neder: Konver- 
genzdefekte der Potenzreihen stet^ger Funktionen auf dem Rande des 
Konvergenzkreises. — Id.: Ueber die Fourierkoeffîzienten der Funktionen 
von beschrànkter Schwankung. — W. Schmeidler: Bemerkungen zur 
Théorie der abzàhlbaren Abelschen Gruppen. — W. Blaschke: Georaetris- 
che Untersuchungen zur Variationsrechnung. I. Ueber Symmetralen. — 
O. Perron: Beitrag zur Théorie der divergenten Reihen. — P. Kœbe: 
Zum Verzerrungssatze der konformen Abbildung. — G. H. Hardy: Note 
on a Theorem of Hilbert. — O. Perron: Bemerkung zu der Arbeit « Ueber 
eine spezielle Klasse von Regelflâchen ». 

7. Band. — R. Courant: Ueber die Eigenwerte bel den Differential- 
gleichungen der mathematischen Physik. — A. Lœwy : Begleitmatrizen 
und lineare homogène DifTerentialausdriicke. — L. Lichtenstein: Unter- 
suchungen iiber die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flûssigkeiten, deren 
Teilchen einander nach dem Xewtonschen Gesetze anziehen. Zweite Abhand- 
lung. Stabilitàtsbetrachtungen. — I.Schur: Ueber einen von Herrn L. 
Lichtenstein benutzten Integralsatz. — P. Kœbe: Abhandlungen zur 
Théorie der konformen Abbildung (VI. Abbildung mehrfach zusammen- 
hàngender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hype- 
relliptischer Kurven). — H. Hamburger: Bemerkungen zu einer Frage- 
stellung des Herrn Polya. — R. v. Mises: Berichtigung zu meiner Arbeit 
« Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ». 

8. Band. — E. Xoether und W. Schmeidler: Moduln in nichtkommu- 
tativen Bereichen, insbesondere aus Diiïerential- und Diiïerenzenaus- 
driicken. — G. Szegô: Ueber Potenzreihen, deren Kœfïïzienten zahlen- 
theoretische Funktionen sind. — A. Tauber: Ueber konvergente und 
asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus. — L. Berwald: 
Ueber affine Géométrie XXVII. Liesche F.^ Affînnormale und mittlere 
Affinkriimmung. — E. Hilb: Ueber die Laplacesche Reihe, II. — St. Jolles: 
Einfache Kennzeichen polarer Korrelationen. — W. Meyer: Zu der 
Abhandlung von Herrn Roland Weitzenbôck: «Ueber eine Ungleichung 
in der Dreiecksgeometrie ». — J. Horn : Laplacesche Intégrale und Gamma- 
quotientenreihen in der Théorie der linearen Differentialgleichungen und 
Volterraschen Integralgleichungen. — W. Blaschke: Ueber affine Géomé- 
trie XXVIII: Bestimmung aller Flàchen, die von den umschriebenen 
Zylindern làngs ebener Kurven beruhrt werden. — L. Koschmieder: 
Ueber besondere Jacobische Polynôme. — F. Carlson: Ein Satz iiber 
Kegelschnitte mit einigen Anwendungen auf die perspektive Affinitàt. — 
C. Heumann: Ein Satz uber Culmannsche Tràgheitsellipsen. — O. Perron: 
Zur Théorie der Summengleichungen. — G. Polya: Ueber den Zentralen 
Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenpro- 
blem. — H. W. E. Jung: Ueber die Differentialinvarianten algebraischer 
Flàchen. — O. Szasz: Ueber Potenzreihen, die im Einheitskreise besch- 
rânkte Funktionen darstellen. — G. Dœtsch: Ueber die obère Grenze 
des absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf Geraden. — ^ 
A. OsTRowsKi: Ueber Dirichletsche Reihen und algebraische Differential- 
gleichungen. — Von Pidoll: Bemerkungen iiber Vertauschung von Limes 
und Intégral. — O. Szasz: Ungleichheitsbeziehungen fiir die Ableitungen 



BULLETIN m B LIOGRAPIIIQUE ill 

einer Potenzreihe, die eine im Einheitskreise beschrànkte Funktion dars- 
tellt. — B. von Kerekjarto: Zur Théorie der mehrdeutigen stetigen 
Abbildungen. — H. Steinhaus: Bemerkung zu der Arbeit des Herrn 
L. Neder: Ueber die Fourierkoeffizienten der Funktionen von beschrànkter 
Schwankung. 

Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien. Abteilung lia 
129. Band. — Ph. Furtwangler: Ueber die Ringklassenkorper fur ima- 
ginâre quadratische Kôrper. — J. A. Gmeiner: Ueber die Ketten der 
reduzierten binaren quadratischen Formen mit positiver nichtquadra- 
tischer Déterminante. — E. Kruppa: Graphische Kurven I. Mitteilung: 
Ebene Kurven. — F. Mertens: Die Gestalt der Wurzeln einer irreduk- 
tiblen Galois'schen Gleichung achten Grades eines gegebenen Rationali- 
tàtsbereiches deren Afîektgruppe nur Permutationen mit ein- und zwei- 
gliedrigen Zykeln enthàlt. — E. Muller: Zyklographische Abbildung 
von Flàchen und die Géométrie von Kurvenscharen in der Ebene. — 
P. RoTH : Ueber Flàchen, die die Punktepaare zweier und einer alge- 
braischen Kurve abbilden. — R. Weitzen-Bock: Ueber die Wirkungs- 
funktion in der Weyl'schen Physik. 2. Mitteilung. — Id.: Ueber die 
Wirkungsfunktion in der Weyl'schen Physik. 2. Mitteilung. 

Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissensehaftlichen Unterricht. 

Tome LI. — J. Arxeberg ; Die Kegelschnitte als Kreisprojektion. 

— R. B()ger: Optische Géométrie. — J. Braun: Arbeit und Boden in 
der Volkswirtschaftslehre und Mechanik. — M. Enders: Die Perspek- 
tivitàt im geometrischen Unterricht der Q II. — A. Fischer: Die Genauig- 
keit der logarithmisch-trigonometrischen Rechnens. — H. Franke: 
Mathematische Betrachtungen ûber das geltende politische Wahlverfahren. 

— E. Gotting: Die Exponentialfunktion im Unterricht. — K. Hahn: 
Die Einfuhrung des Kraftbegriffs auf der Oberstufe. — Id.: Die Schwin- 
gungsformel der oszillatorischen Entladung im Unterricht. — R. Henke: 
Die Simsonsche Gerade. — W. Hillers: Die Schwingungsdauer der 
oszillierenden Entladung im Unterricht. — B. Kerst: Kopfgeometrie. — 
A. Lanner: Das apollonische Berûhrungsproblem in stereometrischer 
Behandlung. — L. Mlller: Atom- und Molekuhvàrmen fester Kôrper. — 
A. Rohrberg: Lektorate fur Mathematik, ein Vorschlag zur Erweiterung 
des mathematischen Hochschulunterrichts. — R. Rothe: Fragen der 
Oberlehrerausbildung mit Beziehung auf angewandte Mathematik und 
Technik. — E. Salkowski: Die Apollonische Beruhrungsaufgabe. — 
E. Sos: Das d'HoNTSCHE Wahlsystem. — A. Weise: Zum Mathematik- 
unterrichte am deutschen Gymnasium. — H. Wieleitner: Zur Erfmdung 
des Zeichen x. — O. Zander: Eine neue Définition der stetigen Teilung. — 
Kleine Mitteilungen. — Berichte. — Bùcherbesprechungen. 

3. Thèse de doctorat: 

Nous signalons sous cette rubrique les thèses de doctorat dont un exemplaire 
imprimé aura été adresse à la Rédaction, 110 Florissant, Genèie. 

Finlande. — Université de Helsingfors. — Stenfors, E. — Die schlàf- 
lische Konfiguration von zwôlf Geraden einer Flàche dritter Ordnung. 
— 63 p.; 1921. 



112 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Suède. — Université cTUpsal. — Joxsson, K. G. — Undersôkningarl rô- 
rande Problemràkningens fôrutsàttningar och fôrlopp. — 1919. 

MiKAELssoN, Gustav. — Sur la nature anal^'tique des solutions des 
équations linéaires aux dérivées partielles à caractéristique multiple. 

94 p.; 1920. .- 

Wexxberg, Sven. — Zur Théorie der Dirichlet'schen Reihen. — 66 p.; 

1920. 
Suisse. — Université de Bâle. — Buchner, Paul. — Thetafunktionen im 

reellen, quadratischen Korper. — 27 p.; 1919. 
Université de Berne. — Griesh.\ber, Hans. — - Beitràge zur kontinuierli- 

chen Méthode in der Krankenversicherung. — 82 p.; 1919. 
Kauf.manx, Arnold. — Die Inverse der Konchoide des Nikomedes. — 

95 p.; 1919. 

Hartmann, Franz. ■ — Der Zusammenhang der Bessel'schen Funktion 

j{x) mit der hypergeometrischen Reihe. — 49 p.; 1919. 
Aetchlimann, Alfred. — Fol- und Brennpunktsôrter ebener Schnitte 

einer Flache 2. Grades. — 78 p.; 1921. 
RoETHLiSBERGER, Emest. — Die Schnittkurve eines elliptischen und eines 

kubischparabolischen Zylinders. - — 117 p.; 1919. 
Grossen, Hans. — Ueber die Schàtzung der speziellen Zylinderfunktionen 

nach Ludwig Schlàfli. — 96 p.; 1921. 
Université de Lausanne. — Vaney, Félix. — Sur les polynômes de Laguerre. 

— 48 p.; 1921. 

Université de Genève. — Kaufmann, Marthe. — Géométrie des flèches dans 
le plan couronoïde. — 84 p.; 1921. 

Wavre, Rolin. — Sur quelques propriétés des suites de fonctions conti- 
nues réelles et l'équation fonctionnelle /y, (0] =^ f 1o (OJ- — 40 p.; 
1921. 

Université de Zurich. — Bûcher, Jakob. • — Ueber die Lôsbarkeit der 
Gleichung t" — Ds- = — 1 in ganzen Zahlen. — 24 p.; 1919. 

Blaeti. Emil. — Ueber autmorphe Funktionen die zu gewissen Untergrup- 
pen der Modulgruppe gehôren. — 62 p.; 1919. 

Liebert, Arnold. — Ueber die lonisierungsstromkurven der «-Strahlen. 

— 28 p.; 1920. 

RoTSZAjN, Sophie. — Die Amvendung der Planckschen Erweiterung der 

Quantenhypothese auf rotierende Gebilde mit zwei Freiheitsgraden in 

einem Richtungsfelde. — 44 p. 1920. 
Ecole polytechnique fédérale, Zurich. — Widmer, Adolf. — Ueber die Anzahl 

der Lôsungen gewisser Kongruenzen nach einem Primzahlmodul. — 

55 p.; 1919. 
Laueji, Henri. — Sur la réduction des formes positives d'Hermite. — 34 p.; 

1919. 
LoEFFLER, Adolphe. — Sur les séries de Fourier à deux variables et le 

phénomène de Gibbs. — 69 p.; 1920. 
JoBiN, Herbert. — Sur une généralisation de la transformation de Lie. — 

64 p.; 1921. 
FuNK, Emil. — Reflexion und Brechung optischer Kugehvellen und das 

Problem der Totalreflexion. — 37 p.; 1921. 



FAMILLES ADDITIVES 
ET FONCTIONS ADDITIVES D'ENSEMBLES ABSTRAITS 

1»A l( 

M. Fréchet (Strasbourg). 



Sommaire : 



Première partie. — I. Construction de familles d'ensembles abstraits qui 
sont closes par rapport à certaines opérations. — II. Construction de 
familles d'ensembles abstraits qui sont additives au sens restreint. 
— III. Idem au sens complet. 

Seconde partie. — IV. Fonctions additives d'ensembles abstraits ^ 



I. — Construction de familles d'ensembles abstraits 
qui sont closes par rapport à certaines opérations. 

L'addition, la soustraction de deux ensembles sont des 
exemples particuliers d'opérations qui font correspondre à 
certains ensembles ou groupements d'ensembles des ensembles 
déterminés. On peut dire qu'une famille i> d'ensembles est 
close par rapport aux opérations S, D,... si chacune de ces opéra- 
tions, effectuée uniquement sur des ensembles appartenant à 
la famille {*• ne peut fournir que des ensembles appartenant à i>. 
On peut alors se proposer de construire une famille i> close par 
rapport à certaines opérations S, D,... connaissant certains 
ensembles appartenant à i>. Ou même, plus généralement, étant 
donnée une famille arbitraire ;<l' composée d'ensembles égale- 
ment arbitraires, on peut chercher s'il existe une famille î> 
comprenant tous les ensembles de ^tC et close par rapport aux 
opérations S, D,... Nous distinguerons deux cas qui ne sont pas 



' Le présent article est le résumé de deux communications présentées en jiinvicr \'iT.l an 
Colloque mathématique de Zurich et au Séminain^ mathématique de Berne, par M. Maurice 
Fbkchkt, Directeur de l'Institut mathématique de n'niversité de Strasbourg. 

I.'F.nseinnement mathéui., 22* année ; 1921 et 1922. !* 



11'. .)/. FRÉCUET 

tous les cas possibles, mais qui sont les plus simples et les plus 
importants : 

1" Supposons que les opérations S, D,... ne soient applicables 
(ou qu'on aie convenu de ne les appliquer) qu'à des groupements 
formés d'un nombre fini d'ensembles. Appelons suite déduite 
de la famille t'/J, toute suite ordonnée composée d'un nombre 
fmi d'ensembles dont chacun, G, appartient à ISZ ou résulte de 
l'une des opérations S, D,... effectuée sur les ensembles qui 
précèdent G dans cette suite. 

Appelons maintenant isi,. la famille constituée de tous les 
ensembles appartenant à l'une quelconque des suites déduites 
de ISZ\ la famille cU'/ comprend évidemment la famille c''l' et est 
close par rapport à S, D....; d'autre part elle appartient à toute 
famille comprenant t''C et close par rapport aux opérations S,D,... 
Nous savons donc construire non seulement une solution du 
problème, mais même «la plus petite famille» comprenant isi et 
close par rapport aux opérations S, D,... 

IP Supposons que les opérations S, D, ... ne sont applicables 
(ou qu'on convienne de ne les appliquer) qu'à (un nombre fini 
ou) un groupement dénombrable d'ensembles. Alors on saura, 
comme précédemment, former ^ la plus petite famille » compre- 
nant une famille arbitraire donnée c\C et close par rapport aux 
opérations S, D. ... (On pourra l'appeler ;(L't). On opérera comme 
plus haut, mais cette fois les suites considérées pourront com- 
prendre des suites bien ordonnées dénombrables, (finies ou 
non) . 

Ainsi chaque ensemble appartenant à c^C, (ou à t'C.) pourra 
être considéré comme le dernier terme d'une suite bien ordonnée 
finie (ou dénombrable) d'ensembles formés à partir des ensembles 
de la famille arbitraire donnée liC par des applications répétées, 
mieux, réitérées, des opérations S,D, ... dans un ordre quel- 
conque. 

Distinction des classes d'' ensembles. — On peut si l'on veut 
repérer le degré de complexité de la construction de chaque en- 
semble de ;/l', ou de ;'l', (qni d'ailleurs peut être obtenu parfois 
par diiïérentes suites d'opérations) de la manière suivante. 

Supposons qu'on puisse disposer les opérations S, D,..., consi- 
dérées en elles-mêmes, en une suite bien ordonnée T. (C'est par 



EXSEMHLES ABSTRAITS 115 

exemple ce qui aura lieu si ces opérations sont en nombre fini, 
seul cas utilisé par la suite). En permutant auhesoin ces opéra- 
tions, on peut appeler précisément S, D, ... ces opérations dans 
l'ordre où elles se présentent. Considérons alors la suite bien 
ordonnée T', semblable à la suite T, 

X, SX. DiSXi , ... 

où chaque terme est une famille C" d'ensembles composée des 
ensembles appartenant aux familles précédentes et de ceux 
obtenus en appliquant à tout groupement de ceux-ci (quand cela 
est possible) l'opération de même rang que ','' dans T. Soit enfin 
U.7v la famille des ensembles appartenant à l'un quelconque des 
termes de cette suite T'. Il est évident que UX comprend 0\.. 
La plus petite famille J'Cr comprenant c'C et close par rapport 
aux opérations S, D, ... comprend évidemment UX, si X appar- 
tient à c'»l'<-. De plus la condition nécessaire et suffisante pour 
qu'une famille JVl soit close par rapport à S, D, ... est que \]DXl = 

cm. 

Finalement c^C contiendra les familles qui sont les termes 
d'une suite bien ordonnée dénombrable 7, chacun, OX^ résultant 
de l'opération U effectuée sur la famille constituée par les 
ensembles appartenant à l'un des termes de a précédant 0\. 

Remarquons que si deux termes quelconques d'une des suites 7 
sont identiques, tous les termes de cette suite sont identiques à 
partir d'un certain rang. On peut donc remplacer dans ce qui 
précède, les suites 7 par les suites o-q qui sont chacune formée 
en supprimant, s'il y a lieu, d'une suite Cq tous les termes iden- 
tiques à un des termes le précédant. 

Ceci étant, chaque suite o-q est une suite bien ordonnée dénom- 
brable de familles distinctes, chacune comprenant les précé- 
dentes (et comprenant en particulier la première qui est toujours 
t'<L'). Alors si deux suites bien ordonnées a^ sont distinctes, l'une 
est identique à un <( segment » de l'autre, c'est-à-dire est formée 
des mêmes termes et dans le même ordre que la suite des termes 
de la seconde précédant un certain terme de cette seconde 
suite. 

Ceci suffit pour établir — sans avoir à parler de nombres 
transfinis, — qu'il existe une suite bien ordonnée 2l formée de 



116 M. F RE eu ET 

familles distinctes construite comme les a,, (sauf qu'elle n'est 
pas assujettie à être dénombrable) et qui est telle que tous les 
(7o en sont des segments. Enfin les ensembles de tous les 7,, 
forment une famille comprenant l\i et close par rapport aux 
opérations S, D, ... Par suite, la plus petite famille IKc est 
formée des ensembles appartenant à l'un quelconque des termes 
d'une certaine suite bien ordonnée i composée de familles 
distinctes dont chacune s'obtient en appliquant l'opération U 
à la famille composée des ensembles des familles précédentes. 
La décomposition précédente de IKc permet maintenant de 
classer les ensembles qui composent cette famille par ordre de 
complication croissante. 

En effet, chacun de ces ensembles, E, appartient aux familles 
successives de 2i à partir d'un certain rang. C'est ce rang qui 
fixe le degré de complexité de la construction de E à partir de l\i. 
Il faut d'ailleurs distinguer cette complexité de la complexité 
de l'ensemble E lui-même. Si la famille ;/l' est formée d'ensembles 
très compliqués, il pourra arriver qu'un ensemble E de classe 
très élevée soit beaucoup plus simple que les ensembles de H. 
Mais si au contraire les ensembles de ;/C sont tous simples, on 
pourra juger légitimement de la complexité intrinsèque d'un 
ensemble E de IsZc par le rang du terme de la suite 1 où il 
apparaît pour la première fois. 

Nous remarquerons enfin que dans le cas où les opérations 
données. S, D, ... ne portent à chaque fois que sur un nombre 
fini d'ensembles, la suite 2£ si elle n'est pas finie est formée d'une 
suite de familles de rangs finis, de sorte que dans ce cas les 
classes des ensembles de is^,- déduits de isC sont toutes repérables 
par des nombres entiers, 

II. — Construction de familles d'ensembles abstraits 
qui sont additives au sens restreint. 

Une famille i> d'ensembles quelconque est dite additice au 
sens restreint, si E,, E.^ étant deux quelconques des ensembles 
de la famille rT, les ensembles E, + E.,, E, — E, appartiennent 
aussi à la famille î>. 



ENSEMBLES AliSTRAITS 117 

On peut alors dire que la famille i> est close par rapport aux 
opérations d'addition et de soustraction de deux ensembles et 
appliquer à ces opérations particulières les considérations que 
l'auteur a développées plus haut concernant celles des opéra- 
tions les plus générales qui ne portent à chaque fois que sur 
un nombre fini d'ensembles. 

Il s'agit, étant donnée une famille HC^ entièrement arbitraire, 
d'ensembles quelconques, de déterminer une famille comprenant 
les ensembles de «''t' et close par rapport aux opérations d'addi- 
tion et de soustraction de deux ensembles. 

D'après ce qui précède, on peut construire la plus petite, ^'il',, 
de ces familles de la façon suivante: on formera iiC,- au moyen 
de tous les ensembles obtenus chacun comme résultat final 
d'un nombre fini d'additions et de soustractions de deux ensem- 
bles, ces opérations ayant lieu successivement et portant à 
chaque fois sur des ensembles appartenant soit à ;/c' soit aux 
ensembles formés dans les opérations antérieures. 

D'après le premier mode de construction indiqué, chaque 
ensemble E de ;/l'/ s'obtient par un nombre fini d'additions et de 
soustractions qui sont bien effectués à partir de la famille t/c', 
mais qui évidemment ne font intervenir, pour un ensemble E 
déterminé de c'/c',, qu'un nombre fini d'ensembles de c"'c': G,, 
G.,, ... G«. Soit ((G|, ... G,,)) la plus petite famille additive au 
sens restreint qui comprend les ensembles G,, ... G„ de c^C ; on 
voit qu'elle comprend E et est comprise dans tU'.-. Donc: 

.X',. = X + cU'*-' -r ..- -f cU'"" 4- - 

«T'C"" étant la famille composée des ensembles appartenant à 
l'une quelconque des familles ((G,, ... G,,)) pour n donné. 

On est donc ainsi ramené au cas particulier où c'/C est composé 
d'un nombre fini d'ensembles, puisque si l'on sait construire les 
familles ((G,, ... G,,)), on saura construire HC. 

Or si les ensembles G,, ... G„ étaient disjoints, c'est-à-dire 
sans élément commun à deux d'entre eux, la famille ((G,, ... G,,)) 
serait évidemment constituée des ensembles qui sont chacun 
somme d'un nombre fini des G,, ... G„. Pour ramener à ce cas il 
suffît d'introduire la considération de ce que nous appellerons les 



118 M. F ni: Cil ET 

atomes du système G,, ... G„. Dans la suite cradditions et de 
soustractions à partir des G, ... G„, qui sert à former un ensemble 
quelconque de ((G,, ... G,,)), les ensembles obtenus successive- 
ment resteront formés d'éléments des G, par conséquent tout 
ensemble de ((G,, ..., G,,)) appartient à G = G, -î- ... + G„. 
En posant G| = G — G,, ... G]^ ^ G — G^^ on voit que les 
égalités 

G r= G, + g1. ... G =: G„ + g',^ 

représentent ce que l'on peut appeler des découpages de G. Si on 
combine à la fois tous ces découpages, on divise G en 2" sous- 
ensembles au plus — certains pouvant être nuls — , ensembles 
disjoints deux à deux et que nous appellerons les atomes du 
système G,, ... G„. 

On voit facilement que chaque atome s'obtient à partir de 
ce système par une suite convenable de soustractions seulement. 
Finalement, on voit qu'il existe un nombre fini d'ensembles - — 
les atomes — déduits de G, ... G„ chacun par une certaine suite 
convenable de soustractions et tels que G,, ... G,, soient cha- 
cun somme d'un nombre fini d'atomes disjoints. 

Alors il est manifeste que les atomes appartiennent à la famille 
((G,, ... G,,)) et que cette famille est constituée des ensembles 
qui sont sommes d'un nombre fini d'atomes disjoints. 

On peut aussi en déduire une autre construction de la famille 
ctCr dans le cas d'une famille c'C quelconque. Appelons système 
moléculaire attaché à c*C, le système DM formé des ensembles 
qui sont atomes pour l'un au moins des groupements formés 
d'un nombre fini d'ensembles de cfC. 

On voit alors que la famille cX,- sera constituée des ensembles 
qui sont sommes d'un nombre fini de molécules disjointes. Ceci 
montre en passant que dans la construction d'un ensemble 
quelconque de c'i',. par un nombre fini d'additions et de soustrac- 
tions à partir de c>C^ on peut toujours supposer que les soustrac- 
tions ont toutes été placées en tête. Ceci montre aussi que pour 
former la plus petite famille /'i', additive au sens restreint et 
comprenant t''L', on peut former d'abord la plus petite famille 
comprenant èiC et close par rapport à la soustraction et ensuite 
obtenir ctC,. comme la plus petite famille close par rapport à 



E y s E M BLE S A H S TUAI J S 1 1 ^t 

l'addition de deux ensembles et comprenant la famille qu'on 
vient de former. 

Il pourra aussi être utile de remarquer que si une famille d'en- 
sembles, <<l', est telle que la différence de deux de ses ensembles 
est la somme d'un nombre fini d'ensembles disjoints apparte- 
nant à <'<i', la famille ^'l',. est constituée par tous les ensembles 
qui sont sommes d'un nombre fini d'ensembles disjoint appar- 
tenant à c''l'. (On est conduit à envisager le cas actuellement 
considéré si l'on remarque que le système moléculaire attaché 
à une famille quelconque jouit lui-même de cette propriété.) 

En vue de mesurer le degré de complexité de chacun des 
ensembles de t'C, on commencera par appeler UiK l'opération 
qui consiste à adjoindre à une famille JC les ensembles qui sont 
différences de deux ensembles de c'/C, puis à adjoindre à la famille 
ainsi formée les ensembles qui sont sommes de deux des ensembles 
de cette seconde famille. 

Ceci fait, on formera les familles 

X , IV'C. i:(L7<c'), ... 

et en général la famille qu'on peut désigner par U""/'l' et qui 
résulte de l'opération U réitérée n fois à partir de X. Alors: ou 
bien à partir d'un certain rang /; les U ""t''L' sont identiques à 
\]f'X et U''"c''l' = c''l', ; ou dans le cas contraire X,. est formé des 
ensembles appartenant à l'une quelconque des familles U''c''l'; 
autrement dit 

;<i',. = X + LV'C + ... + v'KiC + ... • 

On voit alors qu'on pourra distinguer dans X, des ensembles 
de classe 0, 1, 2, ..., 72, ... , la classe étant toujours déterminée 
par un rang entier. Bien entendu, il pourra arriver que le nombre 
des classes soit fini si les U""ti'C sont identiques à partir d'un 
certain rang. 

III. — Construction des familles d'ensembles abstraits 
qui sont additives au sens complet. 

1. Définitions. — Appelons ensemble limite restreint d'une 
suite infinie d'ensembles E E E„ ... l'ensemble R des 



120 M. FRKCHET 

éléments qui appartiennent chacun à partir d'un certain rang 
(variable) aux termes de cette suite. 

Appelons ensemble limite complet de cette suite, l'ensemble C 
des éléments qui appartiennent chacun à une infinité (variable) 
de termes de cette suite. 

Il est évident que R appartient à C. Lorsque R est identique 
à G nous dirons que la suite des En converge et que R = C est 
son ensemble limite ^ 

Une famille 5" d'ensembles est jermée si tout ensemble limite 
d'une suite convergente infinie d'ensembles appartenant à "3" 
appartient aussi à i>. 

Tout comme pour les « fonctionnelles » de M. Hadamard, on 
pourrait dire qu'une famille ï^' d'ensembles est linéaire si elle 
est fermée et additive au sens restreint. La définition des fa- 
milles linéaires d'ensembles est équivalente à celle des familles eî* 
additiçes au sens complet (c'est-à-dire telles que si E,, E^, ..., E,,' ... 
est une suite finie ou infinie d'ensembles appartenant à l>, les 
ensembles Ej — E._, et E, + E., + ••• appartiennent à "D'). 

Remarque: Si E , E , ..., E^^, ...; E', E', ..., E^^, ... sont deux 
suites infinies quelconques d'ensembles quelconques et si e, E, 
e', E' sont respectivement leurs ensembles limites restreint et 
complet; si d'autre part R, C; R,, Cj sont respectivement les 
ensembles limites restreint et complet des suites 

^, = \ + K ^ = k„ + k;, •■• 

D =e,-e;, ... ,d„ = e„-e;, ... 

on a les relations symboliques 

,M- e' < R < G < E + E' i 
e-E'< R, <C, <E-e' ^ 

où le signe <^ est mis pour <( appartient à w . 



* On remarque que : 

1° Si » partir d'un certain rang les ensembles d'une suite Ej. E2, ... sont identiques h un 
même ensemble E, cette suite converge et a E pour ensemble-limite. 

2" Si on extrait d'une suite convergente quelconque d'ensembles Fi, Es, ... , une suite 
infinie de termes de rangs distincts F„ . F,,,^ , ... cette suite est convergente et vers la 
môme limite.) 

{La dclinition actuelle des ensembles-limites range donc les familles d'ensembles dans la 
catégorie des classes \.U I de ma Thèse.) 



ENSEMBLES ABSTRAITS 121 

En particulier si les deux suites données des E^^ et des E|^ 
convergent et si E, E' sont leurs ensembles-limites, les deux 
suites des S = E + E' et des D = E — E' convergent et 

/( It ' Il II II II o 

leurs ensembles limites sont E + E', E — E' '. 

2. Construction de familles additives au sens complet. — Le 
problème consiste étant donnée une famille arbitraire t'C d'en- 
sembles quelconques, à déterminer une famille i> comprenant 
t''L' et close par rapport aux opérations S, D addition et sous- 
traction de deux ensembles et L passage à la limite c'est-à-dire 
formation de l'ensemble limite d'une suite convergente d'ensem- 
bles de ï^'. 

I. D'après la méthode générale indiquée § I, page 114, on 
pourra former la plus petite <''l'f de ces familles en la constituant 
par les ensembles qui sont chacun dernier terme d'une suite 
bien ordonnée dénombrable a d'ensembles G résultant chacun 
d'une des opérations S, D, L effectuée sur des ensembles appar- 
tenant à c''l' ou précédant G dans s-. 

(On peut si l'on veut remplacer les opérations S et L par 
l'opération consistant à additionner une suite dénombrable 
d'ensembles). 

II. Tout ensemble E de l^Cc résulte donc d'une suite dénom- 
brable d'opérations portant chacune sur une suite dénombrable 
d'ensembles. Par conséquent la construction de chaque ensemble 
E à partir de cU' ne fait intervenir qu'une suite dénombrable 
E,, E.„ ... d'ensembles de tU'; E appartient en même temps à 
la plus petite famille additive au sens complet comprenant 
E|, E,, ... E„, ... Et réciproquement celle-ci appartient à tU'f. 
Donc ciCc est constituée par les ensembles appartenant à l'une 
quelconque des familles Ol, qui sont chacune la plus petite 



* Un de mes collègues de Strasbourg, M. Flamant, a bien voulu me l'aire observer que. 
sans supposer les E„ et F„ simultanément convergentes, on pourrait préciser les iné- 
};alités symboliques (11. C'est ainsi qu'on a 

Bi = e — E' ; e — t' < Cl < E — t' , E — E' <. Ci < E — t' . C = E -H E' . 

J'ajoute que de même : 

i: = E + E' . . ■ + t' < H < E + t' , « + «' < R < E' + <; ; 

(le sorte que si l'une des suites données converge, on n'a plus «jue des égalités. Par 
exemple si les E„ convergent : Ci = E — e' , W = V. -\- t'. 



122 M. FRECIIET 

famille additive au sens complet comprenant une suite dénom- 
brable arbitraire déterminée Dl d'ensembles E,, Eo, ... de cK. 

III. Soit dl,. la plus petite famille additive au sens restreint 
comprenant dl\ c'est, com.me ^^l, une famille dénombrable d'en- 
sembles F,, F,, ... F,„ ... Appelons atome relatif à l'élément A, 
pour le système de, l'ensemble commun à ceux des ensembles 
de Oir qui comprennent A. On voit que si un atome relatif à A 
possède au moins un élément B autre que A, il est aussi relatif 
à B. Deux atomes sont nécessairement disjoints s'ils sont dis- 
tincts. Un atome pour le système dX est, si on le compare à un 
ensemble quelconque F, de ^^l,, soit un sous-ensemble de Fi, 
soit disjoint de Fj. Le mode de construction de cTl^ indiqué plus 
haut montre qu'il en est alors de même vis-à-vis des ensembles 
de tTi,.. Finalement si on a une famille dé/iomômèZe, .U d'ensem- 
bles, on peut regarder ces ensembles de 01 chacun comme une 
somme d'atomes disjoints, atomes qui sont indestructibles 
quand on applique aux ensembles de OX une suite dénombrable 
quelconque d'additions, soustractions, passages à la limite, de 
sorte que, de même, chacun des ensembles de la plus petite famille 
c^l,. additive au sens complet et comprenant Dl est aussi 
une somme d'atomes disjoints. (Ces remarques perdent leur 
intérêt dans le cas où les atomes seraient des ensembles réduits 
chacun à un élément, mais ce cas ne se présente pas nécessaire- 
ment.) La notion d'atome est d'ailleurs moins facilement utili- 
sable ici que dans le cas précédemment étudié où OX serait fini 
(cas où les atomes étaient en nombre fini), parce que l'ensemble 
des atomes disjoints, non seulement ne sera plus ici fini, mais 
même ne sera pas, en général, dénombrable. 

3. Classes d'ensembles. — On peut, si l'on veut, mettre en 
évidence le degré de complexité de la construction des divers 
ensembles de ctC^ en employant la méthode générale indiquée § 1, 
page 116. On appellera U la transformation qui consiste à rem- 
placer d'abord une famille d'ensembles X par la famille X'obtenue 
en adjoignant à J\. les ensembles limites de suites convergentes 
(s'il en existe) d'ensembles de JC: puisa adjoindre à la famille lU" 
obtenue les ensembles qui sont différences d'ensembles de JC 
et enfin à adjoindre à la famille obtenue Jv,, les ensembles qui 
sont sommes de deux ensembles de X,. L'application directe 



ENSE M B l. E S A H S 7 /.* A I T S \ 2:5 

de la méthode générale consisterait à considérer c''c\ comme 
formé des ensembles appartenant à Tune quelconque des familles 
qui sont les termes de la série bien ordonnée 2': 

X . l'A'. UiUtX' 

* 

Mais il est préférable ici de remarquer que t''c', est aussi la 
plus petite famille additive au sens complet comprenant la 
famille X, (famille additive au sens restreint, la plus petite 
comprenant c''C). En conséquence X, est aussi formée des ensem- 
bles appartenant à un des termes de la suite bien ordonnée i 

;<l', . vX,. . l'il'X,.) .... 

où chaque terme s'obtient en appliquant l'opération U à la 
somme des familles de 2£ qui précède celui-ci. Or on peut sim- 
plifier cette construction au moyen du lemme énoncé plus haut, 
sur la somme et la différence de deux ensembles limites. Il en 
îésulte en effet que si JC est une famille additive au sens restreint 
la transformation UJv se réduira à l\K = JC et donnera une 
famille L\K additive au sens restreint. 

On en conclut que la suite 1 s'obtient de la façon suivante: 
chaque terme est la famille X constituée par la somme JC des 
familles de 1 précédant ce terme et par les ensembles-limites 
des suites convergentes — s'il en existe — d'ensembles de J\. 
Autrement dit, après la formation de c''c',. (pour laquelle n'inter- 
viennent que les opérations S, D) la formation des termes 
successifs de 3 ne fait plus intervenir que l'opération L de 
passage à la limite et chaque terme de 1 est une famille additive 
au sens restreint. On voit en particulier qu'au lieu d'appliquer 
dans un ordre quelconque l'addition, la soustraction, le passage 
à la limite, on peut pour former c'i',, épuiser sur X les effets de 
la soustraction; puis sur la famille X,, obtenue épuiser les effets 
de l'addition; enfin sur la famille X, ainsi engendrée épuiser les 
effets du passage à la limite. 

La considération de la suite 2Î non seulement offre un mode 
régulier de construction de c'<l', par l'extension progressive de la 
famille X, mais encore il a sur le premier mode de construction 
indiqué l'avantage de fournir une répartition naturelle des 



12i M. FRECIIET 

ensembles de la famille i^Cc en « classes » d'ensembles dont la 
construction à partir de ciC est de plus en plus compliquée. 

Applications. — On conçoit bien que les généralités précé- 
dentes ont trouvé leur origine dans les travaux concernant les 
familles additives d'ensembles linéaires dont on trouvera l'ex- 
posé récent le plus complet dans l'ouvrage de M. de la Vallée- 
Poussin: « Intégrales de Lebesgue. Fonctions d'ensembles ». 

Même dans ce cas l'auteur croit avoir élargi le point de vue 
ordinaire, par exemple en ne se restreignant pas au cas où la 
famille initiale donnée c^C est formée d'intervalles. 

Mais sa théorie fournit aussi des applications intéressantes 
dans le cas où les éléments considérés sont des points de l'espace 
à une infinité de dimensions. L'auteur développera ailleurs ces 
applications ainsi que l'application à ce cas de la théorie des 
fonctions additives d'ensembles abstraits. 

IV. — Fonctions additives d'ensembles abstraits. 

Définitions. — Si une correspondance est établie qui fait 
correspondre à tout ensemble E d'une certaine famille î:>, un 
nombre déterminé /(E), cette correspondance définit une jonction 
d^ensemble, uniforme sur la famille i>. 

Soient E,, E., deux ensembles disjoints, c'est-à-dire sans élé- 
ments communs; si l'on a 

toutes les fois que E,, E.,, E, + E._, appartiennent à D', on dit 
que / est additive au sens restreint sur 5'. 

Soient E,, E.., ... E„, ... une suite infinie dénombrable d'en- 
sembles disjoints deux à deux; si l'on a 

/•(E, + E, + ...) = /(E,) + fiE,\ + ... 

toutes les fois que les ensembles E,, E.,, ... et E, — E., -f ... 
appartiennent à la famille tT\ on dit que / est additive au sens 
complet (ou plus simplement additive) sur i>. 

On conçoit qu'il sera généralement plus facile et plus simple 
d'étudier une fonction additive au sens restreint (complet) sur 
une famille d'ensembles additive au sens restreint (complet). 



ENSEMBLES A HS IRA IT S 125 

C'est en fait surtout cette remarque qui a provoqué l'introduction 
de ces familles particulières d'ensembles. 

Remarque: M. de la Vallée Poussin a pu écrire, d'ailleurs 
très justement, que le progrès essentiel introduit par la théorie 
de la mesure « est d'avoir réalisé l'additivité au sens complet ». 
Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que si l'intuition 
de M. BoREL n'avait pas soudainement introduit cette notion, 
un développement régulier de la théorie des ensembles et du cal- 
cul fonctionnel aurait dû, plus lentement mais sûrement toute- 
fois, y conduire. Qu'est-ce en effet qu'une fonction d'ensemble 
additive au sens complet ? C'est une fonction additive au sens 
restreint et continue, (et réciproquement), si nous appelons, 
comme il convient, fonction d'ensembles, continue sur une 
famille î:> d'ensembles, une fonction telle que /(E„) converge 
vers /(E) si la suite convergente d'ensembles E„ de ï^' a pour 
ensemble limite l'ensemble E de i>. 

Rappel de propriétés connues des fonctions additives d'ensembles. 
— Nous n'étudierons ici que le cas des fonctions d'ensembles 
additives au sens complet sur une famille 5- d'ensembles additive 
au sens complet. 

I. Une fonction / additive sur une famille additive c> est 
bornée sur i>. Il en résulte que si E = E, + ••• -f E„ est une 
décomposition variable d'un ensemble E de c> en un nombre fini 
de sous-ensembles disjoints appartenant à c>, la somme 

|/-(l-,ll + ... + i /-(!•„) I 

a une borne supérieure finie qu'on peut appeler la variation 
totale de / sur E relativement à la famille t> et qu'on peut 
désigner quand il s'agit toujours de la même famille i> par la 
notation (due à J. Radon) / \ df \ . 

r. 

II. La variation totale d'une fonction / additive sur i> est 
aussi une fonction d'ensemble additive sur i>. 

III. On peut représenter à la fois une fonction additive / 
et sa variation totale au moyen de deux fonctions additives 
non négatives «p. -^ suivant les formules 

f\E\ = z(E) — •l{\i\ 

l'\di\ =z{y.) + -id-i 



IJfi V. IRECHET 

On obtient ainsi la représentation canonique de /. 

IV. La représentation la plus générale d'une fonction d'en- 
sembles additive / comme différence de deux fonctions additives 
non négatives /(E) = 'j^, (E) — '^, (E) s'obtient en ajoutant 
une fonction additive non négative, pour former s,, '^, aux 
fonctions o), '\i de la représentation canonique. En sorte que 
celles-ci sont les plus petites fonctions œ,, ^^, possibles. 

Définitions nouvelles. — Relativement à une fonction d'en- 
sembles additive déterminée, /, et à une famille d'ensembles ad- 
ditive déterminée, c>, 

un ensemble E est presque nul s'il appartient à fï> et si la varia- 
tion totale de / sur E est nulle; 

deux ensembles E, F sont presque identiques^ s'ils ne diffèrent 
de leur ensemble commun que par des ensembles presque nuls; 

deux ensembles E, F sont presque disjoints^ si leur ensemble 
commun est presque nul. 

Décomposition d'une jonction additive en partie régulière et 
en partie singulière. 

Singularité. — Un ensemble H appartenant à la famille F est 
une singularité de la fonction / si tout sous-ensemble de H qui 
n'est pas presque nul est presque identique à H. 

La variation totale de / sur une de ses singularités H est égale 
à i/(H),. Nous appellerons /(H) le saut de / sur H et '/(H) son 
saut absolu. 

Deux singularités de / sont presque disjointes ou presque 
identiques. 

L'ensemble des singularités presque disjointes d'une même 
fonction additive est dénombrable. Et même, plus précisément, 
si une fonction additive d'ensembles a au moins une singularité 
il existe une suite dénombrable S,, So, ... de singularités dis- 
jointes deux à deux, telle que toute singularité de / soit presque 
identique à l'une de celles-ci. 

Appelons ensemble singulier l'ensemble S = S, -r So + ... ou 
tout ensemble T appartenant à t> et presque identique à S. 

Fonction des sauts. Partie régulière. — On peut décomposer 
une fonction /(E) additive sur une famille d'ensembles addi- 
tive i> en deux parties /(E) = s(E) + ^(E), où ^(E), /-(E) sont 
aussi, comme /, deux fonctions d'ensembles additives sur F, 



ENSEMBLES ABSTRAITS 127 

mais où r(E), la partie régulière de /, n'a plus de singularités et 
où au contraire on peut prendre tout ensemble singulier de / 
comme ensemble singulier de s (E), la fonction des sauts de /, 
ui^ec les mêmes sauts que pour /, sur chaque singularité de /, 
la fonction des sauts étant nulle en dehors de tout ensemble sin- 
gulier de /. 

Il suffit pour cela de poser sur tout ensemble E de 5- 

6-(K| = /'(t: ■ Tl , v[V.] = f\\L — 'ï] 

T désignant l'un quelconque des ensembles singuliers de /. 

Remarquons que si E est un ensemble quelconque de i> la 
partie commune à E et à une singularité Sj de / est, soit presque 
identique à S;, soit presque nulle. En appelant Ci = /(S;), le 
saut de / sur Si, on a donc /(E .S,) = Cj ou égal à zéro. Donc la 
jonction des sauts de f peut s'exprimer sous la forme 

r{E] = c^^ + c.^+ ... + c-^^ + ... 

si Si , S,; ... sont celles des singularités de / qui sont « presque 
contenues » dans E , c'est-à-dire qui ne sont pas presque disjointes 
de E. 

D'autre part en ce qui concerne la partie régulière de /, on 
observera les propriétés suivantes de toute fonction additive g 
sans singularité: la borne inférieure de la variation totale de g sur 
un sous-ensemble e non presque nul (et appartenant à i>) d'un 
ensemble fixe E est zéro ; et plus généralement si on fait varier e 
dans E, la variation totale de g sur e, passe par toutes les valeurs 
intermédiaires entre son maximum qui est f^ \dg\ et son mini- 
mum qui est nul. On démontre ce dernier résultat en prouvant 
qu'on peut décomposer tout ensemble E de 5 en un nombre fini 
de sous-ensembles disjoints appartenant à c> et sur chacun 
desquels la variation totale de / est inférieure à un même nombre 
positif donné d'avance arbitrairement. 

Décomposition de la variation totale. 11 y a heu de remarquer 
que si l'on appelle variation positive et variation négative, les 
deux fonctions non négatives (p , ^ dont la différence constitue 
la représentation canonique de /, la décomposition de / se 
reflète exactement sur ses variations totale, positive et néga- 



128 



M. FRECHET 



tive. On a d'abord pour fonctions respectives des sauts de 

?.K) , '^yv.) , ./'e \dj\, les fonctions 

ç(K .T) , -ilE .Tl , f \clf\ 

È.T 

et pour parties régulières 

^(K-T, , J.(l£ -Tl , f \dr\ 



De plus puisque 

f\df\ = \i\'è^ 



?(S,.) + '}(S.| = |?(Sj) — 'ilS;! 



d'où 



|S;| = et /-(S.) — ?(S;| . 

(S;|=0 el /-(S;) = - 'ilS,! 



l'ensemble S = S, + S, + ... de singularités de / qui sont dis- 
jointes est la somme d'un ensemble singulier S' de © et d'un 
ensemble singulier S" de t|/, ces deux ensembles étant disjoints 
et composés le premier S' de toutes les singularités S; de S où 
les sauts de / sont positifs et le second S" de toutes les singula- 
rités S", de S où les sauts de / sont négatifs, les sauts de œ sur S" 
et ceux de t// sur S' étant en outre nuls. 
De sorte qu'on peut écrire: 



s{\L\ — G(K .S') — <i(lv . S") : 
rs[V.) =: o(Ii . S',1 + ^(E . S"| •. 



r{\L) = ç{E — S') — 6{E 
c(E) = o(E - S't + A(E 



S"i 



S', S" étant deux ensembles disjoints fixes, indépendants de E. 

<7 ei p étant la fonction des sauts et la partie régidière de / \df,. 

k 
Remarque: I. Les définitions se simplifieraient et certaines 
précautions de langage pourraient être évitées dans ce qui 
précède si l'auteur s'était borné à considérer le cas où la famille î> 
est complète relativement à / , ou ce qui revient au même le cas 
où l'on aurait « prolongé analytiquement » la fonction /. C'est 
à quoi on arrive, en gros, en considérant / comme nul sur toute 
partie n'appartenant pas à î> d'un ensemble presque nul, comme 



hO YER S R A TI O A\\ E 1. S 129 

l'auteur l'a expliqué dans un article du Bull, de la Soc. Math, de 
France, t. 43, 1915, page 16. 

II. L'auteur traitera ailleurs de la décomposition de la partie 
régulière elle-même, en deux parties analogues à celles qu'il 
avait signalées au Congrès des Sociétés Savantes de 1913. 

II]. Les exposés précédents ont été donnés sans démonstra- 
tions, celles-ci s'obtenant assez facilement quand on se reporte 
aux exposés avec démonstrations (dus surtout à MM. Lebesgue 
et de la Vallée-Poussin) concernant le cas particulier où les 
familles considérées sont des familles composées d'ensembles 
linéaires et contenant les intervalles linéaires. D'ailleurs les 
démonstrations dans le cas général trajté ici ont été données 
au cours des leçons faites par l'auteur à l'Uni s^ersité de Stras- 
bourg dans le premier semestre 1921-22. 



SUR LES FOYERS RATIONNELS D'UNE COURBE 
ALGÉBRIQUE 

l>AK 

P. Appell, Membre de l'Institut (Paris). 



I. Dans un article inséré aux Nouvelles Annales de mathéma- 
tiques ', se trouvent définis les foyers rationnels d'une courbe 
algébrique C 

¥(x , y) = (1) 

comme des points tels que la distance d'un point quelconque M 
de la courbe C au point foyer soit exprimable par une fonction 
rationnelle R des coordonnées de M. 

Cette notion peut d'ailleurs s'étendre aux surfaces. 

A la suite de cet article, M. E. Turrière, aujourd'lnii profes- 



' Sur les loyers rationnels d'une courbe algébrique plane ou gauche, yoin-cllcs Annales 
de Mathématiques, ['*']. t. XVIII, novembre IfllS, p. 401-402. 

L'Enseignement malhém., Ti' année, 1921 et 1022. ^ 



130 P. APPELL 

seiir à la Faculté des Sciences de l'Université de Montpellier, 
m'a écrit pour me donner sur la question ' d'intéressants ren- 
seignements historiques et bibliographiques, qu'il a ensuite 
résumés dans une note publiée dans V Enseignement mathéma- 
tique. 

II. Inversement, si on se donne le foyer rationnel et la fonction 
R de X et y on peut écrire immédiatement l'équation de la 
courbe C; mais cette équation peut ne pas être irréductible. 
De plus, on peut obtenir la même courbe C avec un même foyer 
et une infinité de déterminations de la fonction rationnelle R; 
seulement les équations obtenues ne sont pas irréductibles; elles 
représentent la courbe Ç et d'autres courbes. C'est ce qui résulte 
de la suite. On voit dès lors pourquoi il importe, dans chaque 
cas, de limiter les degrés du numérateur et du dénominateur de 
R. Notamment, pour les coniques, on voit pourquoi il faut 
réduire R à une fonction linéaire de x et y. 

III. D'après la définition, si (a, /S) est un foyer rationnel de 
la courbe (1) en coordonnées rectangulaires, on aura, pour tout 
point M (.T, y) de la courbe (1), 

[x — a|2 + (r — '^? = R^.r . ,r) , (2) 

R {x, y) désignant une fonction rationnelle de x et y. Mais il peut 
arriver que l'équation (2) étant vérifiée par les coordonnées de 
tout point de (1), représente la courbe (1) et d'autres courbes. 
Par exemple, si l'équation (2) est vérifiée par les coordonnées 
X et y de tout point de la courbe C, et si elle est irréductible, on 
a aussi pour tout point de C l'équation analogue 

/ étant une fonction rationnelle quelconque de x et ?/, assujettie 
à ne pas contenir au numérateur le facteur 

(.r - a)2 + {y — ^^)2 _ W . 

Cette équation (3) développée s'écrit 

[i.r — ai- + (V — fil- — R-] [(.r - a)- + (r — .'j)- — (K — À)-| = . \\) 



' Voir l'Enseignement malhcmatiqtic, t. XX, 191!', p. 433-43fi. 



FO YE Jt S n A no N N E L S. 1 3 1 

Elle représente donc la courbe C avec une autre courbe F 
dépendant de /. et ayant le même point (a, ,6) pour foyer rationnel ; 
seulement pour Y la fonction rationnelle R(x, y) est remplacée 
par une autre fonction rationnelle quelconque R — /. Le même 
point (a, /3) est donc, d'une infinité de façons, foyer rationnel 
de C. Si r désigne la distance d'un point M(j', y) au foyer (a, ,6), 
et si on a, pour tout point de G 

.• = R|.r,.v) 
on a aussi, pour tout point M de C, 

(a- — a.)"- + i.v — .i)- - R- 
,■ = R + ^ ; 

résultat évident; mais la nouvelle équation n'est pas irréductible. 
Je n'insiste pas sur l'application aux coniques qui est immé- 
diate. Par exemple si l'équation d'une ellipse est 



U- — C)- + r- z= 

on a aussi, pour tout point de la courbe. 



{x — c]- + 



[{X — c\^ -\- f — {~x — a\ 
-a- — « H ; ^ '— 
a K J 



Si on suppose / constant^ cette dernière équation représente une 
courbe du quatrième ordre, composée de l'ellipse donnée et d'une 
deuxième ellipse 

[X — c)- + y- =z 

Le même traitement appliqué à l'équation (6) donnera les 
deux coniques et une quadrique, etc.. 

Cas des quadriques. — Je demande la permission d'attirer 
l'attention sur le sujet suivant: « Peut-il exister, pour des qua- 
driques non de révolution, des foyers rationnels (a, (3, y) ? » 

En d'autres termes, peut-on avoir, pour tout point M{x, y, z) 
d'une quadrique 

/•;:' + '^ 4. î: _ 1 ^ n (qi 

a h c 



132 P APPELL 

OU 

2,> ^ -Iq 

(r - a)2 + ( V — ::)- + C — y»- = 



7;, +iU-. r . -Il- 

/„|.r, v.'ri J 



fk étant un polynôme en a:, ;?/, s de degré k. 

Algébriquement, cela revient, pour Q par exemple, à déter- 
miner a, /3, •/ et les 

{n + \)\ n + 2l (// 4- 3l (/? + 2) (» -f 3) (n + ^i> 



coefTicients des deux polynômes /„ et /„+i, de façon que l'on ait 
l'identité 

[(.. - a,^ + ,r - ?,^ + (3 - T)^]/;: - z;:^, = (-^ + •; + 1^ - i)f,„ 

où /i,, est un polynôme de degré 2n avec 

(2/i + 1)(2«. + 21(2// + M) 

coefficients. L'identification des deux polynômes de degrés 2« + 2, 
qui sont dans les deux membres, donne 

[ïn + 3)(2« + 4)(2h + 5) 

équations. En écrivant que le nombre des coefficients à déterminer 
est supérieur au nombre des équations, on a 

(2«. +_3) (2« + 4) (2« + 5i 
— \Mn -f 1M« + •■^H2« + 5) + 2(/< + 11(2// + \]{2n -f 3i -|- 18 > 

ou, en faisant /^ -f 1 = v 

2v=' — 15v- — llv + i« > 

inégalité vérifiée pour y = 9, /i = 8. 



SUR LES FOYERS RATIONNELS DES COURBES PLANES 

PAK 

M. Emile Turrière (IVIontpellier). 



A l'occasion de Tartiele Sur les foyers rationnels d'une courbe 
algébrique de ^L P. Appell, que publie ci-dessus V Enseignement 
Mathématique, je crois devoir ajouter quelques indications à 
l'article Sur les foyers rationnels d'une courbe algébrique que 
j'avais publié ici-même en 1919 '. 

L'équation polaire d'une courbe algébrique douée d'un foyer 
rationnel O, lorsque ce point est pris pour pôle, peut être mise 
sous la forme: 

/ étant une fonction rationnelle de tang ~ . 

1. Cette remarque rappelée, je considère une courbe de direc- 
tion de Laguerre. La tangente de cette courbe étant représentée 
par l'équation 

j- cos a 4- >' siii X = '■) (al . 

les cosinus directeurs de cette tangente, c'est-à-dire cos a et sin a, 
sont fonctions rationnelles de tang - . Par définition, d'autre part, 
X et y sont des fonctions rationnelles d'un paramètre t, telles que 
-7- et -7- soient aussi des fonctions rationnelles de /. Il en résulte 

as as 

que, pour une représentation propre ou rendue propre, t est 
une fonction rationnelle de tang - . 

La fonction &>(«) est donc fonction rationnelle de tang -y . 

Par suite: 

La podaire. par rapport à un point quelconque du plan, d'une 
courbe algébrique de direction est une courbe admettant ce point 
pour foyer rationnel. 

Réciproquement, si on considère une courbe (T) admettant 



* L'Enseignement Mathématique, •.'0« anDce. l!U!i. p. rx.\-\2i\. 



134 E. TURHIERE 

pour foyer rationnel, sa podaire négative est définie par une 
équation polaire tangentielle : 



= f\ tang ^ 



-j^ et ~ sont alors des fonctions rationnelles de tans -r ; les 

coordonnées du point courant de cette podaire négative et le 

ravon de courbure R = -r- = w + T-i, sont fonctions ration- 

dcL fla- 

nelles de ce paramètre. Par suite: 

La podaire négative dhine courbe plane, algébrique, admettant 
le pôle pour foyer rationnel, est une courbe de direction. 

2. En menant par un point O, fixe, un vecteur Op équivalent 
au rayon de courbure R au point courant M d'une courbe (C). 
le lieu de l'extrémité p de ce vecteur est la courbe nommée la 
radiale de la courbe (C). Le point p a pour coordonnées polaires 
R et a, en prenant pour pôle avec un axe azimutal convenable. 
Si la courbe (G) est de direction, R est, d'après ce qui vient d'être 

indiqué, une fonction rationnelle de tang -^ . Par suite : 

La radiale d'une courbe de direction plane et algébrique, est 
une courbe admettant le pôle pour foyer rationnel. 

Réciproquement, si on impose la radiale (R) d'une courbe 
inconnue (C), en supposant que (R) soit une courbe algébrique 
admettant le pôle pour foyer rationnel, l'équation naturelle 
de la courbe inconnue (C) est : 



R = r(tangf). 



/ étant rationnel en tang — . Les coordonnées cartésiennes d'un 
point courant de (C) sont déterminées par deux quadratures, 

/ R cos a di. et / R sin a d% . 

portant toutes deux sur des fonctions rationnelles de tang;, . 

Si l'intégration s'effectue au moyen de seules fonctions ration- 
nelles, la courbe (C) est une courbe de direction de Laguerre. 
Mais, généralement, la courbe (C) ainsi obtenue est transcen- 
dante (panalgébrique comme la chaînette, ou d'ordre deux de 



FOYERS RATIONNELS 135 

transcendance comme la chaînette d'égale résistance de Coriolis) 
C'est une courbe trariscendante de direction^ au sens de la géné- 
ralisation de la notion de courbe de direction qui avait été 
indiquée par M. P. Appell ^ en 1896. 

Comme les propositions de cette nature de la géométrie géné- 
rale ne valent que par les applications qu'il est possible d'en 
faire, je signalerai en plus de la chainette d'égale résistance de 
Coriolis dont la radiale est une droite, les courbes suivantes 
transcendantes et de direction: 

la cycloïde dont la radiale est le cercle R = a cos a; la chai- 
nette ordinaire dont la radiale est le campyle; la tractrice 
d'HuYGENS dont la radiale est la courbe Cappa; la courbe 
d'égale pression pour un point matériel pesant (courbe qui a 
été étudiée par M. L. Le cornu, mais qui avait été considérée 
dès 1700 par le marquis de l'Hospital, par Jean Bernoulli 
et par Leibniz (?) ), la courbe du pendule à tension constante 
(intimement liée à la courbe de pression constante), la chaînette 
élastique considérée par Bernoulli, par Bobillier et Finck et 
citée par A. -G. Greenhill qui fait remarquer que cette courbe 
d'équations paramétriques 

X =z t -\- 2k sli t , 
r = clW + /. ch- t . 

se construit par additions des coordonnées de la chaînette ordi- 
naire et d'une parabole, les tangentes en des points correspon- 
dants étant parallèles; la radiale de cette courbe s'obtient en 
ajoutant les rayons vecteurs de la multiplicatrice, radiale de 
la parabole, et du campyle d'EuDoxE, radiale de la chaînette 
ordinaire. 

Comme courbe moins simple, mais intervenant en dyna- 
mique (tautochronisme avec résistance de milieu), je citerai la 
courbe : 

y + s = e'-' , 

sin 2f.) . , . . s- . 

.r =: '•) -|- — ^r , V ■=: SUT '■> — l'Og sin ■■> , e' -^^ siii '■> , 

dont la radiale est la strophoïde droite. 



' p. AcPKLL. Exercice sur les courbes de direction. ynuvelUs Annales de mathéma- 
tiques [3], t. XV, 1896, p. 491-495. 



SUR LES TRACTRICES 
ET LES COURBES ÉQUITANGENTIELLES 

l'AK 

C. De Jans (Gand). 



1. La présente Note a pour but, non d'apporter des résultats 
nouveaux dans la solution du problème général des tractrices 
et des courbes équitangentielles, mais de montrer que l'usage 
des coordonnées intrinsèques rend pour ainsi dire intuitive la 
démonstration des formules fondamentales, et permet d'établir 
d'une manière facile certaines propriétés des tractrices du cercle. 

On définit la tractrice d'une courbe plane (C) comme la 
trajectoire d'un point P, susceptible de glisser avec frottement 
sur le plan de la courbe, sous la condition d'être maintenu à une 
distance invariable k d'un point M décrivant (G). 

La tractrice dépend donc, en général, de deux éléments 
arbitraires: la longueur du segment rectiligne k et l'orientation 
de ce segment pour une position donnée Mo de M. 

La définition qui vient d'être donnée est équivalente à la 
suivante: la tractrice d'une courbe (C) est une courbe (C) telle, 
qu'à chaque point P de (G') corresponde un point M de (G), 
situé sur la tangente de (G') au point P, de manière que la lon- 
gueur P M soit constante. 

C'est cette deuxième définition dont on déduit généralement 
les propriétés géométriques des tractrices. Elle montre qu'une 
courbe quelconque est tractrice de toutes ses courbes équitan- 
gentielles; le problème des tractrices et celui des équitangen- 
tielles sont ainsi réciproques. 

2. Désignons par cr l'arc de la courbe (G), compté à partir 
d'une origine arbitraire Mo sur cette courbe; par r, le rayon de 



>• UK LE S T R A C T RI CE S 137 

courbure correspondant. Soient de même R, s les coordonnées 
intrinsèques du point correspondant P de la tractrice (C). 
Soient encore M, M' deux positions infiniment voisines de M, se 
suivant dans le sens des arcs croissants: P, P', les positions 
correspondantes de P ; (/r, l'angle compris entre les droites MP, 
M' P'; a, l'angle de M P avec la tangente à (C) en M, compté 
dans un sens convenable. On a 

ds ■=! d<z cos a , kd - = rfs sin a . 

En tenant compte de la relation ds = R^t, on déduit de ces 
formules les relations bien connues 



/.■ 



Dans la première, le signe ambigu du radical a été mis en 
évidence. La seconde exprime que le centre de courbure de la 
tractrice est l'intersection des normales aux points M et P qui 
se correspondent sur leurs courbes respectives. 

Il en résulte que R s'annule en tous les points P où P M est 
normale à (C), et devient infini en tous les points P où P M est 
tangente à (C). 

3. Si «, au point M', devient y. — (ia, et si nous appelons dl 
l'angle de contingence de (C) au point M, nous avons encore 

dl = d- -\- doi , d^ z= rdl ; 

d'où, en tenant compte de (1) et de l'équation (2) difYérentiée, 



_^_^/\i^- + k^ m dR 

r ^ - n^ + i:^ ^ ■ *'^' 

^Pour obtenir l'équation intrinsèque de la tractrice, il faudra 
éliminer r et o- entre les équations (1), (3) et Téquation intrin- 
sèque -7 = /(r) de la courbe (C). En général, on sera conduit 
ainsi à définir la tractrice par une équation différentielle du 



138 C. DE JANS 

second ordre. Xous verrons cependant que, comme dans le cas 
où Ton emploie les coordonnées cartésiennes ou polaires, les 
équations intrinsèques des tractrices de la ligne droite et du 
cercle s'obtiennent par l'intégration d'équations du premier 
ordre, se ramenant immédiatement aux quadratures. 

L'équation différentielle qui définit les tractrices d'une courbe 
(G) peut admettre des intégrales singulières correspondant elles- 
mêmes à des tractrices; on peut appeler celles-ci des tractrices 
singulières. 

4. Réciproquement, pour obtenir l'équation intrinsèque de 
la courbe équitangentielle de (C), pour la valeur |A;| du segment 
constant, on éliminera R et s entre les équations (1), (3) et l'équa- 
tion intrinsèque R = (j)(5) de (C). Comme le segment !A;| doit être 
porté sur la tangente, en deux sens opposés à partir du point 
de contact, il faut donner à A; le double signe; on aura ainsi à 
éliminer s entre les équations 

3 



~ ?' -h A--'± /.os' ' 

. .. . , dz 

ou 1 on a pose c = -r^ . 

^ ' as 

L'équitangentielle ainsi déterminée peut, d'ailleurs, être 
décomposable en deux courbes distinctes. 

5. Pour une valeur donnée de |A;|, une courbe n'a qu'une équi- 
tangentielle, tandis qu'elle a une infinité de tractrices. L'équa- 
tion de ces dernières peut changer suivant qu'on prend k avec 
l'un ou l'autre signe. Nous ferons à ce sujet la convention sui- 
vante, qui s'accorde avec la règle usuelle des signes. Au point 
initial M,,, pris sur la courbe de base, l'orientation de la droite 
sur laquelle sont portés les segments â;, — ^*, est définie par la 
valeur a,, de l'angle a, déterminé d'une manière univoque 
(n"' 1 et 2). Les segments opposés M^ Pq, Mq Qn, égaux à lÀ"!, 
définissent deux points initiaux P^, Qo, à partir desquels, lors- 
qu'un point M décrivant la courbe (C) passe en Mo, deux points 
P, Q tracent chacun une branche de tractrice. Nous convenons 
de dire que les trajectoires de ces deux points forment une 
tractrice complète. Celle-ci peut être indécomposable ou non. 



s UR LES TRACT RI CE S 139 

Au point de vue envisagé, la tractrice ordinaire de la ligne 
droite n'est pas une tractrice complète \ 

La tractrice complète dépend donc des arbitraires jÀ;| et a„, 
ce qui s'accorde avec sa défmition^par une équation différentielle 
du second ordre. L'angle a» varie de à -. 

6. Développée de la tractrice. — Désignons par R,, 5:, les co- 
ordonnées intrinsèques des points de cette développée qui 
correspondent aux points R, s de la tractrice; nous choisissons 
l'origine des arcs ^, en un point de rebroussement de cette 
dernière courbe; des relations 

il suit immédiatement 

R = ., , ^^ = ^ •• (51 

par substitution dans l'équation de la tractrice, on aura l'équa- 
tion de la développée. 

On peut encore écrire, en partant de la courbe (C) et en 
utilisant les formules (1), (3), (5), 



y s\ + r- . ds^ = R,(f s , — \ — = 1 — 



/R, 



7. Application à la tractrice ordinaire. — Dans ce cas, (G) a 
pour équation r = go ; la formule (3) donne 



ds RrfR 



X — R-' 4- A2 ' 

En comptant les arcs à partir du i)oint où R = 0, on obtient 
l'équation bien connue de la tractrice: 



R-' = ir-\e' — 1/ = U-e'' sh - 



* La tractrice complète de la droite, pour \k\ arbitraire et or^ = ^ , se compose de deux 

tractrices ordinaires, symétriques par rapport à la droite de base ; c'est peut-être ce qui 
a fait dire à Salmox [Traité de géométrie analytique (courbes planes), trad. O. Chemin, 
Paris, 1884; p. 405) que la tractrice ordinaire doit être complétée par sa symétrique. 



140 C. DE JANS 

La deuxième forniiile (6), })oiir r = go, fournit l'équation 
de la développée: 

K, = ^^ + /. . 

qui représente une chaînette. 

Déterminons encore les équitangentielles de la tractrice 



R2 = a- Xe" — 1 

En posant 

2.1 

"^ — ^' _ .2 e" = *' ~ ^" 

«■■* ' <- — 1 ' 

on trouve, au moyen des équations (4), la représentation para- 
métrique suivante: 

ak^ t^ a , {t — <•)'' {t + 1\ 



a + A- ■ (a ± /• — at-) ^^2 _ ^ ' 2 " ,< ^ j.,'' ,f _ ij 

Les courbes qu'elle définit sont toujours décomposables en 
deux syntractrices. Un cas remarquable correspond k k = a; 
une branche est la droite asymptote, l'autre a pour équation 
intrinsèque 

a 1 

}■ ^ — cosh - , 
2 a 

c'est une courbe bien connue. 

8. Application aux tractrices du cercle. — Soit a le rayon du 
cercle donné. L'équation (3) devient, pour /• = «, 

a/.R d?y 



« + VH^ + ^^ = ^^,3 ,, • 
En excluant la solution 

on peut sépai'ci' les variables et écrire 



ds =z ^_^_ . (9) 

(R2 + A-2) [a qiVK^ + /.-') 



s UH L E S TR A C TR I C E S 141 

L'équation (8) est une intégrale singulière de (7); elle montre 
que, parmi les tractrices du cercle r = a, pour une valeur donnée 
de A;, se trouve comme tractrice singulière un cercle de rayon 
va' — ^^ Ce cercle est évidemment unique et concentrique 
au cercle donné; il est réel si |A'j <^ a. 

Dans Téquation (7), on peut toujours admettre que k est 
positif; car, dans Thypothèse k < 0, il suffirait de compter leS 
arcs en sens inverse pour être ramené à ce cas. D'autre part, 
l'équation étant du premier ordre, son intégrale générale dépend 
d'une seule constante arbitraire, qui sera fixée par le choix de 
l'origine des arcs; donc, lorsque k est donné, (9) définit une courbe 
unique pour chacun des signes attribués à \/R^ + k'^. En d'autres 
termes, les deux tractrices, celle qui répond au signe — • comme 
celle correspondant au signe +, sont déterminées en forme et 
en grandeur par la valeur de k; l'orientation, au point jMq, de 
la droite P^, Qo n'influe que sur leur position. Par conséquent, 
il y aura toujours au moins un point de ces courbes oîi la droite 
P M (ou la droite Q M) passe par le centre du cercle de base, 
c'est-à-dire oii R = 0. Nous compterons les arcs à partir d'un 
tel point. 

On obtiendra aisément l'intégrale générale en posant dans 
l'équation (9) R'^ -f- A:^ = m-; il vient ainsi, avec la condition 
que s = donne u = k, 

■Js .1 



ou 






R- = 4/- H- a — li] 



pour l'équation intrinsèque de la tractrice. Elle peut représenter 
deux courbes, à cause des doubles signes; les signes supérieurs, 
ainsi que les signes inférieurs, se correspondent. 

On voit que R s'annule pour ,v = et pour s = k log , ijl ^^ • 

Ces dernières valeurs sont réelles si A' > a; elles mesurent la 



142 C. DE JANS 

longueur de l'arc compris entre deux points de rebroussement 
consécutifs. De même, on a R = oo pour s = k log "^ ; les 

points correspondants sont réels sur les tractrices qui corres- 
pondent à A' > a, et sur une branche des tractrices qui corres- 
pondent k k <^ a. Enfin, lorsque s tend vers l'infini, R a pour 
limite \/a- — k' ; et l'on sait en eiïet quelatractrice pour k <^ a 
a une longueur infinie et possède un cercle asymptotique réel 
de rayon \Xa' — k-, concentrique au cercle de base et asympto- 
tique pour les deux branches de la tractrice complète; il coïncide 
d'ailleurs avec la tractrice singulière. Si /c = a, ce cercle a un 
rayon nul; l'équation (10) donne d'une part R = o, et de l'autre 



2a\ e^ - 1 



(11) 



c'est l'équation connue de la tractrice polaire {tractrix compli- 
cata de Cotes). Dans ce cas, l'arc entre le point de rebrousse- 
ment et un point d'inflexion mesure a log 2. 

Remarquons que la courbe (10), où l'on prend a avec le signe 
— , s'identifie avec celle où a est pris avec le signe -p, si l'on 

remplace s par s — k log ,. , ■> ce qui revient à transporter 

l'origine des arcs du point de rebroussement primitivement 
choisi en un des points de rebroussement immédiatement voisins. 
En n'introduisant que des arcs réels, ce transport de l'origine 
n'est possible que pour les tractrices qui correspondent à A: > a. 
Donc les deux courbes représentées par l'équation (10) sont 
congruentes si A; > a; elles ne le sont pas si A < a. En d'autres 
termes, il n'y a qu'une tractrice dans le premier cas; il existe 
deux tractrices différentes dans le second. 

9. La tractrice du cercle peut-elle être une courbe fermée ? — 
Puisque les tractrices, pour k <^ a^ possèdent un cercle asymp- 
totique, et ont, par conséquent, la forme de spirales à une 
infinité de spires, seules les tractrices qui correspondent à A- > a 
pourront éventuellement se fermer sur elles-mêmes. On sait 
que ces courbes présentent deux séries de points de rebrousse- 
ment, répartis sur deux cercles concentriques au cercle de base, 



SUB LES TR ACTRICE S 143 

de rayons k —- a eik — a. En s'appuyant sur d'évidentes raisons 
de symétrie, on s'assure que, en désignant par O le centre du 
cercle, et par A, B, C, trois rebroussements consécutifs sur la 
tractrice, la condition pour que cette courbe se ferme est que 
l'angle au centre A G soit commensurable avec 2;:, ou, en 
d'autres termes, que l'angle A B soit commensurable avec tt. 
Or, si nous connaissons Tare c' du cercle qui correspond à l'arc s 
de la tractrice, d'extrémités A, B, il est clair — vu que le segment 
A- aux points A et B est normal au cercle, et passe ainsi par — 

que l'angle AOB est congru à - suivant le module -.La tractrice 

sera donc fermée, si le rapport -^ est commensurable, et cette 
condition est aussi suffisante. 



Posant e^ = x^ on a, par (10), 



avec 

A- = i± rt — /.) |i± a + k]x- — -ik-v — i± a — k]] . 

Nous pouvons supposer que a est affecté du signe -f- \ nous 
avons vu, en effet, (n" 8) que si a était précédé du signe — , on 
serait ramené au premier cas par un simple changement d'origine 
des arcs. L'équation (1) donne alors 

d'j =: ak— . 

En fixant l'origine des arcs de manière qu'à 5 = corresponde 
(7 = 0, et en nous rappelant que l'arc 5' compris entre deux 

rebroussements consécutifs A, B vaut kloç'^r—r — -, l'intégration 

' ^ k -\- a^ ^ 

donne, pour l'arc correspondant du cercle de base, 

,' — (2/> + hak - 

p étant un entier. 

La condition de fermeture sera que le ra])])ort positif 

C lp + \)k 



144 C. DE JANS 

soit égal à un nombre commensurable. Représentons celui-ci 
par une fraction^, que nous pouvons supposer réduite à sa 
plus simple expression. Il en résulte 



Comme nous pouvons donner à u. des valeurs entières quel- 
conques, nous obtiendrons toutes les tractrices envisagées en 
donnant à p une valeur fixe; en choisissant pour cette dernière la 
valeur zéro, il vient 



i=v/'-(ir- 



Cette formule détermine le rapport des longueurs a et k qui 

définissent une tractrice fermée; elle montre que la fraction - 

est au moins égale à 1. 

Appelons foliole l'arc ABC de la tractrice, A et C étant deux 
points de rebroussement voisins sur le cercle de rayon A: — a, et 
B le rebroussement intermédiaire situé sur le cercle de rayon k-\-a. 
La tractrice définie par la formule (12) est composée de u. folioles, 
et l'on fera, pour la décrire, 1 fois le tour du cercle de base. En 
effet, l'angle m, qui mesure l'arc de cercle décrit par le point M 
pendant que le point P décrit une foliole, est égal au double 

de "' pris pour /; = 0; nous aurons donc 



2- "" ;j. ■ 

ce qui démontre la proposition énoncée. 

L'angle sous lequel la foliole est vue du centre du cercle de 
base est 



et l'angle sous lequel la tractrice entière est vue a la valeur 

2- i/. — ;jLl . 

10. Vi\ cas }>articulier assez intéressant est celui des tractrices 
à une seule foliole, c'est-à-dire celles qui répondent à ^. = 1. 



.s i'ii I. E S T H ALT RI C E S 1 \ 3 

Ces courbes sont pyriformes et possèdent deux points de rebrous- 

sement alignés sur le centre du cercle; elles sont, pour «(, = f', 

des tractrices complètes indécomposables. Celle pour laquelle 
X = 2 a la forme conventionnelle d'un cœur. A mesure qiu^ À 
augmente, elles tendent vers la tractrice polaire. 

11. Il y a lieu de distinguer les courbes fermées pour lesquelles 
k <[ 2a, de celles pour lesquelles k > 2a. 

^ 'lu 

Si A" < 2fl. on a / > '' ; le minimum du nombre u. est 1. 

Il y a dans cette catégorie des tractrices à un nombre quel- 
conque de folioles. 
Si k > 2a, on a 

'?■ ^J^6 

l'entier a minimum qui puisse satisfaire à cette condition est 
u. = 7, ce qui signifie que cette classe ne comprend pas de trac- 
trices à moins de sept folioles. Avec cette valeur de //, l'inégalité 
précédente exige X = 8: on fait donc 8 fois le tour du cercle. 

12. Développées des tractrices du cercle. — Les équations (5) 
et (9) donnent pour l'équation la développée, 

(/ -f k') [a ± i/<+l^) 
^* = al • 

Cette courbe se compose de deux branches, à cause du double 
signe du radical. Si u. =■ 1, elle appartient aux lignes dites à 
\ ventres. 

En particulier, la développée de la tractrice polaire est 



K. = 



(/ 4- «=) (a ± (/.; + .') 



Cette ligne est bien connue; elle n'est autre que la si)ira!e 
algébrique d'équation polaire ,o(w- — 1) = 2a. 



L'Enseignement ni.ithém., 2"J' année, I'.I21 l't Vill. 



SUR CERTAINES IDENTITÉS GÉOMÉTRIQUES 
ET LEUR TRADUCTION ALGÉBRIQUE 

PAR 

P.-C. Delens (Le Havre). 



Je me propose ici de montrer les avantages des algèbres 
géométriques comme intermédiaires entre le raisonnement direct 
et le calcul analytique. Certaines de ces méthodes s'appliquent 
particulièrement à l'étude des systèmes articulés plans et gauches 
et ont déjà été employées avec succès dans ce sens. Je reprends 
une question traitée par Laisant et M. Fontené dans les 
Nouvelles Annales de Mathématiques (années 1899, 1917), tant 
par le calcul des quaternions que par la géométrie, et dans le 
but de rapprocher les deux méthodes. Il s'agit de l'extension 
au tétraèdre du théorème de Bellavitis sur le quadrangle 
plan. 

Soit un tétraèdre ahcd\ en employant le quaternion comme 
bi-radiale ', je forme le bi-rapport: 



[ahcd] = 4— = ( -T II ^ 1 ■= ca. ch-K dh . da-^ , 
d(i \cl>J\dbJ 

les facteurs étant ordonnés, {ca, etc. désignant des vecteurs, et 
même des vecteurs quaternions de Hamilton dans le dernier 
membre de l'égalité.) 

Soit maintenant efg une section anti-parallèle de bcd par 
rapport à a sur le tétraèdre; sur la face abc, les vecteurs ef et 



• ce. G. Kœnic.s. Cinématique, p. 464. 
H, Level'Oliî. Calcul géométrique, p. 107 



/ D i: \ T I TE S G E () M E TRI O LE S 1 47 

cb sont anti-parallèles et on obtient, sur simple inspection de 
la figure, l'égalité entre quaternions: 

ca ea ,. . , 

7y- = K — iK ^ conjugué de) 

De même sur la face abd: 



donc : 



da ea 



\ahcd) = K-^ 



Evaluons de même le bi-rapport (acbd): 

[acl>d\ = K^^ . 
cl 

Mais les vecteurs eg, g/, je forment un contour triangulaii-e, 
donc: 

es + gf-^fe = i) (1) 

et par suite: 

ef ^ ef ef 

11 en résulte que dans le calcul des quaternions comme dans le 
calcul algébrique usuel, on conserve l'identité: 

^altcd) + {achd) = 1 . (2) 

C'est cette identité qui, rapprochée de (1), traduit le théorème 
de Bellavitis pour le tétraèdre. Avant d'en tirer quelques consé- 
quences, ajoutons quelques mots sur les propriétés du bi-rapport 
{abcd). Une telle expression est un quaternion, soit X, défini de 
manière unique par son module, son angle d'ouverture et son 
axe. Or il est facile d'exprimer en fonction de X les expressions: 

\ahrd] z=z /, , [alidc\ = — . iachd) := I — À , 

Il 1 . . ''• Il '• — ' 

{acdh] rr : , {adcb\ = :^ , [adhc] = — ^ 

1 — K /. — 1 A 



148 P.-C. DKLENS 

qui représentent toutes les quaternions co-axiaux, et dont 
l'interprétation est immédiate dans le triangle efg. 
Si on évalue au contraire les expressions: 

[Inidc] ^ '1. icdal)] = v [dcha] = c 

on trouve leur représentation appropriée dans les triangles 
sections du tétraèdre par les plans anti-parallèles aux faces cda^ 
dab, abc, par rapport aux sommets opposés. Ces quaternions 
ont du reste même module et même ouverture que ). et de 
chacun d'eux on déduit, comme précédemment, cinq autres 
quaternions co-axiaux '. En ce qui concerne l'invariance de la 
forme du triangle représentatif d'un tétraèdre par rapport au 
groupe des inversions, cela résulte de la constance du module 
de }. (ou |t/, y, p). 

En définitive, on a obtenu 24 bi-rapports vectoriels, formant 
4 groupes de 6 éléments, groupes se correspondant par l'échange 
de X en [x, v ou p. Les propriétés usuelles des rapports anharmo- 
niques ne sont donc pas toutes conservées pour ces bi-rapports, 
mais celles qui subsistent traduisent des analogies entre ensem- 
bles de 4 points de la droite, du plan, ou de l'espace. 

On aurait du reste pu envisager d'autre manière l'extension 

du rapport anharmonique, par exemple considérer . , — 

ca.db.cb~\da'\ et établir les relations entre ces expressions et 
les précédentes. 

A noter encore que le quaternion /. = (abcd) peut servir à 
fixer dans l'espace la position d'un point d par rapport à un 
triangle de référence abc. 

Revenons à l'étude de la relation (2): 

{ahcd\ -\- [avhd\ = 1 (2| 

ou: 

en . (•/>-' . dh . d(i-^ + ha . hc-' . de . da-' = 1 . 

Si le tétraèdre est aplati suivant un quadrangle sur un plan, 
la démonstration donnée reste valable; mais entre quaternions 



• Lëtude du luécaDisine de M. Bennett (isogrami (Cf. H. Bkicarii. Cinématique et Méca- 
iiisines, p, 159) se hase directement sur ces reinart|iies. 



IDEiSTITES GEOMETRIQUES l'i9 

co-axiaiix (ou opérateurs complexes), la eommutativité de la 
multiplication permet d'écrire l'équation précédente sous la 
forme : 

ah . rd -\- (If . dl> + ad . hc =z . CU 

Ce n'est cependant pas sous cette forme (3), mais sous la forme 
(2) qu'on peut généraliser le théorème de Bellavitis. 

La relation (3), comme Ta rappelé M. Fontené, est une identité 
algébrique entre vecteurs, à savoir: 

.*• ( V — :l + _f |; — -^-l + : {■"■ — .Vi = 

dès qu'on emploie entre les vecteurs une multiplication distri- 
butive et commutative. 

Or soit pq le produit de deux éléments — ici des vecteurs — 
dans une telle multiplication. 11 résulte de l'oeuvre de Grass- 
mann qu'un tel produit peut se ramener à une fonction linéaire 
et homogène du produit <* algébrique » {pq) des mêmes éléments. 
L'opération de la division généralisée permet aussi de substituer 
à ces produits des équivalences algébriques suivant un module 
convenable. Ainsi Grassmann a défini dans le plan le produit 
'( complexe > de deux vecteurs, qui se peut traiter comme une 
équivalence algébrique suivant le module {u') — {(■'-), u et v 
étant deux vecteurs unitaires rectangulaires (de même que le 
produit des nombres complexes est une équivalence suivant 
le module 1 4- r). 

On confond trop souvent ce produit complexe des vecteurs 
du plan avec le produit des nombres complexes, qui lui est 
seulement isomorphe: l'exemple du théorème de Bellavitis va 
encore montrer la différence des méthodes. 

Deux produits complexes de vecteurs d'un plan, pq et p'q', 
étant égaux quand leurs produits algébriques (pq) et (/>'</') sont 
congrus suivant le modiih» {u^) — (c^^), on voit que l'égalité: 

P'I = l''<l' 

signifie: 

1° les produits des modules des vecteurs />, q et //, q sont égaux 
2o les couples de vecteurs /;, q et />', q' ont même direction de 

bissectrice intérieure, même direction de bissectrice extérieure. 



150 P.-C. DE LE N S 

Dans le produit complexe ainsi défini, la multiplication est 
commutative, le produit ne s'annule qu'avec un de ses facteurs, 
la division est possible et unique. On peut donc définir, à partir 
d'un vecteur w, un second vecteur u tel que: 

u z=. '— ^= ^ (1 z= — p 

H U II ^ 

par: 

-, -, sont alors les nombres (opérateurs) complexes mesurant 

les rapports de p, 9 à un vecteur arbitraire m, choisi comme 
unité dans le plan. Alors: 

P1^P_9 

11^ u u 

est le produit de ces nombres complexes. 

Partons alors de l'identité (3), la multiplication étant com- 
plexe. De 

ah . cd -\- ac . dh -f- ad . hc = (3i 

on déduit: 



soit: 



ah . cd , ac . dh ad . Ix- 

H + = 



«j -f- "•> + ".-î = f' 



c'est-à-dire qu'à tout vecteur u du plan correspond, par rapport 
au quadrangle abcd^ un contour triangulaire U formé des vec- 
teurs W,, ».^, 11.^. 

En divisant par u"^ les termes de (3) on obtient la relation 
entre nombres complexes comme elle est habituellement em- 
ployée '. La relation (3) elle-même indique en outre que les 
directions des bissectrices des couples de côtés opposés du qua- 
drangle forment une involution. 



' u est utile de remarquer que, réciproquement, toute équation entre nombres complexes, 
rendue homogène, s'interprète comme équation entre produits complexes de vecteurs, par 
suite de l'isomorphisme signalé. 



IDENTITÉS GÉOMÉTJUOCES 151 

Enfin, comme évidemment: 

nb . cd ac . dl) ad . hc 

ab . cd ac . db ad . bc 



ou: 

ah . cd ac . db ad . bc 



et les égalités qui s'ensuivent entre modules et angles, le triangle 
U reste semblable à lui-même quand ii varie: c'est le théorème 
de Bellavitis. 

Si on développait un produit complexe analogue entre vec- 
teurs de l'espace, on aurait à considérer des congruences géo- 
métriques suivant un module (u^) + (t-^) -f {w^) (m, ^', <»' étant 
3 vecteurs égaux, 2-à-2 rectangulaires). 

Mais une égalité telle que: 

j,(/ = p'ff' 

ne serait possible que si les 4 vecteurs étaient coplanaires. 
Autrement dit, une expression — ne pourrait en général repré- 
senter un vecteur, la division ne serait plus possible. De l'iden- 
tité (3) étendue au tétraèdre, car la multiplication reste com- 
mutative, on ne pourrait en général déduire l'existence d'un 
triangle U correspondant à un vecteur u. Ce triangle n'existerait 
plus que pour des positions particulières de u. Nous allons 
tourner cette difficulté. 

Soit rflipq), u] une fonction linéaire et homogène à la fois 
par rapport au produit algébrique (pq) et au vecteur w, et qui 
représente elle-même un vecteur. Alors, en posant: 

<s[(ab . cd] , u] = «, , riUic . db\ , a] = u., , r\^"^ ■ '"■' • "1 = "s 

l'identité (3) entraîne: 

«, -(- »2 + ":; = ^ • 

Mais nous devons maintenant rendre la fonction précédente 
apte à traduire des relations de similitude afin de retrouver le 
théorème de Bellavitis dans le tétraèdre. Si le triangle U formé 



J52 a. riEHCY 

de »,, w.,, M. doit garder ses côtés proportionnels à trois nombres 
/-, m'-, /r, on devra avoir: 

M, X «, "2 X "2 "3 X »3 

(le signe x caractérisant ici le produit scalaire des vecteurs). 

C'est, comme on le voit, imposer au vecteur m, de satisfaire 
à deux équations numériques. Ces équations étant du 2"^^ degré 
en M, on trouve comme solutions quatre directions de vecteurs 
u. Et si les nombres /^, m^, n' ont été pris proportionnels aux 
produits des longueurs des arêtes opposées du tétraèdre, ces 
directions sont perpendiculaires aux sections anti-parallèles des 
faces, et nous retrouvons là seulement l'équivalent du théorème 
plan de Bellavitis. 

Décembre 1921. 



SUR LE DÉPLACEMENT D'UN POINT DANS L'ESPACE 

A n DIMENSIONS 

GÉOMÉTRIE DU ?2-ÈDRE 

PAR 

Georges Tiercy (Genève). 



1. — On sait qu'en mécanique analytique, on peut ramener 
l'étude du mouvement d'un système dans l'espace ordinaire à 
l'étude du mouvement d'un point dans un hyperespace. Il n'est 
donc pas dépourvu d'intérêt d'examiner de très près les pro- 
priétés des variétés à une dimension dans l'espace E„. Dans la 
présente étude, on utilise la notion de vecteur de E„. 

On appellera vecteur V le système de n nombres réels: 

•', - ^'î '■« ; 

nous dirons que les vecteurs d'un ensemble sont indépendants 
les uns des autres s'il n'v a entre eux aucune relation linéaire. 



G E O ME TRIE DV n-E D R E 1 53 

Les }i nombres d'un vecteur apparaissent comme les n pro- 
jections, sur n axes de coordonnées, d'un segment de droite V. 
Il en résulte que l'espace E„ à n dimensions pourra être envisagé 
comme l'ensemble des vecteurs se déduisant linéairement de n 
vecteurs indépendants. En réalité, on se meut dans le domaine de 
Talgèbre. 

Désignons par V,, ¥._,, ..., V„ les n vecteurs indépendants; et 
par (c^/,.,) les n projections du vecteur Va; la condition d'indépen- 
dance s'écrit : 

si alors on désigne par X un vecteur quelconque déduit des n 
premiers, on aura: 

ou bien, pour les projections Xi, de X; 



/=1 



OÙ les [ji sont des nombres réels. 

S'il arrive qu'un système de n nombres ne puisse être déduit 
linéairement de n systèmes V/, on dira que ce vecteur est en dehors 
de l'espace E„. 

Les n vecteurs indépendants qui définissent un espace E„ 
constituent ce que nous appellerons la base de cet espace. Mais, 
de cette base, on pourra déduire une infinité d'autres ensembles 
de n vecteurs indépendants les uns des autres; et pour chacun, 
de ces nouveaux ensembles, chaque vecteur se déduira linéaire- 
ment du ])remier ensemble. Tous ces ensembles seront dits 
équibases. 

Nous supposerons connues les propriétés fondamentales de ces 
systèmes de nombres, nous réservant de revenir sur quelques 
détails essentiels. En particulier, nous supposerons le lecteur 
averti de tout théorème relatif à la composition ou à la décom- 
position des vecteurs, aux cosinus directeurs d'un vecteur, à 
l'angle de deux vecteurs, etc., etc. 



154 G. TIERCY 

2. — Soit, dans E,„ un vecteur variable ÔP^, dont les compo- 
santes s'écrivent Xi {i — 1, 2, ..., fi). Supposons que les nombres 
Xi varient d'une façon continue; au bout d'un temps très court, 
le vecteur X est devenu (X + d X) dont les composantes sont 
{Xi + dxi) ; ce vecteur est le résultant du système Xi et du système 
dxr, nous dirons alors que l'extrémité du vecteur X a parcouru 
un chemin^ dont les composantes sont les quantités dx,\ la lon- 
gueur de ce chemin infiniment petit est donnée par: 

ds- ■=: "^ dx- . 

Supposons que ce déplacement se continue pendant un certain, 
temps; dans chaque instant dt^ l'extrémité du vecteur décrit 
un petit chemin ds\ au bout du temps i, nous dirons que le point 
X a parcouru un arc s dhine courbe C- 

Le nombre s ainsi défini est fonction du temps t; comme d'autre 
part les composantes x^ sont aussi fonctions de t, on pourra les 
exprimer en fonction du nombre s. 

Gela posé, considérons {?i — 1) autres positions OP.,, OP3, ..., 
0P„ du vecteur, voisines de la position OP, ; les composantes du 
vecteur OPa+i étant: 

(r,)i = -rc+d,.+ d^-.r^+...+ d'.r, . 

Par le point P,, imaginons un vecteur unité (1;,,), dont l'orien- 
tation varie, suivant une loi connue, en fonction du temps t ou 
de l'arc s de la courbe C. Les projections de ce. vecteur (l;,j)/ sont 
fonctions continues de t; autrement dit, par P, passe une droite 
(Pi) dont les cosinus directeurs sont les quantités (1/,,)/. De cha- 
cun des points Pj part donc un vecteur unité déterminé; soient 
(1^,) ces vecteurs. 

Par P,, menons une parallèle hk à chacune des droites pk\ on 
détermine ainsi ce que nous appellerons des éléments pseudo- 
osculateurs\ p, et h., définissent un plan pseudo-osculateur II.,: 
/^,, A.J, ^3, ..., ^/, définissent un k-plan pseudo-osculateur IT/;. 

Soit alors, dans II/., un point M quelconque; et soient |/ les 
composantes du vecteur OM. En appelant A„, les projections du 



GEOMETRIE DU n-EDRE 155 

vecteur P,M sur les k axes de FI/,, il vient: 

/n=fc 

?. = ^. + 2 ^^"'(v«> • 

ce qui peut s'écrire sous la forme: 



im) 



les coefficients B,„ sont évidemment les mêmes dans les n rela- 
tions I,, |,, ..., |„. 

3. - — Construisons maintenant le « n-èdre n-rectangle » de 
la courbe c?, attaché au point P, et relatif à la direction (/y,). 

Pour cela, considérons: 

dans II.,. une droite g^ _}_ à p^ : 
dans II... une droite ^., J_ à 0., : 



dans n^.. une droite iT/. _L -i "/^_i • 



Nous savons que cela est possible. Ces n droites (g, = />,, g^, 
..., g„) forment un n-èdre n-rectangle; c'est le n-èdre relatif à la 
direction p^. Les cosinus directeurs des arêtes de ce «-èdre, ou 
projections des vecteurs-unités portés sur ces arêtes, seront 
les systèmes de nombres (1/,),; pour k = 1, on a: 

En outre, on posera: 

1I(VMI = +' ^ 

le n-èdre Ai-rectangle relatif à (/>,) est alors dit applicable 
sur le n-èdre de référence de E„. Et l'on connaît la propriété 
fondamentale du déterminant ci-dessus: chaque terme est égal 
à son mineur. 

4. — Nous nous sommes placés dans le cas tout à fait général 
où le vecteur (1^,) a une direction quelconque. On passera sans 
difficulté au cas le plus important, qui est un cas particulier: 



156 G. TIEHCY 

celui où la droite (/^,) se confond avec la tangente (i,) en (P,); on 
appelle tangente la droite passant par P, et portant le petit vecteur 
dxi. Dans ce cas, les éléments pseudo-osculateurs en P, deviennent 
les éléments oscillateurs : et le «-èdre rectangle attaché à P, 
et relatif au vecteur (1^,) devient le n-èdre principal. 

5. — Prenons alors le cas du /?-èdre principal; et supposons 
que le n-èdre de référence soit la position initiale du «-èdre 
mobile attaché au point P, de C- 

Considérons un Ji-èdve auxiliaire, mobile autour de l'origine 
fixe, et dont les arêtes soient données par les vecteurs (1a). 

Soit X un vecteur ÔM rapporté au /?-èdre fixe; et soit Z 
le même vecteur rapporté' au ^i-èdre mobile; on a les relations: 

k=\ k = \ 

Dérivons ces relations par rapport au temps t^ les composantes 
;a étant considérées comme constantes; il vient: 

k—\ 

Ces expressions donnent les projections de la vitesse du point 
M considéré, sur les axes fixes; les projections de cette vitesse sur 
les axes mobiles seront données par: 

^' ^-^.■ 

Tenons compte des relations existant entre les cosinus direc- 
teurs des arêtes mobiles; et posons; 



Pk,h 



rf(l.) 






i=i 



on obtient, à la place de (3), les formules; 



kz=,l 

V = "V » =, ; (5| 

m ^^jr/ii.k 'k ' 

A = l 



G E o M i: T R 1 1: n i: n- 1: n n e 1 57 

le déterminant des quantités pkji est symétrique gauche; nous 
appellerons ces coefficients p/,./, les rotations instantanées. 

6. — Sui)posons maintenant que Torigine du 7?-èdre mobile 
se meuve en translation; et désignons par (/,) les translations 
composantes par rapport aux axes mobiles. Dans le cas où Ton 
considère le n-èdre principal, seule la translation {t^) est diffé- 
rente de zéro. 

Soit alors le déplacement le plus général d'un point, mobile 
lui-même par rapport au polyèdre mobile. Les projections de 
la vitesse sur les arêtes mobiles seront : 



(6) 





dt ^ 


'n, 


+ 2/',, 


r 
n.k'-lc 


as 


i principal: 








': 






(,. = (1 . 


i 



On a d'ailleurs les relations: 

17 = 2^^^''^' 



qui s'écrivent comme suit dans le cas principal: 

-— = /, ll/l = s'il/, . (81 

où s' est donné en fonction du temps /. On voit qu'on retrouvera 
les coordonnées Xi par de simples quadratures, dès qu'on aura 
déterminé les vecteurs (1,) en fonction du temps. 

7. — Reprenons les formules (6), et faisons-y les {t,„) nuls; 
c'est donc le cas où l'origine est fixe. Prenons comme vecteur Z 
le vecteur 1,; les équations (6) deviennent : 

On a ainsi n groupes de n équations. 

8. — Venons-en à la question suivante: Supposons que, d'une 



158 C.TIERCY 

façon ou d'une autre, on ait connaissance de s' et des rotations 
en fonction du temps; y a-t-il un mouvement correspondant à 
ces données? 

Cela revient à déterminer les ir cosinus directeurs du «-èdre 
mobile; car alors, grâce à (8), on aura les coordonnées xi du point 
P,. Or, chacun des n groupes de n cosinus satisfait aux équations: 



d{H 



U-ii 






dt 

On vérifiera aisément la propriété suivante: si (u) et (u) sont 
deux vecteurs solutions de (10), les expressions 

lu\^ , \u' \- , et u . u' . (11) 

sont des constantes; il suffit de dériver ces quantités par rapport 
à t, en tenant compte de (10) et de (4); les dérivées sont nulles. 

Cette propriété permet de répondre par l'affirmative à la ques- 
tion posée. Soit en effet un ;i-èdre ?i-rectangle de même dis- 
position que le n-èdre fixe; ses vecteurs-unités sont: 

{")) ■ (12, 

Cherchons alors les solutions de (10) qui ont les valeurs (12) 
pour valeurs initiales. Les expressions \ui\- et ii,.ui: étant cons- 
tantes (expression 11) et valant respectivement 1 et (valeurs 12), 
on a chaque instant les vecteurs-unités du n-èdre mobile. 

La position initiale (12) est arbitraire; il y a donc une infinité 
de solutions; au fond, c'est un même déplacement, rapporté à 
des n-èdres différents. 

Conclusion: les fonctions s' et p,,,./,- étant données, il y corres- 
pond un seul. mouvement dans E„. 

9. — Remarque : Quel est, par rapport au /^-èdre mobile, le 
lieu des points de vitesse minima (si ce lieu existe) ? 

Le vecteur lE de chaque point est alors constant; on a: 



V-' = 



]2 ''■ + 2/^-'.-'.- 



/; = 1 



GEOMETRIE DU n-EDRE 159 

égalant à zéro les dérivées de V^ par rapport aux lettres ;, on 
obtient les n équations homogènes: 

'^Ph.i^'k = ^ • (' = 1. 2, ...,n) . (13) 

Si le déterminant de (13) est différent de zéro, la solution se 
réduit à un point de vitesse nulle. Si le déterminant de (13) est 
nul, les équations (13) se réduisent à [n — 1) équations distinctes 
(les mineurs du déterminant n'étant pas tous nuls); le lieu est 
alors une variété rectiligne. 

Or, le déterminant A de (13) est symétrique gauche; si n est 
pair, ce déterminant est en général non nul; si n est impair, il 
est toujours nul. Si, exceptionnellement, A était nul, avec n pair, 
le lieu serait une variété linéaire à plusieurs dimensions. 

10. — Revenons au cas général du polyèdre des (g,). Et déti- 
nissons ce que nous appellerons courbures de la courbe C relatives 
au n-èdre des (g,), ou pseudo-courbures. 

Appelons dvi les angles de contingence formés respectivement 
par les axes de même indice de deux /z-èdres rectangles voi- 
sins. Si ds est l'élément d'arc de c", la pseudo-courbure en P, 
relative à p, = g, sera définie par: 

' R, ds s' 

de même, la pseudo-courbure relative à g, sera définie par: 



''^ = n=dV='7- '^^^ 



R. "" ds 

D'ailleurs, l'angle dvi étant infiniment petit, on a: 

d.^= I / ^ \d{\,,:' = d{\.) : (16) 



-l/l 



d'où l'on tire; 






c, = :^ = -V_-f^li^' = ^'l. ,i: 



im c. riERCY 

On définit ainsi n pseudo-courbures pour c? en P, ; nous verrons 
plus loin les relations qui existent entre ces différentes cour- 
bures. 

Il suffira de supposer que (l/^J = (Ig-J coïncide avec le vecteur 
unité tangent à (i* en P, pour obtenir les courbures principales, 
c'est-à-dire les courbures relatives au /i-èdre principal. 

11. — D'autre part, on a 

|1.|'=1 : (18. 

d'où 

(l,-).(i;i = ; (19) 

donc, le vecteur (1,) est perpendiculaire à la droite gi du 7?-èdre 
relatif à pj. 

En particulier, pour z = 1, c'est-à-dire en considérant la droite 
p, elle-même, on obtient les formules 

1 ilJ 

(V.(M = 0, C,^-^ = ^. (20, 

Remarquons que le vecteur (Ij) est, dans -.,, porté sur la 
droite g.,: donc, on a: 



d'où: 



A = ^ ; |1,)= -)[\,Y . rn 



La relation (21) contient un premier groupe de n formules. 
Dans le cas où />, = g, est la tangente à (5, on écrira, avec 5 
comme variable indépendante: 



(221 



c'est là le cas principal. Si on y fait « — 3, on retrouve le pre- 
mier groupe des formules fondamentales de f>enet. 

12. — Considérons maintenant les autres vecteurs du //-èdre 
rectangle attaché à P, ; et cherchons à établir, pour chacun 



GÉOMÉTRIE DU n-EDRE 161 

d'eux, des formules analogues à (21). Celles-ci peuvent s'écrire: 



les dérivées (1,) ;, sont donc linéaires en (L)„, : 

(l,l< - 'S A. (1.1 , avec- A, = ^ et A. = (/ ^ 2, 



|23'| 



Il est facile d'établir que toutes les dérivées (lj),„ sont liné- 
aires en (1/,.),,,, k ne pouvant dépasser {i + 1). 

Remarquons tout d'abord que le vecteur (1,,^.) appartient au 
(A* + 1) — plan r,, , ,; et, d'après la façon dont nous avons choisi 
les vecteurs du «-èdre rectangle en P,, il vient la forme: 

i=h 
(l/.-^ ^2b,.(1j''' ; (24) 

en effet, le /î-èdre rectangle en P, est une équibase du îi-bàre 
formé par les vecteurs (1^^). 

Supposons alors que la forme linéaire de (1,)' ait été établie 
jusqu'à la valeur i de l'indice; et démontrons que la propriété 
s'étend au cas de {i + 1). On a par hypothèse: 

h—i-ir\ 
(l,i'= 2 D,,,l^, . (25) 

/{=t 

Par différentiations successives de (23'), on tire, à cause de 
(25): 

(1,/'+"= 2 ^^/<"/<' ■ '-^> 

relations d'ailleurs équivalentes aux équations (24). D'autre part, 
l'équation (24) donne, avec k = i -\- 2: 

(!,+•.' = 2 ^■'''■•' = 

.s = ll 

L'Enseifjnument mathém.. 22" .innép ; I92I et I9Î2. II 



162 G. TIERCY 

portons dans le deuxième membre les valeurs (26); il reste le 
dernier terme en (10^'^''; on obtient la forme : 

Mais, en dérivant (26), on trouve justement (1,)' : 



1'.)''+''= 2 ''Vu-) + 'î^+,(i/+i)' 






Portons cette valeur (28) dans (27) ; explicitant (1, , ,)', il 
vient : 

La forme (25) est donc vraie pour toute valeur de l'indice i; 
nous écrirons plus en détail: 



et on sait que; 

'/i.i = « el </,.2 = -7 . 

13. — Il s'agit maintenant de trouver la valeur des coeffî- 
1 



cients 

On a les relations connues: 

|l,-r=l et (l.).(l,^)=0 , 
d'où Ton tire: 

(l.).(l.)' = el (1.)'. 11;,.) + (1.). (I;,)'=0 ; 

avec les relations (30), on obtient immédiatement les égalités: 

~ = ; <, = -q . [i--^j) ; (31) 

le déterminant des quantités i j est donc symétrique gauche. 



GÉOMÉTRIE DU n-EDRE 16:j 

Or, nous avons établi (formule- 30) que le deuxième indice ne 
peut dépasser le premier de plus d'une unité; il résulte alors de 
(31) que le deuxième membre de (30) se réduit à deux termes: 

11,)' = -^ + -^±^ ; i32) 

</,_,., '7,.,+, 

1 
lorsque i = n, on a : = 0. 

^ 'Jn.n + l 

Il reste donc à déterminer la valeur de deux coefficients. Pour 
cela, partons des définitions (15) des pseudo-courbures et rayons 
de courbure: 

I il.i' I llîl" 

^-^ ; (33i 



1 l^l' 


i 






^' R, 1-s'i' 


R 



à cause de (32), on trouve la formule de récurrence: 



.'2 1 1 

1.' =-1 + -i- 



I s'-' 1 



i3',) 



On a donc finalement: 



» *" 1 ,. 's:^ , i-k » 



k—\ 

' ' »^î — .^î 



/ ^ = .'=2 ■ ■'"-'-'*' 



|35| 



«/n_l,rt k=n-\ "/« *^« 

On connaît ainsi tous les coefficients des formules (32); (voir 
encore les paragraphes 14 et 16). 

La dernière formule (35) montre que la if pseudo-courbure 
dépend des {ii — 1) j)seudo-courbures précédentes: 



^n k^^X ^k 

Remarque : Dans le cas où (l^J est le vecteur-unité tangent à 



164 G. TIERCY 

la courbe (?, on écrira p au lieu de R; ou bien, en désignant par 
tCi les courbures principales: 

k=\ 



^: = 2 '-''""'"' '^'^^ (37) 



A-=rt— 1 



on retrouve là une formule donnée par Hoppe • et Cesaro '. 
14, — On a donc en définitive les relations suivantes: 






/i = l 
1 



(38) 



^i,i-\-\ 



V%-'-'k 



où l'on a choisi le signe (4-) pour le radical, ce qui correspond à 
la direction positive sur les axes g,. Pour le dernier coefficient, 
par contre, on a: 



l/^ 



'(n-X.n ■ I / ,/^ , R1 Rn ' 



nous indiquerons au n^ 16 comment décider entre les deux signes. 
Pour simplifier l'écriture, posons maintenant : 



les formules (32) deviennent: 



1 



avec 



,,, = _!ii=ii + iW. 



1 .s' 1 

t: = r: '' t: = ' 



Rappelons que, réciproquement, connaissant tous les vecteurs 



* Hoppe. Archiv der Math. u. Phys., 1888. 

" Cesaro. Naturliche Ceometrie, Leip/iif, I8'.M. 



r. K O M É TIÎ l E nu n- E D R E 165 

(1,) en fonction du temps, on trouvera vite la courbe du point P, 
(voir § 6). 

15. — Passons au cas remarquable ou (1;,,) est le vecteur tan- 
gent à c?. On a pour le vecteur-unité tangent: 

d'où: 






1 1 I / "Vn 'ï dK< 



t^i 




in=it 






donc /3, est connu. La formule (22) donne alors, avec t comme 
variable: 

.s', la,) ^ p, (a,)' ; 

le deuxième vecteur-unité est donc connu. Cela permet d'obtenir 
la deuxième courbure principale: 

D'autre part, les formules (40) deviennent: 

,,^l'= _.,JZ± + ^±L, (40') 

•j— 1 -f 

avec 



1 

- = , ot 



I / 2' •-"'"'■ - 



on aura donc tous les r,, et partant tous les vecteurs-unités <lu 
/<-èdre mobile (réciproque, voir § 6). 

Si, dans ces formules, on fait n = 3, on retrouve les formules 
fondamentales de Frenet. 

16. — Il reste à fixer le signe du radical de la formule (o^)- 

Etudions le déterminant: 



i^= M». '„,">',„'', '1- '1, 



,i"-ii|| . 



16fi G. TIERCY 

il possède un signe bien déterminé; les différents termes en sont 
donnés par l'expression (26): 

écrivons-la comme suit : 

une nouvelle dérivation donne la forme: 



iij"+" = 2^/.-<i/.» + E,(i,i' 



/i=rl 



et, si Ton tient compte de la formule (32), on trouve pour le der- 
nier coefficient, E,-, la formule de récurrence : 



(42) 







■ »^.+. 


= '■', 




^7^)^ 


Or, on a ' : 














K, 


_ 1 


et 






d'où pour E,: 
















E.^A 


1 




1 



7,, 7,., 7.-1. i 

Portons les formules (41) dans le déterminant D; combinant 
linéairement les colonnes, il vient l'expression: 





^=(n'-oii'^'-''"!i= 11^' 


' En ellet : 




(It 


)' = ,-(ia) = ; i>ms (lu" = / 1 |l:i 


or : (la)' = 


— + •' cause de (:t2) ; donc finalement ; 

q\,1 '/2,3 




\'/|,2/ '/|,2 L ^'.2 Î2.3. 



•71,2 



s UR LE S F O R M U L E s /; E f.ORENTZ 16: 

et, à cause de (43): 

II (:^r\ ■ 



i=n—\ 

D = 



or 



, toutes les quantités ( ) sont positives, jusqu'à la valeur 

k=^n — 2; seul, le signe de la dernière de ces quantités, ( ) , 

est encore inconnu ; la formule (44) le détermine, puisque le 
signe de D est déterminé. On définit ainsi complètement la direc- 
tion positive sur le dernier axe g„ du n-èdre rectangle qui 
accompagne (l;,,). 

Remarque. — Il est évident qu'on pourrait étudier la courbe 
C au moyen des représentations sphériques des « arêtes du 
«-èdre attaché au point P,, soit pour le cas général de (i/^,), 
soit pour le cas fondamental de (Ig-j). Cela reviendra encore à 
porter, sur chaque axe du /?-èdre rectangle mobile autour de 
l'origine, un vecteur-unité (1,). (N°' 5, 7, 8.) 



SUR LES FORMULES DE LORENTZ 



B. NiEWENGLOwsKi (Paris). 



Je me propose d'établir les hypothèses nécessaires et suffi- 
santes pour conduire aux formules de la relativité restreinte. 

Je conserve les notations de M. E. Picard dans sa très inté- 
ressante Notice de l'Annuaire du Bureau des Longitudes pour 
1922. La droite X'ÛX glisse sur la droite xOx avec une vitesse 
constante v\ ces deux droites sont de même sens. Un observa- 
teur est lié à chacune de ces droites; il y a pour chacun d'eux un 
temps local: / pour l'observateur fixe, T pour le second. On 
suppose / = T = quand il coïncide avec O. Un même point 



168 B. NIE WENG L O W S K l 

M pris sur l'axe des x a une abscisse que le premier observateur 
évalue en nombre i\ le même point considéré comme apparte- 
nant à Taxe X'ÛX a pour abscisse X, d'après le second obser- 
vateur, et cela à l'époque t pour le premier T pour le second. 
Nous admettrons qu'une même longueur étant mesurée par 
un observateur mobile verra sa mesure multipliée par un coeffi- 
cient a par l'observateur fixe. Cela posé, on a 

Pour le premier observateur : 00 = vt^ QM = «X, OM = x 
donc 

t'/ + aX =z X . (1) 

Remarquons maintenant qu'on peut laisser le second obser- 
vateur fixe, à condition que la droite x'Ox glisse sur X'ûX avec 
la vitesse — c; dans ces conditions le second observateur écrira: 

v'V -f X — a,r . (2) 

Acceptant la collaboration des deux observateurs, nous regar- 
derons les équations (1) et (2) comme simultanées; en résolvant 
le système de ces équations on trouve 

X = :^^l^ T = ''^ + ''^^-^'" (3) 



ou, si l'on préfère: 

X -f l'T T + (1 — a^lX 



|3') 



Pour déterminer le coefficient a, nous admettrons qu"il existe 
un phénomène physique se traduisant par l'égalité des vitesses 
du point M mesurées par les deux observateurs, ce qui revient 
à supposer qu'il existe un nombre c tel que l'on ait: 

cdt = dx . cd'V — d\ . (4| 

En difTérentiant les équations (1) et (2) et tenant compte des 
relations (4) on obtient 

(f — t)rf/ z= oxdT 
(c -f \)dT = cadt 



SUR LES FORMULES DE LORENTZ 169 

d'où 

c- — \'- = c- a* 

et par suite 

Nous aurons donc, enfin: 

X- "--:'- 



t s- 



r = — -^ — , (5) 



ou 



/ = : — . (5') 



1 — 



\/'-^ 



Si l'on suppose que c soit la vitesse de la lumière on aura les 
formules de Lorentz. 

Remarques. — 1° Si Ton adopte les formules (5) ou (5') on 
doit accepter les équations (1) et (2) qui leur sont équivalentes 

pour a = y/l — ^^. 

2o Pour que les formules (5) ou (5') soient acceptables il faut 
supposer v <^c. On ne peut rien conclure de plus, de ce qui pré- 
cède.- Pour établir qu'aucune vitesse ne peut surpasser celle de 
la lumière, il faut invoquer d'autres raisons. 

.3° Des équations (5) ou (5') on tire: 

cU- - .»- = c^-T' — X2 

et aussi. 



v^-^ ~\/^-f 



d'où 

c^dT- — clX- =z r-dt- — dx^- . 

On en conclut que pour une translation constante de direction 
quelconque on aura l'invariance définie par 

c^dr- — d\- — r/Y-' — ,/Z- = i-d(- — dx^ — dy^ — d-J . 



APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 

DE LA 

CRISTALLOGRAPHIE^ 

PAR 

Marcel Winants Liéore). 



Chapitre II. 

Etude succincte d'une surface cubique à quatorze ombilics 
et d'une surface quadratique. 

§ 1. — Etude sommaire de deux quartiques planes. 

48. — Sauf expresse indication du contraire, les axes coor- 
donnés formeront des angles droits. 

Soit d'abord la courbe: 

x* + .1* = a* . 

Elle admet un centre à l'origine. Les axes coordonnés et les 
bissectrices de leurs angles sont quatre axes de symétrie. Il 
existe un A* perpendiculaire au plan de la courbe. 

La courbe est extérieure au cercle X^ + Y^ = a^, sauf qu'elle 
le touche aux points où elle rencontre les axes coordonnés. En 

effet, on a: 

{.r» + r-ï'^ ^ X* + .r^ = iX"'' + Y-'i'^ . 

49. — Appelons <î la distance de l'origine au point {x, y) de 
la courbe: 

^2 = X- + 1 - . 0^ = a* + 2.r-\i' : 

ô sera maximum pour a: = H- ?/. 



' Voir VEnseigii. mathem., t. XXll, n»» 1-2, p. 5-29. 



GEOMirmiE 171 

50. — Nous allons étudier la courbure de cette quartique. 
Deux dérivations successives de son équation conduisent à: 

X-- 4- 1-3 v' = , .'!>» + 3v- 1 '» -f v\> " := . 

On en tire: 

.' _ _ ^ „ _ 3«-» .r* 

• ,.3 • . y 

La courbe tourne sa concavité vers le bas ou vers le haut 
suivant que l'ordonnée est positive ou négative. Ensuite, on a: 

le rayon de courbure est donc égal à: 

'' ~ — r" ~ 3a*a--i* ■ 

En annulant l'abscisse ou l'ordonnée, (elles ne peuvent d'ail- 
leurs pas s'annuler en même temps), on trouve: 



Le quartique a donc quatre points d'ondulation. De l'équation 
même de la courbe, il résulte d'ailleurs qu'elle est rencontrée 
par chacune des droites y = zha-, a: = ±: a, en quatre points 
confondus. 

5L — La quartique précédente a la symétrie d'un carré. 

52. — Passons à la quartique: - + ^ = L On raisonnera 
comme pour la précédente. Elle est extérieure à l'ellipse: 
~7 + 71 = ^ 1 sauf qu'elle la touche aux points oîi elle ren- 
contre les axes coordonnés. Ces quatre sommets sont des points 
d'ondulation. 

53. — Cette quartique possède, comme l'ellipse, la symétrie 
d'un rectangle. Les deux courbes admettent tous les éléments 
de symétrie du système orthorhombique. Le plan d'une courbe 
plane peut être envisagé comme un j)lan de symétrie de la ligure. 



172 M. IVI.\ANTS 

i^ 2. — Une surface ayant la symétrie dun cube. 

54. — Nous allons nous occuper de la surface: 

•r* + / + c.-" = /.-• . 

Elle est extérieure à la sphère: 

X2 -I- v^ + />' = p^ . 

sauf qu'elle la touche aux six points où les deux surfaces coupent 
les axes coordonnés (qui sont rectangulaires). 

La forme même de Téquation montre que la surface admet la 

symétrie du cube: 

C , 3A^ , *A^ , y^.V . 

3P , 61" . 

Les axes quaternaires de symétrie sont les axes coordonnés; 
et les plans P sont les plans coordonnés. Les axes ternaires ont 
pour équations : x = ±y = ±z. Les axes binaires sont les 
bissectrices des angles que font les axes coordonnés; et les plans P' 
bissèquent les dièdres coordonnés. 

55. — Les points où cette surface est rencontrée par ses axes 
ternaires et ses axes quaternaires, sont des ombilics (21). Nous 
allons essayer de le vérifier par un calcul direct. Nous avons 
rappelé plus haut (22) les équations auxquelles doivent satis- 
faire les coordonnées des ombilics: 



-(i 



<^^Z 


= 




1>1 


v' 




dxdy 




- X — 

^X O)- 


1 


+ 




f 



Pour la surface actuelle, calculons les dérivées premières et 
secondes de z. On a: 

.»■■' +;.'—= ; >■•= + ;■' - = ; 



•Az-—. \- z^ = . 

t\r i^v ()x i>i- 



GEOMETRIE 173 

De ces équations, on tire successivement: 

o: .r' i>: r" i>* r ."J.»-')' 



>>»z _ 3.r' i. r* + ;■*) _ 'tl — ^ 3-^-8 (y4 _|_ ;*, 

Les équations aux coordonnées des ombilics sont donc: 

x-[x* 4- =^) _ -r^r^ _ f (.y* + c-'l 
.r« + r.« " ~ :?^^ ""■ " f + ;« ■ 

c'est-à-dire: x^ =^ ]f = :?. 

Cette méthode semble ne donner que les extrémités des axes 
ternaires. Mais, à un certain moment, on a simplifié par une 
puissance de z. D'ailleurs, les ombilics, extrémités des axes 
quaternaires, ont-, chacun, deux coordonnées nulles. Il peut donc 
arriver que notre méthode remporte sur la méthode classique. 

N'existe-t-il pas d'autres ombilics ? Une transformation des 
coordonnées rectilignes fournirait la réponse à cette question. 

56. — La courbure totale (43) est ici : 



/ = 



9.i-_r- (-ï"^ + -^) l.r* + -■'i 9.r''_r^ 



î 1 + 7« + -Te. i 



(.r« -f r" + :")- 



Par raison de continuité, cette formule s'applique également 
aux points où la surface rencontre les plans coordonnés. 

La courbure est ordinairement positive; mais elle s'annule 
tout le long des trois sections principales. Cette propriété est 
entièrement conforme à la symétrie. 

Ji H. — Une surface quadratique. 

57. — Il va s'agir de la surface: ' 4- + *;4 = 1, f»ii l'on 

suppose a^c. Cette surface n'est pas de révolution; elle est 
extérieure à l'ellipsoïde de révolution: ' — j— + -:, = 1, sauf 
qu'elle le touche en six points (52). 



174 M. WIN A NT S 

58. — En recherchant les ombilics par la méthode indiquée 
(22), on trouve: 



ce qui donne huit ombilics. Mais il y en a certainement deux 
autres aux extrémités de l'axe quaternaire (21), d'équations: 
X = y = 0. 

La surface semble donc admettre dix ombilics. 

59. — La courbure totale (43) est: 



k = 



'f-.r-j- 



,[ «8.6 ^ ^.8(^6 _|_ ^.6) j^ 

La courbure totale est constamment positive, sauf qu'elle 
s'annule le long des trois sections principales. 

60. — Toutes les propriétés précédentes (57, 58, 59) sont 
conformes à la symétrie quadratique (ou tétragonale), ayant 
pour symbole (15): 

C , .V , 2 A'-. 2 A"-, 
P, 21", 2P" . 

Voici les équations des plans de symétrie: 

P : r = ; P' : .r = ; v = ; P" : x ± > == . 

Les axes A sont perpendiculaires aux plans de symétrie, et 
passent par le centre. 

Chapitre III. 
Quelques principes généraux. 

61. — Nous avons déjà rencontré plusieurs principes géné- 
raux (5, 7, 21), 

Il nous semble qu'une méthode scientifique a d'autant plus 
de valeur qu'elle possède un plus grand nombre de pareils prin- 
cipes. 

Notre bagage n'est certes pas encore bien vaste. Mais nous 
serons très heureux si nous avons pu montrer que notre méthode 
était, tout au moins, capable de formuler des règles générales. 



GEOMETRIE 175 

Dans le n° 62, nous reprendrons et nous généraliserons plu- 
sieurs théorèmes démontrés précédemment. Leur évidence est 
maintenant si grande que tout nouvel essai de démonstration 
nous parait superflu. 

Nous tenons encore à faire observer que la méthode s'applique 
également bien à la géométrie plane et à la géométrie solide. 

62. — Si une surface est rencontrée par un axe de symétrie 
d'ordre supérieur à deux, chaque point d'intersection sera un 
point singulier ou un ombilic. 

Si une cubique plane admet un A^ perpendiculaire à son plan, 
elle ne possède aucun point d'inflexion à distance finie, ni 
centre, ni point crunodal, ni rebroussement. 

Si une courbe algébrique plane de troisième classe admet un 
A^ perpendiculaire à son plan, elle ne possède, à distance finie, 
ni inflexion, ni bitangente. 

Si une courbe algébrique plane de quatrième ordre admet un 
A* perpendiculaire à son plan, elle ne possède aucun point 
multiple à tangentes réelles. 

Une cubique à A^ possède toujours trois asymptotes à distance 
finie, et n'en rencontre aucune. 



Chapitre IV. 
Deux surfaces ayant la symétrie d'une tourmaline. 

5i 1. — Symétrie cristallographique de la tourmaline. 

63. — Imaginons une pyramide triangulaire régulière. Elle 
possède un axe de symétrie ternaire. Par chaque arête latérale 
et l'apothème de la face opposée, passe un plan de symétrie. 
Le symbole (15) est donc: 

A'. 3P. 

Prenons un prisme triangulaire régulier, et, sur chacune de 
ses bases, plaçons une pyramide régulière, mais de telle façon 
que les deux pyramides n'aient pas la même hauteur. Le solide 
total conserve la même symétrie et donne une idée suffisamment 
exacte du cristal de tourmaline. 



176 



M. WINANTS 



!^ 2. — Deux cubiques planes. 
64. — Soit d'abord la courbe que représente l'équation: 

X" + y'' z= a'-' , '1) 

où l'on suppose: a > o. Elle rencontre les axes aux points 
(a, o) et (o, a). Elle admet la bissectrice {x = y) comme axe de 
symétrie A^. L'équation (1) peut s'écrire: 

(.r + ■)■) l.r- — .rv + y-] = a"' ; 

la courbe est donc asymptote à la droite: 

.r + v = . 

La cubique rencontre la droite de l'inlini en un seul point 

réel: elle est du groupe b (1). 
A toute valeur de x corres- 
pond une seule valeur réelle 
de î/, et réciproquement; par 
conséquent, la courbe ne pos- 
sède aucun point double, elle 
n'est pas unicursale. Mais elle 
est unipartite. C'est donc une 
cubique [2^, b]. 

En dérivant deux fois l'équa- 
tion (1), on trouve: 

.r-' + v-'r' = ; (2) 

•2x + 2)/* +.v-y = . (3) 




Fis 



De (2), on tire 



r' = — — ^ 



l'ordonnée y est constamment décroissante. En A et B, les 
tangentes sont parallèles aux axes coordonnés. Des équations 
(2) et (3) combinées, on déduit le rayon de courbure (50): 

;î 
^- 2a-' .rv • 



cette formule montre que les points A et B sont des inflexions. 



GEOMETRIE 



177 



65. — Prenons un triangle équilatéral comme figure de réfé- 
rence, et considérons la cubique: 



a-' + ''f + f — "'" • 

Par les sommets du triangle 
fondamental, menons des pa- ^ 
rallèles à ses côtés. Elles dé- 
terminent un triangle équila- 
téral A'B'C, que nous prenons 
comme nouvelle figure de réfé- 
rence. 

Pour un point quelconque 
du plan (M), nous aurons: 



(■'«) 



/9 P 




F/f' 



''6 



PM 



t = P'.M 



Fig. ;». 



Si h désigne la hauteur du premier triangle, il viendra: 

A = a + :^ -f V = a + a' = ,^ -f fi' =r y -f y' . 
'2li = a' -f- [:' -f y' = 2 (a + a'i ; 
2a =r — a' 4- .V -f y' ; 
2i = x' — y + y' : 
2y = a' + y — y' : 

L'équation (4) peut donc s'écrire: 

SHr= = (— a' + j3' + y'i' + la' - p' ^- y'r' + U' + P' — y'r'' 
= fa' + iS' + y'r' — 2'. a'iS'y' = 8//^ — 2'fa',S'y' : 

donc : a'/5'y' = 3 (^' — m^)- 

Nous retrouvons une cubique dont il s'est agi précédemment 
(2). 

66. — Comme digression, nous pourrons énoncer le théorème 
suivant: 

On admet la règle des signes des coordonnées trilinéaires 
absolues, et l'on considère un triangle équilatéral de référence. 
Le lieu géométrique des points dont le produit des distances 
aux trois côtés du triangle fondamental est une constante, est 



L'Enseignement inalhém., 'i'I* année; I9°21 et 192'J 



178 M. WIN A XTS 

en même temps le lieu géométrique des points dont la somme 
des cubes des distances aux côtés du triangle médian est égale- 
ment constante. 

i^ 3. — Une première surface. 
67. — Nous allons étudier la surface: 

_j.3 _|_ ^.3 _j_ .3 __ p3 ^ 

où la constante p est positive. Cette surface ne possède aucun 
point dans le trièdre où les trois coordonnées sont négatives. 
Elle admet un axe ternaire d'équations: 



X = y = z , 
et trois plans de symétrie: 

passant par l'axe A^. Nous avons donc bien affaire à une surface- 
tourmaline (63). 

L'axe A^ rencontre la surface en un ombilic (62): 

•^ •? " ,3/— ■ 

68. — Coupons la surface par un plan normal au A^ Plus haut 
(27), nous avons établi des formules pour la transformation des 
coordonnées: 

a /3 V V 3 ' 
a -4- /3 + 7= (x+ V -H =) y^^ ; 

la section a donc pour équation triangulaire: 
Si le plan sécant a pour équation: 

X + y ■\- z = l , 



GÉOMÉTRIE 179 

le triangle fondamental aura pour hauteur: 



v = ±VI 



suivant que / est > ou < O. 

La cubique d'intersection est donc une courbe que nous 
avons étudiée (65). Si l'on se reporte au début de ce travail (2) 
et qu'on tienne compte des équations (1) et (2), on verra que 
nous sommes en droit de formuler les conclusions suivantes: 

Pour de très grandes valeurs de l (par exemple ^ 20 p), la 
courbe d'intersection se compose de trois branches infinies, 
asymptotes aux côtés du triangle fondamental. Si l'on se reporte 
au n° 65, on verra que, pour / = + /' et / = — /', les deux 
triangles asymptotiques ont des dispositions inverses. Ceci 
démontre qu'il n'existe aucun plan de symétrie, perpendiculaire 
au A'. Dans les deux sens où Ton peut parcourir cet axe, la 
surface se comporte donc différemment. D'ailleurs, quelque 
grande que soit la valeur attribuée à / , on obtient toujours une 
section. 

Empruntant un terme à la cristallographie, nous dirons que 
la surface est hémimorphe. Le cristal hémimorphe de tourmaline 
porte des faces différentes à ses deux bouts (63). 

En géométrie analytique élémentaire, les deux paraboloïdes 
du second ordre sont des surfaces hémimorphes. 

69. — Perpendiculairement à l'axe ternaire, il existe un plan 
sécant qui ne rentre pas dans la théorie précédente, et qui mérite 
une mention spéciale. C'est le plan: 

X + _v + r. = . 

Il n'y a [)lus de triangle de référence. On obtient alors une 
cubique qui se projette, sur le plan des (x, /y) suivant une autre 
cubique ayant pour équation: 

Wxy \x + r) + yy^ = . 

C'est une cubique [2°, rt], dont les trois asymptotes sont concou- 
rantes. Dans l'espace, la cubique-section a donc aussi trois 
asymptotes concourantes. 



180 



M. UINANTS 



70. — Coupons maintenant la surface par des plans parallèles 
aux plans coordonnés. Un plan parallèle au plan z o x donne 
une section représentable par les deux équations: 



I' , 



.r'' + z- = p-' — h^ 



(C, 



Nous avons étudié cette courbe (64). C'est une cubique ayant 
pour asymptote la droite d'équations: 



= h 



.r + z = U 



Le lieu géométrique de toutes ces asymptotes est le plan: 

X -]- z = . 

Supposons que les axes aient la disposition habituelle: les cotes 
sont comptées positivement vers le haut. Alors la courbe (C) 
est située au-dessous ou bien au-dessus de son asymptote suivant 
que la constante b est plus grande ou plus petite que p. Pour 
b =^ p, on trouve une droite d'équations: y = p- x -\- z — 0. 

Cette droite rencontre l'axe Oy (A C). 

Il y a deux autres droites analogues, conformément à la symé- 
trie autour du A^. Ces trois droites appartiennent à la surface, 
et forment un triangle équilatéral. 



T. 




Kig. 1(». 



GÉOMÉTRIE 181 

71. — A tout système de valeurs de deux des coordonnées 
correspond une et une seule valeur réelle de la troisième. 

Les plans coordonnés coupent la surface suivant trois cubiques 
égales, que nous appellerons sections principales.: 

X = , .v3 + z^ = p^ ; (1) 

V = , .»3 + î3 _ ^3 . 12) 

c = . .H + v^ = p' . (3) 

On pourrait engendrer la surface de la manière suivante: 
une cubique, analogue à (2), se déplacerait parallèlement à 
l'axe 0^, tout en se déformant d'une façon continue, et en s'ap- 
puyant sur les deux courbes fixes (1) et (3). 

72. — Soient X, Y, Z les coordonnées courantes. Le plan tan- 
gent en X, ?/, :;, a pour équation: 

.r2 X + 1-2 Y + r* Z z= p^ . 

Les coordonnées du point A sont: — p, -f p, + p; le plan 
tangent en A, est donc représenté par l'équation: 

X + Y + z = /; . 

Le plan ABC est donc un plan tritangent; les trois points de 
contact sont A, B, C. 

Cette singularité est conforme à la symétrie. 

73. — Supposons que ce plan tangent singulier soit rendu 
horizontal; l'axe ternaire est alors vertical. De l'ombilic comme 
centre, dessinons un «cercle géodésique », de très grand rayon: 
sur toutes les géodésiques issues de Tombilic, portons une lon- 
gueur égale à 50/?. par exemple. Les extrémités de toutes les 
lignes obtenues forment une courbe fermée qu'on nomme cercle 
géodésique. Cette courbe fermée fait songer à des montagnes 
russes. Un mobile qui la parcourrait entièrement, ferait trois 
montées et trois descentes, conformes à la symétrie autour du 
A' et par rapport aux trois plans P. 

74. — Passons enfin à Tétude de la courbure totale. En appli- 
quant toujours la même formule (43), on trouve: 



Le long des sections principales (71), la couriture totale est 
donc nulle. Les sections principales décomposent la surface 
en sept régions, comme un triangle dans un plan (9): dans quatre 



182 



M. WtNANTS 



de ces régions, la courbure totale est positive; dans les trois autres, 
elle est négative. 

L'ensemble des trois sections principales constitue le lieu 
géométrique des points paraboliques. 

Tout ceci est conforme à la symétrie. 

«!! 4. — De nouvelles cubiques planes. 

75. — Dans les deux paragraphes qui vont suivre, nous donne- 
rons moins de détails que dans les deux précédents. 
Examinons d'abord la cubique plane: 



.T^j -j- cy'^ -\- V- x ■=. p-^ 



:i'i 



oîi l'on peut supposer p > 0. L'hypothèse c = nous ramène à la 
cubique [5", c] : x^y = p^, que nous avons indiquée plus haut (26). 





Fis. 11. 



Fie. 12. 




Fig. 13. 



Fig. 1'.. 



Fig. U : 2c^ = 'tp-' . 
Fig. 13 : :k'' > ',p-' . 



Fig. 12 : < ;if^ < \p^ 
Fig. l'i : c < . 



GEOMiriRli: IS.'i 

76. — Cette cubique, quelle que soit la constante c, est tan- 
gente à la droite de l'infini, et admet Taxe des x comme asym- 
ptote. Rencontre-t-elle les axes coordonnés ? L'hypothèse y = 
entraîne: 

donc la courbe rencontre toujours son asymptote à distance 
finie, une seule fois, à droite de Torigine (A). De même, a; = 
donne: 

la courbe ne rencontre pas l'axe des y quand c est < (fig. 14): 
dans le cas contraire (fig. 11, 12, 13), elle le rencontre en deux 
points (B, C) symétriques par rapport à Torigine. Quand c 
est < 0, la cubique ne possède aucun point dans l'angle des 
axes où les deux coordonnées sont négatives (fig. 14). 
En résolvant l'équation (E), on trouve: 



2c V = — .r- ± ^Jx* — 'ic^x -\- 'icp^ : (1) 



2,rv = — c' ± V^'* + '*P''?- — ^cy^ ■ (2| 

On en conclut l'existence de deux coniques diamétrales, conju- 
guées aux cordes asymptotiques: 

.r* -f- 2c> = parabole : 

2xr -\- c^ -=z hyperbole équilalère. 

77. — La cubique peut-elle admettre un point double à distance 
finie ? Pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir simultanément: 

/■= ■r'-'v + r,=' 4- c'^x — p-' = : 

-L = 2.»v + c"^ = (} ; -^ = X- + 2cy = . 
.\r • 'V 

Les deux coniques diamétrales doivent donc se couper sur la 
cubique. En éliminant x, y entre les trois équations précédentes, 
on trouve : 3c' ^ 4/j*. On obtient alors la cubique crunodale, 
que représente la fig. 11 (page 182). C'est une cubique [4°, cj. 



184 M. WISANTS 

78. — Discutons d'abord la formule (2). La quantité subra- 
dicale est un polynôme du troisième degré, qui ne doit prendre 
que des valeurs positives. Le coefficient de y^ est — 4c. Quand 
c est > 0, il y a donc un maximum pour y; on sait, en effet, que, 
pour des valeurs de la variable, de module suffisamment grand, 
tout polynôme a le signe du terme où l'exposant de la variable 
est le plus élevé (fig. 11, 12, 13). Quand c est < 0, il existe un 
minimum de y (fig. 14). 

Le polynôme dont nous nous occupons, peut d'ailleurs s'écrire: 

Le discriminant de la parenthèse est: 

64 2/c^ ' 64 X 2;c2 

Si Ton raisonne comme pour le trinôme du second degré, l'on 
arrive aux conclusions suivantes: 

1^ < 3c* < 4/)*: y admet un minimum et deux maxima 
(fig. 12); 

2° 3c^ > 4/>*: y admet un seul maximum: 

3° c < 0: /y admet un seul minimum. 

79. — De la formule (1), page 48, nous pourrons déduire 
quelques résultats analogues. Soit / {x) le polynôme su'hradical. 
L'équation. 

f\x] = X* — 4f-^.r -|- \cp^ == 

admet au moins deux racines imaginaires (tîiéorème des lacunes). 

Quand c est < (fig. 14), l'équation a deux racines réelles, de 
signes contraires, entre lesquelles l'abscisse variable ne peut pps 
être comprise. 

Supposons que c soit > 0. Si deux racines sont réelles, elles 
sont positives (Théorème de Descartes). Cherchons quand ce 
dernier fait se produit: le minimum de / {x) doit être négatif. 
Or on a: 

/"(.r) = 4 {.r^ — c^) ■= , d'où .»• = c : 



GEOMETRIE 185 

quand les deux racines sont réelles, elles comprennent c (Théo- 
rème de Rolle); ensuite: 

/"ixi = 12.r» : /"(fl =r 12c» > ; 
/■'fl = c* — 4c-» + 4c/;'' 
= — c (oc-" — i/;^i . 

Dans le cas des fig. il et 12 (page 182), le minimum de / {x\ n'est 
pas négatif; l'abscisse x peut varier de — go à + oo . Dans le 
cas des fig. 13 et 14, il existe un intervalle où la variable ne 
peut pas entrer. 

80. — Voici les coefficients angulaires de quelques tangentes: 

!^ 
.>a- _ 2xr + c- 

"^ -~~ ^~ ~ X» "+ 2c V ' 

c- c« ^ _ 

^^ p^ p^ 



2Vc/?' ^ 



les tangentes aux points B, C, se coupent sur l'asymptote. 

Remarque. — La parallèle menée à l'axe des y, par le point A 
rencontre la courbe en un point D, de coordonnées: 

r = ^' V = — ^' 

81. — Résumons ce qui précède dans un tableau synoptique: 
c < 0: unipartite non singulière ^2°, c]; 
c = 0: cuspidale [5°, c]; 

< c < p v/.^ : bipartite 1», c] ; 

c = p \/ ^ : crunodale ^4°, c] ; 

c "^ p \/t. : unipartite non singulière 2°, c]. 
La recherche des points d'inflexion nous entraînerait trop loin. 



186 M WIN A NT S 

82. — Passons à la cubique: 

i5-7 + '/-a + a-p = in^ (Il 

Elle va nous fournir l'occasion d'appliquer l'un de nos principes 
généraux (Chapitre III). 

D'après ce qu'on a vu plus haut (62), cette cubique admet trois 
asymptotes, que nous allons, tout d'abord, rechercher. 

Par le sommet A, on peut mener 
trois droites asymptotiques, dont 
une seule pénètre à l'intérieur du 
triangle de référence; soit y = r,3 
son équation; r est>0; le système: 

doit admettre des solutions infinies. 
On élimine « et y; on trouve une 
équation du troisième degré en /S; 
on doit annuler le coefTicient de /3^; il vient: 




Fig. 15 



F (,| = r^ — -.ir — \ = 



(2) 



cette équation admet une et une seule racine positive (Théorème 
de Descartes) : son discriminant est • 



-^=-T<0 



les trois racines sont donc réelles: il fallait s'y attendre. 

La racine positive est supérieure à l'unité, car F(1)<0. 
Cette racine est indépendante de m. 

83. Nous allons effectuer une transformation des coordonnées 
trilinéaires absolues. Menons les trois droites: 



/■y 



^ = 



Elles déterminent un triangle équilatéral A'B'C, que nous pre- 
nons comme nouveau triangle de référence. Dans le « Cours de 
Géométrie analytique plane y de Palisse, 7^ édition, revue et 
augmentée par A. Gob, Bruxelles. 1912, à la page 578, au n» 735, 



GEOMETRIE 187 

on donne une formule qui exprime la distance ^ d'un point de 
coordonnées «, ^, y, à la droite que représente l'équation: 

i: » a = ifx -\- l'S + II'/ ^ ; 

à savoir: 



Les angles du triangle primitif sont: 

A = B = C = (30=* : 
donc : 



VSh- — il//.' 
Le côté B'C a pour équation : rÇ6 — y = o; 

» = , r =: r , ir =: — 1 

il vient: 

r^ — 7 _ / p — 7 



Posons 

i = yr- -(- r + I = const.inte positive ; 

il en résulte: 

En résolvant ces trois équations, on trouve: 

1 * ~ .i "'*' + ^' + '■"''''' • 

f '^^h- "'' + '■'^' + '"''' ■ 
On substitue ces valeurs dans l'équation (1), et l'on obtient 

r(2r + iKa--' + ^^ + y + Ca/Syl 
-1- :{(,.2 + :î,. + Il ,^2y ^ ^yj + y-'jt + ,^,L' _|. a-'|S + ap-) = -—5- . 

On a tenu compte de l'équation (2). On a supprimé les aceonts, 
devenus inutiles. 



188 M. IV I y. 4 NT. S 

La cubique a donc trois axes de symétrie ordinaire; ce sont 
les bissectrices intérieures du triangle A'B'C Ces axes ont une 
direction qui ne dépend nullement de m. 

84. — On peut simplifier la dernière équation. On a: 

h^ = {oi + p -\- 7)'' = ^a' 4- :j:î:a-jS + G xSy . 

d'où l'on tire: 

IJila^p — h^ — (Va-- -1- 6a^7) ; 

l'équation de la cubique peut enfin s'écrire: 

y.' + P' 4-7'+ <J*P7 = ^-'lo . 

85. — Recherchons les asymptotes. D'après ce qui précède, 
il existe une asymptote parallèle au nouveau côté B C. 

a = constante . 

En combinant les deux équations: 

pa -|_ f- -|- 6a/37 = k"- — x^ , p + 7 = /i — X , (J I 

on obtient: 

{h __ ai [i/i — x\- — :i3y\ + 6a^7 = /r — x^ . 

Le coefficient de ^y est : 

Les équations des asymptotes sont donc: 

h ^ h h 

a=-: S=-; 7^-. 

La cubique a donc trois asymptotes 
concourantes. 

86. — Comment la cubique ren- 
contre-t-elle les côtés du triangle fon- 
damental ? Si, dans les équations (J), 
on suppose « = 0, on obtient: 

77 ;,n _ l;■^ 

h (/j2 _ ;5«S7) = k- . d CI JS7 = — rvj- : 

mais : 




dÉOMirmiE 189 

Les coordonnées /5, y, sont donc racines de l'équation: 
dont le discriminant est: 

/,3 _ /.3 4/..! _ ^3 



h' — '. 



La cubique est tangente aux côtés si Ton a: 

P - '!l 

87. — Quand la cubique passe-t-elle en P ? Il faut que 
l'équation (1) ait la solution z = - . Alors: 

p = '•! . 

On peut vérifier directement que, dans ce dernier cas, la cubique 
dégénère en un système de trois droites: 

^' + P' + 7' + ^^h = f^" = 'ii= 5'* + ^ + r' • 
ou 

3 la* + p-' + y- -f GaSy) — |a + p + yl^ = . 

OU encore: 

(2a — ^ — y] ,2^ _ y _ a) ,27 — a — p) = . c. q. f. à. 

Mais 

2a — (3 — y = Ha — /( ; 

On a donc trois parallèles aux côtés du triangle fondamental, 
menées par son centre. 

88. - — La cubique est circonscrite au triangle A B C, si l'on a: 

k^ = h^- elle rencontre les trois côtés si Â-^ > -7- ; elle ne les 
rencontre pas si A" < - • Quand elle les rencontre, c est en des 
points pour lesquels on a: 

h^ — A-' 



190 M. WINANTS 

En mettant à part le cas de la dégénérescence, on a toujours 
affaire à une cubique '20, a, qui satisfait aux règles de la symétrie 
autour d'un A^ (62). 

89. — Donnons un tableau-résumé de la discussion qui précède: 

À;^ > h^ : Rencontre les prolongements des côtés. Chacune 
des trois branches entoure une région hachurée ; 
k^ z=z h^ : Circonscrite au triangle ABC; 
^ < A-^ < k^ : Rencontre les côtés (entre P et C); 

A:' = -.V : Trois droites concourantes (dégénérescence); 

o 

4- < A" < .*. : Rencontre les côtés (entre P et Q); 

h' . . . 

A^ = V : Tangente aux trois cotes: 
A^ < — : Ne rencontre pas les côtés. 
Toujours trois asymptotes concourantes. 

Î5 5. — Une deuxième surface. 

90. — Nous allons esquisser une théorie de la surface: 

y2- ^ -2,. _,_ ,,.2,. — /,3 . (/3 > Ol 

Elle admet certainement un axe de symétrie ternaire, d'équa- 
tions: 

Elle ne rencontre aucun des axes coordonnés, ne pénètre pas 
dans le trièdre où les trois coordonnées sont négatives. Elle 
coupe les plans coordonnés suivant trois cubiques [5o,c], ana- 
logues à celle que nous avons étudiée plus haut (26, 75): 

r = , c^r — p^ ; 

c = , ,»2 V — f . 

91. — l 'n plan parallèle à l'un des plans coordonnés {z — c), 
fournit, comme section, la cubique: 



GÉOMÉTRIE 



191 



que nous avons discutée (81). En faisant voyager le plan sécant, 
en laissant varier c de — oo à -j- co , on engendre la surface par 
le déplacement continu de la section, ce qui permet d'en avoir 
une première idée assez claire. 




Fi". \- 



Un plan perpendiculaire au A^ (27) donne une cubique uni- 
partite non unicursale, à trois asymptotes concourantes (82, 
84, 89). Les directions asymptotiques de cette courbe restent 
invariables, quand le plan sécant se déplace (82, 83). Le lieu 
des asymptotes se compose de trois plans qui se coupent suivant 
le A^. Du tableau-résumé du n^ 89, on déduit que la surface est 
hémimor|)lie (63, 68). 

92. — De l'étude que nous avons faite de la dernière cubique 
(83), résulte encore la propriété suivante: Les trois plans des 
asymptotes forment des dièdres dont les trois plans bissecteurs 
sont des plans de symétrie de la surface. 

L'axe ternaire rencontre la surface en un seul point: 



192 M. USINANTS 

celui-ci n'est pas un centre, car si l'on y transporte l'origine des 
coordonnées, l'équation de la surface devient: 

^ (y' + 



(-*)(-*)= 



et cette équation renferme un terme de degré pair et deux termes 
de degrés impairs. 

La surface possède bien la symétrie de la tourmaline (63): 

A'' , 3P . 

93. — En X, y, z, le plan tangent a pour équation: 

(:2 + 2xy) X + {.r^ + iyz] Y + (;-' + 2c,r) Z = 3p-- . 

Au point où la surface rencontre son axe de symétrie, le plan 
tangent a pour équation: 

X + Y + z =pV''^9 . 

Le point de contact est donc un point ordinaire (19), et, par consé- 
quent, un ombilic (62). 

94. — Signalons enfin trois points de coordonnées simples, 
appartenant à la surface: 

— r ' P • P ■' P • — p • p ■■ p ■ p ' — p ■ 

En ces trois points, les plans tangents ont pour équations: 

X — 3\ + z + Sp = : 
X + Y — 3Z -I- 3/j = ; 

— SX + Y + Z + :^/9 = . 

Ces trois plans tangents se coupent sur l'axe ternaire. 

95. — Une discussion, semblable aux précédentes, prouverait 
que les équations: 

•*•' + y' + :•■' = : r«: + z- x + x- y = , 

représentent des cônes rhomboédriques, ayant donc la symétrie 
du spath d'Islande: 

c , A^ -A.v . 



GEOMETRIE 193 



Chapitre V 



Classification des surfaces 
au point de vue de la symétrie cristallographique. 

96. — Nous devons, tout d'abord, mettre à part les surfaces 
cylindriques et celles de révolution. 

Les premières admettent une infinité de plans de symétrie, 
car tout plan perpendiculaire aux génératrices divise la surface 
en deux parties symétriques. Néanmoins, on pourrait subdiviser 
les cylindres d'après leurs autres éléments de symétrie'. In cy- 
lindre hyperbolique possède: 

3c C : 00 P : P' : P" . 

A» : 3cA'2; oc A"-' . 

Les surfaces de révolution possèdent un axe de symétrie, 
d'ordre infini; c'est précisément leur axe de révolution. Un 
ellipsoïde de révolution a: 

C ; A== : oc A'* : 
P : 00 P' . 

97. — Il existe d'autres surfaces, comme celles que nous 
avons étudiées plus haut, et dont la symétrie ne comporte rien 
d'infini. 

Nous croyons que Ton peut affirmer que toutes les surfaces, 
dont la symétrie est la même, ont un très grand nombre de 
propriétés communes: position des ombilics ou des points sin- 
guliers, courbure totale, etc. 

Sur les surfaces, on peut rencontrer des symétries qui ne 
sauraient pas exister dans les cristaux. Ainsi un cône droit, 
dont la base serait une hypocycloïde ordinaire à sept rebrousse- 
ments, aurait un A". 

L'Enseignement mathéin., ti' ;inni-e; 1921 et 1922. i:{ 



I9't M. WINANTS 

98. — Si donc l'on connaissait le tableau de toutes les symétries 
possibles, on aurait une classification des surfaces au point de 
vue cristallographique. 

L'un des principaux avantages de la nouvelle méthode serait 
de faire connaître, chaque fois, le système de coordonnées qui 
rendrait le plus facile l'étude d'une surface particulière (13). 

Liège, le 10. octobre 1920. 



SOMMAIRE: 

Introduction. 

Chapitre premier. Etude détaillée d'une surface tétraédrique. 

§ 1. Etude sommaire de quelques cubiques planes. — § 2. Symétrie 
du tétraèdre régulier. — § 3. Forme générale de la surface. Ombilics. — 
§ 4. Sections planes. — § 5. Propriétés du plan tangent. — § 6. Sections 
sphériques. — § 7. Etude de la courbure. 

Chapitre II. Etude succincte d'une surface cubique à quatorze ombi- 
lics et d'une surface quadratique. 

§ 1. Etude sommaire de deux quartiques planes. — § 2. Une surface 
ayant la symétrie d'un cube. — § 3. Une surface quadratique. 

Chapitre III. Quelques principes généraux. 

Chapitre IV. Deux surfaces ayant la symétrie d'une tourmaline. 

§ 1. Symétrie cristallographique de la tourmaline. — § 2. Deux 
cubiques planes. — § 3. Une première surface. — § 4. De nouvelles 
cubiques planes. — § 5. Une deuxième surface. 

Chapitre V. Classification des surfaces au point de vue de la symétrie 
cristallographique. 



DÉDUCTION 

DES DÉRIVÉES DE FONCTIONS CIRCULAIRES 

PAR LA MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE DES LIMITES 

PAi; 

Branislav Petromevics (Belgrade). 



Le principe de cette méthode peut être exprimé brièvement 
de la manière suivante: déterminer la limite d'un rapport de 
lignes en s'' appuyant sur les relations purement géométriques de 
ces lignes et d'autres lignes 
auxiliaires. 

Ce principe peut être illus- 
tré par la fig. 1. Dans cette 
figure, OM = x^ PM = y^ sont 
les coordonnées du point P de 
la courbe, ON = x — A:r, 
QN = ?/ + ^y. Comme APRQ 

'x; SMP, on a x^ = cnr • Plus 

' A.r o.M 

le point Q sera proche du 
point P (P et Q étant les 
deux points de la sécante QS, 
et P le point de la tangente PT), plus le point S sera proche 

P. M 

du point T, et plus, par conséquent, le rapport ^ approchera 

F M PM P M 

du rapport .-p^, d'où il s'ensuit que limjryj = .^^ . Mais comme 

,. PM ,. Av iv p dy PM 

lim^-^ = lim-r- = -r , on aura enfin -j- — .-rrr, . 

b.M A.» r/.r ' dx 1 .M 

La méthode ainsi définie peut être appliquée immédiatement 
aux fonctions circulaires, tandis que son application devient 




Fig. 1. 



196 H. PETRON lEVICS 

plus compliquée et plus difficile pour d'autres fonctions. La 
déduction des dérivées de fonctions circulaires par cette méthode 
est beaucoup plus simple et plus évidente que celle par la méthode 
analytique, et elle est supérieure à celle-ci, non seulement au 
point de vue didactique, mais peut-être aussi au point de vue 
logique ', 

Dans le présent article, la dérivée de sin x a été déduite pour 
tous les quatre cas spéciaux : 

.r < I , .r > I el < - . .r > - cl < -- , .r > -z et < 2- , 

tandis que pour les autres fonctions circulaires cette déduction 

n'a été faite que pour le premier cas seulement (pour a: <^j. 

Cependant, dans les remarques, j'ai indiqué brièvement comment 
on doit l'effectuer pour les autres cas de ces fonctions. J'ai 
indiqué aussi brièvement comment déduire les dérivées de 
fonctions circulaires inverses. 



f d sin .r 

1. '. Z=. COS X 

a.x 



1. ~ < a- < ^. — Dans la fig. 2, on a PZ = x, QP = A.r, 
P est le point de la tangente PT, PM le sinus de l'arc x (et 



* Le premier qui ait tenté une déduction purement géométrique des dérivées de difle- 
rentes fonctions était J. Barrow, dans ses Lectioiies geometricif : c"est un fait historique 
constaté récemment pai M. J. M, Child, qui voit en Barrow le premier inventeur du calcul 
infinitésimal. M. Child affirme (comp. sa traduction de l'ouvrage de Barrow, Genmetrical 
Lectures, London, 1916, p. 123), que Barrow aurait déjà possédé aussi la déduction des 
dérivées de fonctions circulaires. 

D'Ai.EMBERT, en expliquant la métaphysique du calcul différentiel icomp. son article 
o Différentiel » d.ins Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers. 
3' éd., MDCCLXXIX, t. X, p. 1(I16-17| affirme « que ce calcul ne consiste qu'à déterminer 
algébriquement la limite d'un rapport de laquelle on a déjà l'expression en lignes, et à égaler 
ces deux limites, ce qui fait trouver une des lignes que l'on cherche. » D'Alenibcrt reconnaît 
donc (comme Leibniz, avant lui), que le rapport-limite exprimé algébriquement dans un 
quotient différentiel peut toujours s'exprimer géométriquement, mais il n'entrevoit pas la 
possibilité de le déduire géométriquement. 

Dans la méthode géométrique que j'ai appliquée, pour la première fois, aux dérivées de 
fonctions circulaires, dans un article en langue serbe paru dans le périodique Mastavnik. 
1909, je me suis inspiré de l'article de D'.\lembert, ne connaissant guère la tentative similaire 
de Barrow. Je n'ai eu également connaissance de la déduction demi-géométrique de ces 
dérivées, se trouvant dans l'ouvrage excellent dej. Boussinksq, Cours d'Analyse infinitési- 
male, t. I, fasc. l, p. ôT-fiO, qu'après la publication de mon article. 



MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE 197 

de l'angle correspondant), QN le sinus de l'arc x + Ax (et 
de l'angle correspondant). 

Comme le sinus dans le premier 
quadrant est positif et comme il 
croît avec la croissance de l'arc, A 
sin X sera positive : 



RQ = QN — PM = Asin.»- 

D'autre part on a: 

lim OP = lim A.» , 




TS 



Fis 



QP étant la partie de la sécante QS correspondant à l'arc QP. 
De APRQ^ SMP on a: 

RQ _ P. M 
QP ~ PS ' 



et comme, en passant à la limite, A SMP coïncide avec TMP, on 
aura: 

PM P. M 



,. RQ 
''"qp 



PS — PT 



(1) 



D'autre part, de A TMP ^ PMO, on a: 



PM OM 



(2) 



Les équations (1) et (2) donnent: 



Mais comme 



on aura enfin 



,. RQ 

lim -— — =r oos X . 



RQ lim A sin x d sin r 

QP ~" lim A.r ~ dx 



d sin X 
dx 



(31 



f4) 



(5) 



198 




B. PETHONIEVICS 

Le sinus dans le deuxième quadrant. (Fig. 3) 

étant positif et décroissant avec 
la croissance de Tare, A sin x 
sera négative: 

R\> = Q\ — PM = — A sin X . 



Fig. 3. 

De AQRP ~ SNQ on a:. 

et, en passant à la limite, 
.. RP 



De même on a 



lim QP = lini Ax 



RP _ NQ 
Qp- SQ 



,. NQ PM 
'™QP = ''"SQ=PT 



(1 



D'autre part, de ATMP ~ PMO, on a: 



P-M OM .ar.n 

= = cos (180° — X) = — cos r 

PT OP 



(2) 



Les équations (1) et (2) donnent: 



,. RP 

lim =z — cos X . 

QP 



Mais comme: 



(.3) 



,. RP 
'•"qp 


= 


lim 


— Asiiix lim A sin. r 


d sin 




limA-r limA.r 


dx 


on aura: 






d siu X 

; =: — cos .»• , 

dx 




d'où enfin: 






d sin ,r 

— = cos .»• . 





(41 



^.r 



15) 



MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE 199 

3. t: < X < -^ 77. — Le sinus dans le troisième quadrant 

(Fig. 4) étant fiégatif et croissa?2t avec la croissance de l'arc, 
A sin X sera négative : 

RQ = — QN — (— PM I = — A sin » 

On a de même: 

lini QP = lim Ar . 

De AQRP ^ QNS on a: 



RQ _ NQ 
QP ~ SQ 




S T 



Fig. 4. 



et, en passant à la limite, 



,. RQ ,. NQ P.M 
''"qp = ''"sq = pt 



ll^ 



D'autre part, de ATÎ\IP ^ PMO, on a: 



p^ = QP = C08 (.r — 180O| = — cos .r . 



Les équations (1) et (2) donnent: 



,. RQ 

lim -— rj = — cos X 



Mais comme: 



RQ lim — A sin .r lim A sin x d sin x 

QP limAx limA.r dx 



(3) 



on aura: 



d'où enfin: 



d sin X 
dx 



d sin X 



(ô) 



200 



B. PETRONIEVICS 



'^- V 7T < a; < 27r. ■ — Le sinus dans le quatrième quadrant 

(Fig. 5) étant tiégatif et décroissant avec la croissance de l'arc, 

Asin:csera positive: 

RF =_ QN — (— FM| 

— PM — QN = A sin X . 

De même on a: 

lim QP = lira A.r . 

De AQRP ^ SNQ on a: 




Fig. 5. 

et, en passant à la limite 



RP _ NQ 
QP "" SQ 



NQ PM 



Iim ■— - z=: lim ^ . , . 

QP SQ PT 



D'autre part, de ATMP '^ PMO, on a; 



PM OM ,,,„ 

p;pr = QP = cos (360° — X) = cos X 



(1) 



(2) 



Les équations (1) et (2) donnent: 



Mais comme 



on aura enfin: 



,. RP 

Il m --^ = cos X 



RP lira A sin .r d sin x 

"" QP ~ limAr ~ dx 



(3) 



(4) 



dx 



(5 



Remarque. — Par rapport à la fonction circulaire inverse 
X — sin y (ou y — arc sin a), il suffit d'en déduire la dérivée 

pour le premier cas x < ;,-. 

Dans la fig. 2, nous aurons: PZ = ?/, QP -^ Aï/, PM sera le 
sinus de l'arc y (et de l'angle correspondant), QN le sinus de 
l'arc y -^ ly (et de l'angle correspondant). 



MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE 201 

On aura alors: 

RQ = QN — PM = A sin V = Ax , 
lim QP = lim^r . 



De APRQ '^ SMP on a: 



QP _ PS 
RQ "" PM ' 



et, en passant à la limite, 



QP _ PS _ PT _ OP _ 1 



RQ "~ PM PM OM cos y 

Mais comme 

QP lim A}' «iarcsinr 

RQ lim A sin )• dx 

on aura enfin: 

d arc sin x l 1 1 



dx cos V yi _ sin2j yj\— x^ 

y, d COS X 

il. =: — siii x . 

dx 

De la fig. 2, qui représente le cas a: <^ -f , résulte immédiate- 
ment: 

RP = ON — OM = — Acosx . et lim QP = lira A.r . 



De APRQ '^ SMP on a: 



RP _ M s 
QP ~ "PS • 



et, en passant à la limite, 



Mais comme 



,. MS MT MP 



,. RP lim -^ A cos j; rf cos x 

lim — — = 



QP lim Ar dx 

on aura enfin: 

d cos X 



, = — sin X . (3) 

dx 



202 



B. PETRONI EVICS 



Remarque 1. — On peut aisément déduire, en suivant la 
déduction de ce premier cas et des cas correspondants pour le 
sinus, les trois autres cas pour le cosinus. Cette déduction se 

basera sur le fait que le signe — de l'équation — ^-^ — — sin x 

provient, dans les deux premiers cas, de la différence négative 
de cosinus, et dans les deux autres, du sinus négatif de l'arc. 
Remarque 2. — En suivant cette déduction de la dérivée de 
cos X et celle d'arc sin x, on déduira aisément la dérivée pour 
arc cos x\ 

d arc cos .ri 1 



dx 



Vi 



m. 



d tgx 



Dans la fig. 6, qui représente le premier cas rr < 'y , ZT, est 

la tangente trigonométrique de l'arc PZ = x, ZT., la tangente 

trigonométrique de l'arc QZ = x 
-f- Aa;, P est le point de la tan- 
gente PT, Q et P sont les deux 
points de la sécante QS, PM est 
le sinus a:, QN le sinus de l'arc 
x 4- ^x, PU |l T,T,, MV II OQ et 
M Y il OP sont des lignes auxi- 
liaires. 

De la fig. 6 résulte immédia- 
tement: 




r s 



Fis. «i. 'l'^ '1', = T„ Z — 


l\Z = Atgx 


lim QP = 


lim A.r . 


On a d'abord: 




Tj T, _ T, _ ZO _ PO _ 1 
UP ~ PO ~ MO ~ MO ~ cosa- ■ 




De AQPU ~ VPM on a ensuite: 




UP MP 




QP ~ YP 





(H 



(2) 



MÉTHODE GÉO M ÉTRTQ UE 203 

et comme, en passant à la limite, AVPM coincide avec YPM, 
,. UP ,. MP MP 

^"" QP = '"" VP = YP ' 

d'où, AYP.M étant ^ MOP, 

,. UP PO 1 ,„. 

Comme nous avons d'une part (équations 1, 2, 3) 

Tg T, _ Tj T, UP 
'Q?~ ~ UP QP 

et 

,. T,r, T,J\ ,. UP 1 1 1 

Il ni r.. ' = -^F^~ . lira -ttt '■= 



QP UP ' QP cos af- cos r 

et d'autre part : 



on aura enfin: 



T^ T, lim A t^ -f d \^ X 

QP ~ lim Ar ~ dx 

d l^ X 1 

dx cos- .»■ 



(6) 



Remarque 1. — La déduction pour les autres cas peut aisé- 
ment être faite, en suivant la déduction de ce premier cas et 
des cas correspondants pour le sinus. Dans le deuxième cas, 
A tg a: sera positive, le cosinus négatif, dans le troisième A tg a- 
positive, le cosinus négatif, tandis que dans le quatrième tous 
les deux seront positifs. 

Remarque 2. — En suivant la déduction de la dérivée de tga; 
et celle d'arc sin x, on déduira aisément la dérivée d'arc tgx: 



d arc Igx 



cos- r := 



dx ~ ■ 1 -f X2 



jY dcigx _ 

dx 



Dans la fig. 7, qui représente le premier cas a- < ^i Z|C| est 
la cotangente de l'arc PZ., =- x, Z,C., la cotangente de l'arc 



204 



H. PETRONIEVICS 



QZ, = X ^ ^x, P est le point de la tangente PT, Q et P les 

deux points de la sécante QS, PM = 
sin X, QN = sin {x -4- ^x), UP || C,C, 
et VP II OQ des lignes auxiliaires. 
De la fig. 7 résulte immédiatement : 

C, C, = Z, C, - Z, C, = - A ctg .r , 
lim QP = lim Ax . 

On a d'abord: 




'P T s 



Fig. 7. 



(1) 
C, C, _ C^ _ C^ _ ^ _ - 1 
~ÛP~ ~ "PÔ" "~ Z, O "~ MP ~ sin .r 



De AQPU ^ PSV on a ensuite 



UP _ vs 
(7p "" PS 



|2) 



et comme, en passant à la limite, aPSV coincide avec POT, 

,. UP ,. VS OT 
''"'qp = ^'"'ps = Pï' • 

d'où, APOT étant ^ MOP, 

,. UP OP 1 

im - — = = . !<>' 

QP MP sin .r 

Comme d'une part (équations 1, 2. 3) 



. C,C, C,C, ,. UP 1 1 1 

QP UP ' QP sin ,f " sin X sin^.r 



lim 



et d'autre part: 



Cj c, lim — A ctg .*• d ctç 



lira 



QP 



lim Ar 



dx 



on aura enfin: 



d ctg X 
dx 



l5, 



(6) 



Remarque 1. — Le même résultat peut être aisément obtenu 
pour les trois autres cas. Dans le deuxième cas, A ctg x sera 
négative^ le sinus positif, dans le troisième et quatrième A ctg x 
sera négative, négatif est aussi le sinus. Dans tous les quatre 



MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE 205 

cas, le signe — de l'équation (6) provient de la différence négative 
de la cotangente. 

Remarque 2. — En suivant la déduction de la dérivée de ctg x 
et celle d'arc sin z, on déduira aisément la dérivée d'arc ctgx: 



d arc cl^ .r 



= — sin- y ■=! 



1 + X- 



d sec .r sin x 



dx 



Dans la lig. 8, qui représente le premier cas a: < ^ , OS, est 

la sécante trigonométrique de l'arc PZ = x, OS., la sécante 
trigonométrique de l'arc 
QZ = X -[- Ax, U le point "^ 

d'intersection de cette sé- 
cante avec le cercle au 
radius OS,, S, le point de 
la tangente S,T', U et S, 
les deux points de la sé- 
cante S, S', PM = sin X, 
QN =-- sin {x + Ax), 
ZV Ij OQ et ZY II OP des 
lignes auxiliaires. 

De la fig. 8 résulte im- 
médiatement: 








US 


, = os, — 

lim QP = 


OS, = A 
1 i m Ax . 


sec X 


On 


a d'abord : 












US, _ 

QP - 


S, _ zo 

PO ~ MO 


PO 
~ MO ~ 


1 

" COS X 


De AS,US, 


^ ZVS, 


on a ensuite: 










US, 


VZ 










US. "" 


vs, 





(1) 



(2) 



206 B. PETRONIEVICS 

et comme, en passant à la limite, AZVS, coïncide avec ZYS,, 
,. us, ,. VZ YZ 

lim rr— ^ = uni - — = -—^ , 
LSj VS, YS, 

d'où (AZYS, étant ^ PMO) 

,. us, MP sin x 

Comme nous avons d'une part (équations 1, 2, 3^: 

,. us, us, ,. us, 1 sin j: sin .»■ 

'"" HP = /Tp • ^'™ r^ = = — **l 

^^r KlV US, COSX COS .r COS' JC 

et d'autre part: 

,. us, lim A sec 0" d sec x 



on aura enfin: 



d sec a; siu x 
dx cos^ X 



Remarque 1. — Le même résultat peut être aisément obtenu 
pour les trois autres cas. Dans le deuxième cas, A sec a; sera 
positive^ le sinus positifs le cosinus négatifs dans le troisième 
A sec X négative, le sinus et le cosinus négatifs, dans le quatrième 
A sec X négative, le sinus négatif, le cosinus positif. 

Remarque 2. — En suivant la déduction de la dérivée de sec x 
et celle d'arc sin x, on déduira aisément la dérivée d'arc sec x: 



d:^ 



irc sec .*■ 



y/x- — 1 



,,j d cosec X 



Dans la fig. 9, qui représente le premier cas a: < ^, OC, est 
la cosécante de l'arc PZ = x, OCo la cosécante de l'arc QZ = 



METHODE GEO M ÉTÉ mu E 



207 



X -T Ai", Q et U sont les deux points de la sécante C, S', C, le 
point de la tangente C'T', PM = sin x, QIS = sin [x -j- Aa;). 




S' r 



Fijr. n. 



De la fig, 9 résulte immédiatement: 



UC, = OC, — OCj = — A cosec x 
lim QP = lim Ar . 



On a d'abord 



UCg _ C„0 
PQi~ Qô 



et, en passant à la limite, 



,. UC, ,. C,0 C, O C, O OP 1 

''"' PQ = '"" Qô = Pô = YO ^ MP = ïï^- 



De A(^,U(v2 ~ OUS' on a ensuite: 



UC, _ UO 



et comme, en passant à la limite, A OUS' coïncide avec OC,T' 
(le cercle au radius OC* coïncidant avec le cercle au radius OC,) 



,. UC, ,. lO C,0 -MO cosx 
LC, l S' C,T' MP sin a- 



20H B. PETRONlEVICa 

Gomme nous avons d'une part (équations 1, 2, 3): 



,. ce, ,. uc. ,. uc, 1 

lim -:r—é = lim -^-^ . lim =--=;' = — — 



COS X COS X 



PQ PQ UCj sin X sin x sin- t 

et d'autre part: 

uc, lim — A cosec x d cosec x 

lim -— -- =::: 



PQ lim A,r </.r 

on aura enfin: 

d cosec X COS x 



dx 



(6) 



Remarque 1. — Dans le deuxième cas, A cosec x sera positive, 
le sinus positif, le cosinus négatif, dans le troisième A cosec a; 
positive, le sinus et le cosinus négatifs, dans le quatrième A cosec x 
négative, le sinus négatif, le cosinus positif. 

Remarque 2. — On pourrait aussi déduire de la fig. 9 la dérivée 
de cotg X, comme la figure S peut servir pour la déduction de 
la dérivée de tg x. 

Remarque 3. — En suivant la déduction de la dérivée de 
cosec X et celle d'arc sin x, on déduira aisément la dérivée pour 
arc cosec a;- 

d arc cosec x sin- y 1 

dx COS r j. y ,2 _ i ■ 



DÉDUCTION GÉOMÉTRIQUE 
DE L'EXPRESSION POUR LE RAYON DE COURBURE 

PAR 

J. M, Child (Manchester) et B. Petronievics (Belgrade). 



Ayant envoyé l'article qui précède, en langue serbe, à Monsieur 
J, M. Child, professeur à l'Université de Manchester, j'ai reçu 
de lui la lettre suivante: 

« I was very interested in the pamphlet you sent me. 

Of course, I could not follow ail the argument, printed as it 

was in Serbian; and I consider it a very good idea to republish 

it, with further developments, in French. Hère is a little theo- 

rem in infinitésimal geometry of the same kind, which, as far 

as I am aware, is new. It leads directly to the value of the 

radius of curvature in Cartesian Coordinates. Perhaps you 

would care to treat it more rigorously according to the metliod 

of the pamphlet; if so I should be honoured if you would include 

it in your French publication as one of the further developments. 

Yours verv sincerely, 

J. M. Child. « 

La première partie de cet article contient la traduction de 
la part de collaboration importante de M. Child, mentionnée 
dans sa lettre; dans la deuxième, j'ai appliqué à sa lig. 1 ma 
méthode géométrique. 

I 

Théorème. — Dans la fig. 1 ABC représente la tangente au 
point A d'un cercle de centre O; OB et OC coupent ce cercle 
en des points P et Q. 

L'Enseigoeinent inathém., 22' »nnée ; l!i2t et m22. 14 



210 



./. M. CHILI) ET B. PETHONIEVICS 



Soit QT une tangente au point Q, coupant ABC en T. Tirez 
BD _\_ OC. De P tirez PR |! AC coupant QT en S; de même 
tirez PW _L OC et, par Q, QR J_ PR. On aura alors: 



HC 



OB SQ2 




Preuve: Les angles marqués dans la fig. 1 sont évidemment 
égaux. Donc, par la similitude des triangles, nous avons: 



BC _ OC _ SQ • 
BD "~ OA ~~ SR / 


BC 


OB. OC 


OB SQ2 


BD _ OB _ OB r 

F\V ~ OP ~ OA ) 


■ PW 


~ OA- 


~ OC SK2 



Corollaire. A la limite, l'angle BOC dans la fig. 2 devenant 
infiniment petit, on a (dans la fig. 1): 
PW . OB 



PR 
SR 



PQ 



OC 



-*- \ 



et 



SQ 
SR 



PQ 
PR 




Fig. 2. 



nAYOy DE COURBURE 

ce qui donne finalement: 

BC _ PQ2 
PQ ~ PR^ 



211 



ou 



BC 
PR 



PQV 
PR/ 



Application au rayon de courbure. — Si p (dans la fig. 3) 
représente le rayon de courbure de la courbe LM au point P, 
et Q un point voisin, on aura alors: 



d'où 



PK = 0.» . HQ = oj , 

PQ = îi + (|;:Yf..., 



PRJ -) ^ + Wïr 



Dans la fig. 3 nous avons 




Fig. :î. 



AB =r p Ig 

AC = p tg (0 + oO) 



212 /. M. CHILD ET B. I> E T R O N I E V I C S 

d'où 



BC = o(p tg Ol 



d'où 



BC _ 

PR ~ ^' 



m 



Zx 



BC , /l'DX'- 

Donc, d'après le corollaire ci-dessus ^ étant = ( p^ ) , nous 
aurons, en passant à la limite, 



II 



Dans la fig. 4, PT est la tangente au point P du cercle de centre 
O', QS la sécante qui coupe ce cercle en des points P et Q, 
QT' la tangente du même cercle au point Q, O'F et O'F' les deux 
droites passant par les points P et Q du cercle et coupant la 
tangente AC (|! OX) en B et C, QN et PM _L OX et || OY, 
PR ^ QN et II OX, DE || QS et D'E' !| PT, < AO'P = «> et 

< PO'Q = ^e. 




o T s T' M N E 



Fig. '.. 



HAYON DE COURBURE 213 

De la lig. 4 résulte immédiatement: 

BC = O'A . A tg 6 = pA tg . 

De ABCD ^ EFD on a: 

BC _ EF 
BD ■" ËD ■ 

Mais comme, en passant à la limite, A EFD coïncide avec 
E'F'B, on aura: 

,. BC E'F' 
^'"^ BD = Ë^ • 



et, A E'F'B étant ^ TPM, 



,. BC TP 
''" BD ^ TM 



D'autre part, BD étant |j PQ, on a: 



BD _ BO' _ BO' 
PQ ~ PÔ"' ~ ÂÔ 



et, ABO'A étant ^ PTM, 



BD _ PT 
PQ ~ MT 



(2) 



Les équations (1) et (2) donnent: 



,. BC BD P'P 

^'"^ BD • PQ = MT^ • '^' 

De APQR^SPM on a: 

PQ _ SP 
PR ~" SM ■ 

Mais comme, en passant à la limite, ASPM coïncide avec 
TPM, on aura: 

PQ _ TP 

PR ~ TM • * ' 

Les équations (3) et (4) donnent: 

,. BC PQ TP3 

^""PQPR=TM3- <^> 



214 A. HUIII. 

Comme nous avons d'une part: 

. BC lim oA tg _ d tg h d-y 

PR lim A.r ' d.r ' d.r' 

et d'autre part (équation (4)): 

TP3 _ PQ3 _ PQ2 PQ _ dy- 4- dx- Idy- + f/.r^ 
TM3 — plp — PR2 ■ Fïï ~ rfx-' ■ V </.r2 

=-(l)V-W=[-CT 

on aura enfin (équation (5)): 



rf.r- 



(6) 



CAMILLE JORDAN 

(1838-1922) 



Ce n'est pas entreprendre une tâche sans péril que d'essayer 
de rendre un juste hommage à un si grand nom. Nous nous 
appuierons surtout sur ce qui a déjà été dit par des voix particu- 
lièrement autorisées, notamment par celles de MM. Emile Bertin^ 
Emile Picard \ Robert d'Adhémar -, Henri Lebesgue ^ Henri 
Villat^ 

Marie-Ennemond-Camille Jordan naquit à la Croix-Rousse, 
près Lyon, le 5 janvier 1838. \\ était fils de l'ingénieur Alexandre 
Jordan et de Joséphine Puvis de Ghavannes, sœur du célèbre 
peintre. Après de premières études au Collège d'Oullins et au 
Lycée de Lyon, il entra à l'Ecole Polytechnique comme élève 
en 1855, comme examinateur en 1873, comme professeur en 
1876; il conserva ce dernier titre pendant 36 ans ! \\ fut aussi 



' Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 23 jiinvicr r,)22. 

- licvne générale des Sciences, 15 février 1922. 

' lievue scientifique, 22 avril 1U22. 

* .lournal de Mathématiques pures et appliquées, 1022, fascicule l. 



CAMILLE JORDAN 215 

professeur titulaire au Collège de France, de 1883 à 1912. L'Ins- 
titut l'accueillit en 1881. 

De telles énumérations de dates sont cependant complètement 
insuffisantes pour que l'on puisse apercevoir l'action d'un tel 
esprit sur la science et sur les générations qu'il a formées. Il 
faudrait pouvoir se représenter en même temps le génie déployé 
dans des écrits dont deux seulement, le Traité des Substitutions 
et le Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, représentent déjà 
un amas de richesses que peu d'intelligences peuvent totalement 
assimiler. 

Le Traité des Substitutions ! Ouvrage devenu rarrissime, dont 
nous ne parlons nous-mêmes, ici, que sur de vagues souvenirs. 
Il y en avait à Toulouse un exemplaire qui, disparu il y a dix ans 
dans un incendie de bibliothèque, n'a pu être remplacé. Combien 
ont étudié ces théories dans le Traité d'Algèbre supérieure de 
H. Weber (d'ailleurs traduit en français par J. Griess) et, ce qui 
fut encore une grande chance, avec le secours d'un chapitre 
que M. E. Picard glissa adroitement dans le Tome III de son 
Traité d'Analyse. Le Maître incontesté des groupes de substi- 
tutions ne se résolvait pas à nous donner une seconde édition. 

Heureusement, nous avions de bons amis en Amérique, par 
exemple MM. G.-A. Miller, H. -F. Blichfeldt, L.-E. Dickson qui 
en 1916, publièrent un magnifique volume portant en titre 
Theory and applications of Finite Groups ^ et en dédicace: To 
Camille Jordan whose fundamental investigations on the theory 
and applications of finite groups enriched the subject to the extent 
of converting it into a fundamental branch of niathematics and 
furnished in a large measure the inspiration for the subséquent 
great activity in this field, this book is dedicated. 

1916 1 C'était la grande et affreuse guerre. Camille Jordan 
avait perdu sur les champs de bataille trois fds et un petit-fils. 
La victoire était indécise et lointaine et l'Amérique, à cette épo- 
que, était sympathique, mais encore immobile. Ces rapproche- 
ments n'indiquent-ils pas qu'il y a des formes supérieures de 
l'intelligence logique qui, au-dessus de tous les crimes et de toutes 
les amertumes, tendent vers des fins morales ? 



» New-York. John Wilov and Sons; London, Chapman and Hall. Une analyse détaillôe 
de cet ouvrage, revue par C. Jordan, a été publiée dans le Bulletin des Sciences mathé- 
matiques. 



216 A. BUHL 

Quoi qu'il en soit, l'hommage scientifique que recevait Camille 
Jordan en ces heures cruelles précédait, comme un puissant 
symbole, l'actif dévouement que tout un grand peuple allait 
bientôt apporter à la cause de la liberté. 

Il faut noter aussi que, sur le terrain purement scientifique, 
la théorie des groupes finis est devenue une théorie bien améri- 
caine. Les géomètres de ce pays, si industriel et affairé, se sont 
adonnés à des considérations arithmétiques d'une transcen- 
dance presque inimitable, les singularités de groupes d'ordre 
prodigieusement élevé étant cultivées avec une puissance d'abs- 
traction qu'aucune application technique n'a jamais demandée. 

Et cependant, derrière cette algèbre si subtile, il y a les fonc- 
tions, les courbes, les surfaces, les variétés algébriques et le tou- 
jours merveilleux théorème d'Abel. L'Arithmétique est vraiment 
la reine des Mathématiques mais, malgré cela, on ne peut guère 
conseiller, en général, de s'inféoder à cette royauté aussi sévère 
que belle. Comme il serait long et difficile d'aller vers tout par 
la logique de la voie arithmétique ! Le continu a des exigences 
immédiates auxquelles on obéit d'autant plus volontiers qu'il 
apporte des intuitions qui soulagent; c'est quand on a l'esprit 
assez puissant pour dédaigner de tels soulagements qu'on est 
un grand, un très grand savant, un Camille Jordan. Qu'on se 
mette alors à faire de l'enseignement et on écrira tout naturel- 
lement le Cours d'Analyse de VEcole Polytechnique qui, comme 
le remarque fort justement M. R. d'Adhémar, est aussi bien le 
Cours d'Analyse du Collège de France. 

Dans un tel ouvrage, les principes sont constamment fixés 
d'un œil perçant et inflexible; les tâtonnements qui se sont 
produits autour de la notion d'intégrale définie ont abouti à 
trouver la voie droite que M. Henri Lebesgue devait d'ailleurs 
continuer; les fonctions elliptiques sont envisagées non au point 
de vue de leurs applications mécaniques ou physiques, mais 
dans leurs relations avec la Théorie des Nombres, d'où des pages 
d'une curieuse brièveté sur la transformation ou la multipHca- 
tion complexe. Quant aux fonctions abéliennes, elles sont 
rapidement étudiées sur des surfaces de Riemann dont la con- 
nexion fut encore, pour Camille Jordan, l'occasion de travaux 
d'une puissante pénétration. Là encore, ce qui permet la consi- 



CAMILLE JORDAN 217 

dération profonde du continu (du continu des surfaces rieman- 
niennes) c'est l'adjonction d'entiers sans lesquels il ne serait 
qu'un informe chaos. Sans le discontinu, le continu ne saurait 
être un objet de science; la théorie des ensembles l'a suffisam- 
ment prouvé de son côté et, d'autre part, les variétés continues 
Espace et Temps, qui méritent bien des majuscules en signe de la 
grande vénération que l'homme leur accorde depuis toujours, 
semblent maintenant s'estomper dans un Univers où toute 
véritable loi devient Nombre. 

Mais ne nous éloignons pas des considérations fondamentales 
qui caractérisent les travaux de Camille Jordan. 

Les développements préliminaires et prodigieux de la théorie 
des fonctions analytiques placèrent d'abord dans un jour singu- 
lier les recherches sur les fonctions de variables réelles; d'excel- 
lents mathématiciens décrétèrent que çà n'était pas des mathé- 
matiques ! Ecoutons plutôt le savoureux discours de M. Henri 
Lebesgue ^: «L'orage est maintenant presque apaisé car les 
nouvelles recherches ont prouvé leur utilité pour l'étude des 
fonctions analytiques elles-mêmes; mais, au commencement, 
comme il se trouve toujours quelqu'un pour essayer de trans- 
former un beau résultat des Anciens en obstacle à jeter au 
travers de la route par laquelle des Modernes prétendent arriver 
à de nouvelles conquêtes, on nous a accusé de mépris pour les 
fonctions analytiques, d'amour morbide des singularités qui, 
disait-on, sont anormales puisque tout est analytique, et de bien 
d'autres choses encore. Mais nos travaux sont en continuité 
avec ceux de M. Jordan; comment persévérer dans ces reproches 
et les adresser à M. Jordan lui-même, alors qu'il venait d'édifier, 
à la gloire des fonctions analytiques, le splendide monument 
qu'est son Cours de l'Ecole Polytechnique, ouvrage dans lequel 
les mathématiciens du monde entier de ma génération ont appris 
l'Analyse et qui, malgré d'excellents ouvrages plus récents, 
reste unique à bien des égards ? » 

Il n'y a d'ailleurs qu'à feuilleter les Leçons sur l'intégration de 
M. Henri Lebesgue pour sentir toute la profonde exactitude de 
cette citation. 



^ Kevue scientifique, 22 avril 1922, p. 255. 



218 A. BUHI. 

Il faut attacher aux ensembles des nombres analogues aux 
longueurs, aires, volumes, etc. Cette première idée est de Gantor 
mais c'est Jordan qui l'a simplifiée et complétée. Un ensemble 
a des étendues intérieure et extérieure; quand ces deux étendues 
sont égales, il est dit mesurable J, c'est-à-dire mesurable au sens 
de Camille Jordan. Les courbes qui séparen* le plan en deux 
régions sont les « courbes de Jordan »; elles doivent se généralisej 
en variétés qui séparent de même les ensembles d'un espace 
quelconque et Ton entrevoit que les intégrales multiples, cons- 
truites dans de telles conditions, généraliseront celles que la 
Physique mathématique a d'abord considérées dans l'espace 
ordinaire. 

La notion de fonction à variation bornée est aussi due à 
Camille Jordan et a encore été introduite avec précision dans le 
Cours d'Analyse; on revient toujours à cet ouvrage quand on 
veut comprendre toute la portée des idées de l'illustre analyste 
car les Mémoires isolés qu'il a rédigés sont généralement conçus 
dans un esprit abstrait, le but n'étant pas toujours indiqué et 
la brièveté de l'exposition rappelant souvent celle de Charles 
Hermite. Au contraire, dans le Cours, tout a dû s'enchaîner et 
c'est une gloire de plus que de léguer un ouvrage unique où toutes 
les pensées fondamentales du savant ont laissé quelque empreinte. 

C'est donc après une longue et laborieuse carrière que Camille 
Jordan s'est éteint le 21 janvier 1922. S'il fut cruellement 
meurtri en son cœur, puisque frappé dans ses affections les plus 
chères, il ne le fut jamais en sa vive et pénétrante intelligence. 
Il laisse des exemples de toutes sortes; son disciple le plus direct, 
M. Henri Lebesgue, fera revivre sa pensée à l'Institut et au 
Collège de France. Le Journal de Mathématiques, qui fut d'abord 
le « Journal de Liouville » puis le « Journal de Jordan », a été 
sauvé de difficultés d'impression qui auraient pu être mortelles: 
la publication continue, de manière brillante, grâce aux efforts 
de M. Henri Villat. Puissent les jeunes, qui s'émerveilleront dans 
l'étude des mathématiques, ne pas oublier ce qu'ils devront tou- 
jours au génie analytique et à l'esprit d'organisation de Camille 
Jordan ! 

A. BuHi. (Toulouse). 



CHKOIVIOUE 



Einstein au Collège de France. 

Les conférences de la Fondation Michonis ont été confiées cette 
année à M. le Prof. A. Eiisstein. Ce fut le vendredi 31 mars 1922, 
dans ce sanctuaire scientifique qu'est le Collège de France, une émo- 
tion profonde pour tous les admirateurs des théories relativistes de 
voir apparaître Thomme auquel nous ne devons rien moins qu'une 
nouvelle manière de penser. L'ovation qui l'accueillit trahit l'en- 
thousiasme de tous. 

M. M. Croiset, directeur du Collège de France, souhaita d'abord 
la bienvenue au savant physicien et rappe^ que cette institution 
avait déjà eu l'occasion d'entendre, dans les mêmes conditions, le 
savant hollandais Lorentz. 

Dans sa première conférence, M. Einstein précisa sa pensée sur 
certains points comme pour prévenir les objections qui pourraient lui 
être faites durant les trois séances de discussion des 3, 5 et 7 avril. 

Après avoir explicité les trois postulats non nécessaires a priori, 
qui servaient de fondement à la physique newtonienne, espace eucli- 
dien, temps absolu, sohde invariable, Einstein fut amené à préciser 
sa conception de la géométrie naturelle et de l'espace naturel, qu'il 
faut distinguer des géométries ou espaces que le mathématicien cons- 
truit en partant de définitions arbitraires. 

La géométrie naturelle est l'étude des corps solides, de leurs rela- 
tions réciproques, de leur superposition et des constructions qu'ils 
permettent d'effectuer. L'espace naturel est l'un de ces corps et rien 
d'autre. Cette conception rappelle celle de Poincaré, quoique plus 
voisine de l'empirisme d'Helmholtz. La théorie de la relativité géné- 
rale a pour point de départ cette remarque très simple: l'égalité, 
vérifiée expérimentalement au plus haut degré de précision, de la 
masse inerte et de la masse pesante perd son caractère mystérieux 
si l'on regarde ces deux masses comme deux aspects d'une seule 
et même entité. Accélération et gravitation se compensent entière- 
ment, c'est le principe d'équivalence. L'attraction agissant sur tous 
les corps est comme si elle n'agissait sur aucun, elle est propriété de 
l'espace aussi bien que de la matière. Mais, ajoute immédiatement 
Einstein, la présence d'un champ gravifique n'est pas pour cela 
fictive, elle a au contraire un caractère absolu car il n'est pas possible 



220 CHRONIQUE 

de la remplacer par une accélération que localement, en un point de 
Tespace-temps et non pour une portion finie de l'univers. 

On supprime le champ gravifique en lui obéissant et l'observateur 
en chute libre peut se considérer dans un univers euclidien et y vérifie 
le principe d'inertie de l'ancienne mécanique. L'existence d'un tel 
univers euclidien tangent en chaque point de l'espace-temps à l'uni- 
vers réel permet par un procédé de calcul tensoriel, d'étendre à l'espace 
courbe les propriétés de la mécanique classique. Celle-ci devait appa- 
raître désormais comme un cas limite et dégénéré de la mécanique 
nouvelle. Sans cette idée simple, il eût été, de l'avis d'Einstein, très 
probablement impossible de construire la relativité générale. 

Après cet exposé de méthode, Einstein insista spécialement sur 
le fait que les grandeurs intervenant en relativité doivent avoir une 
signification physique sans quoi la théorie se perd dans le symbo- 
lisme mathématique. Il est remarquable, ajoute l'éminent physicien, 
que le ds^ qui définit la géométrie soit un invariant immédiatement 
mesurable au moyen des règles et des horloges. Il semble que ce soit 
avant tout, ce point de vue physique, qu'Einstein ait cherché à 
préciser dans cette première leçon. 

Les séances suivantes eurent lieu sous la présidence de M. Lan- 

GEVIN. 

Relativité restreinte. — M. Carvallo demande si des expériences 
astronomiques portant sur la vitesse de la lumière ne pourraient pas 
infirmer le principe de relativité. M. Einstein montre qu'il n'en est 
rien et ajoute que la méthode classique de détermination de la vitesse 
de la lumière au moyen des satellites de Jupiter constituerait une 
nouvelle expérience cruciale, pourvu que la précision y soit poussée 
jusqu'au vingtième de seconde. 

M. Sagnac expose sa théorie antirelativiste et M. Lemeray précise 
certains points. 

M. Painlevé se demande si la transformation de Lorentz appliquée 
à un mouvement formé de la superposition de deux mouvements 
de translation uniforme ne conduirait pas à quelque contradiction. 

Il pose le problème suivant. Soit {x, t) une voie ferrée rectiligne 
constituant un système inertial et sur celle-ci un train formant un 
système {x' . t'). Supposons que le train se meuve avec une vitesse v 
pendant un temps 6* mesuré aux horloges delà voie, puis qu'instanta- 
nément, il s'arrête et reparte en sens inverse avec la même vitesse. 
C'est bien là un mouvement somme de deux mouvements inertiaux. 
M. Einstein donne l'interprétation lorentzienne du problème au moyen 
de quelques dessins. M. Langevin, au début de la séance suivante, 
en donne l'interprétation analytique. Qu'il me suffise ici d'indiquer 
la transformation de Lorentz pour le mouvement de recul: 



CIIROyiQUE 221 

c'est cette expression qui correspond au réglage des horloges du train 
au moyen de signaux lumineux. Elle peut s'écrire 

1 / \.r 



C'est, à une constante additive près, la formule de Lorentz pour une 
vitesse — v. C'est là le point essentiel. 

M. Guillaume, de Berne, tente de donner une interprétation non 
einsteinienne de l'optique. 

M. Langevin indique qu'il a obtenu autrefois une construction 
de la mécanique relativiste sans passer par l'électrodynamique. 
Comme on le fait habituellement pour déterminer le caractère tenso- 
riel de la force et la variabilité de la masse. M. Einstein Ten félicite. 

Relativité générale. — On sait que la loi de gravitation d'Einstein 
admet dans le cas d'un seul point attractif la solution particulière 
donnée par Schwarzschild 

ds- = dr- — r-dh- — r- sin 6 f^ ç- + y <//- T = '^ 7 <^' 

OÙ m est la masse gravifique située à l'origine, r, 9, ^, t les coordonnées 
sphériques d'un point de l'espace temps. 

M. Hadamari» demande quelle interprétation physique il faut 
donner de la singularité /• — 2m. On sait qu'en général la sphère de 
rayon 2w est très petite et tout entière à l'intérieur du soleil, mais 
on peut imaginer que cette masse par grossissement du soleil soit 
assez grande pour que cette sphère soit dans l'espace où gravitent des 
planètes. Que se passerait-il alors sur cette sphère ? M. Einstein juge 
la question très profonde et montre que tout au moins dans le cas 
d'un soleil formé d'un liquide incompressible une autre singularité 
physique devancerait la « catastrophe Hadamard »; les pressions 
seraient infinies au centre de la masse attractive et l'éminent physi- 
cien émet l'idée que l'on pourrait peut-être chercher dans cette direc- 
tion l'origine de la chaleur des astres. 

M. Painlevé remarque que la solution relativiste du problème de 
la gravitation au voisinage d'un centre attractif est indéterminée 
dans une large mesure et qu'une expression plus générale que celle 
de Schwarzschild rendrait compte aussi bien de tous les mouvements 
planétaires. M. Einstein répond que la formule de vSchwarzschild 
la plus simple de toute est la seule admissible, car toute autre contient 
des éléments dont l'interprétation physique n'existe pas. 

Ces deux questions sur la formule (o) donnèrent lieu à une discus- 
sion animée à laquelle prirent part .MM. Brillouin, Borel, Langevin et 
Cartan. 

Songeons que dans la nouvelle conception, nous ne savons pas 
qu'elle est le diamètre du soleil, ou que la troisième loi de Kepler 



222 CHRONIQUE 

n'a plus de sens physique puisqu'on ne peut plus définir un temps 
unique pour une révolution planétaire et nous comprendrons com- 
bien la question est délicate. Il faut la prodigieuse intuition physique 
de M. Einstein pour répondre sans aucune hésitation aux questions 
subtiles de tels interlocuteurs. 

M. DE DoNDER fait un fort intéressant exposé des théories électro- 
magnétiques et retrace en particulier les tentatives d'explication 
de la cohésion de l'électron qui paraissent nécessiter une troisième 
forme d'énergie et demande à M. Einstein quelle est à son idée la 
meilleure voie à suivre. Ce dernier incline à croire que les recherches 
futures s'inspireront de la solution donnée au moyen de la pression 
de Poincaré. 

M. Perrin pose quelques questions sur Ténergie gravifique, M. Le- 
MERAY sur la mesure d'un certain triangle astronomique. Enfin, 
M. LeRoux, constatant que le caractère non euclidien d'une figure 
du plan Cayleyen diffère suivant la nature de la conique de base 
(Tabsolu) demande à M. Einstein si l'interprétation non euclidienne 
de l'Univers n'est pas en grande mesure arbitraire. Physiquement, 
répond ce dernier, c'est-à-dire en opérant avec des règles et des hor- 
loges après correction des déformations dues à des effets ther. 
miques ou élastiques, le caractère non euclidien de la géométrie 
naturelle de l'espace-temps est parfaitement déterminé. M. Einstein 
paraît donc avoir répondu à toutes les objections. 

Le jeudi 6 avril, la Société de philosopliie recevait M. Einstein. 
M. Langevin fit un exposé des questions philosophiques auxquelles 
les théories nouvelles permettraient peut-être de répondre; puis la 
discussion fut ouverte. MM. Hadamard, Painlevé. Drach, Cartan, 
Paul Levy, Brunschwig, Le Roy, Bergson, Meyerson, Piéron, Nord- 
mann prirent la parole. Je ne citerai que deux faits. 

Comme on le priait de prendre position vis-à-vis du kantisme, 
M. Einstein, qui trouve ce point de vue trop indéterminé, prononça 
cet aphorisme qui passera sans doute à la postérité, x Chaque philo- 
sophe a son Kant propre ». 

M. Bergson, très au courant de la relativité, laissa entrevoir dans 
une charmante improvisation que le temps einsteinien était plus près 
du temps psychologique tel qu'il le conçoit que l'ancien temps absolu. 
M. Einstein répondit que le temps du philosophe était le temps propre, 
mais qu'il n'entrevoyait guère d'autres moyens que ceux de la rela- 
tivité de raccorder ces temps entre eux. 

Durant ces conférences, qui réunissaient un public nombreux et 
sélect, allant des adversaires obstinés aux adeptes les plus fervents 
ou les plus avertis, l'homme qui avait déjà l'estime de chacun s'est 
fait aimer par la sincérité, la franchise et la simplicité dont il ne s'est 
jamais départi. 

RoLiN Wavre (Genève). 



CHRONIQUE 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 



Alleuiag'iie. — M. F. Bernstein a été nommé professeur or- 
dinaire à l'Université de Gœttingen. 

M. K. KoMMERELL, privat-doccnt, a été nommé professeur extra- 
ordinaire à r Ecole technique supérieure de Stuttgart. 

M. R. KoNiG a été nommé professeur ordinaire à l'Université de 
Tubingen. 

M. F. NoETHER a été nommé professeur extraordinaire de mathé- 
matiques appliquées à l'Université de Heidelberg. 

M. F. Pfeiffer a été nommé professeur ordinaire à l'Ecole tech- 
nique supérieure de Stuttgart. 

M. Pohlhausen, privat-docent, a été nommé professeur extraor- 
dinaire à l'Université de Rostock. 

M. Frange, privat-docent, a été nommé professeur ordinaire à 
l'Ecole technique supérieure de Hannover. 

M. J. Radon a été nommé professeur à l'Université de Greifswald. 

M. W. ScHMEiDLER a été nommé professeur ordinaire à l'Ecole 
technique supérieure de Breslau. 

Aog"leten*e. — \J' Association britannique pour l'avancement 
des Sciences tiendra sa session annuelle à Hull, du G au 13 septembre 
1922, sous la présidence de M. le prof. Sherrington. La section des 
sciences mathématiques sera présidée par M. Hardy. 

France. — Académie des Sciences. — M. Maurice d'OcAGNE, 
professeur à l'Ecole Polytechnique, a été élu académicien libre, en 
remplacement de M. Jules Carpentier, décédé. 

M. Henri Lebesgue, professeur au Collège de France, est élu mem- 
bre de l'Institut en remplacement de M. Camille Jordan, décédé. 

M. René Baire a été nommé correspondant de la section de Géo- 
métrie en remplacement de M. Nœther, décédé. 

M. Fredholm, professeur à l'Université de Stockholm, a été élu 
membre correspondant, en remplacement de M. Schwarz, décédé. 

Universités. — M. H. Béguin, agrégé de mathématiques, profes- 
seur de mécanique à l'Ecole Navale, a été nommé maître de confé- 
rences de mathématiques à l'Université de Montpellier. 

M. CuASTELET, professcur de mathématiques générales à l'Univer- 
sité de Lille, passe à la chaire de mécanique rationnelle. 

M. Ga.mbier est nommé à la chaire de mathématiques générales 
de l'Université de Lille. 

M. SouLA, agrégé de mathématiques, docteur es sciences mathé- 
matiques, professeur au Lycée d'Aix, a été nommé maître de confé- 
rences de mathématiques à l'Université de Montpellier. 



224 CHRONIQUE 

Italie. — L'Académie royale dei Lincei a décerné le Prix royal 
pour V Astronomie (se rapportant à la période 191')-1920) à M.. G. 
Armellini, professeur de mécanique supérieure à l'Université de Pise. 

M. L. ToNELLi, professeur d'analyse infinitésimale à l'Université 
de Parme, a été nommé professeur d'analyse supérieure à l'Université 
de Bologne. 

M. L. SiLi A, professeur de mécani(jue rationnelle à l'Université 
de Cagliari, a été transféré à l'Université de Gênes, pour la même 
matière. 

Ont été admis, en qualité de privat-docents : 

M. G. Andreoli, pour l'analyse infinitésimale, à l'Université de 
Naples; 

M. G. Aprile, pour la géométrie analytique et projective, à l'Uni- 
versité de Catane; 

M. G. MiGNOsi, pour l'analyse algébrique, à l'Université de Palerme; 

M. M. R. Serini, pour la mécanique rationnelle et G. Usai, pour 
l'analyse infinitésimale, à l'Université de Pavie. 

Cinquantenaire de la, maison Hœpli. — M. Ulrico Hœpn vient 
de célébrer le cinquantenaire de la fondation de sa maison d'éditions. 
Originaire de Zurich, M. Hœpli vint se fixer à Milan en 1870. Il ne 
tarda pas à constater l'absence presque totale d'une librairie spécia- 
lement consacrée aux sciences pures et appliquées. Grâce au dévoue- 
ment inlassable qu'il apporta dans ses relations avec les auteurs et à 
la façon consciencieuse dont il dirigea les affaires, sa maison ne tarda 
pas à se placer au premier rang des librairies italiennes. Elle figure 
aujourd'hui au nombre des grandes maisons d'édition du monde 
entier. 

La place que tiennent ses nombreuses publications dans la litté- 
rature scientifique est considérable. On s'en rendra aisément compte 
en parcourant le beau volume renfermant le catalogue ^ chronologique 
et alphabétique, par auteurs et par matières, des ouvrages édités 
par la Maison Hœpli de 1872 à 1922. iNous nous bornerons à rappeler, 
pour ce qui concerne les mathématiques, les nombreux volumes de la 
collection des Mamiali Hœpli et la publication des œuvres complètes 
des mathématiciens italiens Beltrami, Betti, Brioschi et Cremona. 

Nous nous joignons de tout cœur aux félicitations et aux nom- 
breux témoignages de gratitude qui viennent d'être adressés de toutes 
parts à M. Hœpli à l'occasion de ce jubilé. 

H. Fehr. 

Suisse. — La Section normale AeV Ecole polytechnique jédérale, 
à Zurich, organise un cours de vacances pour les mathématiques et la 
physique. Spécialement destiné aux maîtres de l'enseignement secon- 
daire, ce cours est également accessible aux étudiants. Il comprend 



> iîezzo Secolo di vita editorialc. 1 vol. in-8» de Wt p., avec une Préface de M. Schkrilo. 



CHROXIQi'E 225 

des conférences de MM. le prof. H. Weyl, Raiim, Zeit nncl Materie; 
P. Debye, Molehulhair^ F. Scherrer et F. Tank, Experimental- 
physik: M. Plancherel, Neuere junktionentheoritische Forschungen; 
G. PoLYA, Binowinal Koeffizienten iind WahrscheinlichkeitsrecJtnung 
auf der Schule; M. Grossmann et L. Kollros, Graphische Methoden; 
F. Baschlin et E. Meissner, Form,Dichte und Elastiziàtt des Erdballs. 

Ces conférences auront lieu du 4 au 7 octobre 1922. Les inscriptions 
sont reçues jusqu'au l^'" octobre. 

Université de Genève. — M. D. Mirimaîvoff a été nommé pro- 
fesseur extraordinaire de Calcul des probabilités. — M. Rolin Wavre 
a été nommé professeur extraordinaire de Calcul différentiel et 
intégral et de Mécanique rationnelle. 

Nécrologie. 

Pierre Boutroux. — Nous apprenons avec regret la mort de 
M. Pierre Boutroux, fils d'Emile Boutroux, Féminent philosophe fran- 
çais et neveu de Henri Poincaré. Pierre Boutroux avait été professeur 
de calcul différentiel et intégral à la Faculté des sciences de Poitiers 
et à l'Université de Princeton, E.-U. (1913-1914). Depuis 1920, il 
occupait la chaire d'histoire générale des Sciences au Collège de 
France. Nos lecteurs connaissent, tout au moins par nos analyses 
bibliographiques, son important onws^ge ?,\xv\e^ Principes de V Analyse 
mathématique (2 volumes) et son récent livre sur VIdéal scientifique 
du mathématicien. Pierre Boutroux n'était âgé que de 41 ans. Sa mort 
prématurée est une grande perte pour l'Histoire et la Philosophie 
des mathématiques. 

Charles Cailler. — M. C. Cailler, professeur honoraire de l'Uni- 
versité de Genève, est décédé le 30 janvier 1922, à l'âge de 57 ans. C'est 
en 1889 qu'il débuta à la Faculté des Sciences de Genève au lendemain 
de la mort du professeur Charles Céllerier. Il fut d'abord chargé du 
cours de Mécanique rationnelle. Depuis 1900, il enseigna en outre 
le calcul différentiel et intégral. Des raisons de santé l'obligèrent de 
prendre sa retraite en octobre 1921. C. Cailler a fourni de nombreux 
mémoires d'un grand intérêt se rapportant aux branches les f)lus 
diverses, depuis l'algèbre, la géométrie, l'analyse et la mécanique 
jusqu'aux problèmes récents soulevés par les théories d'Einstein. 

Ernest Lebon. — M. Ernest Lebon, professeur honoraire au Lycée 
Charlemagne, à Paris, est décédé le 12 février 1922, dans sa 7b™^ 
année. Auteur de plusieurs traités de mathématiques (algèbre, géo- 
métrie élémentaire, géométrie descriptive, etc.), E. Lebon a publié 
un grand nombre de mémoires originaux et d'articles scientiliques. 
Rappelons- ici ses patientes recherches sur les nombres premiers, son 
bel ouvrage intitulé Histoire abrégée de V Astronomie et son intéres- 
sante collection de monographies publiées sous le titre « savants 

L'Enseignement mathém.. 22' annte: 1921 et 1922. 15 



226 CHRONIQUE 

du jour» (H. Poincaré; Gaston Darboux; Emile Picard; Paul Appell; 
Lippmann). 

M. 0. Tedone, professeur de mécanique rationnelle à l'Université 
de Gênes, est décédé le 18 avril dernier, victime d'un affreux accident. 
Il a été renversé par un train dans la gare de Pise et a succombé peu 
d'heures après. 

Né à Ruvo di Puglia, le 10 mai 1870, il fit ses études à l'Université 
de Pise, où il fut élève de Betti, Dini, Bianchi, N'olterra. Ce dernier 
exerça la plus grande influence sur les débuts de ses recherches qu'il 
continua ensuite d'une manière vigoureuse et consciencieuse. Il 
s'occupa surtout de l'intégration des équations de l'élasticité et de 
l'électromagnétisme. Ses récentes contributions (Rend. Lincei 1917 
et 191U) sur le principe de Huygens et sur les phénomènes de diffrac- 
tion sont particulièrement remarquables comme netteté de concept 
et simplicité formelle. 11 était professeur à Gênes depuis 1902, membre 
correspondant de l'Académie dei Lincei depuis 1911. 

M. W. W. Beman, professeur à l'Université de Michigan, est 
décédé le 18 janvier 1922, dans sa 71™^ année. 

M. Charles-Léonard Bouton, professeur à l'Université Harvard 
(Mass, E.-U.), est décédé le 20 février 1922 dans sa 53™® année. 

M. H. BucHHOLZ, professeur d'astronomie à l'Université de Halle, 
est décédé le 24 novembre 1921, à l'âge de 55 ans. 

M. E. Jahnke, professeur à l'Ecole technique supérieure de Char- 
lottenbourg, est décédé le 18 octobre 1921, à l'âge de 58 ans. 

M. le Prof. L. Kœnigsberger, de l'Université de Heidelberg, est dé- 
cédé le 15 décembre 1921, à l'âge de 83 ans. 

M. G. KoHN, professeur à l'Université de Vienne, est décédé le 
15 décembre 1921 à l'âge de 62 ans. 

M. M. Nœther, professeur à l'Université d'Erlangen, est décédé 
le 13 décembre 1921, à l'âge de 77 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

FRANCE 

Paris. — Faculté des Sciences. — La Faculté vient de publier 
le programme des cours du semestre qui s'ouvrira dès le 3 novembre 
prochain. Nous en extrayons la liste ci-après concernant les mathé- 
matiques: 

Géométrie supérieure. — M. Cl. Guicharu. professeur: Théorie 
générale des réseaux associés. (2 cours par semaine.) 

Calcul différentiel et intégral. — M. Goursat, professeur: Opéra- 
tions et éléments de la théorie des fonctions analytiques. (2). — Confé- 
rences: M. JuLiA maître de conférences (i). 

Applications de r analyse à la géométrie en vue du Certificat de 
calcul différentiel. M. Drach, professeur (1). Problèmes principaux 
de la théorie des surfaces au point de vue analytique (1). 

Mécanique rationnelle. — M. Motel, professeur: Dynamique du 
point et Statique (2). — M. Drach, professeur: Cinématique (1). — 
Conférences: M. Cahen (1). 

Théorie des groupes et calcul des variations. — Application à l'inté- 
gration des équations différentielles. — M. Vessiot, professeur (2). 

Mathématiques générales. — M. Montel, professeur, M. Denjoy, 
chargé de cours (2). — Conférences de mécanique. M. Thybalt (i). — 
Travaux pratiques, M. Cahen (1). 

Calcul des probabilités et pJitjsique mathématique. — M. E. Borel, 
professeur: Théorie de la déformation des milieux continus (2). 

Mécanique physique et expérimentale. — M. Kœnigs, professeur: 
Principes généraux de mécanique appliquée. Moteurs hydrauliques 
et thermiques (2). 

Astronomie. — M. Andoyer, professeur (2). — Conférences: 
M. Lambert (2). 

Aviation. (Fondation Basil Zaharoff). — .\L Marchis, professeur: 
Etat actuel de l'aérodynamique (2). 



BIBLIOGRAPHIE 



Jean Becquerel. — Le principe de relativité et la théorie de la gravitation. 

Leçons professées en 1921 et 1922 à l'Ecole polytechnique et au Muséum 
d'histoire naturelle. — 1 vol. in-8o, IX-342 p.: 25 fr. ; Gauthier-Villars 
et C»e, Paris 1922. 

Cet important traité de relativité écrit par un savant français se recom- 
mande de lui-même au lecteur. Il est très clair et pourrait constituer une 
initiation à la théorie, en même temps que très complet, tant au point de 
vue mathématique que physique. Qu'il me suffise de mentionner les ques- 
tions traitées d'une manière plus spécialement détaillée: telles, l'étude des 
phénomènes optiques dans les systèmes en mouvement relatif et en relati- 
vité générale, les méthodes permettant de déduire la dynamique tout entière 
de la loi de gravitation ou la loi de gravitation elle-même d'un principe 
d'action stationnaire. 

li'étude de la courbure de l'espace et du temps, de l'espace fermé, de la 
forme de l'univers, suivant que l'on admet l'hypothèse cosmologique 
d'Einstein ou celle de de Sitter, des raisons que l'on a d'adopter l'une plutôt 
que l'autre de ces deux hypothèses est très approfondie. 

Mentionnons tout particulièrement un développement des idées d'Einstein 
et de Weyl de date récente et dont ne traitent pas les ouvrages déjà ana- 
lysés dans cette revue. Je veux parler de la géométrie de M. Eddington. 

On ne saurait nier son intérêt philosophique. L'univers n'y est tout 
d'abord assujeti qu'à la condition de posséder une structure géométrique, 
puis en spécifiant la nature d'un certain tenseur généralisé, donnant l'expres- 
sion de la variation d'un vecteur transporté par déplacement parallèle le 
long d'un contour fermé, on retrouve la géométrie de Weyl qui rend compte 
à la fois du champ électro-magnétique et du champ gravifique et dans un 
cas plus particulier encore la géométrie de Riemann. 

Peut-être cette géométrie générale contient-elle l'élément analogue à la 
pression de Poincaré, cette troisième forme d'énergie qui expliquerait la 
cohésion de l'électron. 11 serait philosophiquement remarquable que des 
considérations de géométrie pure nous fissent découvrir dans la nature une 
nouvelle forme d'énergie, mais les considérations de M. Eddington ne lais- 
seront pas de paraître, à quelques esprits, d'ordre purement métaphysique. 

M. Becquerel a réussi dans son livre à être simple et clair jusque dans les 
problèmes les plus ardus. 11 semble à certains égards s'être inspiré le plus 
possible des mémoires originaux en respectant la pensée de chaque auteur. 
Je ne saurais mieux faire que de respecter aussi la sienne en citant les deux 
derniers paragraphes de son introduction. 

<* On doit répandre aujourd'hui les idées nouvelles. Elles ne conduisent 



m HLIOGHAP HIE 229 

pas à une coniplicalioii de la science; bien au contraire, il en résulte une 
admirable harmonie, une merveilleuse synthèse des lois naturelles, par 
laquelle on aperçoit pour la première fois les liens qui unissent des phéno- 
mènes en apparence indépendants. 

Le souci de la vérité, la satisfaction qu'éprouve l'esprit à pénétrer plus 
avant dans la compréhension des phénomènes, compensent largement les 
efforts que demande l'étude du principe de relativité. La principale diffi- 
culté qu'on rencontre vient de la répugnance à abandonner des idées 
acquises, et de l'étonnement où l'on est plongé devant certaines consé- 
quences qui, par leur étrangeté, choquent ce que l'on considère comme le 
bon sens. 11 faut, en abordant cette étude, avoir le courage de renoncer 
résolument aux idées préconçues. )> 

Rolin W.A.VRE (Genève). 



Emile Borel. — L'espace et le temps. (Nouvelle Collection scientifique). 
— 1 vol. petit in-S" de l\'-2'i6 pages; 8 fr.; Félix Alcan, Paris, 1922. 

Ce nouveau livre est d'une portée immense et d'une simplicité admirable. 
C'est une singulière agacerie, pour ceux qui ont le droit d'enseigner les théo- 
ries relativistes, que d'entendre une foule d'ignorants se réclamer sans cesse 
de l'observation vulgaire et du « bon sens > pour décréter la carence de 
théories qu'ils ne comprennent pas. Théories mystiques, théories religieuses 
a-t-on dit. M. Emile Borel est au.ssi peu religieux que possible; il tient aux 
théories einsteiniennes pour ce qu'elles ont déjà donné et se déclare prêt 
à aller vers celles qui donneront plus encore; ce n'est point de la fidélité 
mystique mais du pur esprit scientifique. En attendant nous sommes 
einsteiniens parce qu'Einstein nous a révélé de magnifiques choses, telle le 
lien unissant la gravitation aux phénomènes électromagnétiques. 

Ce que nous devons aussi aux nouveUes théories, et ce n'est pas le moins 
précieux, c'est l'analyse qu'elles nous forcent à faire quant à la structure 
de nos idées concernant l'espace et le temps; le livre de M. Emile Borel, 
comme l'indique le titre, est surtout écrit à ce dernier point de vue. 

Bravo ! Trois fois bravo pour la défense préliminaire des mathématiques 
qui, selon certains, ne créent rien et se contentent de transformer des élé- 
ments venus du dehors (p. 98). Il serait aussi raisonnable d'affirmer qu'un 
beau poème n'est rien de plus qu'un assemblage de lettres et un tableau de 
maître qu'un ramassis de couleurs ! 

Beaucoup d'art et de simplicité à propos de la notion de coordonnées. 
On sait le rôle immense des géodésiques, de l'intégration de la direction le 
long d'un contour fermé conçu dans un espace courbe; ce sont là des notions 
fondamentales, à analyse délicate, pour les savants traités de Weyl et 
Eddington. Ici M. Emile Borel nous fait parcourir, à la surface de la Terre, 
un carré de un kilomètre de côté puis il propose de recommencer le parcours 
pour un carré dont le côté serait dix mille fois plus grand; il suffirait de 
parcourir trois côtés de ce pseudo carré pour revenir au point de départ. 

C'est en vain que l'on essaye de s'attacher à la continuité, l'intuition étant 
aussi bien en défaut dans le domaine des infiniment petits que dans celui 
des infiniment grands. Si d'un mètre on enlève, autour des divisions déci- 
métriques, un décimètre en tout, puis, autour des divisions centimétriques, 
un centimètre en tout et ainsi de suite indéfiniment, on aura rompu toute 
continuité, déchiqueté le mètre d'une manière d'autant plus inimaginat)le... 



230 H IB l.l OGRAPIH h 

qu'on n'en aura pas enlevé la neuvième partie. Les gens qui abusent de 
l'intuition géométrique sont invités à se représenter cela (p. 123). Les 
notions logiques dépassent de beaucoup les notions intuitives; les mathé- 
matiques nous invitent à nous dépasser nous-mêmes. 

On imagine le plus souvent que le caractère non-euclidien de l'espace ne 
pourrait être mis en évidence qu'à l'aide de très grandes figures; il semble 
en être de même pour l'échelle sous-atomique ou paraît se révéler une struc- 
ture granulée ne laissant subsister les propriétés euclidiennes que comme 
propriétés moyennes. 

Signalons encore les si curieuses questions de topologie chères, sous un 
aspect extrêmement abstrait, à un Camille Jordan et qui maintenant inter- 
viennent dans les recherches sur la structure de l'espace physique ! 

Quant à l'infime multiplicité des explications théoriques que défendait 
Henri Poincaré elle conduit tout naturellement à rechercher des invariants 
qui, comme le nom l'indique, sont choses communes aux diverses images 
phénoménales. Le progrès de la Théorie des ensembles, puis ceux du Calcul 
intégral et enfin ceux de la Théorie des invariants intégraux, voilà proba- 
blement avec quoi on va bâtir la Physique de demain. Je retrouve ici une 
opinion personnelle .sur laquelle je n'ose insister davantage de peur de don- 
ner à cette brève analyse un caractère transcendant qui correspondrait 
peu à l'exquise simplicité du style de M. Emile Borel. Rappelons plutôt 
que l'ouvrage ne contient que quelques formules très élémentaires, qu'il est 
accessible à tous ceux qui savent ou veulent penser correctement et qu'il est 
éminemment propre à donner une idée claire de captivantes théories autour 
desquelles ce sont surtout des incompétents qui ont forgé des légendes 
d'extraordinaires difficultés. 

A. BiHL (Toulouse). 

L. Gustave Du Pasquier. — Le principe de la relativité et les théories 

d'Einstein. — 1 vol. in-S» de xvi-f 530 pages, avec 37 fig. ; 20 fr. ; G. Doin, 

Paris. 

L'ouvrage de M. L. G. Du Pasquier a un caractère didactique. L'auteur 
a mis un grand soin à ordonner les matières de façon à graduer les difficultés. 

Après une biographie de M. Einstein, le livre commence par la doctrine 
de la relativité restreinte, ce qui est conforme à l'ordre logique et au déve- 
loppement historique. Les idées fondamentales sont exposées en un langage 
clair et simple, de sorte que cette première partie peut être comprise par 
toute personne connaissant les rudiments de l'algèbre. De nombreuses figures 
soutiennent le raisonnement. 

Dans la seconde partie, où s*e trouve exposée la doctrine de la relativité 
générale, l'auteur procède aussi du simple au compliqué. Aucun point 
essentiel à la compréhension de la théorie relativiste n'est omis. Vu la grande 
beauté philosophique que le calcul des variations permet de donner à cette 
doctrine, en l'unifiant et la condensant autant que possible, le dernier para- 
graphe est consacré au principe de moindre action. Là aussi, M. Du Pasquier, 
en partant du cas le plus simple amène le lecteur par étapes jusqu'à la der- 
nière .synthèse réalisée par M. Hilbert. Les divers stades qui ont abouti 
à la nouvelle figure du monde sont magistralement résumés. 

Le style clair et souvent imagé des comparaisons ingénieuses rendent 
attrayante la lecture de ce livre où la démonstration mathématique est 
en général complétée par des exemples nombreux et variés, empruntés 



BIBLIOGRAPHIE 231 

au domaine de la mécanique, de la physique, de la chimie et principalement 
de l'astronomie. 

Dans un appendice, l'auteur explique l'opposition entre le point de vue 
de M. Einstein et la plus récente théorie deWeyl relative au rapport de la 
relativité et de l'électro-magnétisme. Le livre se termine par l'examen 
des objections soulevées par M. Paul Painlevé dans la récente discussion 
de la doctrine relativiste à l'Académie des Sciences de Paris. 

L'ouvrage de M. Du Pasquier, avec ses nombreuses notes bibliographiques 
permet au lecteur de s'initier rapidement aux théories d'îlinstein. 

E.-M. LÉMERAY. — Leçons élémentaires sur la Gravitation, daprès la 
Théorie d'Einstein. Cours libre professé à la Faculté des Sciences de Mar- 
seille pendant le quatrième trimestre 1920. — 1 vol. in-16 de 98 pages: 
7 fr.; Gauthier-Villars et C'e, Paris, 1921. 

Les universités françaises abordent maintenant, de toutes parts, l'ensei- 
gnement des théories einsteiniennes; l'Ecole Polytechnique en a fait autant 
grâce à M. J. Becquerel. Aussi faut-il savoir gré, à M. Lèmeray, d'avoir pro- 
fessé, à Marseille, un cours libre dédié aux théories relativistes, à une époque 
où l'enseignement ofTiciel ne s'occupait encore point de la chose. Le nouveau 
petit volume est d'ailleurs une suite naturelle de celui consacré au " Principe 
de Relativité» lequel a été signalé et analysé dans cette Revue (1916, 
p. 449). 

La relativité généralisée peut être abordée de deux manières fondamen- 
tales. On peut trouver la notion de tenseur dans le « Calcul différentiel 
absolu »; on peut aussi la trouver dans le « Calcul des variations ». L'équi- 
valence des deux méthodes est aisée à apercevoir mais, ne serait-ce que 
lorsque l'on se sent limité par des considérations pédagogiques, on peut 
parfaitement s'en tenir à l'une d'elles. Ici l'auteur a pris la seconde. 

L'ouvrage débute par quelques problèmes classiques de calcul des varia- 
tions: de la géométrie on passe à la dynamique et on compare le principe 
d'Hamilton avec celui de la moindre action. Toujours au point de vue clas- 
sique, l'auteur a repris le problème képlérien et distingue, à son sujet, la 
trajectoire spatiale et la trajectoire temporelle; il montre ainsi que de telles 
distinctions ne relèvent pas essentiellement des théories relativistes. Plus 
loin, il fait une remarque analogue au sujet de l'espace-temps de Minkowski 
imaginé très indépendamment des conceptions postérieures d'Einstein. 

La relativité généralisée étant bornée ici aux trois problèmes fondamen- 
taux qui consacrèrent la gloire d'Einstein (mourvement planétaire à dépla- 
cement périhélique, incurvation de la lumière stellaire dans le voisinage du 
soleil, déviation des raies du spectre solaire vers le rouge), l'auteur n"a. pas 
eu besoin d'une théorie générale de la courbure ni même des symboles de 
Christoffel. Ainsi l'œuvre est aussi voisine que possible de la dynamique 
habituelle; elle constitue une habile et excellente initiation. 

A. BiHL (Toulouse). 

Roberto Marcolongo. — Relativita. — 1 vol. in-S", 192 p.: \W lires; Casa 
Editrice Giuseppe Principato, Messina 1921. 

M. R. Marcolongo fit à l'Université de Naples durant les années scolaires 
1918-1919, 1919-1920 deux cours sur la relativité dont son dernier livre est 
un résumé, d'une clarté et d'une simplicité digne de tous les éloges. Sans 



TS2 JilBLlOGHAPlUE 

être en aucune manière une œuvre de vulgarisation, il fournit un excellent 
moyen de s'initier aux théories nouvelles. 11 semble que M. Marcolongo ait 
cherché à suivre d'aussi près que possible les conceptions classiques afin 
de ne pas dépayser, plus que de raison, un lecteur ne connaissant que la 
phj'sique ancienne. Parmi les ouvrages d'ensemble écrits sur la théorie de 
la relativité, on pourrait le caractériser par les faits suivants: 

11 ne traite que de la partie des théories nouvelles qui semble acquise à 
la science, relativité restreinte dans son aspect mathématique et gravifique 
d'Einstein, mais ne touche pas aux généralisations, extensions ou applica- 
tions un peu aventureuses, données par des savants désireux d'aller plus 
avant dans la conception relativiste, et qui revêtent aujourd'hui encore 
un caractère trop hypothétique. 

Notons en particulier que l'électromagnétisme n'y occupe que deux pages. 
En ce sens l'ouvrage est beaucoup plus restreint que ceux de M. Weyl et 
de M. Eddington par exemple. 

11 est conçu spécialement du point de vue de la mécanique et à plusieurs 
reprises l'auteur rattache et compare les méthodes nouvelles aux principes 
fondamentaux de la mécanique analytique. 

En s'inspirant des travaux de Ricci, Levi-Civita et Blanchi, l'auteur a 
précisé quelques-uns des aspects géométriques de la théorie, qu'il étudie 
pour eux-mêmes et il a cherché autant que possible à ne pas rebuter le 
lecteur par ces sortes d'artifices du calcul tensoriel dont la signification 
concrète échappe souvent. 

Si ce livre est restreint dans son objet, il fournit un solide point de départ 
pour affronter les développements ultérieurs et les questions plus ardues 
qui restent ouvertes. 

La première partie « des fondements analytiques de la théorie de la rela- 
tivité 1), à laquelle on peut adjoindre l'appendice consacré à l'étude de la 
métrique d'une multiplicité à n dimensions est l'exposé le plus clair, que 
nous connaissions, de la théorie de la forme quadratique, du calcul diffé- 
rentiel absolu et de leurs applications géométriques. L'auteur n'a pas 
négligé de donner à côté de la théorie générale quelques applications à 
des cas particuliers spécialement intéressants. 

La seconde partie traite de « La relativité restreinte ». La transformation 
de Lorentz est introduite de plusieurs manières et le côté cinématique de 
la question nous paraît être spécialement approfondi. 

Enfin dans la troisième partie « La théorie générale de la relativité », 
après avoir établi les équations du champ de gravitation, l'auteur expose 
d'une manière détaillée la statique d'Einstein et ses applications astrono- 
miques, au déplacement du périhélie et à la déviation des rayons lumineux 
dans un champ gravifique. 

La lecture de ce livre nous laisse l'impression d'un chapitre classique 
d'analyse ou de mécanique; c'est peut-être par sa simplicité, sa clarté et 
son élégance. Rolin W.wre (Genève). 

Louis Roy. — Cours de Mécanique rationnelle à l'usage des élèves de l'Ins- 
titut électrotechniqut' et de .Mécanique appliquée et des candidats au 
Certificat de Mathématiques générales. — 1 vol. gr. in-8° de VI -260 
pages et 103 figures; Prix 25 fr.; ,Gauthier-Villars et C"', Paris, 1921. 
A une époque où le monde savant est surtout tourné vers une Mécanique 

de seconde approximation, c'est presque \in travail redoutable que d'expo- 



BIBLIOGRAPHIE 233 

ser la science de première approximation qui vraisemblablement continuera 
à être celle des ingénieurs et techniciens de toutes sortes; il devient diflicile 
d'être correctement élémentaire. C'est cette difficulté que M. Louis Roy 
vient de surmonter, non sans élégance, en mettant très explicitement en 
évidence les principes de la Mécanique et plus particulièrement les postulats 
de la Dynamique classique. 

Les chapitres préliminaires sont d'une grande simplicité; c'est en àls- 
cutant la réduction des systèmes de vecteurs que l'auteur parvient, naturel- 
lement, à la notion de Vaxe central lequel, dans le cas de vecteurs parallèles, 
contient effectivement un centre G. 

Après les définitions concernant la vitesse et l'accélération voici des 
problèmes sur les lois du mouvement. Les méthodes graphiques sont immé- 
diatement mises en honneur et l'accélération constante en grandeur et en 
direction nous conduit à un premier aperçu du mouvement parabolique. 

La cinématique du solide contient le théorème de Coriolis appliqué 
d'ailleurs au mouvement de la terre; la combinaison des translations et 
rotations aboutit au mouvement hélicoïdal et à la transmission des rota- 
tions par l'hyperboloïde. Cette partie se termine par l'étude du mouvement 
d'une figure plane dans son plan et l'indication sommaire des considérations 
si esthétiques attachées à la notion de centre instantané. 

Mais c'est avec les principes de la Dynamique que M. Louis Roy révèle 
sans doute le maximum d'originalité. Il admet six postulats dont il faut 
surtout souligner le deuxième: Une force est une grandeur i-ectorielle pouvant 
être considérée indépendamment de toute accélération et aussi le sixième: 
Si les composantes de la force appliquée à un point matériel sont des fonctions 
régulières des variables dont elles dépendent, le mouvement du point est déter- 
miné sans ambiguité par les conditions initiales. Et, dans le cas où la régu- 
larité taylorienne n'existe pas, par exemple, dans le cas de l'équation 
mx" — k [/x, correspondant à un point d'abscisse x placé en sans vitesse, 
on est indifféremment en présence d'un équilibre en ou d'un mouvement 
suivant Ox. L'aperçu est bref et élémentaire, mais on peut penser qu'en 
développant de telles considérations on reviendrait de manière fort utile 
sur les questions de stabilité statique ou dynamique ainsi que sur celles 
concernant les singularités des équations différentielles. Certes, de tels 
sujets ont déjà une littérature immense; mais il ne semble pas impossible 
de les rajeunir de manière intéressante. 

Passons rapidement sur l'étude des mouvements ponctuels simples. La 
notion de travail est présentée avec développements numériques; il en est 
de même pour celle de frottement associée d'ailleurs à celle de liaison. 

La dynamique des systèmes de points, sous l'inHuence des postulats 
piécédemment mis en évidence, n'a plus que des formules simples et symé- 
triques. Les centres de gravité et les moments d'inertie préparent l'étude 
du solide dont nous abordons bientôt la statique; la réduction des forces 
y appliquées permet d'apprécier pleinement les notions vectorielles du 
début. D'élégants problèmes d'équilibre, avec ou sans frottement, permet- 
tent aussi d'apercevoir aisément les rôles respectifs des projections ou 
des moments des forces. Voici maintenant la notion de travail virtuel 
introduite avec précaution mais avec l'exemple des machines simples dont la 
théorie est ainsi plus immédiate. Des exercices appropriés montrent les 
possibles variations de raisonnement dont un calculateur habile saura 
promptenif'nt tirer le procédé le plus expéditif. 



234 HIRLI O C li A P III E 

Dans le mouvement d'un solide autour d'un axe fixe, nous trouvons, au 
delà du pendule composé et de la machine d'Atwood, le galvanomètre à 
cadre mobile et surtout les si importants phénomènes de résonance qui 
accompagnent généralement les phénomènes oscillatoires. 

Un chapitre sur les percussions et chocs, un autre sur l'équilibre des fils, 
terminent heureusement cet exposé clair et pratique qui peut être consi- 
déré, à coup sur, comme une excellente introduction soit à des études 
techniques, soit à des études théoriques à continuer dans le grand Traité 
de M. P. Appell. 

A. BiHL (Toulouse). 

Leonida Tonelli. — Fondamenti di calcolo délie variazioni. Volume primo. 
— 1 vol. in-80, VII — 466 p., 55 L. ; Xicola Zanichelli Editore, Bologna, 

1922. 

Certains lecteurs seront certes étonnés d'apprendre que l'on entreprend 
aujourd'hui de remanier les fondements d'une partie aussi classique de 
l'analyse, que le calcul des variations et que cette entreprise est tout à fait 
à l'ordre du jour. 

A la suite des recherches faites sur les ensembles de points et la fonction 
sommatoire de M. Lebesque, des études de M. Baire et de leurs continuateurs, 
à la suite aussi des études des ensembles de fonctions, de courbes et des 
fonctions de lignes, qui constituent l'objet propre du calcul fonctionnel, 
le calcul des variations change un peu d'aspect et ces nouvelles disciplines 
permettent de résoudre, par des méthodes directes, certains problèmes 
d'extrêmum devant lesquels les méthodes classiques seraient restées impuis- 
santes. 

On peut aller plus loin encore et dire que le calcul des variations est tout 
entier absorbé par le calcul fonctionnel dont les premiers principes ont été 
posés par M. Volterra. Le calcul fonctionnel est avant tout un point de 
vue nouveau, qui permettra peut-être de créer un jour le plus puissant 
instrument de l'analyse. 

M. Hadamard, en 1910 déjà, avait écrit son premier tome de Calcul des 
variations en s'inspirant de cet esprit nouveau. Mais les résultats se sont 
accumulés depuis lors, les notions fondamentales et profondes se sont déga- 
gées et M. Tonelli rend aujourd'hui un grand service à la science en réunis- 
sant en un volume toutes les notions d'origine récente qui permettent 
d'asseoir le calcul des variations sur de nouvelles bases. Parmi celles-ci, je 
ne citerai que la théorie de l'intégrale de Lebesque, la notion de semi- 
continuité de M. Baire et l'étude des ensembles de fonctions. MM. Lebesgue 
et Baire n'avaient certainement pas en vue le calcul des variations en entre- 
prenant leurs recherches sur les ensembles linéaires, les fonctions disconti- 
nues, et l'intégrale; mais on sait que depuis lors des applications des plus 
variées en ont montré la profondeur. 

La contribution de M. Tonelli est déjà grande aussi. On trouvera égale- 
ment dans ce livre un historique fort intéressant du calcul des variations 
(p. 1-33). Ce premier volume sera suivi d'un second, contenant l'application 
des notions dont je viens de parler, à la résolution des problèmes d'extrêmum 
libre et des problèmes isopérimétriques. 

Contentons-nous de signaler iii l'importance de ce livre dont l'analyse 
nous entraînerait trop loin. 

Polin Wavre (Genève). 



HIH 1. 10 GRAPHIE 2X5 

H. VVeyl. — Temps, Espace, Matière. Leçons sur la théorie de la relativité 
générale, traduites sur la quatrième édition allemande par M. Gustave 
Je VET et M. Robert Leroy. — 1 vol. in-S» YIII + 288 p. ; 20 fr. français ; 
Librairie scientifique Albert Blanchard, place de la Sorbonne, Paris, 1922. 

Divers domaines des mathématiques doivent à la pénétration d'esprit 
de M. Weyl, quelques-uns de leurs plus beaux résultats, ou des critiques 
d'une remarquable profondeur. Je ne citerai que la théorie des équations 
intégrales, la géométrie des surfaces, la physique mathématique, les notions 
de continu et d'ensemble. 

Le mouvement scientifique issu des idées d'Einstein rencontra en lui, 
non seulement un fervent adepte, mais encore le plus audacieux promoteur 
et son œu\Te en relativité est après celle d'Einstein la plus importante. 
M. Weyl a cherché à donner à la conception relativiste toute son ampleur et 
son livre est aujourd'hui Vouvrage le plus important, le plus suggestif et le 
plus complet que nous possédions sur la relativité. Je devrais me contenter de 
donner ici une idée générale, de ce qui fait l'originalité de cette œuvre, 
sans songer à en faire l'analyse. 

La première édition, parue en 1918, était la rédaction d'un cours professé 
par l'auteur à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich en 1917. La qua- 
trième édition traduite est beaucoup plus étendue. 

Disons tout de suite que sa lecture exige des connaissances mathéma- 
tiques très vastes et que, à part quelques pages, il nous paraît s'adresser 
plutôt aux initiés qu'aux débutants. Ce livre est remarquablement toufîu 
dans son ensemble et certains chapitres sont loin de revêtir la forme didac- 
tique d"un traité d'enseignement. Ajoutons, pour en finir avec les critiques, 
que sur certains points les investigations de l'auteur sont si audacieuses 
qu'il est permis, de ne pas le suivre partout et certaines des idées qu'il 
expose revêtent un caractère très conjectural, aujourd'hui tout au moins. 
Le sens exact, qu'il faut attribuer aux idées philosophiques exposées dans 
la préface, pourrait servir, à lui seul, de thème à de profondes méditations.- 

Mais, ce qui en fait incomparable beauté, c'est la richesse des idées 
qui y sont développées, les horizons illimités qu'il laisse entrevoir, la lueur 
qu'il projette sur quelques champs inexplorés de la science. 

C'est la préoccupation d'un esprit systématique qui en crée la remar- 
quable unité. 

Physiciens, mathématiciens et philosophes y trouveront à côté des résul- 
tats déjà cristallisés des théories d'Einstein, l'esquisse la plus profonde de 
la synthèse scientifique que l'on puisse entrevoir aujourd'hui. 

Dans les deux premiers chapitres, consacrés à la représentation mathé- 
matique de l'espace, la géométrie euclidienne et le continuum métrique, 
M. Weyl tente de légitimer l'emploi de la forme quadratique fondamentale, 
dont la forme embryonnaire est celle de Pythagore, en s'inspirant de consi- 
dérations très variées, notamment de la théorie des groupes. C'est la recher- 
che d'une axiomati<iue plus large et plus compréhensive qu'il poursuit à 
chaque instant. Ces quelques 120 pages, nous paraissent être une des plus 
belles et des plus amples systématisations des géoinétries que nous connais- 
sions. 

Elles contiennent en plus une extension de la géométrie de Hicinann, 
qui constitue à elle seule un résultat mathématique de la plus haute impor- 
tance, dont on ne j»eut mesuriT aujourd'hui la portée. Alors que dans la 



236 m B 1. 1 O G H A P H I E 

géométrie de Riemann, un vecteur déplacé parallèlement à lui-même 
revient au point de départ, non nécessairement avec la même direction, 
mais toujours avec la même longueur, pourquoi ne pas admettre également 
un changement de longueur, se demande M.Weyl, qui en levant cette restric- 
tion est conduit à introduire à côté des coefficients de la forme riemannienne 
quatre coefficients d'une forme linéaire qui définissent l'étalonnage, c'est- 
à-dire la mesure des longueurs en chaque point de la multiplicité. Cette 
généralisation est conforme aux idées de Riemann en géométrie infinité- 
simale ou d'Einstein en physique, elle élimine toute détermination de direc- 
tion et de longueur, qui ne se ferait pas de proche en proche, à la manière 
d'un prolongement analytique. Ceci étant, par une identification de ces 
quatre indéterminées avec les composantes du potentiel électro-magnétique, 
M. Weyl fait du champ électromagnétique, qui constituait chez Einstein 
un résidu matériel irréductible, un élément caractérisant l'espace, au même 
titre, quoique d'une manière différente, que le champ de gravitation. 

Dans les deux derniers chapitres consacrés à la théorie de la relativité, 
signalons en particulier les développements que M. Weyl donne à la théorie 
de Mie, au terme desquels la matière apparaît comme une singularité du 
champ, les considérations un peu hypothétiques sur l'univers considéré 
dans sa totalité, et spécialement les pages consacrées aux lois de conserva- 
tions, à leurs conséquences, au principe d'action le plus simple, dont l'inter- 
prétation philosophique, quoiqu'encore fort discutable, pourrait être du 
plus haut intérêt. 

Si nous admirons Einstein qui conçut, dans une intuition géniale de 
physicien, l'équivalence du champ de gravitation et du mouvement, avant 
de trouver, dans la géométrie de Riemann, sa parfaite expression, sachons 
admirer aussi cette étude oîi sans jamais abandonner l'instrument mathé- 
matique, M. Weyl recherche une synthèse que les physiciens n'oseraient 
imaginer. 

Son livre, sous lequel on pressent une constante préoccupation philoso- 
'phique, constitue l'œuvre la plus profonde que nous possédions aujourd'hui 
sur le temps, l'espace et la matière. 

Félicitons aussi MM. Juvet et Leroy de nous l'avoir rendu plus accessible. 

L'ouvrage comprend une bibliographie des matières dont il traite. 

Rolin Wavre (Genève). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. I^ivressi nouveaux : 

Tous les ouvrages adressés à la Rédaction sont signalés ici avec une brève 
indication de leur contenu, sans préjudice de l'analyse dont ils peuvent être 
ultérieurement Vobjet sous la rubrique « Bibliographie ». 

Annuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1922. — Avec notices 
scientifiques. — 1 vol. in-16 de plus de 900 pages; 6 fr. ; Gauthier- Villars 
et Cie, Paris. 

Toujours très apprécié par les nombreux documents qu'il contient, 
cet excellent recueil renferme cette fois, après le calendrier et les données 
astronomiques, des tableaux relatifs aux Poids et Mesures et à la Physique 
et à la Chimie. Parmi les Notices, signalons celle de M. E. Picard, La 
théorie de la relativité et ses applications à V astronomie et celle de M. Ch. 
Lali.em.wd, Monnaies et change. 

L.Berzolari. — Geometria analitica. II. — Curvee superficie delsecondo 
ordine, Seconda edizione riveduta ed ampliata con 22 incisioni (Manuali 
Hœpli). — 1 vol. in-16, de 474 p. ; Lire 18 ; Ulrico Hœpli, Milan. 

Deuxième édition revue et augmentée du t. II du traité de Géométrie 
analytique de M. Berzolari. Ce volume est entièrement consacré à la théorie 
des courbes et des surfaces du 2™*^ ordre. 

L. BiEBERBACH. — Differentïal und Integralrechnung. Band I. — Differen- 
tialrechnung. (Teubners technische Leitfiiden) zweite vermehrte und ver- 
besserte Aullage mit H4 Figuren im Text. — 1 vol. in-16, fr. 2,90; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

L. BiEBERBACH. — Funktionentheorle (Teubners technische LeitfadenK — 
1 vol. in-80, de 118 p., avec ;^4 fig. ; broché fr. 4,80 ; B. G. Teubiic^r, Leipzig. 

La nouvelle collection publiée sous le titre « Teubners technische Leit- 
faden » obtient un succès bien mérité. Elle vient de s'enrichir d'un volume 
destiné à fournir une première introduction à la théorie des fonctions analy- 
tiques, accompagnée de nombreux exemples. Ce livre fait suite au calcul 
différentiel et intégral dont le tome I vient de paraître en 1^^ édition 
revue et augmentée. 

H. BiERi. — Lehrbuch der Lebensversicherung zum Gebrauche an Handel 
schulen, Gymnasien und Scmiiiaricn, sowie zum Selbstuntcrricht fiir 
Studierende des Versicherimgswesens, Juristen und Lehramtskandidaten. 
Mit einem Anhang geloster Maturitatsaufgaben. Mit 6 Figuren im Text 
und 6 Tabelien. — 1 vol. in-8° de 118 p. ; fr. 4 ; Stampfli et Cie, Berne. 

Cette introduction à la théorie des assurances sur la vie est destinée 



2-^8 BULLETIN B J B L I G R A P H I Q U E 

aux Ecoles de commerce et à l'enseignement moyen. Mais elle sera aussi 
lue avec profit par tous ceux qui désirent acquérir les notions essentielles 
de cette théorie. 

W.Blaschke. — Vorlesungen liber Differentialgeometrie undgeometrische 
Grundlagen von Einsteins Relalivitatstheorie. 1. Elenientare Dijjerential- 
^eometrie. (Die Grundiehren der mathematischen Wissenschaften in Einzel- 
darstellungen mit besonderer Berùcksichtigung der Anwendungsgebiete, 
Band I). — 1 vol. in-S» de 230 p., avec 38 fig. ; de 69 M.; M. J, Springer, 
Berlin. 

Ces leçons de Géométrie infinitésimale comprendront trois volumes, 
conçus à un point de vue tout à fait moderne. Elles sont destinées à initier 
l'étudiant aux fondements géométriques de la théorie de la relativité. Ce 
premier volume est consacré aux éléments de la Géométrie infinitésimale. 

L. Bloch. — Le principe de la relativité et la théorie d'Einstein. (Biblio- 
thèque des Annales des Postes, Télégraphes et Téléphones). — 1 vol. 
in-8o de 42 p. ; Fr. 3,50 ; Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Dans cet exposé, l'auteur se place exclusivement au point de vue de la 
suite des idées et il fait comprendre clairement l'évolution suivie par la 
Théorie de la Relativité depuis Lorentz jusqu'à Einstein. 

Ce livre vient à son heure, il sera lu par tous les esprits de culture scienti- 
fique, que choque l'exposé trop élémentaire de certains ouvrages de vulga- 
risation, mais que décourage l'appareil trop exclusivement mathématique 
de certains ouvrages de haute science. 

E. Cartan. — Leçons sur les invariants intégraux. (Cours professé à la 
Faculté des Sciences de Paris). — 1 vol. in-S" de 210 p.; Fr. 20; Librairie 
scientifique, Hermann, Paris. 

Cet ouvrage est la reproduction d'un cours sur la théorie des invariants 
intégraux fondée par H. Poincaré et à laquelle l'auteur a lui-même fourni 
d'importantes contributions. 

Général Ckapel. — Ether - Electricité - Relativisme. — 1 vol. in-S» de 
40 p. ; Fr. 2,50; Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Le fascicule reproduit le texte d'une conférence faite à Paris, le 22 mars 
1922, au Conservatoire des Arts et Métiers. Le Général Chapel oppose aux 
idées d'Einstein une thèse franchement antagoniste à laquelle il a été amené 
par des études bien connues sur le rôle de l'électricité dans les accidents par 
inflammation spontanée ou par explosion. Selon l'auteur, toutes les grandes 
manifestations de l'énergie s'expliquent en substituant à l'éther amorphe, 
inerte, conçu par les Relativistes, un éther matériel, pesant, cinétique, qui 
n'est autre chose d'ailleurs que ce que l'on appelle depuis des siècles : fluide 
électrique, électricité. 

E. DiNTZL et C. Vaselli. — Aufgaben aus der reinen und angewandten 
Mathematik. Erster Band. — 1 vol. in-S» de 215 p., avec 89 fig. ; broché 150 
marks ; Cari Gçrold's Sohn Leipzig u. Wien. 

Recueil de problèmes destiné aux éh^-ves des classes supérieures de l'ensei- 
gnement secondaire. Ce premier volume, consacré à l'algèbre et à la géomé- 
trie, contient notamment des exercices sur les notions de fonctions, de 
dérivée et d'intégrale, sur les transformations géométriques, sur la notion 



HULLETIN HI B LIOC.HAPII lOUE 239 

de groupes de perinutations, sur la théorie des nombres et sur les sections 
coniques. 

E. EscLA.\<;o.\. — Les preuves astronomiques de la relativité. — 1 vol, 
in-8o, de 27 p. ; Gauthier- Villars et Cie, Paris. 

Dans cet ouvrage, M. Esclangon, directeur de TObservatoire de Stras- 
bourg, montre combien sont délicates des observations où des quantités 
à mesurer sont du même ordre de grandeur que les erreurs de mesure. Il 
montre ensuite la part considérable qui est laissée à l'interprétation des 
résultats rendant indécises et encore incertaines les conclusions qu'on peut 
en tirer. 

L'auteur conclut que l'assurance avec laquelle est généralement présentée 
la confirmation astronomique des théories relativistes est encore à l'heure 
actuelle injustifiée. Il considère toutefois que la question pourra être tran- 
chée dans un prochain avenir. 

E. GouRSAT. — Leçons sur le problème de Pfaff. — 1 vol. in-S", de 386 p. ; 
Fr. 30; Librairie Scientifique J. Hermann, Paris. 

Cet ouvrage vient compléter ceux que M. Goursat a déjà publiés sur les 
équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre. L'auteur 
expose les méthodes fondées sur les propriétés du co-variant bilinéaire 
considéré d'abord par Frobenius et par G. Darboux. Il étudie ensuife les 
propriétés des formes symboliques de différentielles (formes extérieures 
de M. Cartan) et leur application au problème de Pfaff lui-même et à la 
théorie des invariants intégraux. 

O. Groll. — Kartenkunde. Zweite Auflage neubearbeitet von Dr. () Graf. 
— I. Die Projektionen. Mit 56 Abbildungen iin Text und auf Tafeln. (Samm- 
lung Gôschen). — 1 vol. in-16 de 116 p. ; Fr. 1,50 ; Vereinigung wissenschaft- 
licher Verleger, Walter de Gruyter & Go, Berlin. 

Exposé élémentaire des principaux sj-stèmes de projection en usage pour 
la représentation des cartes géographiques. 

F. Hkiland. — Sammlung von Aufgaben aus der ebenen undsphârischen 
Trigonométrie. (Sammlung (iusrheii Nr. 848). — 1 vol. iu-ltj de 152 p., 
26 fig.,; Fr. 1,50; Vereinigung wissenschaftlicher Verleger, Walter de 
Gruyter & Co, Berlin. 

Ce recueil d'exercices de Trigonométrie plane et sphérique contient de 
nombreux exemples numériques et des problèmes empruntés à la Géomé- 
trie, aux sciences physiques, à la minéralogie, à la cosmographie et à l'astro- 
nomie. 

A. Karbcmviak. — Bibljografja Pedagogiczna, — 1 vol. in-S" de 3'i0 p.; 
Lwow; Warszawa, 1920. 

Ce recueil bibliographique fournit les titres des travaux sur les sciences 
de l'éducation parus en Pologne de 1901 à 1910 ou relatifs à ce pays. Un 
chapitre est consacré aux mathématiques. 

K. Knopp. — Théorie und Anwendung der unendlichen Reihen. (Die 
«Muiidlchri'n der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 
mit bt'sunderer Beriicksichtigung der Anwendungsgebiete, Band II). — 
1 vol. in-8° de x-474 p., avec 12 fig., 168 M. ; J. Springer, Berlin. 

Etude approfondie de la théorie des séries infinies et de leurs applications, 



240 BULLETIN H l H L I O G H A P II I Q U E 

accompagnée de plus de 200 exercices. — Nombres réels et suites de nom- 
bres. Les bases de la théorie des séries ; séries à termes positifs ; séries à ter- 
mes variables; séries entières; produits infinis; séries à termes complexes; 
fonctions analytiques. Séries divergentes. 

E.-M. Lemkray. — L'éther actuel et ses précurseurs (simple récit). Préface 
de M. E.-M. Lecornu. (Actualités scientifiques.) — 1 vol. in-16 de 135 p., 
Gauthier- Villars & Cie, Paris. 

Ecrit dans un style accessible à tous, et duquel toute formule mathéma- 
tique est exclue, ce livre résulte d'une longue et patiente documentation 
sur l'histoire des sciences ; l'auteur a dû exposer une partie essentielle de la 
synthèse des Anciens, encore si mal comprise; ce chapitre constitue peut- 
être la partie la plus attachante de son œuvre, celle aussi qui contribuera 
le plus efficacement à faire germer le doute sur l'existence de l'éther. 

Cet ouvrage n'intéresse pas seulement les philosophes et les physiciens, 
mais encore ceux qui s'occupent de l'histoire des sciences. 

T. Levi-Civita. — Questions de Mecànicaclàssicairelat vista. — 1vol. 
in-8^, 151 p.; 3 Ptes; Institut d'Estudis catalans, seccio de ciencies, Bar- 
celone. 

Ce»petit volume reproduit les quatre conférences faites à Barcelone, en 
1921, par M. T. Levi-Civita, professeur à l'Université de Rome, sur des 
questions de mécanique classique et la théorie de la relativité. 

M. LiNDow. — Differentialgleichungen unter Beriicksichtigung der prak- 
tischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben 
versehen. (Aus Natur und Geisteswelt) 589. Band. — 1 vol. in-16, de 106 p.. 
avec 38 fig. et 160 exercices ; Fr. 2; B. G. Teubner, Leipzig. 

Faisant suite aux notions de calcul différentiel et intégral du même auteur 
ce volume contient une introduction à la résolution des équations différen- 
tielles avec de nombreux exercices empruntés à la Géométrie et aux sciences 
techniques. 

A. Mac Leod. — Introduction à la géométrie non-euclidienne. — 1 vol. 
in-8° de 433 p., avec une planche ; Fr. 20 ; Librairie Scientifique J. Hermann, 
Paris. 

L'auteur expose d'une façon élémentaire les principes de la Géométrie 
non-euclidienne. Parmi les nombreuses méthodes qu'on peut suivre par 
un pareil exposé, il a donné la préférence à celle que suit M. J. L. Coolidge, 
dans ses «Eléments of non-euclidean geometry » (Oxford 1909) dont les 
démonstrations ont été revues et complétées par M Mac Leod. 

G. MiE. — La théorie einsteinienne de la gravitation, essai de vulgari- 
sation de la théorie. — 1 vol. in-12 de 140 p. et 5 fig. ; Fr. 4,50; Hermann, 
Paris. 

Ces quelques pages où l'auteur s'est interdit de faire entrer le moindre 
symbole mathématique, constituent non pas un exposé banal d'une théorie 
que tout le monde croit connaître, mais un ensemble de vues originales 
décrites dans un style précis et clair et tout à fait propres à faire saisir 
dans ses grandes lignes la théorie einsteinienne de la gravitation à ceux qui 
ne la connaissent pas encore. 



nULLETIN BI R I.IOG lîAP II IQUi: 241 

P. MoRDELL. — Theoriginof letters and numerals according to the Sefer 
Yetzirah. — 1 vol. in-8", de 71 p. ; Philadelphie. 

Contribution à l'étude de l'origine des lettres et des nombres basée sur 
des documents hébreux, notamment le Sefer Yetzirah. 

Branislav Petronievics. — L'évolution universelle. Exposé des preuves 
et des lois de l'évolution mondiale et des évolutions particulières (inorga- 
nique, organique, intellectuelle et sociale). L'évolution mondiale, inorga- 
nique et organique. — 1 vol. in-8°, avec 3 fig. et 1 tableau dans le texte, 
de 212 p. ; Fr. 7,50 ; Félix Alcan, Paris. 

Dédié à la mémoire de Gaston Milhaud, cet ouvrage est à la fois une 
œuvre d'exposition et de synthèse scientifique. Il donne un exposé clair 
des principaux faits de l'évolution universelle. Le savant y trouvera une 
argumentation serrée pour la vérité de ces faits et le métaphysicien une 
critique serrée de cette argumentation. 

I. Les bases générales de l'évolution. — II. L'évolution inorganique. 
Système solaire et système stellaire. — III. L'évolution organique. 

Michel Petrovitch. — Notice sur ses travaux scientifiques (1894-1921), 
publiée par l'es soins de l'Académie royale de Serbie. — 1 vol. in-S» de 150 p. 
Gauthier- Villars & Cie, Paris. 

Désirant donner plus de publicité à ses travaux rédigés en langue serbe, 
l'Académie royale de Serbie a décidé de publier les résumés des mémoires 
scientifiques parus dans ses recueils ou sous ses auspices. Le présent volume 
donne un résumé analytique de l'ensemble des travaux du savant mathé- 
maticien M. Michel Petrovitch, bien connu des lecteurs de cette Revue. 
Il est divisé en six parties : Algèbre. — Intégrales définies. — Théorie des 
fonctions. — Equations différentielles. — Phénoménologie générale. — 
Recherches diverses. 

N. M. PoppovicH. — Die Lehrevom diskreten Raum in der neueren Phi- 
losophie. — 1 vol. in-8°, de 89 p., avec 9 tig. ; W. Braumùller, Universitàts- 
Verlagsbuchhiindler, Vienne et Leipzig. 

Etude du problème de l'espace dans la philosophie moderne. L'influence 
de Chr, Wolff et de ses successeurs. Le finitisme. L'Ecole anglaise. Le point 
de vue de Petronievics. 

E. Picard. — La théorie de la relativité et ses applications à l'Astro- 
nomie. — 1 vol. in-16, de 27 p. ; Gauthier- Villars, Paris. 

Dans ce petit livre, l'éminent Secrétaire perpétuel de l'Académie des 
Sciences se propose de tracer une esquisse historique et critique de la théorie 
moderne de la Relativité en vue d'en indiquer les applications à l'Astro- 
nomie. Tout en se demandant si c'est un progrès que de ramener la Physique 
à la Géométrie, l'auteur rend hommage à l'effort accompli par Einstein 
dans son audacieuse tentative. 

M. ScHiPs. — Mathematik und Biologie (Mathematisch-physikalische 
Bibliothek) Band 42. — 1 vol. in-16 de 52 p., avec 16 fig. ; broché, Fr. 1,20; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

<'e petit volume, consacré aux mathématiques dans leurs rapports avec 
la biologie, .se limite aux questions concernant la morphologie (relations 

L Enseignement miilhcni., 22' année; 1921 et 1922. 1('> 



242 BULLE 11 y lil B L I O G ]{ A P II I Q U E 

métriques ; symétrie) et l'anatomie et la physiologie. Les problèmes relatifs 
à la théorie des variations et de l'hérédité ont déjà fait l'objet d'un précé- 
dent volume (Xo 24, par M. Riebesell). 

H. ScHMiDT. — La prima conoscenza délia relatività dell" Einstein alla 
portata di tutti. Seconda edizione italiana a cura di T. Bembo e R. Conti;. 
(Manuali Hœpli). — 1 vol. in-16 de 206 p. et 12 fig. ; 10 L. ; U. Hœpli, Milan. 

Nouvelle édition revue et augmentée de l'ouvrage intitulé « Das Weltbild 
der Relativitàtstheorie. Allgemein verstàndliche Einfûhrung in die 
Einsteinsche Lehre von Raum und Zeit. » (Introduction élémentaire à 
la théorie einsteinienne de l'espace et du temps). 

Tadeusz Sierputowski. — Elementarz Rachunkowy, Czesc I, (Pierwszy 
Rok Nauki). — 1 fasc. in-S», 36 p. ; Varsovie, 1922. 

Manuel de calcul destiné à la première année de l'enseignement primaire. 

H. E. TiMERDiNG. — Repertorium der hôheren Mathematik, zweite vôllig 
umgearbeitete Auflage der deutschen Ausgabe. unter Mitwirkung zahl- 
reicher Mathematiker. Zweiter Band : Géométrie. Zweite Hâlfte: Raum- 
geometrie. — 1 vol. in-8o de XII-624 p., avec 12 fig. ; broché, Fr. 15,20; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Deuxième édition, considérablement augmentée, du volume consacré 
à la Géométrie. Elle contient un résumé des principales branches de la Géo- 
métrie des courbes gauches et des surfaces, des courbes et des surfaces 
algébriques, des transformations rationnelles de l'espace et de la Géométrie 
réglée. Ces monographies sont dues à MM. O. Staude, L. Berzolari, Fr. 
Severi, H. Timerding, K. Zindler et E. Salkowski. 

Ch TwEEDiE. — James Stirling, a Sketch of his Life and Works along 
with his scientific Correspondence. — 1 vol. in-S» de 213 p. ; 16 sh. net; 
Clarendon Press, Oxford. 

Dans ce bel ouvrage, l'auteur présente une étude sur la vie et l'œuvre 
de James Stirling et reproduit la correspondance scientifique du savant 
mathématicien écossais. 

Ch.-J.^DE LA Vallée-Polssin. — Cours dAnalyse infinitésimale. — (Qua- 
trième édition). — 2 vol. in-8° de 434 p. et 478 p.; A. Uystpruyst-Dieu- 
donné, Louvain, et Gauthier- Villars & Cie, Paris, 1921 et 1922. 

Nous nous bornons pour le moment à signaler cette nouvelle édition 
des cours d'analyse qui correspond aux leçons données par l'auteur à 
l'Université de Louvain. Cet excellent traité est appelé à rendre de grands 
services aux étudiants en mathématiques. Nous l'examinerons d'une manière 
plus approfondie dans un prochain numéro. 

C. DE LA Vallée-Poussix. — Introduccîon a las teorias de conjuntos 
y de funciones, conferencias. — 1 vol. in-S» de 109 p.; 5 pesetas; Madrid. 

Traduction espagnole de huit conférences sur la théorie des ensembles 
et la théorie des fonctions, faites à la Faculté des Sciences de Madrid, en 
avril 1921, par ie savant professeur de Louvain. 



BULLETIN Hlli LlOGRAy U iqU E 243 

2. Publications périodiques : 

The Mathematics Teacher. Volume XII. — W. S. Schlauch: An Expe- 
rinient in Motivation. — E. R. Smith: Scales for the Study oC Children's 
Characteristics. — W. E. Breckexridge: Applied Mathematics in High 
Schools: Some Lessons from the War. — E. Rensh.wv: A Junior High School 
Course in Mathematics. — E. J. Guy: A Simple Method of Reconstructing 
a Hyperbolic Paraboloid. — H. E. Webb: Certain Undefmed Eléments 
and Tacit Assumptions in the Fir.st Book of Euclid's Eléments. — Chas. 
F. Wheelock: Proposed Syllabus in Algebra. — H. B. Williams: Mathe- 
matics for the Physiologist and Physician. — R. C. Gillies: Love Mathe- 
matical. — L. E. Ly>jde: Some Helps and Hindrances in Teaching Mathe- 
matics in the Secondary Schools. • — H. Exglish: The Efïect of Post- 
Armistice Conditions on Mathematical Courses and Methods. — Ch. H. 
Sampson: Teaching Practical Mathematics Effîciently. 

Vol. XIII. — E. R. Breslich: The Teaching of Verbal Problems. — 
M. E. Davis: The Teaching of Mathematics in the Junior High Schools. — • 
Wilmer Souder: The Metric System: Its Relation to Mathematics and 
Industry. — J. T. Rorer: Educational Opportunity in the Army of Occu- 
pation. — R. R. Goff: The Outline Method in Mathematics. — F. Cajori: 
Greek Philosophers on the Disciplinary Value of Mathematics. 

Vol. XIV. — C. M. Austin: The National Council. — J. W. Yoing: 
Progress of the National Committee. — C. B. Walsh: The Junior High 
School Report: A Discussion. — M. J. Newell, G. A. Harper: First 
Lessons in Démonstrative Geometry. — G. W. Myers: Outstanding 
Pedagogical Principles now Functioning in High Schools Mathematics. — 
J. C. Brown: The Geometry of the Junior High School. — H. P. McLal- 
ghlin: Algebraic Magic Squares. — W. P. Webber: The Outlook with 
Regard to School Mathematics. — W. E. Breckenridge : Mathematics 
in Stuyvesant High Schools. — J. K. van Denberg: Articulation of Junior 
and Senior High School Mathematics. 

Mémoires de la Société helvétique des Sciences naturelles. Vol. 57, 
mém. 2. — A. Kienast: Untersuchungen iiber die Losungen der Diiïeren- 
tialgleichung xy' + (v — .t) y' — \.y = 0. (85 pages in 4°). 

Nouvelles Annales de Mathématiques. Tome XX. — M. Frechet: Sur 
un défaut de la méthode d'interpolation de Lagrange. — R. Garnffr: 
Deux notes de géométrie vectorielle. — G. Valiron: Sur le maximum et 
le minimum des fonctions de deux variables. — E. Goursat: Sur une classe 
d'équations différentielles qui admettent des intégrales singulières. — J. Haag: 
Sur l'application de la loi de Gauss à la position probable d'un point dans 
le plan ou dans l'espace. — V. Theeault: Sur les polj'gones harmoniques 
d'un nombre pair de côtés et sur certains cercles du triangle. — R. Bricard : 
Sur un système remarquable de cinq droites. — V. ThEBAiLT: Sur les 
contacts des sphères tangentes à quatre plans. — T. Lemoyne: Lieu des 
foyers ordinaires de courbes algébriques d'un faisceau tangentiel ou ponctuel. 
— R. Har.megnies: Sur une propriété caractéristique du cylindre et du 
cylindroïde. — N. Altshiller-Cotrt: Sur la cubique à point double. — 
J.-A. MoREX: Sur certaines relations qui existent entre l'épicycloïde et 
l'hypocycloïde à trois rebroussements. — M. d'Ocagne: Simple remarque 



244 n U L L E T I .\ H I HLI O (i II A l' Hl Q U E 

sur la cyclide de Dupin. — Cl. Servais: Un théorème général sur les com- 
plexes. — T. Lemoyne: Sur un théorème de Cornu relatif aux caustiques. — • 
R. Goormaghtigh: Sur les tangentes aux trajectoires des sommets d'un 
triangle qui se déforme dans un plan. — G. Fontene: Rayon de courbure 
de la courbe qui est le lieu des centres des sphères osculatrices à une courbe 
gauche. — Id.: Courbes gauches liées par échange des tangentes et des 
binormales. Les formules de Frenet sont intuitives. — M. d'Ocagne: Equa- 
tion angulaire d'un conoïde droit. Application au cylindroïde envisagé 
dans ses rapports avec la distribution des courbures autour d'un point 
d'une surface. — M. Bavard: Note sur les Congruences d'une normale. — 
R. Harmegnies: Sur la surface dont tous les points sont des ombilics. — 

B. Gambier: Surfaces de translation applicables l'une sur l'autre. — Id. : 
Etude des surfaces de translation de Sophus Lie. — M. d'Ocagne: Trans- 
formation polaire interaxiale. — A. Leveque: Démonstration géométrique 
du théorème de Liouville sur le groupe isogonal de transformations dans 
l'espace. — L. Pomey: Note géométrique sur une généralisation du théo- 
rème de composition des vitesses et le théorème de Coriolis. — R. Bricard: 
Sur des systèmes articulés. — Et. Delassus: Exposé élémentaire d'une 
théorie rigoureuse des liaisons finies unilatérales. — Id. : Considérations 
sur le frottement de glissement. — R. Bricard: Charles-Ange Laisant 
(1841-1920). 

Proceedings of the London Mathematlcal Society. Vol. 19. — K. Ananda- 
Rau: Of Lambert's Séries. — G. H. Hardy and J.-E. Littlewood: 
On a Tauberian Theorem for Lambert's Séries and some Fundamental 
Theorems in the analytic Theory of Numbers. — T. W. Chaundy : 
The Aberrations of a Symmetrical Optical System. — G. A. Miller: Groups 
involving three, and only three, Operators which are Square. — T. S. Bro- 
derick: On the Product of Semi-Convergent Séries. — P. A. Mac Mahon: 
Divisors of Numbers and their Continuations in the Theory of Partitions. — 
K. Ananda-Rau: Note on Property of Dirichlets Séries. — W. H. Young: 
On the Triangulation Method of Defining the Area of a Surface. — W. E. H. 
Berwick: The Complex Multiplication of Weierstrassian Elliptic Functions. 
— J. Lar.mor: On the Mathematlcal Expression of the Principle of Huy- 
gens, II. — Norbert Wiener: A New Theory of Measurement, a Study 
in the Logic of Mathematics. — D. Riabouchinsky: On Steady Fluid 
Motions with Free Surfaces. — P. A. Mac Mahon: Permutation, Lattice 
Permutations and the Hypergeometric Séries. — G. V. Hanumanta Rao: 
Some Considérations on the General Theory of Ruled Surfaces. — G. N. 
Watson: The Zéros of Lommel's Polynomials. — H. Steinhaus: On 
Fourier's Coefficients of Bounded Functions. — E. Landau and A. Os- 
trowski: On the Diophantine Equation ay- + by + c = dx". — G. F. S. 
Hills: A Multiple Intégral of Importance in the Theory of Statistics. — 
G. S. Le Beau: A Property of Polynomials whose Roots are real. — E. G. 

C. Poole: a Point in the Dynamical Theory of the Tides. — P. A. Mac 
Mahon: The Divisors of Numbers. — S. Chapman and G. H. Livens: 
The Influence of Diffusion in the Propagation of Sound Waves in air. — 
H. B. C. Darling: Proofs of Certain Identities and Congruences enunciated 
by S. Ramanujan. — A. C. Dixon: The Theory of a Thin Elastic Plate, 
bounded by two Circular Arcs and clamped. — L. J. Rogers: On a Type 
of Modular Relation. — F. B. Pidduck: Functions of Limiting Matrices. 



BULLETIX m li LIOGRA P H I (J LE 245 

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. Tome XLIII. — G. 
FiBiM: Fondamenti di Geometria proiettivo-differenziale. — G. Bonomi: 
Le superficie iperellittiche con fasci ellittici di curve ellittiche. — V. Straz- 
ZERi: Sulle superficie clie ammettono un sistema di linee di curvatura piane. 
— F. Gerbaldi: Le frazioni continue di Halphen in relazione colle corris- 
pondenze (2,2) involutorie e coi polijïoni di Poncelet. — P. Nalli: Sulla 
rappresentazione di una funzione simmetrica K [s, t) e dell' esprezione 



k 



+ f K {s, t) g {r) d t. — E. Ragazzi: Un teorema sulle tras- 



formazioni délie superficie di Guichard. — C. Mineo: Un teorema sulle 
linee d' equidistanza obliqua da una data curva, sopra una superficie. 

— F. Sibiram: Sulle superficie che contengono un sistema oo ' di curve 
prefissate. — R. Garmer : Sur une classe de systèmes différentiels 
abéliens déduits de la théorie des équations linéaires. — A. Palatim: 
Sui fondamenti del calcolo differenziale assoluto. — A. Palatini: Deduzione 
invariantiva délie equazioni gravitazionali dal principo di Hamilton. — • 
G. Scorza: Sulle varietà abeliane contenenti congruenze abeliane. — 
M. Picone: Sul teorema di Green nel piano e mello spazio. — G. Valiron: 
Sur les zéros des fonctions entières d'ordre fini. — G. Marletta: Sistemi 
lineari d' omografie che sono gruppi. — V. Strazzeri: Sullo sviluppo dei 
déterminant!. — A. Signorini: Un teorema di confronte in balistica esterna 
et alcune sue applicazioni. 

Tome XLIV. — P. Mazzom: Ricerche sulla teoria délie equazioni al- 
gebriche seconde Galois. — N. Sakellariou: The space problem of the 
Calculus of Variations. — M. Lecat: Sur la décomposition des pénédé- 
terminants et déterminants. — E. Landau et A. Walfisz: Ueber die 
Xichtfortsetzbarkeit einiger durch Dirichletsche Reihen definierter Funk- 
tionen. — H. Hancook: The foundations of the Elliptic Functions. — 
L. Baeri: Sulle equazioni integro-differenziali. — C. Segre: I connessi 
bilineari alternati di coppie di rette. — L. Tonelli: La semicontinuita 
nel calcolo délie Variazioni. — G. Valiron: Sur les zéros des fonctions 
entières d'ordre fini. — A. Baruch: Ueber vierfach hyperboloide Tetraeder. 

— G. Axdreoli: Sul moto di un punto abbandonato nell' interne di un 
cilindro circolare retto. — C. Rosati: Interne aile corrispondenze sim- 
metriche singolari sopra una curva di génère 2. — T. Hayashi: On some 
Inequalities. — H. Hilton: On certain Types of Plane Algebraic Curve. — 
Id.: On d'Ocagne's Locus. — Id.: On Kônig and Szûcs's Construction. 

La Revue de l'Enseignement des Sciences. IS»"" année, 1919. — L. 
Gemllon: Sur la loi exponentielle d'erreur, les séries d'observations et 
la moyenne arithmétique dans les sciences physiques. — R. Bkrard: 
Sur les ovales de Descartes. — R. Dontot: La préparation des jeunes 
filles aux carrières industrielles et commerciales. — J. Lemaire: Une 
propriété de la parabole. — Id.: Sur une surface du quatrième ordre. — 
J. Juhel-Renoy : Sur les systèmes de numération et le calcul des polynômes. 

— R. Massart: Des différents systèmes de numération. Propriétés des 
nombres dans ces divers systèmes. — Mars-Avril. — Th. Leconte: Sur 
un procédé de calcul et son application à la topographie. — Ch. Bioche: 
Sur les rayons de courbure et les normales polaires. — Amsler: La rotation 
et le quadrilatère inscriptiblo. — J. Lemaire: Sur l'égalité et la similitude 



2i6 n U I.I.ETI JS R I li Ll OG U A P II I QUE 

des figures en géométrie plane. — F. Meyer: A propos d'enveloppes. — 
J. Juhel-Renoy: Premières leçons de géométrie. — Id.: Sur les trièdres. 

— F. Meyer: Enveloppes de courbes et de surfaces à un paramètre. — 
P. Montel: Sur les fonctions linéairement distinctes. — A. Levy: Sur 
l'équation en nombres entiers a' + b- = c'-. — R. Dontot: Limite de 
(1 + \ jxy pour X infini. — J. Juhel-Renoy: Questions de forme. 

14me Année. — J. Angelloz-Pessey : Intersection d'une droite et 
d'une hyperbole. — Sur un procédé de Fermât. — R. Berard: Sur les 
ovales de Descartes. — Sur le développement d'un cône et les points 
d'inflexion de la transformée d'une courbe tracée sur le cône. — Sur la 
multiplication des séries. — Ch. Bioche: Sur les orbiformes. Sur certains 
trièdres. — G. Bouligand: A propos de la notion d'aire vectorielle d'un 
contour gauche. — R. Dontot: Propriétés focales des quartiques bicir- 
culaires. — G. Fontene: Sur le sens de la variation d'une fonction. — 
Formules relatives à l'ellipse et à l'hyperbole. — P. Flamant: Première 
leçon sur les séries entières. ■ — H. Girard: Résolution graphique de 
a cos .T + i?) sin T = r. — Sur les sommes des puissances semblables des n 
premiers nombres entiers. — J. Juhel-Renoy: Sur le volume engendré 
par un triangle en tournant autour d'un axe. — Sur l'ensemble de deux 
équations et sur la fraction rationnelle du second degré. — Note de géo- 
métrie descriptive. — J. Lemaire: Perpendiculaire menée d'un point 
sur une droite. Polaire d'un point par rapport à un cercle. — A. Levy: 
Sur le calcul de n. — P. Lugol: Cloisons étanches. — R. Malloizel: 
Note de géométrie. — • Sur deux théorèmes relatifs aux courbes planes 
algébriques et aux surfaces algébriques. — F. Meyer: La transformation 
apsidale et le problème de Monge. — • Sur la représentation paramétrique 
d'une surface. — Ch. Michel: La fonction exponentielle et les fonctions 
circulaires. ■ — Sur le trapèze harmonique. — Sur l'équation différentielle 
linéaire du second ordre à coefTicients constants. — P. Montel: Sur la 
composition des vitesses et la composition des accélérations. — M. Stuv- 
vaert: Elimination d'une inconnue entre plusieurs équations. — Examens 
et concours. — Bibliographie. 

Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschaftlischen Unterricht. 

52. Jakrga.Dg 1921. — K. Becker: Fiir und wider das abgekûrzte Rechnen. 

— R. Bôger : Die Môbiussche Form des Brechungsgesetzes. — J. E. 
Bôttcher: Beweis des Tsabit fur den pythagoreischen Lehrsatz. — 
E. Dintzl: Ueber ein Verfahren zur Verschaulichung der Konvergenz 
unendlicher Reihen. — H. Dôrrïe : Ueber einige Anwendungen des Satzes 
vom arithmetischen und geometrischen Mittel. — E. Fettweis : Die 
Mathematik des Lyzeums und Oberlyzeums. — A. Harnack: Zur Ein- 
fiihrung des Integralbegrifïes. — R. Hunger Anschauliche Beweise fiir 
den erweiterlen pythagoreischen Lehrsatz. — E. Kamke. Zur Reform, des 
mathematischen Hochschulunterrichts. — F. P. Lieseg.\.ng: Ein Schaubild 
zur Darstellung der Zeit-Raum-Verhàltnisse in der speziellen Relativi- 
tatstheorie. — W. Lorey: Das Prinzip der vollstandigen Induktion. Seine 
Geschichte und Anwendung im mathematischen Unterricht. — H. Meurer: 
Direkte Ilerleitung des relativistischen Dopplerprinzips und der zeitlichen 
Lorentztransformation aus den nichtrelativistischen Gleichungen Dopplers. 
G. Polya: Anschaulich-experimentelle Herleitung der Gausschen Fehler- 
kurve. — A. Schônfliks: Ein Weg zur Relativitiit fiir die Schule. — A. 



BULLETIS H l B Ll OGliAP 11 KJU E V^l 

A. Schulke: Graphische Behandluhg der Zinsrechnung. — W. Schwan: 
Zur Théorie der komplexen Zahlen. — H. Teege: Ueber die Bestimmung 
der Mondentfernung durch Schweremessungen. — M. WINKELMA^^: Das 
Brechungsgesetz der Schichtlinien. — Kloinc Mitteilungen. — Berichte. — 
Bucherbesprechungen. — Vermischtes. 

Acta mathematica. Tome 38. — 1 vol. in-4, 402 p., avec un portrait de 
H. Poincaré, Alinquist et Wiksells, Stockholm. — Le présent volume des 
Acta Mathematica est entièrement consacré à Henri Poincaré. Il s'ouvre 
par un travail de Poincaré, unique en son genre dans le domaine des sciences 
mathématiques et qui a pour titre: « Analyse des travaux scientifiques de 
Henri Poincaré, faite par lui-même. ■> On y a joint une bibliographie aussi 
complète que possible des publications du savant géomètre (491 numéros). 
C'est sur la demande du directeur des Acta Mathematica, M. Mittag- 
Leffler, que H. Poincaré avait rédigé, en 1911, cette analyse qui com- 
prend ses principaux ouvrages parus jusqu'à cette date. 

La publication de ce volume a été retardée par suite de la guerre. — 
Sommaire: P. Appelé : Henri Poincaré, en mathématiques spéciales à Nancy. 
— P. BouTRoux: Lettre à M. Mittag-Lefïler. — L. Fuchs: Briefe an H. 
Poincaré. — J. Hadamard: L'œuvre mathématique de Poincaré. — 
H. A. Lorenz: Deux mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathé- 
matique. — P. Paixlevé : Henri Poincaré. — Max Plaxck : Henri Poincaré 
und die Quantentheorie. — H. Poincaré: Analyse de ses travaux scienti- 
tiques: Rapport sur les travaux de M. Cartan. — Lettres à M. Mittag- 
Lefïler. — Lettres à M. Mittag-Lefïler concernant le mémoire couronné du 
prix de S. M. le Roi Oscar IL — Lettres à L. Fuchs. — W. Wien: Die 
Bedeutung Henri Poincarés fiir die Physik. — H. v. Zeipel: L'cpuvre astro- 
nomique de Henri Poincaré. 

Annali di matematica pura ed applicata. — Série III. Tome XXX. — 
SiBiRANi: Centri di librazione e moti dell' astéroïde nello loro vivinanze 
nel problema ristretto dei tre corpi ed in un analogo, sotto l' ipotesi che 
r attrazione o la ripulsione délie due grandi masse sia una funzione délia 
distanza. — Zondadari: Sugli inviluppi di tangenti aile curve integrali 
di un' equazione diiïerenziale del primo ordine. — Togliatti: Questioni 
di forma e di realità relative a fasci di quadriche in una spazio ad n dimen- 
sioni. — Calapso: Sulle trasformazioni dei sistemi di linee, coniugate ed 
ortogonali. — Terracini: Osservazioni sui sistemi isotermo coniugali 
che sono permanenti nelle deformazioni di una superficie. — Sulla esistenza 
di polarità ordinaria che mutano l'una neli'altra due quadriche non dege- 
neri. — Tonelli: Criteri per 1' esistenza della soluzione in problemi di 
Calcolo delle variazioni. — Jonas: Sopra una classe di trasformazioni 
asintotiche, applicabili in particolare aile superficie la oui curvatura é 
proporzionale alla quarta potenza della distanza dei piano tangente da un 
punto fisso. — Spampinato: Le trasformazioni birazionali periodiche sulli- 
superficie iperellitiche con due fasci di curve ellittiche. — Cecioni : 
Sopra una relazione fra certe forme differenziali quadratiche e le algèbre 
commutative. 

Bulletin des Sciences mathématiques. Tome XLV. — L. Godealx- 
Sur une surface algébrique considérée par M. G. Ilumbert. — M. Lienard: 



248 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Sur le théorème de Menabrea. — K. Ogura: Sur la théorie de l'interpola- 
tion de Stirling et les zéros des fonctions entières. — C. de Jaxs: Sur une 
généralisation du problème de Barlow. — P. Fatou: Sur l'évanouissement 
d'une branche de fonction uniforme aux points d'une ligne singulière. — 
P. Flamant: Sur les systèmes d'équations différentielles linéaires en 
nombre infmi. — M. Frechet; Remarques sur les probabilités contenues. 
V. Smirnoff: Sur les équations différentidles linéaires du second ordre 
et la théorie des fonctions automorphes. — Auric: Sur un perfectionnement 
à apporter aux statistiques. — B. Gambier: Applicabilité des surfaces 
réelles. Etude spéciale de la correspondance entre point réel et point imagi- 
naire. Systèmes cycliques réels et systèmes triples orthogonaux. — C. de 
Waard: Une lettre inédite de Roberval du 6 janvier 1637 contenant le 
premier énoncé de la cycloïde. — Et. Delassus: Sur le principe fondamental 
de la mécanique analytique. — M. Janet: Sur la recherche générale des 
fonctions primitives à n variables. G. Valiron: Sur les fonctions entières 
d'ordre fini. — J. Chazy: Sur les courbes définies par les équations diffé- 
rentielles du second ordre. — B. de Font violant: Sur le théorème de 
Menabrea. — S. Hindi: Sur la valeur moyenne. — G. Fontene: Sur la 
dynamique de la relativité. — E. Picard : Discours d'ouverture de la 
6""^ Conférence générale des poids et mesures, prononcé le 27 septembre 
1921, au Ministère des Affaires étrangères, en présence de M. le Ministre 
du Commerce. — S. Mangeot: Sur des propriétés relatives à des torsions 
de courbes tracées sur les surfaces. — E. Picard : La théorie de la relativité 
et ses applications à l'astronomie. 



3. Thèse de doctorat: 

Nous signalons sous cette rubrique les thèses de doctorat dont un exemplaire 
imprimé aura été adressé à la Rédaction, 110, Florissant, Genève. 

Allemagne. — Université de Giessen. — H. Gilbert. — Die Reziprozitàt 
in der Ebene aïs Folge eines Polarsystems und einer harmonischen Spiegelung 
an einem Punkt und einer Geraden. (Mitteilungen des mathematischen 
Seminars der Universitàt Giessen) III Heft. — 1 vol. in-8°, broché de 33 p. ; 
1922. 

France. — Faculté des Sciences de Strasbourg. — Louis Antoine. — 
Sur l'homéomorphie de deux figures et de leurs voisinages. ^ 1 vol. ln-4o 
de 105 p. et 14 figures; 1921. 

René Thiry. — Sur les solutions multiples des problèmes dHydrodyna- 
mique relatifs aux mouvements glissants. — l vol. in-4o de 11 6 p. ; 1921. 

Suisse. — Université de Lausanne. — Jules Chlard. — Questions d'Ana- 
lysis situs. — 1 vol. in-S» de 40 p. ; 1922. 



UN CHAPITRE DE MÉTHODOLOGIE MATHÉMATIQUE, 
LES IMAGINAIRES DE GALOIS 



M. Stuyvaert (Gand). 



Considérons deux polynômes à coefficients entiers, 



m— 1 



FUI = a„.r'" + «,.<•'"-' + ... +«„, , 

/•(.ri = b,x" + />,y'-' + ... + />„ 

et soit m ^ n. L'étude de ces fonctions relativement à un 
MODULE PREMIER p a été Commencée dans un chapitre antérieur 
de notre Cours de Méthodologie: on y a montré l'existence et 
l'unicité de la congruence fondamentale, 

F(x) — /•(x)Ql.rl — R(.r) = (mod. p) 

OÙ R{x) est de degré inférieur à n. 

On dit que F{x) est divisible par f{x) suivant le module p, si le 
polynôme R(a;) ci-dessus est congru à zéro, donc s'il existe un 
polynôme Q(x) tel que le polynôme F{x) — f{x) Q{x) ait tous ses 
coefficients multiples de p, ce qui s'écrit 

K(.r) = f\x)Q{jc) . (mod. {>) 

Quand cette condition n'est pas satisfaite, la congruence 
fondamentale donne lieu à la même suite d'opérations que l'algo- 
rithme d'Euclide pour le p. g. c. d. 

Alors, si un polynôme '^x) divise (mod. p) les polynômes F{x) 
et f{x); il divise R(x), car soient 

l"'(.r) = •|(a-)G(.r) . f\x) = 'l[x)g(x) imod./>i 

L'Enseipnenient mathém., 22« année; 1921 et 1922. l-^ 



250 M. S TU YV ai: HT 

il en résulte que 

ii{x)G{x) —'!^{x)g[x)Çl{x) — ■R{x) 

a tous ses coefficients multiples de /; ou que R(a;) est divisible 
(mod. p) par ']i{x). On voit de même que si un polynôme 
divise (mod p) f{x) et B.{x), il divise (mod. p) F{x). 

Les divisions successives de l'algorithme d'Euclide, appliquées 
à F{x) et f{x) doivent aboutir, parce que le degré des restes 
décroît. En dernier lieu on trouve, ou bien un reste ayant tous 
ses coefficients congrus à zéro, et alors l'avant-dernier reste D{x) 
divise (mod. p) le précédent et tous ceux qui viennent avant lui, 
notamment F{x) et f{x); — ou bien un reste indépendant de x 
mais non multiple de p et alors les deux polynômes donnés 
ne sont pas divisibles par un même polynôme. 

Il faut encore établir l'unicité du p. g. c. d. (mod. p), c'est-à- 
dire du polynôme de degré le plus élevé divisant (mod p) F{x) 
et f{x): s'il y en a un autre, il divise les restes successifs, donc 
le p. g. c. d. déjà trouvé et comme ils doivent être de même 
degré, le quotient est indépendant de x. 

On appelle polynôme irréductible suivant le module p un poly- 
nôme qui n'est pas congru au produit de deux polynômes. 

On a démontré dans un chapitre antérieur ceci : si f{x) = 
(mod. p) a une racine a, le polynôme f{x) est divisible (mod. p) 
par X — a; et la réciproque est immédiate. Donc un polynôme 
irréductible de degré supérieur à 1 n'a pas de racine; mais la 
réciproque n'est pas exacte, car un polynôme peut n'avoir aucune 
racine et cependant être réductible; il est alors congru au produit 
de facteurs irréductibles de degré supérieur à 1. 

Il est facile de former des polynômes irréductibles du second 
degré, pour un module premier impair quelconque, 7 par exemple. 
Le polynôme x{x — 1) — d ne peut avoir que des diviseurs du 
premier degré; donc, s'il n'a pas de racine, il est irréductible; 
or il n'a pour racine, ni 1, ni 0, si d n'est pas ^ (mod. 7); rem- 
plaçons x par 2, 3, 4, 5, 6 dans x{x — 1); nous aurons cinq résul- 
tats qui peuvent être, dans le cas le plus défavorable, non 
congrus entre eux pour le module 7; il reste toujours au moins 
une valeur de d qui n'est congrue ni à zéro, ni à ces cinq résultats 

[2(2— 1) = 2 :3 (3— 1) = 6 ; 4(4— H = 5 ; 5(5— 1) = 6 ; 6|6— 1)^2] 



LES I M A C I y A I H E S DE G A 1.01 S 251 

on peut prendre pour d toute valeur non congrue à 0, 2, 5, 6; 
par conséquent 

x [X — 1| — 1 , x{x — 1) — 3 . x\x — Il — 4 

sont des polynômes irréductibles (mod. 7). La même méthode 
réussit encore pour des congruences du troisième degré, parce 
que tout polynôme cubique réductible a au moins un facteur 
linéaire. Nous verrons plus loin l'existence de polynômes irré- 
ductibles de tous les degrés. 

Théorème. Tout polynôme irréductible V{x) qui divise {mod. p) 
un produit de deux polynômes F{x) G{x) divise {mod. p) un des 
facteurs. 

1° Si V{x) est de degré égal ou inférieur à F{x) et s'il ne divise 
pas F(x), on forme, au moyen de l'algorithme d'Euclide, la suite 
de polynômes 

F{x) , P(.r) . R(.r) . R' |.r) , .. n 

qui doit aboutir, puisque P{x) est irréductible, à un entier n 
non multiple de p. Multiplions par G{x) tous les termes de la 
suite; P{x) divisant FG et PG di^àse RG,R'G,...7/G, donc aussi 
u-nG = G, (V étant l'entier, toujours existant et unique, tel que 
wn = 1 (mod. p). 

2° Si F(:r) est de degré inférieur à P{x) la suite de polynômes 
a pour premier terme P(j:), pour second terme F(a:), et la démons- 
tration s'achève comme ci-dessus. 

Corollaires. Si les congruences 

F(x) = ; l'{x} = ; (mod. p) 

ont une racine commune «, le binôme x — a divise (mod. p) 
les deux polynômes F{x) et f{x). Donc il y a un p. g. c.d. (mod. p) 
D{x) de F{x) et f{x). Visiblement toute racine de T){x) est racine 
de F(x) et f{x). Mais si ce p. g. c. d. n'existe pas ou s'il est irré- 
ductible et de degré supérieur à 1, F{x) et f{x) n'ont aucune racine 
commune. 

On démontre, comme pour les nombres entiers, que 

I)(x) = Flxl^lxi + /{x)G{x) (mod. p) 

G{x) et g{x) étant deux polynômes. 



252 M. STUYVAlUiT 

De tout ceci résulte, comme dans la théorie des polynômes 
algébriques, qu'un polynôme est congru, d'une seule manière, 
à un produit de polynômes irréductibles, avec les conséquences 
habituelles. 

Application. Toute racine s:, non multiple de p, de la con- 
gruence 

f{.r) = (mod. p) 

est aussi racine de x'"^ — 1 ; donc j{x) et x^'^ — 1 ont un p. g. c. d. 
(mod. p) D(a:); on le calcule par l'algorithme d'Euclide. Le poly- 
nôme T>{x) a autant de racines que l'indique son degré, car, 
comme il divise x''~^ — 1, il est congru à un produit de binômes 
tels que x — «. 

Si f{x) a moins de racines que son degré ne l'indique, il est 
congru au produit de facteurs binômes affectés peut-être d'expo- 
sants, et peut-être de polynômes irréductibles. Le calcul effectué 
à l'instant fournit le produit Y){x) des facteurs binômes chacun 
avec l'exposant 1. 

Comme on a 

xP-'^ — 1 = D(a-)Q(,r) 

on ne doit résoudre que celle des deux congruences T){x) = 0, 
Q(a;) ^ qui a le moindre degré; et cette remarque ramène la 
résolution de toute congruence à celle d'une congruence de degré 

au plus égal à 



— 1 



9 



Toute congruence douée d'autant de racines distinctes que 
l'indique son degré divise (mod. p) l'expression x^^' -r- 1; mais 
ceci n'est plus vrai s'il y a des racines multiples: par exemple 
{x — a)^(^ — /3) ne divise pas (mod. p) le polynôme ic''"' — 1, car 
alors x'''^ — 1 pourrait se décomposer en facteurs irréductibles 
de deux manières ^ 

Avant d'aborder la recherche des congruences irréductibles, 
nous devons établir ce lemme d'analyse combinatoire: 

Si r„, ^ désigne le nombre de combinaisons à répétition de m 
lettres prises n an, on a la formule 

(^- - 1) r;,-i,A- + if-- - 2)/'V,,A-. + {f^ - ^)riVi-A-2 + ■•• 



' i:xercice. Décomposer en facteurs irréductibles, suivant le module 7, le polynôme 
* — 3x* — 2a:' — 2x* — x — 2. i V. J. Skrrkt, Al§^. sitp.). 



LES IMAGINAIRES DE G A LOI S 253 

La formule se vérifie pour k = 2, car on a, dans ce cas 

Supposons donc la formule démontrée pour le nombre k et 
appliquons ensuite à A; + 1, 

+ 2/-^r^_,,3 + p'-' r^_,., + r^,,+, - /+' ; (2) 

multiplions la formule (1) par p et soustrayons de (2), il vient 
^■r^_i,A-i-i + ^p,A+i — P^p,k 



ou encore 



{p — Upip + Il ... {p + l; — 1) p(;? + 1) ■■■ (;^ + /•) 

1 . 2.3 ... lA- + 1) "•" 1.2 ... U- + 1) 



P 



p^p + 1) ... [p + A - 1) 



1 . 2 ... A 
ce qui se vérifie en divisant les deux membres par 

p\p + \\ ... (p + A— Il 
1 .2 ... A 

on obtient en effet l'identité 

^•'P-M , P_±J ._ „ 
A + i '^ /■ ^ i— P ■ 

Théorème. Suivant un module premier ip il y a des congruences 
irréductibles de tout degré k\ leur nombre est au moins 

en appelant T,n,n le nombre de combinaisons à répétition de m 
objets pris n à n ', 

Dans cet énoncé ne sont pas considérées comme distinctes 
deux congruences dont l'une s'obtient en multipliant l'autre 
par un facteur constant. Cette opération est en effet sans influence 
sur la réductibilité et nous pouvons toujours débuter par la 
préparation connue des congruences qui consiste à rendre égal 
à l'unité le coefficient du terme le plus élevé en x. 



' Cf. Encyc. des se. math., t. I, vol. 3, fasc. 1, p. il. 



254 M. sTCVVArnr 

Dès lors les congruences 

.î-2 + ax + /> = 

sont en nombre />^, puisque a et 6 peuvent prendre les valeurs 
de à /) — 1. Pour avoir celles qui sont irréductibles, il faut 
écarter celles qui ont la forme {x — i) {x — /'), où i et / prennent 
des valeurs, distinctes ou égales, de à p — 1, leur nombre est 
r ., . Le nombre des congruences irréductibles du second degré 
est donc 

Supposons la formule (A; — 1) Tp-\,k établie pour toutes 
les congruences jusque et y compris celles d'ordre k — 1. 
Enumérons les p^ congruences d'ordre k: celles qui ont k racines 
sont en nombre Vp.k'-, celles qui sont le produit d'un polynôme 
irréductible du second degré par un autre polynôme quelconque 
sont en nombre p*~- F;,—!..; et ainsi de suite; le lemme ci-dessus 
donne pour résidu 

Seulement si un polynôme d'ordre k est congru au produit 
de trois facteurs irréductibles par exemple d'ordres ^, i, / par 
des facteurs binômes, il figure trois fois parmi les congruences 
exclues et il faut rétablir le nombre exact en ajoutant 
2Tp.k—ii-L-j- Si A + i ' + / est égal à /c, il n'y a pas d'autre 
correction de ce chef; mais si ^ + i -f / < /c, il y a eu des erreurs 
analogues dans l'énumération des polynômes réductibles d'ordre 
k — 1, etc., et il faut retrancher 

or on vérifie que si A: > a, 

^A.a > ^k-\,a—\ + ^k—2,rx--2 + ••• + r^._gj^, , + 1 , 

car la chose est visible pour « = 1 quel que soit A;; supposons-la 
démontrée pour Yk-\ a-i; nous constatons que 

W, « = ' A-, a-l "^ ^k — l.u 

d'où pareillement 

^^k.a = I^A-i,»-! + 1 k,0L--i + I^A—i.a-i + I\_-j,ot> I\-_r/,_i + ^ k-\,a—\ 



LES IMAGINAIRES DE G A LOIS 255 

ce dernier terme est par hypothèse supérieur à 

donc a fortiori on a l'inégalité à démontrer. 

Ce qui précède ne démontre pas seulement l'existence de 
congruences irréductibles de tout degré, mais donne un moyen 
théorique de les déterminer toutes. En effet, pour une congruence 
quelconque, la solution n'exige qu'un nombre fini d'essais. 
Seulement les calculs étant fort longs, il est bon de chercher 
quelque moyen de les raccourcir. 

Pour les congruences de second et troisième ordre, la question 
de l'irréductibilité se confond avec celle de n'avoir pas de racine; 
c'est pourquoi nous dirons quelques mots de ce dernier problème. 

Le système de classes de restes pour un module premier cons- 
titue un CORPS. Par conséquent, on peut appliquer ici tout ce 
que l'algèbre enseigne sur le résultant de deux équations en x, 
car la théorie du résultant ne comporte que des opérations 
rationnelles. Par exemple, on a ce théorème relatif à deux con- 
gruences (que nous supposons préparées), 



F =,,.'« + «^ .,'«-' + ... +«„, =0 
G = ,r" + /.,,v"-' + ... + /.„ =0 



lod. p) 



Pour que les deux polynômes F, G aient un p. g. c. d. [mod. p) 
§ contenant x, il faut et il suffit que 



^ = 



1 




. 1 . . 


«1 


1 


• l\ i • 


f'i 


"l 


■ ''. ^ • 




«2 


. . />., . 


«,« 




■ l'n ■ ■ 




a 


. . I^„ . 



M.p . 



La remarque faite à l'instant dispense de démonstration; 
toutefois, nous consignons ici le raisonnement entièrement 
calqué sur celui qui concerne les équations algébriques. 



256 M. SrUYVAERT 

Si F et G ont un p. g. c. d. (mod. p) ^ contenant x, on a identi- 
quement 

F = oU on o(j/o.r"'-' + .-/, .r'"~- + ... h,,^_,) = {moà.p\ 
G = o\ ou o(»vi"-' + .,.r"-- + ... .■„_,, = 

d'où identiquement 

FV = GU (mod. p) 

ou 

"o — '0 = j 

''i"o + "i — «i''o — ''i = ; (mod.^) 



les polynômes U, V sont de degrés maximes m — 1 et n- — 1 ; 
un au moins des coefficients u n'est pas multiple de p, soit wa_i ; 
multiplions ces dernières congruences par les mineurs rela- 
tifs à la A;"'""' colonne du déterminant A ; nous obtenons 
Ama_i = m . p et p ne divisant pas m/,_i, divise A. 

Réciproquement, si A = M/>, multiplions les lignes du déter- 
minant A par les puissances x"'+"-\ x"'+"-'-, ... x, 1 de l'indé- 
terminée X et additionnons: la dernière ligne devient ainsi 

x"-^F , x"-^F . ... F , .r"'-^G , .r'"-" G . ... G 

et en développant A suivant cette dernière ligne, on a identi- 
quement 

FV _ GU = (mod p) 

or on a, par la théorie du p. g. c. d. (mod p), identiquement 

V. p. g. c. cl. (F, G) = p. g. c. d. (FV, GVi = p. g. c, d. (GU, GV) 
= G p. g.c. d.(U,\) ; 

or G est de degré ^z et V est de degré moindre, donc le p. g. c. d. 
(F, G) contient effectivement x. 

Corollaire. Pour que la congruence 

x" + a^x"~^ + ... rt„ = (mod. p] 

ait une racine non multiple de />, il faut et il suffît qu'elle ait 



LES IMAGINAIRES DE GALOIS 

une racine commune avec 

xP-^ — 1 = 

d'où 



= .M 



257 



1 




1 




«1 


1 





1 . 


«2 


«1 





. 




«2 




. 


«« 




. — 1 






a„ 




- 1 . 



Comme application, cherchons, pour le module 5, les 
congruences irréductibles du second degré. 

Le déterminant suivant doit être non multiple de 5, 



1 




. 




1 




«1 


1 









1 


«2 


«1 


1 












«2 


«1 


1 












«2 




— 1 




- 1 



ce déterminant développé 

• — «1 + «, + ^«/'2 — -«2 

ne contient que les puissances paires de a, , c'est-à-dire que 
trinômes irréductibles ont la forme 

Pour a.j ^ zt 1, on doit avoir 



1 — "i + 1 dl ^«, — ^ 2 :=r — ^t\^, ■+■ '*) "O" "Killiple de 5 



258 M. STUYVAEHT 

dont on doit exclure 

(1^ = 1 avec rtj = ou 2 

fl, = — I » fl, = ou 1 . 

Pour a., = zh 2, on doit avoir 

1 _ a* + 16 ± 8a' — 8 = 4/ ± ^a\ +4 = 4 (a| ± l)' 

non multiple de 5; donc il faut exclure 



«2 = 2, 

«„ = — 2 , 



fl, = 1 . 



En résumé les trinômes irréductibles sont 

x^±x-\-\ , x^± 2x — 1 , x-2 ± .r + 2 , x^±2x — 2, x'±2 ; 

la dernière formule est connue, puisque +2 et — 2 sont les 
non résidus quadratiques pour le module 5. 

Examinons de plus près le résultant de xp~'^ — 1 et de 

F(.r) ou .r" + a^x"-'^ + a,_x"~- + ... + rt" m < /^ — 1) , 
1 1 



A = 



1 



«, 1 



1 «2 "l ' 

. 0.. «2 ^'l 

. .a,. . rtq 



— 1 



n col. 



p — 1 col. 



ajoutons la première ligne à la p''-""', la 2''"'""' à la (/> + j)i.-nie 
... la ^i"''"'' à la (p + ?? — i)i^n>"; alors le déterminanta partiel 



LES IMAGlNAlIiES DE G A I. O f S 



259 



des n premières lignes et colonnes se réduit à son terme princi- 
pal, et l'on peut supprimer les n premières lignes et colonnes, donc 



A = 



o, 1 



1 



. 1 

n col. p-n-1 

Pour une congruence binôme x" -\- q ^ 0, le résultant est 

1 



1 . 



développons: le terme principal est q''~^; prenons un élément q 
de la diagonale principale et remplaçons-le par l'élément 1 de 
la même colonne, mais, comme on ne peut prendre qu'un élément 
dans chaque ligne, il faut remplacer un second élément de la 
diagonale principale situé à un intervalle n du premier, en descen- 
dant la diagonale ou en reprenant au début si besoin, etc. Si 
donc n est premier avec p — 1, on ne revient au point de départ 
qu'après avoir épuisé la diagonale principale; pour amener tous 
les éléments 1 sur la diagonale principale, il faut faire un 
nombre impair p — 2 d'échanges de lignes; donc le déterminant 
développé est qP~^ — 1 ; or ceci est congru à zéro pour toute 
valeur de q, donc, si n est premier avec /> — 1, a;" -f ^ = n'a 
pas de racine. 



260 M. STUYVAERT 

Si Al et p — 1 ont un p . g . c . d ^, on revient au point de départ 

après avoir pris ^—^ — éléments q de la diagonale principale et 

p 1 

les avoir remplacés par des éléments 1, ce qui nécessite ^-^ 1 

échanges de lignes ou un changement de signe si '—^ — est pair 
et donne un terme en q y T \{è — 1); on peut faire ceci de à 

manières, puis on doit prendre de ces groupes 2 à 2, 3 à 3, etc., 
finalement le déterminant développé est 



'— /, - 1 

or q ^ -1-1 est un diviseur algébrique de qP~^ — 1 et a ' — ^ — 

racines; donc x" -j- q ^ est possible pour jo^ — 1 — ^^-^r- valeurs 

de q. On retrouve des résultats connus, mais avec ceci de 
curieux que les polygones de Poinsot apparaissent sur la diago- 
nale d'un déterminant (on rendrait la chose plus saisissante en 
enroulant le déterminant sur un cylindre). 

Remarque. Non seulement la théorie de l'élimination d'une 
inconnue entre deux équations se transporte aux congruences, 
mais aussi la même théorie pour plusieurs équations. Ainsi pour 
que deux congruences aient une racine commune, il ne suffit 
pas que le résultant soit M.p. car il pourrait y avoir un p. g. c. d. 
irréductible d'ordre supérieur à 1, mais que lés deux congruences 
aient une racine commune avec 3cp~^ — 1, ce qui peut s'exprimer 
en posant que tous les déterminants extraits d'une matrice 
soient M.p. Etc. (Voir notre Algèbre à deux dimensions, Gand, 
1920). 

Arrivons à la définition des imaginaires de Galois^ . Le 
module p étant premier, soit f{x) un polynôme irréductible 
de degré /z > 1. Il n'a pas de racine. Posons néanmoins 

f{i} = ; (mod. p) 



' V. Ëncyc. se. math., t. I, vol. 3, fasc. 1, p, 44; Borbl-Drach. Introduct. à la théorie des 
nombres, etc. 



LES IMAGINAIRES DE GAI. OIS 261 

i ne désigne pas V/ — 1 ; c'est ici le symbole d'un entier imagi- 
naire, symbole vide de sens, car l'opération est impossible par 
hypothèse. Son calcul s'établit par des conventions: 

Convenons de dire que deux expressions 9(1), ^{i) sont congrues 
et d'écrire 

?(«) = 'i* U'I (mod. p) 

quand la différence des polynômes ©(x) et (|/(x) est égale terme 
à terme à une expression 

R/(x) + Sp 

OÙ R et S sont des polynômes en a:- à coefficients entiers. On 
exprime la chose en écrivant 

ç (.r) — J/(.r| = ; {moà. p. f[x)\ (1) 

cette congruence à deux modules est d'après notre hypothèse, 
vérifiée pour tout entier réel x. 

La convention est permise, car dans le cas particulier où f{x) 
est réductible et a pour racine l'entier réel i, on a /(?) = Qp et, 
d'après la relation (1), 

ç(0 — '^'lO = IRQ + S)/5 = (mod. p) 

Tout polynôme (p(0 en i à coefficients entiers réels est une 
IMAGINAIRE DE Galois. D'après nos conventions, elle ne peut 
être = (mod p) que si l'on a 

9 (X) = . (mod. p, f[x)\ 

Elle sera dite racine de la congruence F(z) = (mod. p) si 
l'on a F((j)(i)) = (mod. p), c'est-à-dire 

F(?(x)) = ; (mod. p, f{x)) 

en particulier i est racine de la congruence fondamentale 
/(z) = (mod. p). 

A cause de l'hypothèse /(i) = 0, on peut abaisser toute imagi- 
naire de Galois au-dessous du degré n\ on divise algébriquement 
9(2) par j{z) et l'on prend le reste; de plus, on peut abaisser tous 
les coefficients au-dessous de p. 



•262 ,»/. STUYVAEirr 

Les imaginaires de Galois ont donc la forme 

■n — \ 



g — «0 + «i' 4- "2'" + • ■ "n- 



où les coefficients ont les valeurs de k p — 1 : il y a />" ima- 
ginaires distinctes (non congrues pour le mod. p). Pour 
a, = a.2 = ... a„_i = 0, on a, comme cas particulier, les entiers 
réels. 

Convenons de faire, terme à terme la somme de deux imagi- 
naires, et leur produit comme si c'étaient deux polynômes, 
et d'abaisser au-dessous du degré n par la congruence initiale 

f{z) = 0. 

Si le produit g,{i) . g.,{i) est congru à (mod. p), c'est, d'après 
nos conventions, que g, {x) . g., (x) = (mod. p, f{x)) ou que 
g\{^) • Sii^) 6St divisible (mod. p) par f{x); mais un polynôme 
irréductible qui divise (mod. p) un produit, divise un des facteurs, 
donc le produit gi{x) . g^ix) ne peut être congru à {mod. p) que 
si Vun des facteurs est congru à [mod. p). Cette propriété s'étend 
immédiatement à plusieurs facteurs. 

Si Ton multiplie l'imaginaire A non = (mod. p) par les 
p" imaginaires distinctes, on a des produits distincts, car s'il y 
en avait deux, Ag^ et Ag.^, congrus pour le mod. p, on aurait 
A (g, — g-i) = (mod. p) et comme A n'est pas ^ 0, g, et g., 
ne sont pas distincts. Par suite, la congruence linéaire AX = B 
(mod. p), et en particulier AX = 1 a toujours une racine et 
une seule. 

Si l'on pose Ag = g' (mod. p) et qu'on fasse parcourir à g 
les p" — 1 imaginaires distinctes, non ^ 0, g' parcourt les mêmes 
imaginaires, et en multipliant membre à membre, 



.)^.= 



(mod. p) 



et comme ng n'est pas ^ 0, on a la formule analogue à celle- 

du THÉORÈME DE FeRMAT, 

A^ ~ = 1 (mod. p) 

ou encore, quelle que soit l'imaginaire A, même = 0, 

A — A = 0' iniod. p). 



/. E S I M A c. I y A I R E >• /; /; g a loi s 263 

Ceci signifie, d'après nos conventions, que si /(x) est irréduc- 
tible suivant le module /> et 9{x) un polynôme quelconque, 

[6|.rl] — O(a-) 

est divisible (mod. p) par /(x). 

Les imaginaires de Galois relatives à un polynôme irréduc- 
tible constituent un corps puisque les quatre opérations fonda- 
mentales s'y pratiquent comme pour les classes de reste (mod. p). 
Par conséquent la division algébrique s'étend sans autre démons- 
tration, aux POLYNOMES A COEFFICIENTS IMAGINAIRES DE GaLOIS. 

Entrons toutefois dans quelque détail. Soit 

un polynôme entier en x à coefficients imaginaires de Galois. 
L'imaginaire B{i) est dite racine de (p(x) si l'on a 

ç[9(/)] = ; imod. p\ 

comme le premier membre s'obtient par des additions et multi- 
plications, cette congruence a un sens, d'après nos conventions. 

Le polynôme (j>(a:) est identiquement nul pour le module p si 
tous ses coefficients sont ^ (mod. /?); dans ce cas la congruence 
(p(ar) = est satisfaite par une imaginaire quelconque. 

Le produit de deux polynômes pareils ne peut être identique- 
ment nul (mod. p) que si l'un des facteurs l'est. Car soient A le 
premier coefficient non nul du premier polynôme et B celui du 
second; on sait que AB n'est pas = 0. Par suite le degré d'un 
produit de polynômes est la somme des degrés des facteurs. 

Un polynôme ©(x), entier en x et i est divisible (mod. p) par 
un autre pareil (|/(a:) non identiquement nul (mod. p) si l'on peut 
former un polynôme -{;x) tel que l'expression 

«p [X] — ■; (x) TU (.r) 

soit identiquement nulle (mod. p). 

Soit ^{x) de degré au moins égal à <]^{x). Dire que ^\f{x) est de 
degré m c'est dire que le coefficient B^ de x'" est une imaginaire 
de Galois non = 0; on a toujours et d'une seule manière, 

(P) ?(x) = t}|x)Q(.r) + R(x) (mod.;») 



264 M. STUYVAEKT 

OÙ R(a;) est de degré inférieur à ^{x). Car en comparant les coeffi- 
cients des puissances successives de x dans les deux membres, 
on détermine les coefficients de Q(a;) puis ceux de R(a:) sans ambi- 
guïté, chaque fois par une congruence linéaire. D'où la théorie 
du p. g. c. d. avec les propriétés habituelles. Nous aurons à 
revenir sur cette congruence fondamentale (F). 

Mais d'abord voici un cas particulier. Soit le polynôme 
<f{x) ayant pour racine l'imaginaire g,. On peut former la con- 
gruence 

o(.r) = (.r — ^,1 Qix) -|- R |mod. ^) 

où R est de degré inférieur kx — g, donc indépendant de x. Cette 
congruence étant identique, on peut remplacer x par g, et, 
comme 9(2;,) = 0, on obtient R = 0, donc (^{x) est divisible 
(mod. p) par x — g,. Soit g., une autre racine, 

ç{^,_] = {g,_ — g^)Q(g,J (mod./;) 

et comme le premier membre est congru à et que g., — g, ne 
l'est pas, g.2 est racine de Q(a;) et (^^{x) est divisible par 
{x — gi){x — gi). etc. Ainsi, une congruence d'ordre m ne peut 
avoir qu'une racine de plus que la congruence d'ordre m — 1 et, 
de proche en proche, une congruence ne peut avoir plus de racines 
que ne l'indique son degré, à moins d'être identique. 

Un rôle spécial revient au polynôme xp" — x qui a pour racines 
toutes les imaginaires de Galois, donc autant que l'indique son 
degré; il est congru au produit 



g,, g.,... étant toutes les imaginaires. Soit ¥{x) un autre polynôme 
ayant la même propriété: on a 

P'(-r) = (xP — x](i{x) + r{x) [moA. p] 

F(.x) et {xP" — x) étant = pour toutes les imaginaires de Galois, 
il en est de même de r{x) qui a donc plus de racines que ne l'in- 
dique son degré et disparaît. ; donc tout polynôme ayant pour 
racines toutes les imaginaires de Galois est de la forme 

n 

[xP x) T. (X\ 

OÙ 7r(^) est un polynôme arbitraire. 



LES TMAGINAIRES DE G A f. O I S 265 

Soit deux polynômes a coefficients réels, F(x) et F, (a:), 
soit D leur p. g. c. d. (mod. p) ; on sait que l'on peut trouver deux 
polynômes G, G, tels que 

U — FG, — F, G 

ait tous ses coefficients (réels) multiples de p. 

Dire que l'imaginaire de Galois g{i) est racine de F et F,, 
c'est dire que Y{g{x)) et ¥^{g{x)) sont divisibles (mod. p) par 
i{x)\ il en est de même de D {g{x)). Ainsi les racines communes 
à F et F,, tant réelles qu'imaginaires de Galois, sont racines 
de T>{x). 

Or xP" — X di pour racines toutes les imaginaires de Galois, 
donc les racines de Y{x) sont racines du p. g. c. d. (mod. p) 
A(a;) de ¥{x) et x''" — x. 

^{x) polynôme à coefficients réels divise (mod. p) V{x)\ si 
F(:r) est irréductible (mod. p), ù^{x) est ou bien indépendant de rr, 
ou bien congru à F(x); donc une congruence irréductible à 
coefficients réels a, ou bien aucune racine imaginaire de Galois, 
ou bien en a autant que l'indique son degré, car ùi{x) est divi- 
seur (mod. p) de xp" — x. 

En particulier j{x) est irréductible, de degrç «, à coefficients 
réels et a une racine imaginaire i, donc elle en a n, et j{x) divise 
(mod. p) le polynôme xp" — x. Celui-ci est donc divisible (mod. p) 
par tout polynôme irréductible de degré n, car j{x) a été choisi 
arbitrairement. 

De même si l'entier r divise n, l'entier p'' — 1 divise p" — 1, 
et le polynôme x'''^'^ - — 1 divise algébriquement xp"~^ — 1. 

Ainsi toute congruence irréductible dont le degré r est n ou 
un diviseur de ^^ a autant de racines imaginaires de Galois que 
l'indique son degré. 

Toute autre congruence irréductible est privée de racine. Car 
on sait, d'après les propriétés des coefficients binomiaux, que 

(fl + A + c -f ...)P = aP + hP + fP -\- ... (mod. p) 

donc 

(a 4- hx + ex- -If ...\P = aP + l>P xP -\- fP x'P + ... (mod. p] 

et ceci d'après le théorème de Fermât, est congru à 
a -\- hxP -\- cx'^P + ... , 

L'Enseignement mathéin., 22" année ; 1921 et 1922. 18 



266 M. STUYVAERT 

c'est-à-dire que 

(<?(.r))^ = <i[xP) ; (mod. p) 

remplaçons x par xp^ 

^(xP") = {ç(xP)iP = {{fixf)^ = l?(.r))^* (mod. p) 

et, de proche en proche, 

[©(.r)]'' = fi^^j (mod. p) 

A présent si un polynôme irréductible de degré n pouvait 
diviser xp' — x dans l'hypothèse r<w, ce polynôme définirait 
une imaginaire de Galois i qui serait racine de xp'^ — x, donc 
on aurait 

iP = i , d'où ^ijP j = ç(i) (mod. p} 

et, d'après la remarque précédente, 

o{iP') = (?(t))^'" = o(i) 

c'est-à-dire que la congruence xp'^- — x aurait pour racine toute 
expression (f{i) donc toutes les imaginaires déduites de i en 
nombre /?", et aurait plus de racines que son degré ne l'indique. 

Ainsi xP" — x ne peut être divisible (mod. p) par un polynôme 
irréductible de degré supérieur à n. 

Enfin, si n = mq + r (0<r<m), l'expression xp" — x ne peut 
être divisible par un polynôme irréductible ¥{x) de degré m, 
car xP""' — X est divisible par ¥{x) d'après un résultat trouvé à 
l'instant, xp" -^ x l'est aussi par hypothèse, donc Y{x) divise 
(mod. p) leur différence 

_p"'q+'' _p""i 

et celle-ci d'après une remarque ci-dessus est congrue à 

{xP''-x)P"" 

et n'est pas divisible par ¥{x) puisque r<m (un polynôme irré- 
ductible qui divise un produit {xp' — x)p""' divise un facteur 
xP' — x). 

En résumé, xp" — x est le produit de tous les polynômes irré- 
ductibles'^dont les degrés sont n ou des diviseurs de n. 



LES IMAGINAIRES DE G A LOI S 267 

Signalons comme corollaire facile ou exercice (cf. Encyc, t. I, 
V. 3, fasc. 1, p. 42): si N est le nombre des congruences irréduc- 
tibles d'ordre n^ on a 



a. a a. 



nS := p — ^ P '^ P — P -{-■■■ ± p 

où la première somme est étendue à tous les facteurs premiers 
inégaux a,, a.„... a,, de n, la seconde à toutes les combinaisons 
2 à 2 de ces facteurs, ...et où l'exposant du dernier terme est le 
quotient de n par le produit de ces facteurs. 

Autre corollaire: x''" — x n'a pas de facteurs multiples, car 
s'il avait la forme f^g'^K'^ ..., le produit fgh... contenant toutes 
les imaginaires de Galois serait de degré au moins égal à xp' — x. 

Terminons par une propriété connue des corps a un nombre 
FINI d'éléments (Encyc, t. I, v. 2, fasc. 2, p. 249): 

Les seuls corps à un nombre fini d'éléments sont ceux formés par 
les classes de restes suivant un module premier auxquelles on adjoint 
une imaginaire de Galois. 

D'abord les multiples successifs de l'unité absolue doivent 
aboutir à zéro, donc constituer une classe de restes et nous avons 
vu au chapitre Corps et Domaines que, pour avoir un corps^ il 
faut prendre un module premier p. 

Ensuite, on ne peut, au corps de classes de restes (mod. p) 
adjoindre une quantité i de manière à avoir un nouveau corps à 
un nombre fini d'éléments que si i est une imaginaire de Galois. 
Car i, i-, i^.... sont des éléments du nouveau corps : comme 
il n'y en a qu'un nombre fini, on doit avoir à la fin 



a' + ;;'/ + v'jï + ... a'j'"-' 

le second membre existe puisque Ton a un corps, et multiplié 
par le dénominateur il donne le numérateur, ainsi i est racine 
d'une équation ou plutôt congruence à coefficients du corps 
initial; si celle-ci est réductible, un des facteurs irréductibles 
doit être nul, car c'est une propriété essentielle du corps qu'on 
produit ne s'annule que si un des facteurs s'évanouit; ainsi i est 
une imaginaire de Galois. 



268 M. STUYVAEHr 

Supposons à présent deux éléments i et / adjoints au corps 
de classes de restes (mod. p). Les puissances successives étant 
en nombre infini, une relation identique doit permettre d'expri- 
mer les puissances de i à partir de la ^'<'n>e g^ celles de / à partir 
de la /t'^'"*' au moyen des puissances précédentes. 

Ces deux relations ne peuvent être les mêmes, car soit pour 
fixer les idées, i^ -1-/^ = 1; utilisons-la pour ne garder que 
1, i. /, /- et exprimons f ; nous aurons 

f = P .j=j'l- i') = i - ji' = 7 - ,/• (1 - ,h ^p ; 

nous retombons sur f et cela provient de ce que remplaçant 
i^ et p tirés de la même relation, nous aboutissons à une identité. 

Ainsi il y a deux relations distinctes entre i et /; nous pouvons 
en éliminer j ou i car c'est une opération rationnelle, donc i et / 
sont séparément imaginaires de Galois, et de même, de proche 
en proche pour plusieurs éléments adjoints. 

Montrons enfin que l'adjonction simultanée de deux (pour 
fixer les idées) imaginaires i, /, équivaut à une adjonction unique. 
Soit i définie par une congruence f{x) = irréductible d'ordre n 
et / par une congruence f{x) d'ordre n'; les polynômes /(a;), (f{x) 
divisent respectivement 

^P"-1 _ 1 et xP"'-' - 1 ; 

soit u un multiple commun quelconque de n et n ; pf* — 1 
est divisible par p" — 1 et par p"'^^ donc 

.P-^ - 1 

est divisible algébriquement par xp" — 1 et xp" — 1; il existe 
des polynômes irréductibles d'ordre ^; l'un d'eux définit des 
imaginaires de Galois et d'après le théorème précédent, i et / 
sont exprimables par les nouvelles imaginaires. 



SUR LES RADICAUX CARRES 

PAR 

B. NiEWENGLOwsKi (Paris). 



On sait qu'étant donné un nombre quelconque d'irrationnelles 
algébriques, on peut exprimer chacune d'elles en fonction ra- 
tionnelle d'une même irrationnelle. Je me propose d'étudier 
un cas particulier simple: 

Soient a;,, x^, ... Xn des nombres tels que 



». =3 a, .* = a 



a,, a,, ... Œn étant rationnels, mais non tous carrés parfaits. 
Il s'agit de prouver que chacun des nombres x peut s'exprimer 
en fonction rationnelle de leur somme et de trouver les expres- 
sions de ces nombres. 

Premier cas. — Soient les deux équations 

x^ = a y^ = h . 

Si l'on pose: 

.r + V =r V , X — r = V . 

on en tire 

a — h = VV 

et, par conséquent: 

2.r = \ + "^ = V -+- ^^ . 

V V 

Remarquons que si l'on change y en - — y, W se change en 
V et les expressions de x et y en fonction de V se déduisent 
immédiatement de leurs expressions en V. Il suffît donc de ne 
garder que la fonction V. 



270 B. NIEIVE NG LOWSK I 

On peut remarquer encore l'identité 

2a + n= V2 + V'2 = V2 -f '"^ ""/•''' 

ou, sous forme entière: 

V* — 2 (fl + ^) V2 4- (a — /y)2 = . 

On peut s'en servir pour exprimer x et y par des polynômes 
entiers en V. On peut en effet écrire: 

2.r = Y + X '^ '^ =\ + ^^ i2a + 2/> - V^*) . 

a — b \^ a — h 

c'est-à-dire: 

V3 _ (3 a + h)\ 

Ix — 

\) — a 

et, pareillement 

(3 ^ + a) y - Y-3 
h — a 

On peut obtenir ces deux expressions par une autre voie. Il 
suffît, en effet, de résoudre les deux équations 

.r -f r = V . 
[a -f- Zh\.x + (/^ 4- 3fl)_r = Y^ . 

Ayant obtenu j? et ?/ en fonctions rationnelles de V, on en 
déduit le produit xy: mais il est plus simple de remarquer que 

a + /y -f 2,rr = Y 2 

donc 

a-j = — (\ - — a — b\ . 

On arrive au même résultat en faisant le produit des expres- 
sions entières trouvées pour x et y, et en tenant compte de l'iden- 
tité 

Y* — 2(rt + A)Y2 -H (« — /M- = 

trouvée plus haut. 

Remarque. — On peut obtenir pour x et y, une infinité d'expres- 
sions rationnelles en V, plus compliquées. On a ainsi une source 
inépuisable d'exercices de calcul algébrique. Je vais indiquer 
brièvement la marche à suivre. 



RADICAUX CARRÉS 271 

On a vu que 

Y^ = {a -\- U]x + [h -f- Za)y . 
Je dis que 

On le voit en supposant la loi vérifiée jusqu'à V-"~' et en 
multipliant membre à membre les égalités 

V'"-' = p„_, X + 7„_i V > V^ = « + A + 2.rv . 

On pourra alors écrire par exemple 

P„_, ^ + <?„_, y = v^"-^ p„ X + ./„ r = \"'+' 
on reconnaît que 

Pn-x1n - 1„-\P ^0 S' a ^ b . 
On aura donc 

X = A„ V-''-' + B,\-"+' y = C„Y-"-^ + D,\-"+' 

les coefficients de V-"~' et V-"+' étant rationnels. 
En posant 

X = A,Y + B,Y3 

,r = A^V^ + B^Y» 
a-r=A„Y-"'-' + B„Y^«+' 

et en désignant par X^, X.,, ... /« des nombres rationnels arbi- 
traires on aura encore 

_ A.À, Y + (B,X, + A,?^)Y3 + {B,\ + A,\)^' + - + À„B„Y^^"+' 
"" ~ X, + X, + ... + X„ 

On pourrait encore exprimer a: et y en fonction linéaire de 
deux puissances impaires non consécutives de V. 

Quant au produit x y on peut l'exprimer au moyen de puis- 
santes paires de V. On a: 

^""' = K + K-^?- . 
On le reconnaît de proche en proche, en partant de V^ 



272 B. NI EWENGI.OWSKI 

On peut donc écrire: 

Cela étant, ayant obtenu 

r = K(V) , 
F désignant une fonction rationnelle, on en tire: 

ix=F(V,[a„V^" + :^„J 

et pareillement pour y. 

Deuxième cas. — Nous considérerons maintenant 3 radicaux 
a:, ?/, z définis par 

.r^ := a , y- = h , r-^ := c 

et nous chercherons x, y, z en fonctions rationnelles de V, sachant 
que 

Il est très facile d'obtenir des fractions rationnelles donnant 
x^ y ou :;. Par exemple, en écrivant 

V — X =z y -~ z , 

il vient, en élevant au carré et tenant compte des hypothèses: 

Y2 + a — 2V.r = b + c + 2yz 

et 

(V2 -\. a — h — c — 2\x]- = ^hc 

d'où, enfin 

— ( y^ + a — b — c)^ + ^aV — 4/;c 
^ ~" 4V(V2 + rt — /y — c) * 

formules analogues pour y et z. 

Il s'agit maintenant d'obtenir des expressions entières. 
Pour plus de commodité, nous traiterons un cas particulier: 
Posons 

x+y+z = \ 11) 

avec 

X- =: i , J^* = 2 , z- = 3 |2) 

c'est-à-dire: 

X = i , 1- = s' V2" , c = s" V3" 

£, î', s" ayant pour valeurs, arbitrairement -f- 1 ou — 1. 



RADICAUX CARRÉS 273 

On a ainsi: 

•V = . + 3'V2"+h"-\/3". 

En élevant au carré les deux membres de l'équation (1) et 
simplifiant à l'aide des équations (2), on a: 

xy -\- zx -\- xy =z — V- — 3 , 

et par suite: 

{X + y + =) [yz + ,..r + xy] = ~ \' — 3V . 

Développant et simplifiant, en tenant compte de (1) et (2): 
2x + y + 3.rvc r= 1 V3 _ 6V . (3) 

Pareillement 

(2x + j + 3xyz) {yz + zx + aj, = (-L \^ — 6V j (^^ V^ _ 3^ . 

Développant et simplifiant, on obtient: 

lOx + V + oxrz = 1 V5 _ -^ V3 + 8V . (4) 

4 - 

Enfin nous avons 

(lOo: + j + 3xv=) (j= + zx -f- XV) = (^ V^ - |- V^ + 8V^ (~ V^ _ 3^ 

OU, plus simplement: 

1 3^ 

2x -\-y+ l Ixvc = --\' — 3V^ + — V-^ — 42V . (5) 

Les équations (1), (3), (4), (5) permettent de calculer x, y, 
z et xyz. 

De (3) et (4) on tire immédiatement 

Sx = ^\' — 5V3 4- 14V . 
Les équations (5) et (3) donnent 

8xyz = -i V — 3V* + i:V3 — 36V . 
S 



274 B. NIEWENG LOWSKI 

Les équations (1) et (3) fourniront les valeurs de y et z. On 
trouve 

64 32 ^8 4 

Supposons 

£ Z= + 1 £' = — 1 c" = + 1 

c'est-à-dire: 

X = 1 , r = — ^2" , 2 = VJT 

V = 1 — V2~+ ^/^ . 

Nous aurons en particulier 

ys _ 20V3 + 56V = 32 . 

En continuant la même méthode, on pourrait obtenir d'autres 
équations du l^'" degré en x, y, z et xyz et obtenir ainsi d'autres 
polynômes entiers en V ayant pour valeurs x^ ?/, z et xyz. — 
D'autre part ayant calculé par exemple ?/, z et xyz, comme 
xyz X y X z ^ bcx, on pourra obtenir une autre expression 
pour x, etc. 

Les calculs sont déjà compliqués avec 3 radicaux; avec un 
plus grand nombre de radicaux ils deviennent pénibles. 

Troisième cas. — Cas général. Nous supposerons enfin qu'il 
y a un nombre quelconque n de radicaux carrés. Nous nous 
bornerons à prouver qu'ils s'expriment tous rationnellement 
en fonction de leur somme. 

Soient donc 

■r, + r^ + ■■■ + .r„ = V 

et 



Nous emploierons la méthode indiquée par Desboves pour 
rendre rationnelle une équation où n'entrent que des radicaux 
carrés. Pour cela, nous poserons 

^2 + -"'s + ■•• + •*■/. = ^^' = ^' — -'"l 



RADICAUX CARRÉS 275 

et nous formerons les sommes 

W + ^2 . \N' — x^ , 

W + a-g + a-3 , , W 4- ^2 — x^ , W — x^ + x^ , W — x^_ — x^ 

et ainsi de suite, jusqu'à une dernière ligne dont nous n'écrirons 
que les termes extrêmes: 

w + .j-j + X3 + ... + .*■„ w — .Tg — .fj — ... — .r„ 

Le dernier terme de cette suite étant nul, par hypothèse, le 
produit de tous ses termes est nul aussi: 

(W ^ x^ + .rj -I- ... + .r„) (W - x^ — x^ - ... -■ x„] = . 

Ce produit contient 2"~' facteurs. On reconnaît aisément que 
dans le produit effectué les exposants de toutes les lettres sont 
pajrs; ce produit ne contiendra donc aucun des radicaux x^, 
x^ ... x,i\ quant à a;,, à la première puissance, il figurera dans les 
puissances de W, c'est-à-dire de V — x^. L'équation obtenue 
sera donc de la forme 

/•(V)-.r,o(V):r-0 

Les polynômes entiers / (V), g (V) étant à coefficients ra- 
tionnels et respectivement de degrés 2"—' et 2"—^ — 1 ; on aura 
ainsi : 

on aurait des expressions analogues pour x.-^., x^... Xn- 

Proposons nous, maintenant, d'obtenir des expressions 

entières en V. Nous suivrons la même marche que dans le cas de 

3 radicaux. 

Nous avons une première équation: 

x^ +.,-2 + ■■■x„ = y . 

On en déduit 

1 

Sx Xr, = -^(\^ — h) 

a (j 2 

h étant une constante; calculons le produit Ix Ix^Xn^. 

Un produit partiel x^xr.^ X x donne si -^ = «: x\xr^ = (i^x<^. 

Pareillement si y = /3, on obtient a-.^Xg^, et si y ^zf « et y ^ /3 
on a x^Xf^^x . Le produit sera donc ^px^ + Iqx^Xr.x . 



276 B. MEWENGLOWSKI 

On voit de même que si l'on multiplie le produit obtenu par 
Ix^xr.^^ on obtiendra une somme de termes contenant chacun 
1, 3 ou 5 facteurs x. Et il en sera toujours ainsi, car en multi- 
pliant un produit d'un nombre impair de facteurs x, par x^xr,^ si 
l'un de ces facteurs entre dans le produit partiel multiplicande 

2 

le nombre des facteurs, après remplacement de x^ par a^ ou 
x\ par a-j ne change pas, et si x^ et a:-, ne sont ni l'un ni l'autre 
facteurs dans le multiplicande, le produit aura deux facteurs 
de plus; la parité du nombre des facteurs est conservée. Nous 
aurons donc comme inconnues les termes a:», leurs produits 
3 à 3, 5 à 5 ... etc., c'est-à-dire un nombre d'inconnues égal à 
CL + C,; + ... le dernier terme étant C"~ si n est pair et 
Cn si n est impair — cette somme est égale à 2"~'. Il faudra 
donc former 2"~' équations. On pourra ainsi, et d'une infinité 
de manières obtenir des expressions entières en V pour les «:, 
en résolvant l'un quelconque des systèmes de 2"~' équations 
linéaires ainsi obtenues. Le plus simple aura pour degré le 
nombre impair de rang 2"— \ soit 2 . 2"-' — 1 ou 2" — 1. Re- 

marquons maintenant que dans la fraction -\^ que nous 

avons obtenue plus haut, le numérateur est de degré 2""~' et 
celui du dénominateur est 2"~^ — 1 ; la somme de ces degrés 
est précisément 2" — 1. C'est ce que l'on peut vérifier pour les 
cas de 72 = 2 ou n = 3. Ayant obtenu pour x^, a;c, x et x^X'-.x 
par exemple des représentations entières, on pourra en déduire 
pour x.j_ une représentation fractionnaire, car en supposant 



On aura 



Xr^ — ' (5 I J^'y — "y •^a'''3**v — Ni 



Q 

x„ ^ , etc. 



Pr^P, 



Remarque. Il résulte des calculs précédents que si V était 
rationnelle, chacune des quantités a;,, a;.,, x,i serait rationnelle. 
Donc la somme 

Vrt" ± V/^ ± V^ ... ± y/T 

est irrationnelle, si tous les nombres a, 6, c ... l ne sont pas des 
carrés parfaits. 



THEOREME DE LIOUVII.LE 277 

Autre remarque. Soient a,, a., , ... a„ des nombres rationnels 
■ei la somme U définie par 

Les X, définis comme plus haut sont des fonctions rationnelles 
de U. En effet, si Ton pose 

a, .rj = _r, . a, x., = y. ... a„ .r„ = r„ 

on a 

r, + .vo + •■• +.r„ = U 

y\ = «l'î • y\-= «2 «s •• ?:, = «„< • 

donc les y sont des fonctions rationnelles de U, et il en est de 
même, par suite, des x. 



DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE LIOUVILLE 

PAR L'ÉLIMINATION DU TEMPS 

ENTRE LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE 

PAR 

M. Emile Turrière (Montpellier). 



i. La méthode de Liouville, lorsqu'elle est applicable à un 
•système à k degrés de liberté, conduit à 2k quadratures indépen- 
dantes les unes des autres. Ces 2k quadratures se partagent en 
deux groupes. L'n premier groupe de A; quadratures fournit k — 1 
relations entre les seuls paramètres ç, , q^ ,... q^ du système; le 
second groupe de k quadratures donne par addition l'expression 
du temps. 

Toutes les relations indéi)endantes du temps, qui déterminent 
géométriquement les trajectoires, se séparant ainsi, comme consé- 
quence du calcul, des éléments cinématiques, je me suis proposé 



278 É. TUllH 1 1: I{ !■: 

d'examiner comment se présente cette séparation des quadra- 
tures, lorsqu'on applique à cette question de dynamique les 
résultats de la théorie de l'élimination du temps dans les équa- 
tions de Lagrange. J'ai été conduit, par cette voie, à une nou- 
velle démonstration du beau théorème de Liouville. 

L'élimination du temps dans les équations de Lagrange telle 
qu'elle a été effectuée par G. Darroux ^ et par M. P. Painlevé * 
conduit à A; — 1 équations de même forme que les équations de 
Lagrange: ce so'nt de. équations d'EuLER du calcul des varia- 
tions. 

Je crois utile d'indiquer une méthode simple pour déduire ces 
équations de celles de Lagrange sans appliquer le principe de la 
moindre action. Pour préciser la signification des formules, et, 
dans un but didactique, j'appliquerai la méthode à deux exemples 
classiques. 

2. U élimination du temps dans les équations de Lagrange. — 
On sait combien la formule de Binet, dans le cas de? forces 
centrales uniquement fonctions de la distance est utile pour 
permettre de déterminer la trajectoire d'un point matériel indé- 
pendamment du temps. Les k intégrales du théorème de Liou- 
ville donnant les relations entre les seuls paramètres permettent 
de même d'éliminer la notion du temps. 

D'une manière générale, il y a lieu de se poser la question sui- 
vante. En prenant Tun des paramètres de Lagrange, q^ par 
exemple, pour variable fondamentale, obtenir k — 1 équations 
différentielles dans lesquelles q.^, qs, qt, ... qk soient les fonctions 
inconnues et 7, la variable. Il suffit évidemment d'éliminer le 
temps entre deux équations de Lagrange, celle relative au 
paramètre ^, et une autre équation. 

Prenons donc deux paramètres, que j'appellerai x et y; je 
me placerai dans le cas d'existence d'une fonction des forces U et. 
de liaisons indépendantes du temps. Soit T — U = A, l'intégrale 
des forces vives. Les équations de Lagrange pour ces para- 
mètres sont: 

d / cVr \ _ ùT _ ôU d / ôT\ _ ^ _ ^ 

dt X^ix' ) dx èx ' dt \d)' / ;>>• dy 



' G. DAUiioL'X. Licous sur la théorie générale des surfaces, 18S9, t. II, p. 'i09. 
• Les diversi's communications faites en 18',i2 par M. P. Painlkvé sur les changements de 
variables dans les équations de la dynamique se trouvent dans Its C. li-, t. CXIV et CXV. 



THEOREME DE LIOUVI LLË 279 

L'expression de T étant T = X a;'" + Y z/'-, je poserai -^ = n, 

T = .r'2. , = X + r|2 Y , r, = 4 - 

. X 

ôj ôj ' iiy' dr\ ' dr' ôt) 

L'intégrale des forces vives donne: 

T = U + A , .r'2. = U + A , .r'2 = ^ + ^ . 

Je pose encore: 

Q2:^0.(U + /i) , '-'^l • 

Comme U n'est pas fonction de ri : 





ÔT, C> r. 






ôT _ ,i>0 _ 


2Q ôQ Q2 2Q2 




_o^^" 


tV — "^ .>r) " 


- l; +/i ■ Ô71 ' ~ 0(L' + h) 


ôr, 



Il est évident que la dérivation totale par rapport à t d'une 
fonction quelconque / donne lieu aux égalités suivantes: 



df _df dx _ df , _ Q df 
Jt ~ dx' Ji ~ dx"* ~ &' dx 



L'équation de Lagrange relatiA'e au paramètre y devient 
alors, en application de ces diverses formules: 

d /ôT\ _ ôT ôU 
dt \W) ~" iô7 "^ "f>r 

^(2^-^\ = x'^^ 4- — = ^ -^^ '^ + 
dx\ ôïi/ ôr "*" ôr ôv 



0'<^x\ dri ) ~ ^ ôr ô.r ~ ô.v "*" dj ' 
„û d /ôQ\ 1 ft r,,. , ^ , n 1 ô ,^, 2ÛÔÛ 

t 

c'est-à-dire finalement: 



d /ôQ\ _ 
dx\àr^J 






280 É. TURIUERE 

Telle est la forme définitive de l'équation de la trajectoire, 
dans laquelle: 

Elle a la forme de l'équation d'EuLER du calcul des variations. 

3. Exemples. — Prenons un exemple: celui du point matériel 
pesant dans le vide, en admettant que la trajectoire est plane 
et située dans le plan vertical Oxy. Alors (pour une masse m = 2): 

T = .r'2 + r'2 , U = — 2gy 

= 1 + r,2 , Ç)J=(h — 2-r) (1 + r,2) . 

Ici, il convient de faire une remarque analogue à celle qui 
concerne les coordonnées cycliques ; c'est que l'une des coor- 
données, a;, est absente de 12. 

Lorsque y est absente de O, l'équation trouvée donne 



i(f^ = - 



et par suite en intégrant 

= constante , 

Vu + h . —^ — = constante . 

Nous avons donc intérêt dans le cas actuel à prendre y et non x 
comme variable principale. Posons: /> = -j-. . 

= 1 + p2 , Q2 = [h — '2gy)(\ 4- p2) ; 

il nous suffit d'écrire: 

= a (constante) . 

ôp 

Pour i = 0, le mobile part de l'origine {x = 0, y = 0) avec 
une vitesse de projections {v^ cos «q. v^ sin «„). On a donc: 

Po = COtg a^ , {%=z . , il = . ; 

sin-'a^ • sur a„ 



THÉORÈME DE LIOUVI LLE 281 

d'ailleurs, d'après le théorème des forces vives, A = vl\ donc: 



° si 11 a„ 



Par dérivation, nous avons: 



2Q— = 2p(/i — 2-v> . 

aÇl = ç,{h — 2g\] , 
rti' cos a. 2 



' 



a :=z i' cos a. 



sin a^ sin a^ 

L'équation de la trajectoire se présente par suite sous la forme 
suivante : 

a^ .(h — 2o;))ll + g2) = r_,^h — 2oy,2 , 

«-(1 + f)^^^{h - 2^v) , 
«2 = /^^ j (A — «2 _ 2ai-, . 

^- - .^0 = ± f-y==^==r . v'o cos a„ . , 
' ^ V sin^ a^ — 2gi- 

V' cos a„. /-^ 

^ - ^0 = + ^~ir^V\ sin' =^0 - 2,T ; 

la trajectoire est donc la parabole d'équation: 

o2 

\ si 11-' a^ — 2-1- = '' (^ — -ï-o»' : 

" r cos^ a. 



en écrivant que pour ?/ = 0, a* = 0, on détermine la valeur de la 
constante Xq\ 

o 

l'équation définitive de la parabole trajectoire est enfin: 

2^ cos^ a„ 

° , V + .r' - 2.r.ro = . 



.) = — r^ ; h ^ ta"K «0 



C'est l'équation bien connue. 

L'Enseignement mathém., 22» année; r.l21 et 1922. 



282 É. IVRRIERE 

Passons au second exemple. 

Dans le cas des forces centrales, uniquement fonction de la 
distance et en dynamique du plan: 

(dry Jdby 

ne figure pas dans Û. Il faut alors prendre r comme variable 
indépendante, et poser: 

r, = ^ , e = 7^,2 + 1 . Q2 = (U + h] (/-^r.^ + Il ; 

dr 

l'équation '-^ = a (constante) conduit à la quadrature: 

6 =r + 



J ,yu 



+ h 



4. Extension au cas d'un nombre quelconque de paramètres. — 
Il suffit de prendre q/,, par exemple, pour coordonnée indépen- 
dante, et de poser: 

^ — -, "^ —^ "^^^-1 _ .^ 

dn ~ " • dq, - '- ' dcf, - ''^ ' 

= Q^r,; + Q,r,; + ... + Q,_ir,;._^ + Q, . 
OJ = Q. (U + II) ; 

Les k — 1 équations indépendantes du temps sont alors: 

d /dQ\ _ ^a 



d / bii \ àa 






5. Démonstration du théorème de LiouviUe. — Pour simplifier 
l'exposé de la démonstration — (qui sera rapidement rendue 
générale ensuite) — je supposerai que l'énergie cinétique T a 
pour expression 

T = lA, -f A, + A3 + ... + AJ {q" + <h + ■•• + '/'O • 



THEOREME DE LIOUVILI.E 283 

que la fonction des forces U est 

L', + U, + ... + U^ 



U = 



A, + A^ + ... + A^ 



et que la constante T — U des forces vives est nulle. Je prendrai 
^^ pour variable indépendante qui, pour simplifier récriture, 
sera désignée par q et je poserai: 

_dq^ _dq^ _ ^1k 1 

""'> - dq ' '''' — dq ' ••• """^-l ~ dq 

Les dérivés des fonctions 

Al [q,\ . L\ (/y,l . A, U/J . U, (^3), ... A^. {q^) , U^ [q^] 

seront désignées par accentuation. 
Dans ces conditions: 

© = (A, + A.3 4- ... + AJ (r,; + r,^ ^ ... + 4_, + l) . 
li^ ^ lU^ + U, + ... + i;p (r,; + r,; + ... -f- 4_, + 1) ; 

pour simplifier encore l'écriture et l'impression, il y a lieu de 
poser: 

\ + <+■••+ <■_, = H - i . u, + U3 + .. -f- L\. = U, . 
n^ = U„ . H . 

a = r,, .Uo, •2«1— - = L.H; 

Oï], " Hq, 

la dérivation totale, par rapport à. q^ — q de l'avëgit-dernière 
égalité ci-dessus donne: 

d /.^a.\ do. d^ _ dr^ du g 

^^d^\d^J ^ ~d^ • e^r„ - dq-^'^ '''' dq ' 



l'équation générale de la théorie de l'élimination du temps, 

d 

dq 



d /01X\ _ isiX 



284 È. TURRIÈRE 

transforme l'équation précédente en la suivante: 

2 1 ^ û dq '^ dq ' " c^f/ 

il est évident que Ui = - ■ -^ '■> l'équation obtenue est donc: 

H- 

Uo(2H . </ru — Y]j . c?H) + YijH . <iU . di:^ = (I : 

^1 



elle s'écrit encore 






une intégration, avec une constante additive a,, donne alors: 

-H- = ^ + «. = 

on a donc un système d'intégrales premières: 

\ _ U, + g, ^i'— 1 _ ^k-i + «A— 1 

l'addition membre à membre de ces égalités donne: 

H — 1 _ ^0 — ^"<- + «1 + ••■ + «A-_i \_ _ t-'^. — g, — g, •-. — ^k-\ 

H ~ U„ 'H— U„ 



THÉORÈME DE LIOUVILLE 285 

on peut poser, avec une constante «t telle que 

=«, + 3(3 + ... + x^. = , 

les égalités suivantes: 

s _ L\ + g, . _ ^k-\ + °^A-i 

le problème est résolu par quadratures: 

Si l'on se place dans le cas le plus général, 

T = (A, + A, + ... + A^)(b.^; + B,v; + •■■ i- B,..y';) . 

il est manifeste qu'il faut remplacer U, par Ui + AA, , ... Ui- 
par Vk + hAk, dq\ par B^.dq\ , . . dq\ par B^- dq\\ d'où les for- 
mules bien connues: 



U, + AAj + a^ U, + /iAj + a, ■' ^k^^^k + H 

«. + ••• + «A- = o • 

Le théorème des forces vives donne finalement l'expression 
de temps avec k quadratures. 



LA SECTION MATHÉMATIQUE 
DE L'INSTITUT NORMAL SUPÉRIEUR DE BOLIVIE 



Constant Lurquin (La Paz, Bolivie). 



I. - — Dans une note antérieure ^, nous avons fait connaître la mé- 
thode et les principes didactiques qui caractérisent l'enseignement 
mathématique à l'école normale primaire de Sucre, en Bolivie. Dans 
les lignes qui suivent nous nous proposons d'exposer brièvement l'or- 
ganisation et la fonction éducative de la section des sciences mathé- 
matiques de l'institut normal supérieur de cette jeune république de 
l'Amérique latine. Fondée en 1917 pour la préparation et la formation 
à la fois théorique, pédagogique et technique des professeurs d'enseigne- 
ment secondaire, cette école normale comprend différentes sections 
presque absolument autonomes. Elles n'ont de commun que quelques 
cours généraux relatifs aux sciences de l'éducation, langues étran- 
gères, travaux manuels et graphiques. J^a section mathématique est 
l'objet de soins attentifs de la part des autorités administratives 
d'instruction et a déjà fourni au pays un contingent de jeunes pro- 
fesseurs actifs, laborieux et enthousiastes. Il est d'ailleurs acquis que 
l'institut normal supérieur est la pépinière des professeurs qui seront 
les artisans de réformes nombreuses, profondes et définitives dans 
l'enseignement secondaire. 

II. — Pl.\n général d'études. Les dispositions réglementaires 
exigent des candidats à l'admission le diplôme d'études secondaires 
complètes. Le système de la coéducation est mis en pratique. La 
durée des études est de quatre années. Le gouvernement accorde de 
nombreuses bourses. L'enseignement théorique comprend des cours 
de mathématiques supérieures, d'astronomie et de physique et, en 
dernière année, du travail de séminaire en vue de la préparation 
d'une petite dissertation originale. Les cours spéciaux de métho- 



• Plan d'études mathématiques de l'enseignement norniiil primaire en Bolivie. (L'Ensei- 
gnement mathématique, 19« année, p. 345-349, 1917.) 



L'INSTITUT NOHMAL DE BOLIVIE 287 

dologie mathématique sont d'un caractère fondamental et se répar- 
tissent sur les différentes années d'études. 11 y a des examens 
réguliers annuels. En outrC; à l'épreuve finale, le candidat profes- 
seur défend sa dissertation et donne deux leçons de mathématiques 
à l'école secondaire. Le travail des étudiants est sanctionné par le 
titre de « professeur de mathématiques ». \'oici un résumé synthé- 
tique des matières d'enseignement. 

1. Enseignement scientifique. C'est la partie théorique qui comprend: 

Revision du programme mathématique de renseignement secondaire 
(arithmétique, algèbre, géométrie). 

Compléments d^ arithmétique et de géométrie élémentaires. 

Compléments d'algèbre: Fractions continues. Analyse indéterminée. 
Analyse combinatoire. Binôme de Newton. Calcul des radicaux. 
Fonction exponentielle. Complément de la théorie des logarithmes. 

Trigonométrie plane et sphérique : Fonctions circulaires: formules 
générales. Tables et équations trigonométriques. Triangles recti- 
lignes: triangles rectangles et quelconques. Quadrilatères. Appli- 
cations numériques et topographiques. Triangles sphériques: for- 
mules générales; triangles rectangles et quelconques; applications. 

Géométrie analytique. Deux dimensions: homogénéité; transfor- 
mation des coordonnées. Ligne droite et cercle. Courbes du second 
degré; centres: diamètres et axes; tangentes et normales; pôles et 
polaires; ellipse, hyperbole et parabole; foyers et directrices; sections 
coniques; applications. Trois dimensions: point; plan; ligne droite. 
Surfaces de révolution. 

Géométrie descriptive. Représentation du point, de la droite et du 
plan: problèmes correspondants; les polyèdres: représentation, 
sections planes, intersections; rabattements, rotations; vraies dis- 
tances et grandeurs angulaires. 

Notions sommaires de géométrie projective. 

Algèbre supérieure. Eléments de la théorie des déterminants. 
Quantités complexes. Théorie des équations algébriques, équations 
numériques. Eléments du calcul des difTérences. 

Analyse infinitésimale. Calcul différentiel: infiniment petits; diffé- 
rentielles. Applications analytiques: vraies valeurs, formule de 
Taylor et de Maclaurin; maxima et minima des fonctions d'une 
variable. Changement de variables. Applications géométriques: 
tangente et normale à une courbe plane; analyse des courbes planes; 
enveloppes; courbure; courbes gauches, tangente, plan osculateur, 
courbure et torsion. Calcul intégral: fonction primitive: intégrale 
indéfinie; intégrales définies simples; quelques méthodes d'intégration. 
Théorie élémentaire des intégrales définies. Applications géométriques : 
mesure des aires planes, rectification des courbes, volume d'un solide 
à bases parallèles, aire des surfaces de révolution. Intégrales doubles. 
Applications: cubature des solides et quadrature des surfaces en 
général. — Equations différentielles: formai ion: équations dilTéren 



288 C. LURQUIN 

tielles du premier ordre; équations différentielles linéaires. Appendice: 
notions sur la théorie des fonctions d'une variable complexe. 

Calcul des probabilités. Principes généraux; probabilités totales 
et composées; espérance mathématique; fonction 9. Théorème de 
Bernoulli et loi de Poisson. Probabilité des causes. Théorie des erreurs 
d'observation. 

Exercices de mathématiques^. Travaux graphiques de géométrie 
descriptive. Travail de séminaire. 

Cosmographie générale. Topographie., Astronomie physique. Elé- 
ments d'astronomie physique. Exercices pratiques de topographie. 

Physique expérimentale. Mécanique rationnelle. Physique mathé- 
matique générale. Manipulations de physique. 

2. Enseignement pédagogique. C'est la partie technique qui sera 
traitée en détail au paragraphe suivant et comprenant principalem^ent: 

a) la méthodologie spéciale de l'enseignement des mathématiques 
au collège secondaire. 

b) l'étude détaillée des programmes mathématiques secondaires. 

c) les exercices didactiques à l'école d'application consistant en 
leçons suivies d'une critique raisonnée. 

III. — Préparation professionnelle. Il n'est sans doute pas 
inutile de rappeler que les écoles normales supérieures sud-américaines 
(les deux principales sont « el instituto pedagogico )> de Santiago 
du Chili et < el instituto del profesorado secundario > de Buenos 
Aires) constituent un exemple intéressant de conciliation d'une 
culture scientifique supérieure avec une préparation professionnelle 
intensive. Nous avons adopté également ce point de vue dans l'œuvre 
d'organisation de la section mathématique de l'institut normal 
supérieur de Bolivie. Les moyens suivants ont été employés pour 
réaliser l'initiation technique des aspirants au professorat secondaire. 
La préparation professionnelle comprend une partie théorique et 
une partie pratique. La première est d'un caractère véritablement 
scientifique et constitue la base de la seconde. En d'autres mots, 
cette partie théorique est un enseignement essentiellement métho- 
dologique et comprend les cours: 

L Méthodologie mathématique générale: exposé des méthodes de 
raisonnement, d'investigation et d'enseignement mises en œuvre 
dans l'étude des sciences exactes. 

2. Méthodologie mathématique spériate de renseignement secondaire : 
étude détaillée des programmes d'instruction avec attention parti- 
culière à l'analyse et au développement des matières d'enseignement. 

3. Instructions méthodologiques pour les programmes mathématiques 



1 A l'Institut noriii:iI supérieur de La Paz, des tableaux noirs individuels disposés le 
long des murs de la classe de mathématiques, permettent le travail collectif de tous les 
élèves d'un même cours. 



L'/i\STITUr N OHM AL DE BOLIVIE 289 

secondaires : cours complémentaire du précédent et relatif à l'examen 
des principes et directives pédagogiques indispensables à l'application 
rationnelle et féconde des programmes. 

4. Etude historico-critique des mathématiques élémentaires (arith- 
métique, géométrie, algèbre, trigonométrie). La partie pratique 
de la préparation professionnelle est réalisée au moyen du programme: 

1. Exercices pratiques d'enseignement dans les écoles secondaires 
d'application. Dès la seconde année d'études, les aspirants professeurs 
assistent à des leçons modèles. Pendant les deux dernières années 
des leçons sont données par les aspirants eux-mêmes. Cet appren- 
tissage pédagogique se fait sous la direction du professeur de l'ins- 
titut normal et de celui du lycée. 

2. Travaux didactiques. Chaque étudiant construit, pour ses besoins 
personnels, un matériel didactique destiné à l'enseignement des 
mathématiques élémentaires au collège secondaire: tableaux muraux; 
collection de corps géométriques ^; séries graduées d'applications, 
exercices, problèmes; etc. 

IV. — Laboratoire d'enseignement mathématique. Le souci 
de l'initiation professionnelle théorique et pratique par une méthode 
scientifique et adéquate nous a conduits à élaborer un organisme 
spécial: le laboratoire d'enseignement mathématique. C'est un élément 
primordial dans la formation et le développement des facultés et 
des initiatives de l'étudiant. Il crée à la fois une ambiance d'intellec- 
tualité et de travail ainsi qu'une atmosphère de bonne et franche 
solidarité. \'oici ses principales activités: 

1. Bibliothèque mathématique formée de traités didactiques, d'ou- 
vrages méthodologiques, de livres d'enseignement et de revues 
pédagogiques. La bibliothèque est une salle de travail pour les élèves. 

2. Collections mathématiques formées de tableaux muraux, instru- 
ments mathématiques, séries de corps géométriques, surfaces pour la 
géométrie, modèles élémentaires pour la mécanique, matériel des 
élèves, etc. 

3. Cercle d'études mathématiques pour fortifier les rapports entre 
professeurs et étudiants et s'occuper d'organiser des conférences, 
lectures, discussions, échanges d'idées sur des sujets mathématiques 
variés. 

4. Bureau de statistique scolaire pour l'interprétation mathématique 
des résultats de mesures anthropologiques faites dans les écoles de 
Bolivie. 

5. Publications destinées à faire connaître l'activité scientifique 
de la section. Nous signalons les travaux suivants qui sont publiés: 
sobre algunas transformaciones de trigonometria esferica; demos- 
tracion analitica del teorema de Bernoulli; l'introduction du calcul 



1 La constnirtion de ce matériel est connexe au cours de travaux manuels. 



290 CHRONIQUE 

des dérivées dans l'enseignement secondaire; sur la notion de probabi- 
lité. 

6. Rédaction des nouveaux programmes de mathématiques pour 
l'enseignement secondaire et des instructions pédagogiques pour leur 
application. 

En terminant cette note nous exprimons l'espoir de pouvoir faire 
connaître bientôt une étude d'ensemble sur l'enseignement mathé- 
matique en Bolivie, qui formera une contribution de cette république 
sud-américaine aux travaux de la Commission internationale de 
l'enseignement mathématique. 



CHRONIQUE 



Etats-Unis. — Thèses de doctorat. 

Doctorats es sciences mathématiques décernés par les universités 
américaines pendant l'année universitaire 1920-1921. En voici *la 
liste d'après le Bulletin of the American Mathematical Society : 

N. M. Alderton (California): Involutory quartic transformations 
in space of four dimensions. — B. M. Armstrong (Illinois): Mathe- 
matical induction in group theory. — E. M. Berry (lowa) : Dif- 
fuse réfection. — R. Rlodgett (Radcliffe) : Détermination of the 
coefficient in interpolation formulae and a study of the approxi- 
mate solution of intégral équations. — ^ P. H. Daus (California) : 
Normal ternary fraction expansions for the cube roots of integers. — 
W. E. Edington (Illinois) : Abstract group définitions and applica- 
tions. — M. C. Poster (Yale) : Rectilinear congruences referred to 
spécial surfaces. — Ph. Franklin (Princeton) : Four color Pro- 
blems. — M. I. Logsdon (Chicago): Equivalence and réduction of 
pairs of hermitian forms. — I. Roman (Chicago) : Transformation 
of waves through a symmetrical optical instrument. — D. \'. Steed 
(California): Lines on the hypersurface of order 2«-3 in space of n 
dimensions. — J. Sun (Syracuse): Some déterminant theorems. — 
F. D. SuTTON (Johns Hopkins) : Certain chains of theorems in 
reflective geometry. — E. E. Wood (Chicago) : Certain relations 
between the projective theory of surfaces and the projective theory 
of congruences. 



CHRONIQUE 291 

Société mathématique suisse. 

Réunion de Rieiine, '23 avril l'J'2'?. 

La Société mathématique suisse a tenu une réunion de printemps à 
Bienne, le dimanche 23 avril 1922, sous la présidence de M. G. Dumas, 
professeur à l'Université de Lausanne. Sur l'invitation du comité, 
MM. les professeurs W. Blaschke et Hecke, de l'Université de 
Hambourg, et M. Plancherel, de l'Ecole polytechnique fédérale 
de Zurich, ont présenté les conférences dont on trouvera ci-après 
un résumé. En outre, des communications furent présentées par 
MM. E. Guillaume, G. Polya et D. Mirimanoff. 

Conférences. 

L Conférence de M. E. Hecke (Hambourg). — Arithmétique et 
Théorie des fonctions. — Les plus- grands progrès de l'arithmétique 
ont été effectués lorsqu'on a- appliqué aux questions qui y ressor- 
tissent le moyen puissant qu'offre l'analyse des variables continues. 
Il suffît de se rappeler le nom du fondateur de la théorie analytique 
des nombres : Dirichlet, ainsi que ceux de Gauss, Abel, Kronecker, 
Kummer, qui firent voir l'importance de la fonction exponentielle et 
de la fonction elliptique modulaire pour l'arithmétique supérieure. 

LIne question importante se pose : Quel secours doit-on attendre 
de Vanalyse dans l'édification complète de la théorie des corps de 
nombres algébriques de degrés supérieurs, théorie que l'on doit à 
Kummer, Dedekind et Hilbert ? Quels problèmes de théories des fonc- 
tions ces questions arithmétiques soulèvent-elles ? 

Le conférencier esquisse les méthodes et les résultats en rapport 
avec ces matières. 

Dans le corps quadratique réel K(V/3). les'« nombres entiers » sont 
les nombres ^ = m + n \/3 (m, n, étant rationnels entiers) pour 
lesquels il est aisé de définir la divisibilité. Les nombres les plus impor- 
tants du corps sont les diviseurs du nombre L ce sont par suite des 
diviseurs de tous les nombres entiers. C'est précisément le cas du 

nombre e = 2 + V^S « l'unité fondamentale » (— = 2 — \/3 j et 

des nombres zt z"{n = 0, zh 1, ±: 2,...) que l'on désigne tous sous 
le nom d'<( unités »; grâce à ces nombres, il est possible de décompo- 
ser chaque nombre entier ^ en un produit de facteurs entiers, par 

exemple ^a = c. — ; ces décompositions en facteurs sont peu intéres- 
santes. Les nombres premiers dans K(\/3) sont des nombres entiers 
du corps qui ne peuvent être décomposés en un produit de facteurs 



292 CHRONIQUE 

entiers — les facteurs unités étant exclus. On peut alors démontrer 
que chaque nombre entier du corps est décomposable d'une seule 
manière en un produit de facteurs premiers, pourvu que l'on fasse 
abstraction des. facteurs unités. 

Dirichlet a déjà reconnu la signification de la fonction: 

qui est, par rapport au corps K(\/ 3 j, l'analogue de ce qu'est la fonc- 
tion Ç(5) de Riemann pour le corps naturel. Dans l'expression de 
Ç;((i), la sommation porte sur toutes les valeurs entières ^ zp£i 0, du 
corps qui ne sont pas associées, c'est-à-dire telles que deux d'entre 
elles ne diffèrent pas par un facteur unité. Cette fonction de la variable 
.s, par suite de l'unicité de la décomposition d'un entier, est repré- 
sentable en un produit infini : 






II 



N(-| 



où TT passe par tous les nombres premiers non associés. Les propriétés 
de la fonction analytique t,k{s) jouent un grand rôle dans la recherche 
des nombres premiers du corps. L'un des premiers résultats relatifs 
à ce point est le théorème de Dirichlet, qui assure qu'il existe une 
infinité de nombres premiers ::. 

Considérons maintenant l'ensemble des nombres m + nV/S comme 
une multiplicité à deux dimensions; les recherches récentes ont eu 
pour but l'étude de certaines fonctions des deux variables qu'on 
peut attacher au corps. \'oici comment il nous parait que le pas 
essentiel peut être effectué dans cette direction : Par analogie avec 
les recherches classiques, formons la forme quadratique définie qui 
correspond au corps K(\/3), soit Au'- + A'a'^ où ^ et ^ sont 
conjugués et A et A' positifs: puis formons pour 5 > 1 la série 
convergente 



(A[jl2+ AV-'i 



la somrnation étant étendue à toutes lés valeurs entières de |ui, à l'ex- 
clusion de jot = 0. En multipliant les dénominateurs par un nombre 
approprié G"' on peut s'arranger pour que AA' = 1 ; posons alors 
A = e-^, A' = e~-^, nous obtenons alors la fonction 

Z (6- ; a-) = "^ — ^- 



CHRONIQUE 293 

des deux variables s et x. De telles fonctions de s ne sont pas incon- 
nues en analyse, mais ce qui fait leur importance pour la théorie 
arithmétique du corps K, c'est leur périodicité en x. En effet, puisque 
a parcourt toute la suite des entiers du corps, gju parcourt aussi 
toute cette suite, par conséquent : 

Z(s; X + 2logî) ^ Z(s; x) . 
On peut donc développer Z en série de Fourier 

n=-|-» TZiii 

Z(5; ^1=2 "«"'°^ • 

n:= — X 

Il se trouve précisément que c^ (à un facteur banal prés) est 
^k{s) et que les autres coefficients c„ sont liés simplement aux 
fonctions : 






(« = 0, 1 . 



Jt) 1 



1 N {-) r 



OU 



on voit que 



tlin |U I 

i log — , 



Ki-^'^) = K(v-) ■' \.t^?i = K^^)-K('?) 



Cette suite infinie de fonctions est en quelque manière un équiva- 
lent de la fonction de deux variables Z{s;x). 'Par suite de l'unicité 
de la décomposition d'un entier du corps en produit de facteurs pre- 
miers, on tire des faits précédents, le résultat suivant: L'expression 
m^ — 3 n^ représente une infinité de nombres premiers, même si Von 
ne considère que les nombres m, n situés dans le plan des m, n à 
Vintérieur d'un angle de sommet 0(0. 0) et de valeur aussi petite que 
Von veut. 

La représentation intégrale bien connue de F {s) permet de passer 
à une autre fonction de 2 variables, qui n'est pas autre chose qu'une 
série thêta à deux variables: 



5(T, -.'1=2'-'"''"' 



pl2-|-T'U'») 



la sommation étant étendue î\ tous les nombres entiers du corps; 
T et t' sont des variables complexes dont la partie imaginaire a un 



29'i CHRONIQUE 

coefficient positif. La théorie des fonctions thêta permet de déduire 
les propriétés d'invariance: 

^ts^T, £'2-'| — 3(7, t'i , 3(T -h a, t' -f- a'i =3(T. z') (1) 

(poi'i- loiil eiil ier a) 

et 

• «- + 1^ g't^ + :J \ _ 
a- + ^' ' Y'' + 



y- + Sl-lly'T' + 0'|4 38(t, 



4 as /- _M 



a, /S, y, (J étant quatre entiers quelconques du corps, assujettis à 
satisfaire à la condition a^ — /3-/ = 1, et à certaines congruences 
relatives au module 4. 

Avec l'aide d'une formule particulière de l'espèce précédente, 
on peut démontrer que Z {s; x) est prolongeable et l'on en tire une 
équation fonctionnelle pour cette même Z{x;s); par suite, on en 
déduit des résultats analogues pour toutes les Ç {s, A,,)- Celles-ci 
sont, après multiplication par {s — 1), des fonctions transcendantes 
entières de s. 

Grâce à ces fonctions thêta, nous avons réussi à atteindre le do- 
maine des fonctions modulaires à deux variables. On en déduit des 
conclusions qui peuvent être considérées comme une généralisation 
de la théorie de la division du cercle, et de celle de la multiplication 
complexe des fonctions elliptiques. Si l'on n'a égard qu'à l'invariance 
suivant les équations (1), on arrive, par exemple, aux séries suivantes: 

k étant un nombre fixe ^ i ; la sommation ne porte que sur les entiers 
totalement positifs du corps c'est-à-dire sur ceux pour lesquels on 
a, à la fois ^ >• 0, /z' > 0. Ces fonctions représentent la véritable 
généralisation de la fonction exponentielle pour le cas de plusieurs 
variables; elles se décomposent en fractions rationnelles, pour ainsi 
dire : 



?(t, t'i = A(A-| ^^- 



A {k) étant indépendant de - et -'; la sommation porte sur tous les 

entiers du corps. Cette équation correspond à la décomposition bien 

1 
connue de cotTi^, -r-? — , etc.... Mais alors que ces fonctions sont 

prolongeables dans tout le plan des :;, les pôles et un point singulier 
essentiel mis à part, on constate que (p (r, t') n'est définie que dans 
le domaine où t et t' ont des coefficients de \/ — 1 positifs. Il est 
possible d'étudier l'allure de y dans le voisinage des points (singuliers), 



CH'HOMQUE 295 

frontières de ce domaine. En effet, puisque ip (s-, s't') = <|) (t, t') 
on en déduit pour (p (re^, r'e""-^) un développement de Fourier d'après 

'inix 

e°"^ , ce développement met alors en évidence l'allure de (p dans le 
voisinage de r = r' = 0; qj est infini comme __, ; des développements 

analogues sont valables dans le voisinage des points r = 



2 V3 



t' = — ^ où p est un non-entier du corps. Lorsqu'on s'approche de ces 
2 V^ 

points m ne devient infini que comme C logjt ^ j (t' H ^ 1 ; 

ces facteurs (3 sont liés aux nombres de classes de certains corps 
supérieurs. 

Pour le traitement analytique de la théorie additive des nombres 

dans K(\/ 3), les fonctions os forment le moyen le plus commode. 
Enfin par une nouvelle sommation, les fonctions (p engendrent les 
fonctions modulaires et celles-ci donnent lieu à des représentations 
analogues aux séries d'Einstein. Par exemple, sommons par rapport 
à tous les a entiers, et plus par rapport aux seuls nombres non 
associés /.(xi^zfrO), dans l'expression: 



/•'--'' =2^ + 



^^ 



(■/.•/.')'■ ^ ^ (XX + a)NxV 4- Ht') 



Pour une valeur entière de y. supérieure à 2, /(t, t) est absolument 
convergente et l'on a: 

' Vyi + YT + 8 / 
«> /3) y-, à étant des entiers du corps de déterminant 1. 

2. — Conférence de M. Miche! Plancherel (Zurich): Sur le 
passage à la limite des équations aux différences aux équations diffé- 
rentielles dans les problèmes aux limites de la physique mathématique. — 
Le passage du discret au continu peut se faire en mécanique de deux 
manières différentes. Ou bien on effectue le passage à la limite sur 
les équations du mouvement; on est ainsi conduit à des équations 
différentielles ou aux dérivées partielles que l'on regarde alors comme 
les équations du mouvement des milieux continus. Ou bien on effectue 
plus tard ce passage à la limite, à savoir sur les solutions du problème 
discret. Alors que la première manière est celle que les mathématiciens 
du XVllI^e et du début du XI X™^ siècle ont souvent utilisée pour 
trouver les équations des milieux continus, la seconde a été entre les 



296 CHRONIQUE 

mains de physiciens tels que lord Rayleigh un procédé heuristique 
puissant pour trouver les solutions des problèmes aux limites de la 
théorie des équations aux dérivées partielles, par exemple, l'existence 
d'une infinité de vibrations fondamentales et leurs propriétés. Tout 
naturellement la question se pose: est-ce que ces deux passages à la 
limite conduisent aux mêmes résultats? En d'autres termes: les petits 
mouvements d'un système continu autour d'une position d'équilibre 
peuvent-ils être envisagés comme cas limite des petits mouvements 
d'un système fini de points matériels? 

Formulé mathématiquement dans le cas le plus simple, le problème 
est le suivant: Soit 

'^ ^Pt) +'7" + >-« = /"W 1^) 



dx Y d.\ 

«(oi = «(!) = (2) 



un problème aux limites pour une équation adjointe à elle-même. 
On suppose p{x) >■ 0. Soit d'autre part 

^, ^ [p, A «._,) + ?.w. + À«. = /; , ^ = 1, 2. ... , n-l (3) 
"o = "« = (4) 

le problème aux limites pour l'équation aux différences correspon- 
dante. Ici 

h^\' Pi = p{^' ^'^ = ^'{^' f^=f{l) ■ 

Peut-on affirmer que si n tendant vers l'infini et - vers x^ on a lim 

Ui = ii{x) ? Peut-on calculer les valeurs et les fonctions fondamentales 
de l'équation homogène correspondant à (1) comme limites des 
valeurs et des solutions fondamentales des équations homogènes 
correspondant à (3) ? 

La réponse est affirmative et le but de la conférence était d'esquisser 
la méthode permettant de donner cette réponse. 

Les étapes de la démonstration sont en gros les suivantes: 

A. On introduit pour les équations aux différences (3) une expres- 
sion jouant pour elle^ le même rôle que la fonction de Green de l'équa- 
tion (1) et ayant des propriétés analogues. 

B. On résoud directement le passage à la limite du problème 

i A^., = /■, , < = 1.2 ^-1 (5) 

"o = "„ = (6) 



CHRONIQUE 297 

au problème t-j = f^^) 0) 

M(0) Z= M 11) = 0. (8) 

C. On ramène ensuite la résolution de l'équation (1) sous les condi- 
tions (2) à celle d'une équation intégrale 



u\x] + / K (X ; X, ri //(r) dy zzs F{x) 



OÙ K dépend de la fonction de Green de (7). 

On ramène, d'une manière analogue, la résolution des équations (3) 
sous les conditions (4) à celle d'un système 



n — i 



(10) 



où Ka dépend de }i et de la fonction de Green de (5). De plus, lorsque 
n tend vers l'infini et lorsque 



lim F = F (a;) 



Les résultats classiques de M. Hilbert sur la résolution d'une équa- 
tion intégrale par le passage à la limite d'un système d'équations 
algébriques permettent alors de conclure que la solution Ut de (10) 
converge vers la solution n{x) de (9). 

La méthode s'étend au cas des équations aux dérivées partielles. 
Dans l'étape B l'équation \ii = j remplace tout naturellement l'équa- 
tion (7). Mais le passage à la limite de B n'est plus aussi immédiat 
et demande une étude assez délicate. De même dans l'étape C, les 
noyaux qui se présentent ne sont plus bornés, ce qui exige quelques 
précautions nouvelles. 

3. — Conférence de M. Blaschke. — Chapitres choisis de géométrie 
différentielle. — Le Conférencier expose les méthodes et les problèmes 
de la géométrie différentielle affine, c'est-à-dire de l'ensemble des 
questions qui se formulent au moyen d'expressions invariantes vis- 
à-vis des transformations affines (projectivités avec conservation du 
parallélisme). On se rend compte que l'on peut construire une géo- 
métrie différentielle invariante vis-à-vis de l'affinité, présentant une 
analogie remarquable et étroite avec la géométrie dilTérentielle ordi- 
naire; on y peut, par exemple, définir les notions de longueur d'arc, 
courbure et torsion, puis pour les surfaces courbes, les notions d'aire, 
de normale à la surface, de lignes de courbure, d'élément d'arc, etc., 

L'Enseignement mathém., 22* année : 1921 et 1922. 20 



298 CHRONIQUE 

ces notions possédant entre elles les mêmes relations que les notions 
correspondantes de la géométrie ordinaire. 

Comme exemple d'application de ces méthodes l'auteur a démontré 
les théorèmes suivants: 

Chaque ovale a au moins six points possédant une conique oscula- 
trice stationnaire. 

Un corps convexe dont toutes les lignes de gravité sont rectilignes 
est nécessairement un ellipsoïde. Les lignes de gravité sont les courbes, 
lieux des centres de gravité de sections planes parallèles. 

Enfin, l'auteur exposa les plus simples problèmes de variation de 
la géométrie affine (Intégrales simples et intégrales doubles avec ou 
sans conditions auxiliaires). 

La bibliographie du sujet se compose des mémoires classés sous le 
titre de « Ueber affine Géométrie, I-XX\' dans les Leipziger Berichte 
1916-1919, XXVI à XXXII dans la Mathematische ZeiUschrift, 
1922, et XXIII à XXXVII dans les Abhandlungen des math. 
Seminars der Hambusgischen Universitdt, 1 (1922). Le deuxième 
volume des Vorlesungen iiher Differentialgeometrie du conférencier 
lui-même (Springer, Berlin, 1923) donnera un exposé synthétique 
de la question. 

Communications. 

1. — M. G. PoLYA (Zurich). — Prolongement analytique. — 
Je dirai qu'une fonction /(z) est de «type normal» dans l'angle 
a ^ arc z ^ /S si / (s) est holomorphe dans cet angle et y satisfait à 
une inégalité de la forme \f{z)\ < Ae^l^l, A et a étant des constantes 
positives. Pour une fonction entière de type normal l'angle comprend 
le plan entier. Soit g (z) une fonction entière de type normal. Je dési- 
gnerai la fonction 

r=oo r- 

de la variable réelle (p comme « l'indicateur » de g (z). 

1. L'indicateur est la « fonction caractéristique » (= .Stiitzge- 
radenfunktion) d'une courbe convexe, dite la « figure adjointe « de 
g (z), qui dans des cas particuliers peut se réduire à un polygone, à 
un segment de droite ou à un point. 

2. Le prolongement analytique des séries 

i(Oi .,-' + g (0) «-- + }" (0) .,-3 + ... r= (B («') 

^(0)e-'^ + J'(l)e--'^ + ^|2)e-3'^' + ...=eM 
i(/^l)l-'— + i(/o2)2-i— + ^(/,»2|3-'— + ... = tî>(«') 

est holomorphe et uniforme à l'extérieur de la figure adjointe de g (z) 
mais a un point singulier sur chaque droite qui s'appuie sur cette 
figure (chaque u Stiitzgerade »). Dans le cas des séries ^ {iv) et (X) {w) 



CHRONIQUE 299 

je parle du plan entier des w, g{z) étant une fonction de type normal 
quelconque, dans le cas de la série C{w) je ne considère qu'une bande 
horizontale de largeur 'In à l'intérieur de laquelle la figure adjointe de 
g (z) est supposée comprise. 

3. Une fonction / {z) de type normal dans le demi-plan dx{z)^0 
satisfaisant aux conditions 

/•lO) = f\l} = (■{2} = /-|3) = ... = 
\fi+ i>-)\ + i/l- ir)\ <esp (r(- 



Isr. Ig^r ...le ,r{lg r)'+* 

pour r assez grand, a étant une constante positive, s'annulle identi- 
quement si 5 = 0, mais peut être ^ 0, si e > 0. 

4. Une fonction entière g (z) satisfaisant à une inégalité de la forme 
\g{z)\ < |2|"e'^'"' pour \z\ suffisamment grand qui s'annulle pour 
z = 0, dz 1, zt 2, zb 3, ... est = ^ (z) sin tts, ou ^jT (z) est un polynôme. 

5. Soit N (r) le nombre des zéros de g (z) dans le cercle |z|^r, 
g (z) désignant une fonction entière de type normal. On a 

lim < -— ■ 

?• = 2r 

U désignant le pourtour de la figure adjointe de g {z). 

6. Admettons pour simplifier que tous les points singuliers sur le 
cercle de convergence d'une série entière soient des pôles. On peut 
affirmer que l'arc entre deux pôles consécutifs quelconques n'excède 
pas une fraction de la circonférence égale au taux des coefficients 
différents de zéro de la série en question. Admettons maintenant, 
que les coefficients sont réels et différents de zéro. Si le point positif 
du cercle de convergence est un point ordinaire de la série l'arc 
de régularité qui le contient ne surpasse pas une fraction du cefcle 
égale au taux des variations des coefficients. (Les taux en question 
sont déterminés par des lim.) 

On remarquera que ces énoncés apportent quelques précisions 
à des théorèmes bien connus de MM. Borel, Carlson, Fabry, Lindelôf, 
Phragmén, \'ivanti etc. C'est surtout grâce à la remarque 1 qu'une 
simplification notable et une coordination naturelle de toutes les 
questions connexes deviennent possibles. 

2. — M. D. MiRiMANOFF (Genève). — Sur un problème de la théorie 
de la mesure. — H y a deux ans environ, M. Plancherel a attiré mon 
attention sur le problème suivant: 

Problème. Etant donné deux ensembles linéaires E^ et Ey répartis, 
le premier sur un segment OA de l'axe Ox et le second sur un segment 
OB de l'axe Oy, on mène par les points de Ej; des droites parallèles 
à Oy et par les points de Ej, des droites parallèles à Ox. Soient E 
l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de 



300 CHRONIQUE 

droites et Ejj la projection orthogonale de E sur une droite quel- 
conque OA formant avec Ox un angle S". Quelle est la mesure de Ej ? 

Je donnerai la solution de ce problème pour le cas où les ensembles 
Ex et Ey appartiennent à la catégorie des ensembles parfaits que 
M. Denjoy désigne sous' le nom d'ensembles présentant le caractère 
(A) ^ et que j'appelle ensembles parfaits de première espèce. 

Soit E un ensemble parfait de l'"" espèce construit sur un intervalle 
(a, b). On sait que son complémentaire se compose d'un ensemble 
d'intervalles ouverts à, que j'appellerai, avec M. W. H. Young, les 
intervalles noirs de E. 

On peut établir la propriété suivante: Si a et /3 sont deux points 
quelconques de (a, b) n'appartenant pas à un même intervalle noir 
de E (l'un des points «, /S peut être situé en dehors de (a, b)) et si & 
est un ensemble parfait quelconque de 1^® espèce construit sur 
(a, /3), les ensembles E et <§ ont des points communs. 

Revenons à notre problème. 

Soient E^; et E^ deux ensembles parfaits de 1^^ espèce construits 
sur OA et OB; l'ensemble plan E construit à partir de E^ et Ey est 
enfermé à l'intérieur d'un rectangle. A tout intervalle noir $i de E^. 
correspond une bande noire verticale comprise entre les parallèles à 
Oy passant par les extrémités de $i. De même, à tout intervalle noir 
de Ey correspond une bande noire horizontale. 

Soit maintenant d une droite quelconque coupant le contour du 
rectangle, et d^ la portion de d comprise à l'intérieur de ce contour. 
On peut établir le théorème suivant: 

Théorème. Pour que la droite d passe par un point de E, il faut et 
il suffit que les deux extrémités de d^ n'appartiennent pas à une 
même bande noire. 

La solution du problème de M. Plancherel en découle immédiate- 
ment. 

Supposons, pour fixer les idées, OA = OB = 1 et < ^ ^ 7 . 

On a alors 

m(Ej = sin5 -f cos5 — ^ [S- cos S — sin3) , 

i 

la somme étant étendue à tous les / tels que àt "^ ts.B ■ 

Un exposé complet de ces recherches paraîtra dans le t. IV des 
Fundamenta mathematicae, actuellement sous presse. 

3. M. Ed. Guillaume (Berne). — A propos des discussions de 
la Théorie d'Einstein au Collège de France. — L'auteur rappelle 
l'objection qu'il a présentée à Paris, quelques semaines auparavant, 
et qui a été reproduite dans la Revue générale des Sciences (n° 11, 
p. 322-324, 1922). 



• Accademia dei Lincei, noTembre 1920, p. 291 et 316. 



CHRONIQUE 301 



Académie des Sciences de Paris. — Prix décernés. 

Mathématiques. — Grand Prix des sciences niathématiqiies, prix 
fondé par l'Etat: 3000 fr. — L'Académie avait mis au concours la 
question suivante: Détermination de classes étendues de surfaces par 
des propriétés données de leurs lignes géodésiques considérées dans V es- 
pace ordinaire. Aucun mémoire n'a été déposé sur cette question. — 
Le prix est décerné à .\L Jean Le Roux, professeur à la Faculté 
des Sciences de Rennes, pour l'ensemble de ses travaux. 

Prix Poncelet, 2000 fr., à M. J. Drach, professeur à la Faculté 
des Sciences de Paris. 

Prix Francœur, 1000 fr., à M. Antoine, maître de conférences à 
la Faculté des Sciences de Strasbourg, pour ses travaux sur la géo- 
métrie. 

Mécanique. — Prix Montyon, 700 fr., à M. Farid Boulad, mem- 
bre de l'Institut d'Egypte, ingénieur du service ies ponts et che- 
mins de fer de l'Etat ég^^ptien. 

Prix Fourneyron, 1000 fi., à M. J.-A. Farcot d'AuBARET, pour 
ses travaux sur les moteurs thermiques. 

Astronomie. — Médaille Lalande^ à M. Norris Russel, direc- 
teur de l'Observatoire de Princeton. 

Prix Benjamin-Valz, 460 fr., à M. J. Cazy, professeur à la Faculté 
des Sciences de Lille, pour ses travaux de Mécanique céleste et en 
particulier pour son mémoire intitulé: De V allure du mouvement dans 
le problème des trois corps quand le temps croit indéfiniment. 

Médaille Janssen, à M. C. Stœrmer, professeur à l'Université de 
Christiania, pour ses travaux sur les aurores boréales. 

Prix généraux. — Prix Houllevigue. 5000 fr., à M. Rodolphe 
Soreau, professeur au Conservatoire national des arts et métiers, 
pour ses travaux sur l'aviation et son ouvrage Nomo graphie ou traité 
des abaques. 

Fonds de recherches scientifiques. — Fondation Henri Bec- 
querel .,2,^00 h., k M. Danjèon, astronome à l'Observatoire de Stras- 
bourg. — Fondation Loutreuil, .3000 fr., à M. Auguste Lebeuf, di- 
recteur de l'Observatoire national de Besançon; 15,000 fr. à M. Jean 
Mascart, directeur de l'Observatoire de Lyon; 15,000 fr., à l'Aca- 
démie des Sciences, pour la publication de l'inventaire des pério- 
diques scientifiques dans les bibliothèques de Paris. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleniag-nc. — M. H. Falkenberg, privat-docent à l'Univer- 
sité de Koenigsberg, est nommé professeur extraordinaire à l'Univer- 
sité de Giessen. 



302 ClIliO NIQUE 

M. F. Hartogs, de l'Université de Munich, est nommé professeur 
de mathématiques à l'Université de Francfort a. M. 

M. D. HiLBERT a été nommé docteur honoraire de l'Université de 
Francfort et de l'Ecole Polytechnique de Zurich. 

M. R. KôNiG, de l'Université de Tubingue, est nommé professeur 
à l'Université de Munster. 

M. H. Rademacher, privat-docent à l'Université de Berlin, est 
nommé professeur extraordinaire à l'Université de Hambourg. 

M. J. ScHUR, professeur à l'Université de Berlin, est nommé 
membre de l'Académie des Sciences de Berlin. 

Belg^ique. — Le gouvernement vient d'accorder un subside à 
M. Stuyvaert pour lui permettre d'imprimer sa Méthodologie ma- 
thématique. 

France. — Fa'^iilté des Sciences de Paris. — M. Cartan, profes- 
seur de mécanique rationnelle, est chargé du cours de mécanique ana- 
lytique et de mécanique céleste (chaire de M. Painlevé). — M. Montel, 
professeur de mathématiques générales, est chargé du cours de méca- 
nique rationnelle. — - M. Denjoy, professeur à l'Université de Stras- 
bourg, est chargé du cours des mathématiques générales. — Pour les 
conférences, sont désignés: MM. Cahen (mécanique rationnelle), 
Lambert (astronomie). 

Université de Strasbourg. — L'Institut de Mathématiques continue 
sa marche ascendante. Depuis l'armistice, il a délivré deux diplômes 
d'études supérieures et deux doctorats es sciences; dix de ses auditeurs 
ont été admis à l'agrégation de mathématiques. En ce qui concerne 
les certificats d'études supérieures délivrés par la Faculté des Sciences, 
le nombre de ceux qui relèvent des sciences mathématiques a suivi 
la progression suivante: 1919, 13; 1920, 18; 1921, 31; 1922, 40. 

Italie. — Reale Ac^ademia dei Lincei. Dans la section des Mathé- 
matiques pures et appliquées ont été élus: MM. P. Burgatti et 
L. ToNELLi (Bologne), L. Lombardi (Rome), M. Panetti (Turin), 
membres correspondants; MM. E. T. Whittaker (Edimbourg), 
E. Landau (Gôttingue), associés étrangers. 



Charles Cailler. 

L^ Enseignement Mathématique ^ a déjà signalé la mort prématurée 
de son distingué collaborateur, M. Charles Cailler, décédé le 30 jan- 
vier 1922, à l'âge de 57 ans. Savant de grande valeur et maître incora- 



* Tome XXII, p. 225. — Voir ;iussi la Notice sur Ch. Cailler, suivie de la liste de ses 
publications, par H. Fkhr, Actes de la Soc. helv. des Sciences nat., 1922; ainsi que celle de 
R. Wavrk, dans les Archives des Sciences ptiys. et nat., Genève, 1922. n. n. L. h. 



CHRONIQUE 303 

parable, Charles Cailler a enseigné les mathématiques à l'Université de 
Genève pendant plus de 30 ans. J'ai eu la bonne fortune d'assister, 
il y a 25 ans, à quelques-unes de ses leçons et notamment à son cours 
de mécanique, à un cours d'hydrodynamique et à un cours de calcul 
des probabilités. J'en ai gardé un souvenir inoubliable. A cette époque 
M. Cailler était encore très jeune, mais déjà dans sa manière d'exposer 
les théories les plus difficiles et les plus transcendantes, il avait ces 
qualités d'étégance et de charme qui ont toujours fait l'admiration de 
ses élèves et de ses collègues. Déjà, il avait cette finesse et cette clarté, 
ce sens assez rare de la mesure et des proportions et ce souci de la 
rigueur qu'il tenait peut-être en partie de son maître Charles Cellé- 
rier et qu'on trouve dans toutes ses publications. C'était un mathéma- 
ticien de race, — il était né géomètre. 

Guidé par un instinct mathématique très sûr, il se mouvait à l'aise 
au milieu des problèmes les plus compliqués, les plus subtils, les plus 
ardus. Dans ses travaux sur l'équation d'Abel et les fonctions de 
Bessel, dans ses mémoires sur les géométries non-euclidiennes, dans 
ses notes sur la théorie d'Einstein, aussi bien que dans le grand 
ouvrage sur la mécanique qu'on va, je l'espère, publier prochaine- 
ment et qui nous réserve des surprises, il a fait preuve d'une sagacité, 
d'une pénétration et d'une profondeur hors ligne. 

Sa pensée ne glissait pas sur la surface des problèmes dont il abor- 
dait l'étude, elle cherchait à aller au fond des choses. Et l'on avait 
le sentiment que dans ses recherches il était guidé, comme l'a dit 
Poincaré en parlant du vrai géomètre, « par quelque vague conscience 
d'une géométrie plus profonde, et plus cachée, qui seule fait le prix 
de l'édifice construit ». 

D. MiRiMANOFF (Genève). 

Nécrologie. 

x\l. Amstein, professeur honoraire de l'Université de Lausanne, 
est décédé dans sa Sl™^ année. 

M. Charles-Léonard Bouton, professeur à la Harvard University 
Cambridge, Mass., est décédé à l'âge de 53 ans. 

M. Eugène Clevers, qui fut délégué de la Belgique au Congrès 
de Cambridge, en 1912, vient de mourir à Gand à l'âge de 67 ans. 

M. H. Grassmann, professeur à l'Université de Giessen et fils 
du savant géomètre Hermann Grassmann, est décédé le 21 février 
1922, à l'âge de 65 ans. 

M. G.-B. Halsted. — Le géomètre américain G. B. Halsted est 
mort à New York dans sa 65"^^ année. On lui doit notamment un 
traité de géométrie rédigé d'après les principes de Hilbert {Rational 
Geometry, 1904, revised 1907, trad. en français par P. Barbarin, 
1911), ainsi que de nombreuses notes et traductions dans le domaine 
de la géométrie non-euclidienne. Halsted a aussi traduit plusieurs 



;i04 NOTES ET DOC U M EN TS 

ouvrages de H. Poincaré, Science and Hypothesis, The \ alue of 
Science, Science and Metliod. 

M. A. HôFLER, professeur à l'Université de \'ienne, est décédé le 
26 février 1922, à Tâge de ()8 ans. 

M. G.-J. Kapteyn. — Nous apprenons avec regret la mort du 
savant astronome hollandais, Jacobus Kornelius Kapteyn, profes- 
seur à l'Université de Groningue, décédé le 18 juin 1922, dans sa 
72™^ année. G.-J. Kapteyn était correspondant de rA(radémie des 
Sciences de Paris, membre associé de la Hoyal Astronomical Society 
de Londres et membre d'honneur de nombreuses sociétés scienti- 
fiques. 



NOTES ET DOCUMENTS 



FRANCE 

Dispense de la licence en vue du doctorat es sciences. 

Sur la proposition du Conseil supérieur de l'Instruction publique le 
Ministre de l'Instruction publique et des Beaux-Arts a pris un arrêté 
permettant l'accès au doctorat de candidats déjà pourvus de grades étran- 
gers admis comme équivalents ou supérieurs au diplôme de licence. Nous 
nous bornons à reproduire ici la liste concernant les grades scientifiques 
donnant accès au doctorat es sciences. Des dispositions analogues ont été 
adoptées pour les facultés des Lettres et de Droit. 

Sont dispensés de produire le diplôme de licencié les candidats au doctorat 
qui pourront justifier des titres ou grades suivants reconnus à cet égard 
comme équivalents ou supérieurs: 

Grande-Bretagne et Irlande. — B. A. honneurs l^e classe des universités 
d'Oxford et de Cambridge. 

B. S. honneurs fe classe de l'université de Londres et des universités 
provinciales. 

M. H. honneurs f^ classe des universités écossaises. 

B. A. honneurs i^^ classe des universités irlandaises. 

Belgique. — Doctorat es sciences, grade légal. 

Bulgarie. — Certificat de 2'"^ examen des universités délivré après 
quatre années d'études. 

Danemark. — Maîtrise es sciences. — Candidature à la maîtrise es sciences. 

Etats-Unis. ■ — Candidats présentés par une des universités désignées 
dans la liste ci-annexéo et munis soit de la maîtrise es sciences soit du 
doctorat en philosophie, soit d'un certificat attestant qu'ils ont accompli 
au moins deux années d'études en vue du doctorat. 

Finlande. — Candidature en philosophie, section physique mathématique. 

Hollande. — Maîtrise es sciences. 

Italie. — Laurea in matematica. Laurea in fisica et in chimica. Laurea in 
scienze naturali. 



yOTE s E T I) O C U M E N T S 305 

Pologne. — Maîtrise en philosophie (sciences). 

Roumanie. — Licence es sciences. 

Suède. — Licence es sciences. 

Suisse. — 1. En vue du doctorat es sciences mathématiques: Doctorat 
es sciences mathématiques des universités romandes. Doctorat en phi- 
losophie des universités alémaniques et de l'Ecole polytechnique fédérale 
(avec thèse de mathématiques). Licence en mathématiques des universités 
de Genève, Fribourg et Neuchàtel. 

2. En vue du doctorat es sciences physiques: Doctorat es sciences 
physiques des universités romandes. Doctorat en philosophie des universités 
alémaniques et de l'Ecole polytechnique fédérale (avec thèse de physique 
ou de chimie). Licence physique et chimique et licence physique et naturelle 
de l'Université de Genève. Licence physique de l'université de Lausanne. 

3. En vue du doctorat es sciences naturelles: Doctorat es sciences natu- 
relles des universités romandes. Doctorat en philosophie des universités 
alémaniques et de l'Ecole polytechnique fédérale (avec thèse de sciences 
naturelles). Licence es sciences naturelles des universités de Genève et 
Neuchàtel. 

Tchéco- Slovaquie. — Trois examens de doctorat (rigorosa). 

Yougo-Slavie. — Diplôme de licencié des facultés de Belgrade, Skoplje et 
Subotica. Doctorat des Universités de Zagreb et Lubljana. 

Annexe. — Membres de l'association des universités américaines. — 
University of California. — Catholic university of America. — University 
of Chicago. — Clark university. — Columbia university. — Cornell univer- 
sity. — Harvard university. — University of Illinois. — Indiana university. 

— State university of lowa. — Johns Hopkins university. — University 
of Kansas. — Leland Stanford Junior university. — University of Michigan. 

— University of Minnesota. — University of Missouri. — University 
of Nebraska. — Northwestern university. — Ohio State university. — 
University of Pennsj'lvania. — Princeton university. — University of 
Virginia. — University of Wisconsin. — Yale university. — Berkeley, 
California. — Washington (district fédéral de Columbia). — Chicago 
Illinois. — Worcester, Massachusetts. — New York city. — Ithaca, New- 
York. — Cambridge, Massachusetts. — Urbana, Illinois. — Bloomington, 
Indiana. — lowa city, lowa. — Baltimore, Maryland. — Lawrence, Kansas. 

— Stanford university, California. — Ann Arbor, Minnesota. — Minneapolis, 
Minnesota. — Columbia, Missouri. — Lincoln, Nebraska. — Evanston, 
Illinois. — Columbus, Ohio. — Philadelphia, Pensylvania. — Princeton, 
New-Jersey. — Charlottesville, Virginia. — Madison, Wisconsin. — 
New Haven, Connecticut. 



Cours universitaires. 

Année 1922-1923. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Columbia University; i\ew York. — T. S. Fiske : Differential Equations 
(first term). — F. N. Cole : Algebra. — D. E. Smith : History of Mathema- 
tica. — C. J. Keyser : Introduction to mathematical pbilosophy (first 
term). — Logical foundations of mathematics. — E. Kasner : Einstein's 



306 NOTES ET DOCUMENTS 

theory of gravitation. — W. B. Fite : Theory of Functions. — J. F. Ritt : 
Functions of several complex variables (first term). — Algebraic numbers 
(second term). — G. A. Pfeiffer : Isoperimetric problems (second term). 

— J. Douglas : Differential Geometry (first term). 

Cornell University; (Ithacà). — J. I. Hutchinson : Entire functions. — 
V. Snyder : Algebraic Geometry. — F. R. Sharpe : Vector analysis. — 
W. B. Carver : Advanced calculus. — A. Ranum : Differential geometry. 

— D. G. GiLLESPiE : The defmite intégral. — W. A. Hurwitz : Infinité 
séries. — G. F. Craig : Probabilities. — P. W. Owens : Projective Geometry. 

— H. M. Morse : Einsteins theory (first term). — Dynamical Systems 
(second term). — W. L. G. Williams : Modem higher algebra. — F. W. 
Reed : Elementary differential Equations. — • H. S. Vandiver : Finite 
groups. — G. M. Robison : Advanced analytic geometry. 

Harvard University; (Cambridge, Mass.). — W. F. Osgood : Differential 
and intégral calculus (advanced course) ; Theory of Functions (introductory 
course). — J. L. Coolidge ; Probability ; Algebra ; Algebraic plan curves. 

— B. V. HuNTiNGTON : The fundamental concepts of mathematics. — 
O. D. Kellogg : Dynamics (second course); Introduction to the Theory 
of potential functions and Laplaces équation ; Potential functions (ad- 
vanced course). — G. D. Birkhoff : The analytic theory of beat and pro- 
blems in elastic vibrations; Linear differential équations of the second 
order, real variables. — W. G. Graustein : Introduction to modem 
geometry ; Differential geometry of curves and surfaces. — J. L. Walsh : 
Infinité séries and products ; Theory of numbers ; Entire functions. — 
Ph. Franklin : Elementary theory of differential équations ; Analysis 
situs. 

University of Chicago. — E. H. Moore : Vectors, matrices, and quater- 
nions ; Matrices in gênerai analysis. ^ L. E. Dickson : Theory of numbers; 
Solid analytics; Theory of Equations. — H. E. Slaught : Differential 
Equations; Elliptic intégrais; Calculus. — G. A. Bliss : Definite intégrais; 
Elliptic functions; Calculus. — F. R. Moulton : Analytic differential 
équations; Advanced ballistics. — W. D. Mac Millan : Analytic mechanics. 
Celestial mechanics. — A. C. Lunn : Units and dimensions; Dynamics of 
continuous média; Canonical équations and quantum theory; Thermo- 
dynamics. — M.I. Logsdon : Theory of algebraic invariants; Calculus. — 
J. W. A. YouNG : Limits and séries. 

University of Illinois; (Urbana). — E. J. Townsend : Real variables. — 
G. A. Miller : Finites groups. — J. B. Shaw : Linear operators. — A. B. 
CoBLE : Differential geometry. — R. D. Carmichael : Linear differential 
équations in real variables. — A. Emch : Antomorphic functions. — 
A. R. Crathorne : Tlieory of statistics. — A. J. Kempner : Modem 
algebra. — H. Blumberg : Introduction to higher mathematics. 

Johns Hopkins University; {Baltimore). — F. Morley: Higher geometry 
(first terni); Tiieory of functions (second term). — A. Cohen : Applications 
of calculus, differential équations, and mechanics. — L. S. Hi lburt : 
Advanced calculus; Projective geometry and higher plane curves. — 
J. R. MussELMAN : Elementary theory of probability. 

Massachusetts Institute of Technology. — F. S. Woous : Advanced 
Calculus. — C. L. E. Moore : Theorctical aeronautics. — H. B. Phillips : 



TV O TE S ET DOC U M E N T S 307 

Thermodynamics. — J Lipka : Analytical mechanics. — N. Wiener : 
Fourier's séries and intégral équations. — G. Rutledge : Theory of func- 
tions. — S. D. Zeldin : Vector aualysis. — J. S. Taylor : Mathematics 
of investment. 

University of Michigan; [Ann Arbor). — J. L. Markley: Solid analytic 
Geotnetry (ilrst term) ; Theory of functions of a complex variable ; 
Theory of functions of real variables. — J.W. Glover : Theory of probabi- 
lity (first term); Finîtes différences (second term); Advanced mathematical 
theory of interest and life contingencies. — W. B. Ford : Advanced calculus, 
with spécial référence to Fourier séries and harmonie analysis ; Infinité 
séries and products; Eléments of the calculus of variations \flrst term). — 
L. C. Karpinski : Higher algebra; Theory of numbers; History of mathe- 
matics. — J. W. Bradshaw : Introduction to modem geometry (second 
term); Projective geometry . — R. B. Robbins : Casualty actuarial theory. 
— R. W. Barnard : Differential équations (first term); Mathematical 
Theory of statistics, advanced course. — A. Ziwet : Hydrodynamics. — 
P. Field : Projective geometry for engineers (first term) ; Vector analysis 
(second term). — T. R. Runmng : Graphical methods (first term) Empirical 
formulas (second term); Advanced calculus (first term); — T. E. IIilde- 
BRANDT : Theory of the potential (first term). — V. G. Poor : Theoretical 
mechanics. — L. J. Rouse : Fourier séries (second term). 

University of Pennsylvania; {Philadelphia) . — E. S. Crawle y : Modem 
analytic geometry (first term); Differential équations (first term); Higher 
plane curves (second term). — G. H. Hallett : Infinité séries and products 
(first term); Functions of a complex variable (second term). — H. B. Evans: 
Quaternions and vector methods (second term). — O. E. Gleen : Calculus 
of variations. — F. H. Safford : Mathematical theory of elasticity. — 
G. G. Chambers : Introduction to higher algebra. — H. H. Mitchell : 
Linear groups (first term); Advanced calculus (second term). — M. J. Babb : 
History of Mathematics. — F. W. Beal : Differential geometry. — J. R. 
Kline : Foundations of Mathematics (first term); Continuons transform- 
ations (second term). 

University of Wisconsin; {Màdison). — E. P. Lane : Modem analytical 
geometry. — • E. B. Van Vleck : Functions of real variable. — Intégral 
équations. — H. W. March : Theoretical hydrodynamics. — C. S. Slich- 
TER : Potential theorJ^ — E. B. Skinner : Higher algebra. — -A. Dresden : 
Calculus of variations. 

Yale University; (Conn.). — E. W. Brown : Mechanics; Advanced mecha- 
nics; Hydromechanics. — J. Pierpont: Functions of a complex variable; 
Projective and differential geometry; Approximation methods. — P. F. 
Smith : Differential équations. — W. A. Wilson : Theory of aggregates. — 
E. J. Miles : Advanced Calculus; Calculus of variations. — J. I. Tracey : 
Advanced analytic geometry. — W. L. Cru m : Mathematical statistics. — 
J. K. Whittemore : Advanced differential geometry. 

FRANCE 

Paris, Collège de France. — Les cours publics et gratuits commenceront 
le l'"^ décembre. 

Sciences mathématiques. — M. Lebesgle, de l'Institut: Mathématiques. 



308 .V OTES ET I) O C U ME A T S 

Sur quelques questions d'analysis situs à propos des travaux de Camille 
Jordan. Mardi et jeudi à 17 heures, à partir du 5 décembre. — M. Hada- 
MARD; de l'Institut: Mécanique analeptique et mécanique céleste. Les pre- 
mières années de l'œuvre de H. Poincaré, les mercredis, à 17 heures. Le 
professeur dirigera les conférences d'analyses de Mémoires, ies samedis, à 
10 h. '4. Le cours ouvrira après le 15 janvier. — M. Deltheil: Mathéma- 
tiques (fondation Peccot). La théorie des probabilités géométriques. 

Sciences physiques et chimiques. — M. Brillouin, de l'Institut: Physique 
générale et mathématique. Théorie des principales théories des solides. 
Chaleurs spécifiques. Grandes déformations. Plasticité. Rupture. Théorie 
électrique de l'élasticité des solides. Rôle des quanta ; les mercredis à 
17 h. 72) 6t les samedis à 17 h. ^|^, à partir du 6 décembre. — M. Langevin : 
Physique générale et expérimentation. Phénomènes haute fréquence; les 
mardis à 17 heures, à partir du 5 décembre. 

Le Collège de France ne confère aucun grade et ne délivre aucun diplôme. 
Toutefois les professeurs peuvent donner des certificats d'assiduité aux 
auditeurs qui s'inscrivent sur les registres déposés dans les salles de cours. 

D'autre part, des certificats de recherches pourront être délivrés par les 
professeurs aux personnes ayant travaillé sous leur direction. Ces certificats 
sont visés par l'administrateur, 

ITALIE* 

Bologna; Vniversità. — Blrgatti: Teoria matematica dell' elettricità, 3. 

— Pincherle: Teoria délie equazioni differenziali lineari. Argomenti vari 
di matematica superiore in relazione alla matematica elementare, 5. — 
Tonelli: Calcolo délie variazioni, 3. 

Catanla; Unwersità. — Aprile: Le algèbre regolari ed alcune appli- 
cazioni geometriche délie medesime, 3. — Cipolla: Sostituzioni lineari e 
gruppi, 4. — Lazzarino : Dinamica dei sistemi rigidi, semirigidi e continui, 4. 

— Picone: Integrali di Lebesgue. Appro.ssimazione di una funzione per 
combinazioni lineari di fuzioni di an'assegnata successione. Xuovi metodi 
di approssimazione per le soluzioni di problemi délia Fisica matematica, 4. 

Genova; Università. — Loria: Geometria infinitésimale, 3. — Severini: 
Equazioni a derivate parziali, 4. — Silla: Teoria del potentiale e campo 
elettromagnetico, 3. 

Messina; Università. — Calapso: Teoria générale délie superficie, 4. — 
G1AMBELL1: Geometria numerativa degli iperspazi. Brève introduzione alla 
Geometria sopra una curva algebrica, 4. — Palatini: Sistemi continui. 
Teoria délie onde, 4. 

Napoli; Università. — Amodeo: Storia délie Scienze Matematiche: 
L'epoca di Newton e Leibniz, 3. — Marcolongo: Calcolo differenziale 
assoluto. Relatività générale, 3. — Montesano: Geometria dello spazio 
rigato: suoi legami con la geometria délie transformazioni birazionali, 3. — 
Pascal: Gli integrali e le funzioni abeliane, 3. — Scorza: Metodologia 
matematica, 3. 



• Les cours fondamentaux, tels que Analyse algébrique et infinitésiniale. Géométrie ana- 
lytique, descriptive, projeclive, Mécanique rationnelle, existant dans toute université, ne 
figurent pas dans la liste. 



iV O T E S E T DOC U M E ,\ TS 309 

Padova; Università. — Amaldi: Question! attinenti ai principi délia 
geometria, 3. — D'Arcais: Funzioni analitiche. Série di Fourier, 4. — 
Gazzaniga: Teoria dei numeri, 3. — Ricci: Metodi di calcolo differenziale 
assoluto ed applicazioni alla teoria générale dell' elasticità, 4. — Soler: 
Funzioni sferiche. Teoria del potenziale. Teoria délia forma dei pianeti, 3. — 
ToNOLo: Geometria infinitésimale délie superficie, 3. 

Palermo; Università. — De Franchis: Teoria générale délie curve e 
superficie algebriche, 4. — Gebbia: Teoria matem'atica dell'elettricità e 
del magnetismo, 4 i/g. — Signorini: Elasticità, 3. — X. N.: Analisi supe- 
riore, 3. 

Pavia; Università. — Berzolari: Geometria sopra una curva algebrica 
con metodo algebrico e con metodo trascendente, 4. — Brusotti: SuUa 
classificazione dei problemi in algebra e geometria elementare, con spé- 
ciale riguardo aile equazioni risolubili per radicali e ai problemi classi- 
ci délia geometria greca, 3. — Gerbaldi: Teoria délie funzioni ellitiche, 3. 

— VivANTi: Teoria délie funzioni analitiche, 4. 

Pisa; Università. — Armellim: Teoria délia Luna, 3. — Bianchi: 
Teoria délie funzioni di variabile complessa. Funzioni algebriche e intégral! 
abeliani, 3. — Maggi: Elément! di dinamica analitica. Question! varie 
d! idrodinamica, 4 Y>- — ^- ^■- Geometria superiore, 3. 

Roma; Università. — Bisconcini : Applicazioni di analisi infinitésimale, 3. 

— Cantelli: Calcolo délie probabilité, 3. — Matematica attuariale, 3. — 
Castelnuovo: Curve algebriche sghembe, 3. — Crvdeli: Introduzione 
allô studio délia elettricità e del magnetismo, 3. — Enriques: Vedute su- 
periori sulle matematiche elementari, 3. — Levi-Civita: Calcolo diffe- 
renziale assoluto con applicazioni, 3. — Pannelli: Proprietà fondamen- 
tal! délie superficie algebriche, 3. — Perna: Risoluzione délie equazioni 
algebriche, 3. — Volterra: Termodinamica, 3; Equazioni délia dinamica 
e metodi gênerai! d'integrazione, 3. — Zondadari: Applicazioni délia 
geometria descrittiva alla teoria délie ombre e aile equazioni differen- 
ziali, 3. 

Torino; Università. — Boggio: Meccanica analitica e relativité, 3. — 
FuBiNi: Le equazioni differenziali e ! var! tip! di svilupp! in série che si 
presentano nella fisica matematica, 3. — Segre: Geometria dei cerchi e 
délie sfere, 3. — Somigliana: Potenziali newtoniani e teorie elettromagne- 
tiche, 3. — Togliatti: Geometria non-Euclidea, 2. 



SUISSE 

Semestre d'hiver (octobre 1921 à mars 1922). 

Bâle; Université. — W. Mattiiies: Mechanik deformierbarer continua; 
5; Uebungen, 1; Math.-Phys. Seminar, 2. — H. Mohrmann : Diff. und 
Integralrechnung, I. 5; Differentialgleichungen, 4; Math. Seminar, 1. — 
O. Spiess : Zahlentheorie, 3; Funktionentheorie, 3; Math. Seminar, 1; 
Determinanten, 1. — R. Flatt : Pàdagog. Seminar, math.-phys. Abteilung 
IV; Repetitorium der Algebra, 2. — M. Knapp : Geschichte der Astrono- 
mie, 2; Astrologie, 1; Lekture aus Keplers VVerken. 



310 NOTES ET DOCUMENTS 

Berne; Université. — Crelier : Integralrechnung, 3; Zahlentheorie, 3; 
Funktionentheorie, 3; Math. Seminar. — Gonseth : Differential-geometrie, 
2; Geometrische Analysis, 2; Geonietrisches Seminar, 2; Analytische Géo- 
métrie des Raumes, 3; Algebraische Analysis II, 3. — Berliner : Hôhere 
Algebra, 2. — Joss : Einfûhrung in die nichteukiidische Géométrie, 2. — 
R. DE Saussure : Géométrie der Bewegung, 2; Linien Géométrie und 
komplexe Grôssen. — Michel : Ueber unendliche Reihen, 2; Math. Uebun- 
gen, Differential Gleichungen, 2. — Mauderli : Einleitung in die Astro- 
nomie, 3; Uebungen, 2; Astronomische Chronologie, Astronomisches 
Seminar. — Moser : Renten und Versicherungs Rechnung, 2; Reihen fur 
e und ihre Ableitung aus dem Makehamschen Sternegesetz; Seminar. — 
Bohren : Math. Statistik, 2; Grundlagen der Sozialversicherung. 

Fribourg; Université. — Bays : Mécanique rationnelle, 3; Exerc. 1; 
Théorie des fonctions de variable complexe, 4. — Van der Gorput : 
Einf. in die hôhere Mathematik, 4; Uebgn dazu, 1; Hôhere Algebra, 3; 
Uebgn dazu, 1. 

Genève; Université. — Fehr : Elém. de mathém. sup. 3; Exerc, 2; 
Conférences d'algèbre et de géométrie, 2; Algèbre sup., 2; Méthodologie 
mathém., 2. — Wavre : Calcul diff. et intégral, 3; Exerc. 2; Mécanique 
rationnelle, 3; Exerc. 2. — Mirimanoff : Calcul des probabilités, 1; Fonc- 
tions eUiptiques, 2. — R. Gautier : Astronomie phys., 2. — G. Tiercy : 
Mécanique physique, théorie des déformations, 1. 

Lausanne; Université. — G. Dumas: Calcul difî. et intégral, 6; Exerc. 2; 
Répét., 1; Complément du Calcul intégral, 2; Répét. 1. — X. : Théorie des 
fonctions, 3. — - M. Lacombe : Géométrie descriptive, 4; Epures, 4; Répét. 1; 
Géométrie analytique, 3; Répét. 1; Géométrie de position, 3. — B. Mayor : 
Mécanique rationnelle, 3; Exerc. 2; Mécanique analyt., 1; Physique mathém., 
2. — Maillard : Astronomie sphérique, 3; Mathématiques générales, 4; 
Exerc, 2; Répét., 1; Mécanique, 2; Exerc. et répét., 2. — Sam. Dumas: 
Calcul des probabilités, 3. — Ch. Jacottet : Fonctions algébriques, 2. 

Neuchâtel; Université. — L.-G. Du Pasquier : Calcul différentiel et inté- 
gral, 3; Exerc, 2; Théorie des groupes, 2; Fonctions analyt. et ellipt., 1; 
Calcul des variations, 1; Calcul des probabilités, 1; Théorie de la relativité, 1; 
Sém. de mathém. — L. Gaberel : Géométrie analyt. et infinit., 3; Géo- 
métrie descriptive, 1. — G. Juvet : Le calcul différentiel absolu et la 
théorie des orbites planétaires, 1; Astronomie sphérique, 2; Exerc 1; 
Théorie des marées. 1. — Jaquerod : Mécanique rationnelle, 2. 

Zurich; Université. — Fueter : Einf. in die mathém. Behandlung der 
Naturwissenschaften, mit Uebgn, 5; Variationsrechnung, 3; Math. Seminar, 
2. — Speiser : Diff. und Integralrechnung, 4; Uebgn. 1; Wahrschein- 
lichkeitsrechnung, 3; Seminar. — Disteli : Darst. Géométrie, 4; Einf. 
in die Schraubentheorie, 2. — Wolfer : Einl. in die Astronomie, 3; Uebg. 2; 
Bahnbestimmung von Planeten u. Kometen, 2. . 

Zurich; Ecole polytechnique fédérale section normale. — Hirsch : Hôh. 
Mathematik, 1, 6; Repet., 1; Uebgn., 2; III, 3; Uebgn., 1. — Franel : Mathé- 
matiques supérieures, I, 6; Répét., 1; Exercices, 2; III, 3; Exercices, 1. — 
Grossmann : Darstell. Géométrie, 4; Repet., 1; Uebgn., 4; projektive 
Géométrie, 1; géom. Seminar, 2; graph. Methoden, 2. — Kolross : Géo- 
métrie descriptive, 4; Répét. 1; Exerc, 4. — Meissner : Mechanik II, 4; 



B l RLIOGHAPHIE 3H 

Repet., 1; Uebgn., 2. — Plancherei. : Théorie des fondions, 2; Variations- 
rechnuns, 2; math. Sem. — Weyl : Analyi. Geomelrie, 3; Vektoranalysis, 1; 
Analysis situs. 2; math. Sem. — Polya : Einf. in d. Analysis reeller Grôs- 
sen, I, 2; Analyt. Zahlentheorie, 2. — B^schlin : Vermessungskunde, 4; 
Hôh. Geodàsie, 3; RepeL, 1. ■ — • Wolfer : Kinleitung ia die Astronomie, 3; 
Uebgn., 2; Bahnbestinimungen von Planeten u. Kometen, 2. — Amberg : 
Einfiihrung in den math, naturw. Unterricht. — Marchand : Les méthodes 
statistiques de recherches, 1. 

Cours libres. — Beyel : Rechenschieber mit Uebgn., 1; Darst. Géométrie: 
2; Flàchen 2. Grades, 1. — Kienast : Funktionentheorie, 2. — Kraft : 
Vektoranalysis, 1; Geome^rische Analysis, 3. 



BIBLIOGRAPHIE] 



P. Appell. — Education et Enseignement. Notices et Discours. (Nou- 
velle Collection scientifique E. Borel.) — 1 vol. in-S" de vin-304 pages; 
8 fr.; F. Alcan, Paris, 1922. 

Ce Recueil de Notices et de Discours constitue un exposé des idées de 
M. Appell sur la Science et l'Enseignement. Précieuses alors qu'elles étaient 
éparses, elles le seront bien davantage encore sous la forme d'un volume 
qui devrait être un livre de chevet pour tous les professeurs et pour ceux de 
leurs élèves qui s'interrogent, parfois un peu anxieusement, sur la meilleure 
manière d'utiliser leurs connaissances. 

L'ouvrage sera d'une analyse plus facile si l'on rassemble d'abord les 
titres des dilTérents- articles. L La géométrie infinitésimale. — IL L'ana- 
lyse mathématique. — IIL De l'expérience en géométrie. — IV. L'éducation 
de la jeunesse. — V. Un mathématicien (Jacobi). — VI. L'avenir de la 
Science dans les Universités. — VIL L'Alsace pendant l'oppression alle- 
mande. — VIII. La Chimie et l'Industrie. — IX. L'Ecole normale supé- 
rieure en 1906. — X. L'Ecole normale en 1907. — XL L'Enseignement des 
Sciences et la formation de l'esprit scientifique. — XII. Les Universités 
régionales. — XIII. Les sciences dans l'Education nationale. — XIV. 
L'Université de Paris. — XV. La Faculté des Sciences de Paris. — XVI. 
Relations avec l'Amérique latine. — XVII. L'avenir de l'aviation. — XVIII. 
Deux mathématiciens français (G. Darboux et H. Poincaré). — XIX. Henri 
Poincaré. — XX. La Météorologie. — XXI. Les travaux publics après 
1871. — XXII. Le lycée de Nancy en 1873. — XXIII. L'Ecole normale et la 
botanique. — XXIV. Le rôle des recherches scientifiques. — XXV. La 
guerre. — XXVI. Les sciences et la guerre. — XXVII. L'Alsace après la 
délivrance. — XXVIII. L'œuvre du secours national. — XXIX. La Société 
des Nations. — XXX. La résurrection de Reims. — XXXI. Morts pour la 
France. — XXXII. La Pologne libre. 

Il n'est point possible assurément de reproduire ici toutes les idées conte- 
nues dans ces trente-deux écrits, mais les conclusions qui s'en dégagent sont 



312 m HI.IOGHAP II l E 

merveilleusement unitaires et ne se dérobent point à un bref tableau 
d'ensemble. 

La Notice 1 se rapporte à Ossian Bonnet, esprit géométrique prophétique 
à tant d'égards. On lui doit surtout une formule unissant la courbure 
géodésique d'un contour et la courbure totale d'une cloison, ce qui est 
probablement la première formule du type stokien, contenant une courbure 
superficielle, qui soH apparue en Géométrie. 

En 111, il s'agit des idées philosophiques de M. de Freycinet sur l'origine 
expérimentale de cette science. On pourrait encore les méditer à l'heure 
actuelle et se convaincre ainsi que bien des choses intéressantes ont été 
dites entre Riemann et Einstein. ♦ 

En II et V nous trouvons Hermite et Jacobi.' Que dire sur de si grands 
noms; ce qu'on oublie parfois c'est l'extrême déférence d'un véritable 
homme de génie vis-à-vis d'im autre plus âgé qu'il doit considérer comme 
un maître. Les lettres de Jacobi à Legendre et d'Hermite à Jacobi sont des 
modèles du genre. Cela doit nous consoler des misérables élucubrations que 
des universitaires déshonorant leur poste et heureusement en fort petit 
nombre dirigent parfois contre des travaux qu'ils ne peuvent comprendre 
et qui émanent de personnalités incomparablement supérieures à la leur. 

En IV M. Appell dit aux élèves du Lycée Saint-Louis: « Je trouve que 
vous apprenez trop de détails, qu'on vous fait trop de cours....; nous pro- 
cédons comme si l'imprimerie n'était pas inventée... ! » 

En VI il fait l'apologie des travaux originaux: « Un établissement scien- 
tifique dont les professeurs se consacreraient uniquement à l'exposé de la 
science que d'autres ont faite serait voué à une décadence rapide. » 

En XI, il donne une définition du savant: c'est l'homme qui doit avoir 
l'esprit de recherche, une curiosité toujours en éveil, une patience inlassable 
et surtout de l'initiative. Il s'élève, avec M. André Pelletan, contre l'idée du 
ccncours suffisant à classer un individu pour toute sa vie. 

En XIII, la Science établit une autorité incontestée, celle du fait objectif, 
à une époque où l'autorité basée sur les conventions sociales tend à dispa- 
raître. Le baccalauréat est énergiquement pris à partie: il divise la nation en 
deux castes dont l'une seulement peut prétendre à toutes les fonctions 
publiques. Le titre, le parchemin, fùt-il scientifique, est un préjugé de 
l'esprit littéraire. 

En XV, ce malheureux baccalauréat n'est, dans les Facultés scientifi- 
ques, qu'une survivance du passé. Bravo ! Comme on comprend cela quand 
on enseigne et qu'on examine dans une Faculté pourvue de nombreux insti- 
tuts techniques ! 

En XVIII et XIX nous revenons à de grands savants. Signalons des 
documents peu connus: les notes obtenues par Henri Poincaré à ce tou- 
jours maudit baccalauréat. Et cela tourne encore un petit peu plus au 
désavantage du diplôme. 

L'article XXI est l'éloge d'un savant technicien d'origine alsacienne, 
M. Alfred Picard. 

En XXII nous revenons à Henri Poincaré, élève en mathématiques spé- 
ciales au Lycée de Nancy. On trouve chez l'élève l'esprit humoristique qui 
transparaissait encore quelquefois, plus tard, chez le grand homme 

En XXIII il s'agit de Van Tieghem, type du savant cherchant la Vérité 
une, sans aucune relativité, aussi bien dans la Science que dans la vie. 

Les derniers discours ou écrits se rapportent à la guerre, au terrible 



H I fi l.l Ol, n A P H l E 313 

phénomène qui, si l'on y comprend ses répercussions, n'a point cessé de 
secouer effroyablement le monde depuis 1914. M. Appell en a suivi les 
péripéties avec un dévouement inlassable pour les œuvres qui, comme le 
Secours National, s'efforçaient d'adoucir tant de misères, et avec une con- 
fiance inébranlable en une fin juste qui rendrait aux Alsaciens, en particulier 
à lui et aux siens, la patrie autrefois perdue. Une foi ardente est dans ces 
pages. Aux élèves du Lycée de Reims, récemment rouvert, il demande de 
représenter la France au travail de même que les aînés ont représenté la 
France aux armées. Pour l'éminent géomètre, il est évident que le patrio- 
tisme se prouve d'abord en travaillant. Et le travail apporte par surcroît 
une tranquillité d'esprit qui ne se dément pas dans les circonstances les 
plus sombres. 

Qu'il me soit permis ici de terminer par une anecdote qui me paraît se 
placer tout naturellement avec tant d'autres qui vont au cœur. 

C'était dans les premières semaines de la guerre. Nos troupes battaient 
en retraite après Charleroi. Faut-il rappeler quelle angoisse nous étreignait. 
Pour ma part, le travail original était impossible et je devais avoir de nom- 
breux imitateurs car, en août 1914, les Notes mathématiques étaient à peu 
près absentes des Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Le 7 sep- 
tembre parut une communication de M. Appell, Sur une transformation de 
certaines jonctions déduites des jonctions (à de degrés supérieurs. Je la lus vers 
le 15, à cette date la victoire de la Marne était acquise ! Nous pouvions 
admirer l'héroïsme de nos soldats et, par surcroît, les propriétés des fonc- 
tions 0. Mais M. Appell avait dû évidemment travailler à ce sujet justement 
avant le prodigieux revirement qui sauvait la France, dans des jours si 
sombres qu'on pouvait les croire désespérés. Personne n'imaginera qu'il 
avait réussi à s'abstraire du terrible drame mais il avait tenu, sans doute, à 
donner un exemple de calme et de courage qui, pour ma part, me ramena 
immédiatement à la recherche mathématique ! 

A. BuHL (Toulouse). 

Henri Bergson. — Durée et simultanéité, à propos de la théorie d'Ein- 
stein. — 1 vol. )n-16, VIII + 245 p., 8 fr., Félix Alcan, Paris 1922. 

Rappelons que le problème de la durée, « la clef des plus gros problèmes 
philosophiques », fut le principal objet des études si profondes et philo- 
sophiquement si remarquables du grand philosophe français. 

Depuis plus de trente ans il oppose le temps réel et psychologiquement 
vécu au temps mathématique projeté dans l'espace. 

Plus d'un penseur attendaient, avec quelque impatience, qu'il voulût bien 
se prononcer sur la conception du temps, que les physiciens ont dégagé des 
formules d'Einstein-Lorentz et c'est par là qu'une analyse bibliograpliiipie 
de ce petit livre peut prendre place ici. 

Les théories d'Einstein attirèrent son attention dès 1911. Ce travail de 
subtile méditation, il l'avait entrepris sans songer à le publier, mais, comme 
nous l'indique la préface, il se rendit bientôt compte qu'il présentait un 
intérêt général. 

M. Bergson tente de légitimer philosophiquement, par des arguments qui 
paraîtront peut-être un peu spécieux, la notion commune du temps uni- 
versel. Cette étude contient un examen très profond de l'expérience de 
Michelson, de la transformation de Lorentz ainsi que de la métapliysique 
que l'on a tenté de dégager, trop hâtivement, de la conception relativiste. 

L'Knseijjneiiienl m^théin.. Tî' iinn«e, 1921 et 1922. '•21 



314 Hl H I.IUGRAI' Il lE 

« Cet examen, dit M. Bergson, nous donna un résultat assez inattendu. 
Non seulement les thèses d'Einstein ne paraissaient plus contredire, mais 
encore elles confirmaient, elles accompagnaient d'un commencement de 
preuve la croyance naturelle des hommes à un temps unique et universel. 
Elles devaient simplement à un malentendu leur aspect paradoxal. » 

Au début de son étude M. Bergson semble refuser aux physiciens le droit 
de parler, à la fois, de deux observateurs en chair et en os, O et O', dans 
deux systèmes S et S' en translation uniforme l'un par rapport à l'autre. 
Si a; et « sont des intervalles d'espace et de temps effectivement mesurés ou 
vécus par l'observateur O, les quantités correspondantes par la transfor- 
mation de Lorentz, x et t' , ne sont que des fictions mathématiques et non 
des quantités effectivement mesurées. L'horloge de s' ne marque pas t' , 
semble-t-il, quoique l'affirmation de l'auteur ne soit pas absolument for- 
melle sur ce point. 

Le point de vue de M. Bergson est donc opposé à celui des physiciens. 
Plus que cela, les expériences faites sur le déplacement des raies spectrales 
semble l'infirmer. Plus loin, cependant, M. Bergson déclare que l'équivoque 
impliquée dans l'interprétation des thèses d'Einstein est d'ordre plutôt 
métaphysique et qu'il est très difficile de la démasquer. Aussi, s'efforce-t-il 
de la faire entrevoir dans plusieurs exemples, dont il fait par ailleurs une 
analyse des plus fines et en retournant la question sur toutes ses faces. 
Cette équivoque, sur le terrain de la physique, nous déclarons ne pas l'aper- 
cevoir. Nous oserions même avancer, malgré la très grande autorité de 
l'auteur et le respect que nous lui vouons, que son attitude présente 
quelques flottements. Il semble avoir mis à la fin de son étude beaucoup 
d'eau dans son vin. Reprenons l'argument fondamental qui tend à légi- 
timer l'hypothèse d'un temps unique et universel. 

Supposons deux systèmes S et S' en translation uniforme. Nous pouvons 
toujours supposer en plus que S' est un duplicata de S. En vertu du prin- 
cipe de relativité S et S' sont interchangeables et leur différence est indis- 
cernable, lorsqu'on se place à l'intérieur de l'un ou de l'autre de ces deux 
systèmes. Donc, il est naturel de supposer qu'ils vivent un seul et même 
temps. En raisonnant ainsi M. Bergson prend le principe fondamental de 
la relativité dans un sens ultra-relativiste, nous semble-t-il, dans son abstrac- 
tion pure, en lui conférant une portée philosophique absolue. 

Mais objecterions-nous, c'est l'aspect des phénomènes physiques qui 
reste le même et l'écoulement pur d'un temps n'est pas un phénomène 
physique, à moins qu'il ne se confonde avec le mouvement d'une horloge 
prise d'ailleurs dans sa conception la plus générale. Les temps pris à l'état 
pur dans l'un et l'autre système, ne revêtent aucune forme et se comportent 
mathématiquement comme de simples variables indépendantes. D'ailleurs, 
que signifie « un seul et même temps » M. Bergson le remarque lui-même 
lorsqu'il ajoute: «or, il est généralement difficile au philosophe d'affirmer 
avec certitude que deux personnes vivent le même rythme de durée. Il 
ne saurait même donner à cette affirmation un sens rigoureux et précis. » 

M. Bergson ne paraît donc confirmer l'hypothèse d'un temps universel 
que d'une manière idéale et abstraite, en donnant au principe de relativité 
un sens absolu et métaphysique. 

M. Bergson semble d'ailleurs accorder à la fin de son étude qu*il n'y a pas 
physiquement ou mathématiquement d'échappatoire aux formules de 
Lorentz. 



Hl H LlOi.RAVniE H15 

Ce petit livre, d'un style alerte et vif, fourmille de remai-ques fines, 
, suggestives et profondes. L'auteur voit en Einstein le véritable successeur 
de Descartes et dans la relativité généralisée l'aboutissement de la concep- 
tion cartésienne de la physique: rien ne semble plus juste aujourd'hui. 

Rolin Wavre (Genève). 

L. BiEBERBACH. — Lchrbuch der Funktionentheorie. Band I : Elemente 
der Funktionentheorie. — 1 vol. de I\'-314 pages; broché 18 fr. 70; relié 
21 fr. 35; B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1921. 

Ce qui frappe dans les ouvrages didactiques de M. Bieberbach, et il en 
a publié plusieurs, c'est le souci constant de la précision et de la rigueur 
la plus parfaite et, chose assez rare, une grande clarté dans l'exposition 
des théories les plus subtiles. M. Bieberbach a su éviter l'écueil d'un for- 
malisme étroit et sec, qui fait le désespoir des débutants. Chaque fois qu'un 
raisonnement court le risque de devenir trop abstrait, l'image vient à 
l'appui de la démonstration, et l'on comprend que cet appel à J'mtuition 
est légitime, puisqu'il ne s'agit au fond que d'un langage plus commode 
et qu'il est toujours facile d'en donner l'équivalent analytique. 

Ce premier volume est consacré à la partie classique de la théorie des 
fonctions analytiques: représentation conforme, intégrale de Cauchy, 
prolongement analytique, fonctions algébriques et leurs intégrales, un aperçu 
de la théorie des fonctions elliptiques, les théorèmes classiques de Weier- 
strass et de Mittag-Lefïler et une étude fort intéressante de la fonction r (z). 

Mais ce qui distingue ce volume de quelques ouvrages similaires, c'est 
que l'auteur y a tenu compte, dans une mesure plus large qu'on ne le fait 
habituellement, des travaux des mathématiciens contemporains. En 
parlant par exemple des séries à termes complexes, il indique, sans la 
démontrer il est vrai, une très belle propriété de ces séries découverte par 
M. Steinitz en 1913 et qui est l'analogue d'un théorème classique de Riemann. 
De même dans les paragraphes consacrés aux séries à termes variables, 
et en particulier aux séries entières, il fait connaître quelques générali- 
sations relativement peu connues du théorème d'Abel sur la limite vers 
laquelle tend la somme d'une série entière lorsqu'on se rapproche d'un 
point du cercle de convergence; il compte du reste reprendre l'étude de ce 
problème, qui a fait l'objet de recherches importantes, dans le second 
volume de son ouvrage. 

Dans un autre chapitre il donne une démonstration très élégante du 
théorème fondamental de Cauchy-Goursat que l'on doit à M. Pringsheim. 
Très intéressantes sont aussi ses remarques à propos de la formule fonda- 
mentale de Cauchy, dont les démonstrations, qu'il critique, ne sont pas 
toujours, en effet, à l'abri de tout reproche. 

Mais l'un des chapitres les plus curieux, à notre avis, est celui qui est 
consacré à la théorie du prolongement analytique. Après avoir défini la 
notion très délicate de fonction analytique d'après Weierstrass, qui souvent 
arrête les débutants, il établit le beau théorème de Poincaré-Volterra et 
arrive à la conception de Riemann qui complète celle de Weierstrass et 
qui lui permet de préciser la notion délicate aussi de points singuliers, à 
laquelle il avait déjà consacré des remarques importantes dans son article 
« Neuere Untersuchungen ûber Funktionen von komplexen Variablen » 
(Enc. der math. Wiss., 1921). 

En lisant ce chapitre, il apparaît nettement combien il est utile, dans 



316 H l H LIOG liAP II I E 

l'étude de ce problème, de rapprocher les points de vue de Riemann et de 
Weierstrass. La même remarque s'applique du reste à bien des problèmes 
de la théorie des fonctions. Les théories de Cauchy, de Riemann et de 
Weierstrass se rejoignent les unes les autres, se pénètrent et se complètent 
et il nous semble, en effet, qu'on a tort, comme le fait remarquer avec 
raison M. Bieberbach dans la préface à son ouvrage, de les traiter dans des 
chapitres séparés. 

C'est à des théories plus récentes, dont une grande partie se rattachent 
aux belles recherches de Poinca»'é, de M. Picard et de M. Hadamard, que 
sera consacré le second volume du traité de M. Bieberbach. La plupart 
de ces travaux ont déjà été exposés dans les monographies sur la théorie 
des fonctions publiées sous la direction de M. Borel et dans le petit volume 
de M. Landau « Darstellung und Begrûndung einiger neuerer Ergebnisse 
der Funktionentheorie ». Il reste à coordonner et à classifier ces résultats, 
à y mettre de l'ordre et de l'unité, ce qui n'est pas chose facile, car le champ 
est très vaste, mais la tâche que M. Bieberbach s'est imposée sera grande- 
ment facilitée par ses travaux antérieurs. 

L'excellent ouvrage de M. Bieberbach est avant tout destiné aux étudiants, 
mais il pourra servir de guide à tous ceux qui désirent se mettre au courant 
de la théorie moderne des fonctions analytiques. 

D. MiRiMAxoFF (Genève). 

E. GouRSAT. — Leçons sur le Problème de Pfaff. — l vol. gr. in-S» de vni- 
388 pages; 30 francs; J. Hermann, Paris, 1922. 

La publication de ces Leçons tombe admirablement à une époque où se 
développe un Calcul tensoriel qui, à beaucoup d'égards, prend modèle sur 
l'analyse des formes de Pfaff. Quant au problème pfaffien lui-même, il est 
toujours posé comme son créateur l'a posé. 11 s'agit d'abord de l'étude de la 
forme 

tu = X, d.r^ + X, ^.r, 4- ... + X„ c^.r„ . 

L'équation o)=0 définit une variété à n — 1 dimensions si de certaines condi- 
tions d'intégrabilité sont satisfaites. Sans conditions, on peut toujours la 
réaliser sur une variété à une dimension c'est-à-dire sur une courbe. Or, 
entre les deux cas, il doit y avoir manifestement des cas intermédiaires avec 
variétés intégrales k n — r dimensions. Ceci conduit à rechercher d'abord, 
pour 0), des formes canoniques que Pfaff envisageait déjà au travers d'inté- 
grations successives et compliquées mais que des travaux modernes (no- 
tamment ceux de Gaston Darboux, de MM. Goursat et Cartan) rendent 
d'une considération beaucoup plus aisée. 

Si l'on cherche à attacher à m des variétés à deux dimensions, on est 
immédiatement conduit au covariant bilinéaire fji' de o) dont les coefficients 

ôX, .v\ 



k 



satisfont aux identités 






ik ';^ '_^ 

C>X, W- i^.r. 



H t Hl.lOGRA P m E :il7 

Nous sommes à un petit pas des équations de l'Electromagnétisme; 
d'ailleurs le calcul des variations et la Géométrie donnent plusieurs inter- 
prétations de «'. Les a^. permettent de construire quatre systèmes S,, Sj, 
S3, S, d'équations pfafRennes; c'est surtout le fait, pour ces systèmes, de 
se composer d'équations non distinctes qui entraîne des réductions de 
structure pour t»). Telle est la substance essentielle du Chapitre 1. 

Le Chapitre II se rapporte à l'intégration d'une équation w = 0. Qui est 
seulement habitué aux méthodes classiques d'intégration des équations 
aux dérivées partielles du premier ordre reconnaît sans peine qu'il y a là 
une extension de ces méthodes. Le langage est le même : systèmes caracté- 
ristiques, intégrales lieux de caractéristiques, etc D'ailleurs l'équation 

revient évidemment à 

.0 = fd.r^ + y^ dr^ + ... + />„ ^.r, , - r/. = . 

Avec le Chapitre III nous arrivons aux formes symlioliques de diiïéren- 
tielles. Cette expression, consacrée par l'usage, pourrait cependant prêter à 
l'erreur pour qui n'aurait pas encore abordé ces captivantes théories. Les 
nouvelles formes dont il s'agit sont naturellement à leur place sous les inté- 
grales multiples, alors que, dans le même ordre d'idées, la forme &) ci-dessus 
pourrait être placée sous une intégrale simple. Elles ne sont pas moins 
tangibles que c», mais elles obéissent à des règles de calcul à symbolisme 
vectoriel. Les produits dx^ dx.,... n'admettent point la duplication des fac- 
teurs et changent de signe quand on intervertit deux facteurs consécutifs. 
C'est ce que M. Goursat a excellemment expliqué sur d'ordinaires intégrales 
doubles. 

On pressent maintenant comment vont s'orienter les recherches. On 
étudiera les réductions canoniques des différentielles d'ordre supérieur 
qui viennent d'être introduites. 

L'extrême intérêt de la chose, le principal même est que la théorie établie 
pour la forme linéaire o) s'étend aisément, élégamment, à tous les ordres. 
Les formules les plus pratiques qui apparaissent alors sont vraisemblable- 
ment celles qu'on peut dire du type stokien. Une intégrale multiple porte 
sur une certaine forme et est égale à une intégrale d'ordre supérieur d'une 
unité, à champ d'intégration déformable, cette dernière intégrale portant 
sur la dérivée de la forme primitive. C'est sans doute ici qu'apparaît, de la 
manière la plus visible, ce contact avec le Calcul tensoriel que M. Goursat 
signale lui-même. Nous ne sommes plus maintenant tout près des équations 
de l'Electromagnétisme; nous y sommes ! Ce sont les équations (54) de la 
page 151 ^ 

Le Chapitre I\' traite de l'application des formes symboliques au pro- 
blème de Pfaff; il s'agit, bien entendu, du problème de PfafT tel qu'il a été 
posé au début pour la forme linéaire o). Le symbolisme du chapitre précédent 
n'a étudié des formes différentielles, ï\ de certains points de vue plus com- 



' Th. De DoNDKR. Champ électromagnétique de Maxwell-Lorcntz et champ gra^ifigiie 
d'Einstein, 1920. Cravifique einsteinienne, l'Xil. Paris, Gauthier- Villars. 

A. BuHL. Electromagnétisme et Gravi/ique (Annales de la Fac. des Se. de Toulouse, 
1920). 



318 h l II I. I OG R A P JI 1 1-: 

plexes, que pour qu'on puisse maintenant les adjoindre à tfl et définir notam- 
ment des formes dérivées, d'ordres divers pour M. En prenant successivement 
ces dérivées on finit toujours par en rencontrer une qui est identiquement 
nulle et c'est sans doute là la manière la plus claire de concevoir la classe 
ou la forme canonique de w. 

On montre alors, très élégamment, que la dernière dérivée non nulle 
permet d'écrire immédiatement un système d'équations linéaires aux déri- 
vées partielles, dit système adjoint i],, dont les intégrales sont précisément 
les variables canoniques de la forme réduite. Un système ilg construit de 
même à partir de l'avant dernière dérivée est identique au système S., du 
chapitre I. De là, on peut redescendre vers l'intégration de systèmes arbi- 
trairement donnés d'équations aux dérivées partielles du premier ordre et, 
dans le même ordre d'idées, vers la construction des transformations de 
contact. 

Le Chapitre V expose la théorie des invariants intégraux, en partant des 
définitions de Poincaré. Il importe maintenant d'être bref; nous dirons donc 
simplement que M. Goursat a traité de ces invariants dans leurs rapports 
très intimes avec les différentielles symboliques, les intégrales premières 
et la permutation des intégrales d'un système d'équations différentielles 
ordinaires. 

Le Chapitre VI nous conduit aux systèmes formés de plusieurs équations 
de Pfafï. Ici la difficulté croît considérablement; elle est analogue ou, pour 
mieux dire, elle généralise la difficulté de passer d'équations aux dérivées 
partielles du premier ordre aux équations d'ordre supérieur. Inversement 
les équations d'ordre supérieur peuvent être traduites par des systèmes 
pfaffiens. 

Dans le chapitre VII, consacré aux systèmes dérivés et au problème de 
Monge, l'intervention de dérivées partielles du second ordre se précise en 
des questions telles que celle des transformations de contact prolongées. 
Il s'agit d'équations de transformation qui contiennent non seulement des 
X, y, z, p, q, cas où elles seraient des transformations de contact ordinaires, 
mais aussi des /■, s, t. Ce prolongement dépend de conditions d'intégrabilité 
de certains systèmes pfaffiens. Il y a là des choses impossibles à décrire 
brièvement mais dont l'intérêt est d'autant moins niable qu'elles semblent 
appeler de nouvelles et profondes recherches. 

Le problème de Monge généralise l'équation w = en remplaçant oi par 
une forme différentielle homogène mais non linéaire par rapport aux dx. 
Il dépend, lui aussi, d'un système pfafflen spécial. 

Enfin le chapitre VIII termine l'ouvrage par les multiplicités intégrales 
et le genre d'un système de Pfaff. Ici sont condensés les théorèmes d'exis- 
tence analogues à ceux qui concernent les équations aux dérivées partielles. 
On y trouve des nombres entiers qui caractérisent les systèmes différents, 
ou mieux encore le degré d'arbitraire des solutions possibles. Ces recherches, 
de plus en plus élevées, mènent aux travaux de M. Ch. Riquier. Elles sont, 
en très grande partie, l'œuvre de M. E. Cartan; elles touchent à l'analysis 
situs, aux difficultueuses questio*ns de déformation dans les hyperespaces 
non-euclidiens. Et comme les noms de MM. Riquier et Cartan ne vont 
évidemment point sans être précédés de celui de M. E. Goursat lui-même, 
il n'est pas inutile de souligner, comme je l'ai fait en maints autres endroits, 
que la France ne manque point de savants créateurs pour lesquels la très 
belle analyse des théories einsteiniennes n'a jamais eu de secrets. 

A. BuHL (Toulouse)* 



m h Ll OGRAP H r E 319 

G. JuvET. — Introduction au calcul tensoriel et au calcul différentiel 
absolu. Préface de M. Jacques Hadamard — 1 vol. 111-8°, 100 p.; 12 fr.; 
Librairie scientifique Albert Blanchard, place de la Sorbonne, Paris 1922. 

Un phénomène physique est le siège d'actions qui se transmettent par 
contact suivant des lois déterminées. Mais nous ne pouvons formuler ces 
lois qu'en faisant choix d'un système de coordonnées, car elles expriment 
des relations entre grandeurs résultant de mesures faites sur le phénomène. 
Ces lois revêtent dans le système que l'on a choisi une forme particulière. 
Dans tout autre système de repérage, elles revêtiraient une forme différente, 
elles apparaîtraient sous un autre aspect. 

Or le principe fondamental de relativité formulé par Einstein est le 
suivant : 

Les lois de la physique doivent être valables dans un système de réfé- 
rence absolument quelconque. 

En d'autres termes, une loi physique n'a pas de signification absolue lors- 
qu'elle n'est exprimable que dans un système de référence particulier, 
parce qu'elle est entachée de ce qu'il y a de subjectif dans cette manière 
spéciale de regarder le phénomène. Si la loi correspond à une réalité phy- 
sique, on doit pouvoir la formuler indépendamment d'un choix particulier 
du système de référence. Nous ne pouvons pas, toutefois, nous débarrasser 
complètement du système de repérage et faire de la physique exactement 
comme les Grecs faisaient de la géométrie, d'une manière intrinsèque. 
Il nous faut pour un instant au moins un système de mesure particulier. 
Que se passe-t-il lorsque l'on change de système de coordonnées. Les élé- 
ments qui entraient dans l'expression de la loi changent de valeur. Alors 
de deux choses l'une : ou bien la relation qui lie les nouveaux éléments 
dans les nouvelles coordonnées est de même forme que celle qui lie les 
anciens éléments dans les anciennes coordonnées, ou bien il n'en est rien. 

Dans le premier cas, la loi sera « covariante » vis-à-vis d'une transfor- 
mation de coordonnées et le principe de relativité revient à affirmer que 
les lois de la physique doivent revêtir une forme covariante. 

En d'autres termes, l'expression d'une loi physique se transforme lors- 
qu'on change de système de référence mais elle doit se transformer suivant 
un mode déterminé. 

Dès lors, les relativistes étaient en droit de demander aux mathémati- 
ciens de former le thème d'un calcul qui permît, étant donnée l'expression 
d'une loi dans un système particulier, d'exprimer immédiatement cette 
loi dans un système quelconque et de dégager a priori les caractères de 
covariance. 

Grâce aux travaux de Riemann, Christoffel, Ricci et Levi-Givita, les 
géomètres étaient en possession de ce nouveau calcul, bien avant qu'Ein- 
stein en montra la portée physique. C'est le calcul tensoriel. 

Un tenseur est un ensemble de quantités (ses composantes) données 
dans un système de référence et qui se transforme lorsqu'on passe de ce 
système à un autre, suivant un mode déterminé, au moyen des relations 
qui expriment les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes. Trans- 
porté sur le terrain de la géométrie infinitésimale, qui est aussi celui des 
actions par contact en physique, le calcul tensoriel devient le calcul diffé- 
rentiel absolu. Les expressions des nouvelles composantes d'un tenseur 
étaient linéaires et homogènes en fonction des anciennes, si ces compo.santes 
sont nulles dans un système, elles sont nulles dans tous les autres. L'annu- 



320 H I B l.l OC ll.l l'Il 1 1: 

lation d'un tenseur, c'est-à-dire de ses composantes, sera donc propre à 
représenter une loi physique conformément au principe de relativité. Il 
en est de même d'une égalité entre deux tenseurs. 

On peut dire que le calcul différentiel absolu fut un instrument d'une 
vertu presque magique pour dégager et formuler les lois conformes au 
principe de relativité. Je n'ai donc pas besoin d'insister sur rimportance 
de cette introduction au calcul tensoriel, où M. G. Juvet, s'adressant spé- 
cialement au débutant, a réussi à donner d'une manière très simple et 
très claire les principes fondamentaux du maniement de cette nouvelle 
algèbre, en ne négligeant pas de développer, pour ceux auxquels le nou- 
vel algorithme, pourrait paraître trop formel, quelques applications sim- 
ples à la géométrie élémentaire. 

On trouvera dans cette introduction les principes du calcul vectoriel et 
de l'algèbre tensorielle, puis la géométrie d'une multiplicité quelconque 
attachée à la forme métrique de Riemann. Il faut faire mention spéciale 
de la question du déplacement parallèle d'après M. Levi-Civita, qui immerge 
la multiplicité dans un espace euclidien à un nombre sufïisant de dimen- 
sions. Cette manière d'envisager le déplacement se trouve dans un mémoire 
du Circolo matematico de l'année 1917, mais elle n'est pas traitée dans les 
ouvrages de MM. Eddington, Weyl, Marcolongo, ou Becquerel, dont nous 
avons déjà fait l'analyse pour cette Revue. 

L'introduction de M. Juvet contient aussi une ample bibliographie du 
calcul tensoriel. Rolin Wavrf, (Genève). 



Beppo Levi. — Abbaco da 1 a 20. lllustrazioni di Ellebi. — 1 vol. in-8°, 
de 60 p. ; 3 1. 50 ; B. Levi, editore ; Parma, 1922. 

Ceci est sans doute l'ouvrage mathématique le plus élémentaire que 
nous ayons jamais analysé. C'est le premier livre d'arithmétique à mettre 
entre les mains d'un enfant ; il rappelle, par l'aspect, les plus jolis et artis- 
tiques alphabets illustrés. II est destiné à enseigner non les rudiments de 
la lecture, mais ceux de la science des nombres. 

Avec l'aide d'un excellent dessinateur, l'auteur a fort joliment groupé 
des bambins, des animaux, des fleurs, des fruits, etc,, et c'est à ces groupes 
d'êtres ou d'objets qu'il fait correspondre les nombres entiers. Il définit 
ceux-ci par l'adjonction de l'unité à l'entier précédent, et ce, toujours par 
de jolies images. 

Il développe la notion d'addition, puis celle des trois autres opérations 
fondamentales, mais sans jamais faire intervenir de nombres supérieurs à 
20. Il insiste beaucoup sur l'idée de moitié, idée typique et aussi simple 
que possible pour la division. Lina et Chariot font de profondes réflexions 
pour se partager 9 figues ; on peut, à la rigueur, en couper une en deux. 
Mais si le jardinier voulait metti-e 17 plantes sur deux rangs ? Protond 
mystère ! Il y a donc des nombres qu'on ne peut diviser ? C'est charmant 
et le dessinateur est toujours un collaborateur précieux. 

Après ces pages enfantines, l'auteur en a mis quelques autres destinées 
aux parents et contenant des conseils qui rappellent assez que c'est un 
mathématicien de valeur qui a voulu se mettre à la portée des petits. 

Voilà une œuvre italienne digne d'être imitée en toutes les langues. 

A. Bi'Hi. (Toulouse). 



/>' I H I.IO a /.' . / /-• // / A' 321 

Paul LÉVY. — Leçon d'analyse fonctionnelle, professées au Collège de 

France (collection de monographie sur la théorie des fonctions). Pré- 
face de M. J.-H. Hadamard. — 1 vol. in-8«>, vi + 442 p.; 35 fr.; 

Gauthier- Villars et Gic, Paris, 1922. 

Au début de ce siècle, les analystes fondaient une grande espérance sur 
la notion de fonction de ligne, introduite dans la science par M. Volterra 
et sur ses développements qui constituent le calcul fonctionnel. Il semblait 
que de cette notion on put dégager, un jour, le plus puissant instrument 
de l'analyse. 

Malgré cela, aujourd'hui encore, ceux qui ont fait du calcul fonctionnel 
leur spécialité sont très peu nombreux. M. Paul Lévy fut presque seul à 
tenir le flambeau, ces dernières années, en développant l'analyse fonction- 
nelle pour elle-même et dans le sens d'une généralisation du calcul infini- 
tésimal. Nous ne saurions faire la part assez grande aussi à l'école de M. Fré- 
chet, mais elle est dirigée plus spécialement vers la partie abstraite de cette 
nouvelle discipline. M ntionnons aussi M. Gâteaux, mort à la guerre en 
septembre 1914, à qui l'on doit quelques-unes des notions les plus profondes 
et les plus originales. 

Si l'on a pu comparer le calcul fonctionnel à la montagne qui accouche 
d'une souris, nous estimons que le livre si riche d'idées fécondes et sugges- 
tives en même temps que de résultats cristallisés et désormais classiques, 
que M. Paul Lévy publie aujourd'hui, contribuera à augmenter l'intérêt 
que l'on porte à ces questions et fera peut-être renaître, plus éprouvée, la 
grande espérance d'autrefois. 

Il faut distinguer deux domaines dans le calcul fonctionnel. 

Une fonction de lignes est un nombre dont la valeur dépend de toutes les 
valeurs d'une fonction appelée argument, ce nombre variant en général 
lorsqu'on fait varier l'argument. L'exemple le plus simple de fonction de 
ligne, ou de fonctionnelle est l'intégrale définie. 

Dans l'étude des fonctions de points / (x), on néglige habituellement 
l'étude du champ de variabilité de la variable indépendante, car dans les 
cas ordinaires, celui-ci se réduit à un intervalle et il n'y a rien de plus simple. 
Mais, lorsqu'il s'agit d'une fonction de lignes, les choses se présentent 
différemment et le premier domaine qui est ouvert au calcul fonctionnel 
est l'étude des ensembles de fonctions ou de lignes et des caractères de conti- 
nuité ou de discontinuité de la fonctionnelle définie sur ces ensembles. 

Cette étude a été entreprise par MM. Arzela, Hilbert, Montel et surtout, 
d'un point de vue plus systématique et abstrait par M. Frechet. M. Tonelli 
a réuni les propriétés essentielles de ces ensembles dans son livre Funda- 
menti del calcolo délie variazioni dont nous avons dit un mot dans une 
notice précédente. 

Le second domaine est l'extension aux fonctionnelles des notions de 
dérivation, d'équation différentielle et, après elles, de tout le calcul infini- 
tésimal. 

D'importants résultats ont été obtenus dans cette voie. 

M. Hadamard, dans ses Leçons sur le calcul des variations, M. Vol- 
terra dans ses Leçons sur l intégration des équations difj érentielles aux 
dérivées partielles professées à Stockholm, puis dans deux monographies 
de la collection Borel Leçons sur les équations intégrales et les équations 
intégro-diff érentielles et Leçons sur les fonctions de ligne; M. Paul Lévy, 
lui-même, dans sa thèse et dans différents mémoires parus dans les 



322 Bl B LIOa HA l'HIE 

Rendiconti del circolo matematico di Palermo avaient déjà introduit la 
notion de dérivée fonctionnelle et d'équations aux dérivées fonctionnelles 
qui généralise la notion d'équation différentielle. Ces différents auteurs ont 
spécialement approfondi les questions d'analyse fonctionnelle en rapport 
avec des problèmes classiques de physique mathématique. 

C'est ce second domaine qu'explore le jeune professeur de l'Ecole poly- 
technique de Paris dans ses leçons d'analyse fonctionnelle et cela par intérêt 
purement analytique. 

Dans ce vaste champ, M. Volterra et M. Hadamard ont cueilli quelques 
fleurs d'un remarquable éclat; l'équation aux dérivées fonctionnelles par- 
tielles, à laquelle conduit le problème de Dirichlet, l'expression de la varia- 
tion de la fonction de Green et l'équation d'Hadamard, la représentation 
d'une fonctionnelle linéaire par une limite d'intégrale, constituent des 
résultats, on ne peut plus élégants, propres à encourager les chercheurs. 

Le livre actuel contient une foule de questions nouvelles. M. Paul Lévy a 
plus d'une fois proclamé que tout chapitre de l'analyse a sa généralisation 
dans le calcul fonctionnel. Ce sont quelques-unes de ces généralisations 
qu'il a développées. 

Il s'est donc placé sur un terrain plus général, parfois entièrement nou- 
veau, et a procédé d'une manière plus systématique que M. Volterra en 
particulier. 

Un exposé complet de l'analyse fonctionnelle devrait contenir la théorie 
des fonctions à une infinité de variables, des formes quadratiques aune infi- 
nité de dimensions et des équations intégrales, ainsi que tout le calcul 
des variations. Mais ce sont là des enfants émancipés et pour ainsi dire 
détronqués. M. Lévy a dû se restreindre à ce qui procède de l'idée de fonc- 
tion de ligne dans ce qu'elle a de plus pur. 

Il étudie différentes formes de continuité d'une fonctionnelle, puis les 
représentations générales d'une fonctionnelle continue, qui généralisent 
le développement en série de polynômes données par MM. Hadamard, 
Frechet et Riesz. 

Puis il aborde l'étude de la dérivation d'une fonctionnelle et de l'intégra- 
tion de différents types d'équations aux dérivées fonctionnelles du premier 
ordre et parvient à la généralisation des notions d'intégrale complète, de 
caractéristique et de la méthode d'intégration de Cauchy. 

M. Lévy avait déjà introduit dans sa thèse (1910^ la notion d'équation 
complètement intégrale qui jette une vive lumière sur ces questions diffi- 
ciles. 

Mentionnons en passant une généralisation des équations de Jacobi- 
Hamilton dont s'était occupé déjà M. Prange. 

Enfin, plusieurs chapitres sont consacrés à l'étude des équations aux 
dérivées fonctionnelles partielles du second ordre, d'une équation généra- 
lisant celle de Laplace et des fonctionnelles harmoniques. Cette étude intro- 
duit une formule qui généralise celle de Green et nécessite la notion d'inté- 
grale dans le domaine fonctionnel, laquelle, comme l'a montré Gâteaux, doit 
se ramener à celle de moyenne. Comme le fait remarquer l'auteur, tandis 
que, jusqu'ici, l'analyse fonctionnelle présentait avec l'analyse ordinaire 
une analogie remarquable, la théorie de la moyenne en calcul fonctionnel 
est quelque chose d'essentiellement nouveau. 

L'étude de ce livre exige des connaissances très étendues. 

M. Lévy a, autant que possible, rappelé sommairement les notions qui 



H I H I. I 0(, I! A P H 1 E 323 

sont indispensables pour épargner le temps des lecteurs qui pénétreraient 
dans ce vaste champ pour la première fois ; notamment les notions d'inté- 
grales de Lebesgue et de Stieltjes. 

L'analyse fonctionnelle est en plein défrichage. M. Lévy à qui l'on doit, 
avec M. Gâteaux, les principaux résultats et les idées les plus suggestives 
et les plus profondes dans ce domaine, laisse de nombreuses questions 
inachevées. Il y a là matière à des recherches qui pourraient être très 
fructueuses. Ceux qui s'y sont spécialisés sont rares. Mais nous croyons 
que la publication de ce livre, impatiemment attendue, engagera quelques 
jeunes mathématiciens à suivre cette voie, en même temps qu'elle facilitera 
et systématisera leurs recherches. Rolin Wavre (Genève). 

Ch.-J. DE LA Vallée-Poissin. — Cours d'analyse intinitésimale. — 

Quatrième édition; 2 vol. in-8°. Tome 1, ix -|- 434 p., 1921; tome II, 
XII -f- 478 p., 1922; A. Uystpruyst-Dieudonné, Louvain ; Gauthier- 
Villars et Cie, Paris. 

Il serait superflu de rappeler l'importance et l'utilité, pour ceux qui 
étudient ou enseignent le calcul infinitésimal, du cours d'analyse de l'émi- 
nent mathématicien belge. La troisième édition, presque achevée, a disparu 
dans les flammes à Louvain en août 1914. Elle contenait une contribution 
personnelle étendue à la théorie des ensembles et de l'intégrale de Lebesgue. 
Depuis lors, M. de la Vallée-Poussin a publié ses recherches sur ce sujet 
-dans son ouvrage : « Intégrale de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes 
de Baire » (Paris, Gauthier- Villars, 1916). Ces questions, ainsi que celles 
traitées en petit te'xte dans l'ancienne édition, ne figurent plus dans la 
nouvelle. Souhaitons qu'elles puissent prendre place, avec d'autres, comme 
l'auteur l'espère dans un troisième volume de la présente édition. 

Un progrès essentiel, réalisé en mathématique pure durant ces dernières 
années, a consisté à réduire au minimum les suppositions que l'on doit faire 
sur un être mathématique, pour pouvoir lui attribuer telle propriété, qu'on 
lui reconnaît dans un cas particulier. S'il est plus simple de faire dans une 
démonstration quelques hypothèses surabondantes, sur l'être que l'on étudie, 
pour énoncer une proposition, il est, par contre, plus logique de réduire 
ces hypothèses autant que possible, pour atteindre à un plus haut degré 
de généralité. Une telle méthode, avare d'hypothèses, montre, en plus, la 
charpente d'une théorie, la manière dont les propositions s'emboîtent les 
unes dans les autres. Cette préoccupation se retrouve dans de nombreux 
chapitres de ce cours, notamment, au début, dans l'étude des fonctions 
continues, des conditions de dérivation et de différentiation des fonctions 
explicitement ou implicitement définies. C'est ainsi, par exemple, que l'au- 
teur donne le- théorème d'existence des fonctions implicites sous la forme 
générale de M. Young. Au même point de vue, les théorèmes d'existence 
des équations différentielles et les propriétés des intégrales envisagées dans 
un système donné, et comme fonctions des valeurs initiales ou de certains 
paramètres sont traités avec plus de soin qu'on ne le fait d'ordinaire. 
Si M. de la Vallée-Pou.ssin n'a pas abordé, dans ce cours, l'étude des fonc- 
tions analytiques, des travaux de Cauchy, Riemann et Weierstrass, c'est 
au bénéfice d'une étude plus détaillée et plus minutieuse du domaine réel. 
Mentionnons, sans avoir la prétention d'être complet dans notre analyse, 
certains chapitres dont l'étude est spécialement approfondie. 



324 BIBLIOGRAPHIE 

Les intégrales eulériennes, exposées déjà dans la première édition, sont 
reprises ici d'une façon détaillée : nombres de BernouUi, fonctions B et r, 
formule de Legendre, produit d'Euler, intégrale de Raabe, expression des 
eulériennes en produit infini et représentation asymptotique. 

L'auteur nous avise modestement dans sa préface, que l'on reconnaîtra 
sans peine dans ce chapitre l'empreinte de l'enseignement d'Hermite. 

Dans un nombre de pages équivalent, une trentaine environ, l'auteur 
donne un exposé qui nous paraît assez étendu des propriétés que l'on peut 
énoncer relativement aux séries de Fourier et aux séries trigonométriques, 
sans faire intervenir la notion d'intégrale de Lebesgue. Mentionnons : 
le théorème de Riemann en vertu duquel la manière dont se comporte la 
série de Fourier au point x ne dépend que des valeurs de la fonction dans le 
voisinage du point or ; la condition nécessaire et suffisante pour que la série 
de Fourier converge vers une limite déterminée ; les critères de convergence 
de la série vers la fonction qui lui a donné naissance, notamment ceux de 
Dini et de Jordan. 

Puis un certain nombre de pages sont consacrées aux procédés de som- 
mation des séries de Fourier, au théorème de Hardy-Landau, à l'étude des 
singularités des séries de Fourier, puis à l'étude des séries trigonométriques 
quelconques dans laquelle, comme on sait, la dérivée seconde généralisée 
de, Riemann et un théorème de Schwarz jouent un rôle essentiel et permet- 
tent d'arriver au théorème de l'unicité du développement. ■ 

Mentionnons, en passant, une introduction très courte, mais très sugges- 
tive au calcul des différences finies. Les applications géométriques n'ont 
point été négligées. En particulier, l'étude des lignes tracées sur une sur- 
face y occupe une soixantaine de pages et les lignes géodésiques à elles seules 
une vingtaine. On sait l'importance de cette dernière notion, ainsi que celle 
de courbure dans la mécanique relativiste. Ceux aux*quels l'étude de la 
multiplicité riemannienne à quatre dimensions paraîtrait trop formelle 
trouveront dans ces quelques pages et sans avoir besoin de consulter les 
leçons de Darboux, une étude détaillée de ces notions, attachées à la forme 
métrique de Riemann, pour une multiplicité visible et tangible à deux 
dimensions. Mentionnons les notions de courbure et de torsion géodésique; 
invariance de la courbure géodésique relativement à une déformation de 
la surface ; équation différentielle des géodésiques en coordonnées quel- 
conques ; étude des lignes géodésiques infiniment voisines, condition pour 
qu'elles ne se coupent pas ; unicité d'une géodésique passant par deux 
points sur une surface à courbure négative ; expression de la longueur 
d'une géodésique, condition pour qu'elle jouisse de la propriété connue de 
minimum et enfin, coordonnées polaires géodésiques. 

Je suspends ici cette analyse. Qu'il me suffise d'avoir montré que, pour 
le domaine réel, le cours de M. de la Vallée-Poussin est sur de nombreux 
points, plus détaillé que ceux de MM. Jordan, Picard ou Goursat, auxquels 
on sera souvent tenté de le comparer. 

11 faudrait une analyse plus approfondie pour dégager l'apport personnel 
de l'auteur aux matières qui y sont abordées. Cet apport est certainement 
très important. R. Wavre (Genève). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . ïji\ re>< nouveaux : 

Tous les ouvrages adressés à la Rédaction sont signalés ici avec une brève 
indication de leur contenu, sans préjudice de l'analyse dont ils peuvent être 
ultérieurement Vobjet sous la rubrique >.i. Bibliographie ». 

LAcadémie royale de Belgique depuis sa fondation (1772-1922). — 1 vol. 
in-8 de 342 p.; Hayez, Iinp. de l'Académie, Bruxelles. 

Publié à roccasion du 150 anniversaire de l'Académie Royale de Belgique, 
ce livre fournit un tableau sommaire du rôle que joue cette institution 
dans la vie intellectuelle belge. On trouvera dans l'histoire de la classe des 
sciences un aperçu des travaux fournis par les savants qui ont appartenu 
à la section des sciences mathématiques et physiques Quetelet, Catalan, 
J. de Tilly, Paul Mansion, J. Massau, Fr. Deruyts, etc.). 

American Mathematical Society, Colloquium Lectures, Volume V : 
The Cambridge Colloquium 1916, Part I. Griffith Conrad Evans : Func- 
tionals and their Applications selected Topics, including intégral Equations. 
Part II : Oswald Veblen : Analysis Situs. — 1 vol. in-8, de 136 et 150 p.; 
American Math. Soc, New- York. 

Ce volume contient les conférences faites en 1916 sous les aiispices de 
V American Mathematical Society. Dans la première partie sont reproduites 
les cinq conférences de M. Evans sur les problèmes fondamentaux du calcul 
fonctionnel et quelques-unes de ses applications, d'après* les travaux de 
MM. Volterra, Bôcher, P. Lévy, E.-H. Moore, etc.). 

La seconde partie comprend les conférences dans lesquelles M. Veblen 
expose les principes fondamentaux de l'Analysis situs des multiplicités 
d'après les travaux de Poincaré. 

E. Bauer. — La théorie de la relativité. Préface de M. Langevin. — 
1 vol. in-8, de 128 p., broché, 6 fr. Librairie de l'Enseignement technique, 
L. EyroUes, Paris. 

M. E. Bauer, professeur à la Faculté des Sciences de Strasbourg, vient de 
publier une excellente introduction à la théorie de la relativité. Nous la 
signalons tout particulièrement à l'attention de ceux qui désirent faire une 
première étude de la théorie sous la conduite d'un physicien. 

« Ceux qui voudront bien suivre M. Bauer, dit M. Langevin dans sa 
Préface, peuvent être certains d'avoir un bon guide vers les hauts sommets 
récemment découverts et les grands horizons sur lesquels, çà et là, flotte 
encore un peu de la brume du matin, mais où notre avant-garde a déjà 
exploré des pays merveilleux ». 



326 BULLETIN B 1 H L I O G R A V II l(> U E 

E. BoREL. — Méthodes et problèmes de théorie des fonctions. (Collection 
de monographies sur la théorie des fonctions). — 1 vol. in-8 de 148 p.; 
Fr. 12; Gauthier- Villars et Cie. Paris. 

Dans ce neuvième volume de la Collection de Monographies sur la théorie 
des fonctions, M. Borel a rassemblé un certain nombre de Notes et de Mé- 
moires qui n'avaient pas trouvé place dans les Ouvrages antérieurs et dont 
certains lui ont paru cependant pouvoir être le point de départ de recher- 
ches nouvelles. Il les a fait précéder d'une courte Introduction où il a 
indiqué de quelle utilité peuvent être les comparaisons et le langage de la 
biologie en théorie des fonctions. 

J. BoussiNESQ. — Cours de physique mathématique de la faculté des 
sciences. — Compléments au tome III : Conciliation du véritable déter- 
minisme mécanique avec l'existence de la vie et de la liberté morale. — 
1. vol. in-8 de XLVIII-217 p.; Fr. 30; Gauthier- Villars et Cie, Paris. 

Dans ce volume l'auteur présente une série de notes complémentaires 
au tome III de sa théorie analytique de la chaleur. Dans son étude sur la 
conciliation du véritable déterminisme avec l'existence de la vie et de la 
liberté morale, il examine les objets suivants : 

Considération sur la représentation analytique des phénomènes et sur 
leur division, indiquée par la théorie, prouvée par l'expérience, en deux 
classes très distinctes. ■ — Exemples de solutions singulières en mécanique : 
elles ne s'y présentent que pour certains modes d'état initial, artificiel- 
lement irréalisables. — Sur l'existence, pressentie peut-êtrf par Poisson, 
d'une dynamique supérieure ou dynamique des principes directeurs. Con- 
clusion de ce Mémoire. 

C. Brandenberger. — Das abgekùrzte Rechnen. — 1 vol. in-8 de 22 p.; 
Fr. 1.50; Orell Fussli, Ed., Zurich. 

Les maîtres de l'enseignement secondaire trouveront dans ce petit 
opuscule un excellent exposé des notions sur les approximations dans les 
calculs numériques destinées aux élèves des classes supérieures. 

H. Galbrun. — Introduction à la théorie de la relativité, Calcul diffé- 
rentiel absolu et géométrie. — 1 vol. in-8 de 460 p.; Fr. 60; Gauthier-Villars 
et Co, Paris. 

Après unf étude complète des méthodes du calcul différentiel absolu, 
l'auteur expose la théorie du déplacement parallèle d'un vecteur, selon 
M. Lévi-Cività et selon M. Weyl. Dans une seconde partie, il analyse les 
difficultés présentées dans la théorie électromagnétique classique par l'in- 
terprétation des expériences de Michelson et de Fizeau ainsi que la solution 
que M. Einstein s'est proposé de leur donner en imaginant la théorie de la 
relativité restreinte. 

M. Grossmann. — Darstellende Géométrie, 1. Teil (Teubners Technische 
Leitfâden, Band 2), zweitc durchgesehene Aufl. — 1 vol. in-8, de 81 p. avec 
134 fig. et 100 exercices; Fr. 4.55; B. G. Teubner, Leipzig. 

Le tome I du Précis de Géométrie descriptive de M. Marcel Grossmann, 
professeur à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich, contient les notions 
fondamentales de la méthode de Monge avec l'étude des problèmes rela- 



BULLETIN ht l H I. I OU R A P n I O U E •i'il 

tifs au prisme, à la pyramide et aux corps ronds. Cette nouvelle édition 
ne diffère de la première que par quelques améliorations dans le texte et 
les figures. 

J. Haag. — Cours complet de mathématiques spéciales. — Tome IlL 
Mécanique. — 1 vol. in-8 de 188 p.; Gauthier- Villars et Cie, Paris. 

L'auteur expose les éléments de mécanique rationnelle qui figurent au 
programme de mathématiques spéciales. Les matières sont réparties comme 
suit : Notions générales de cinématique — Mouvements ponctuels remar- 
quables — Cinématique du corps solide — Principes fondamentaux de la 
Dynamique — Dynamique du point — Notions sur la Dynamique des 
systèmes — Les unités en Mécanique — Statique — Applications de la 
statique. 

Dans les applications et les exercices on trouvera de nombreux pro- 
blèmes qui se présentent couramment en Physique ou dans l'industrie. 
Des exemples numériques permettent de familiariser le lecteur avec l'em- 
ploi des unités. 

HuRwiTz-CouRA\T. — Funktionentheorle (DieGrundlehrendermathema- 
tischen Wissenschaften in Einzeldarstellung.) Vorlesungen ûber allgeineine 
Funktionentheorie und elliptische Funktionen, hrsggb. u. ergànzt durch 
einen Abschnitt ûber Geometrische Funktionentheorie. — 1 vol. in-8 de 
392 p. avec 122 fig.; broché, Fr. 15; J. Springer, Berlin. 

L'ouvrage comprend trois parties. Dans les deux premières, se trouvent 
reproduites les leçons sur la théorie générale des fonctions et les fonctions 
elliptiques, professées par A. Hurwitz à l'Ecole Polytechnique fédérale 
de Zurich, et basées principalement sur les méthodes de Weierstrass. Le 
point de vue de Riemann et ses développements modernes sont exposés dans 
la troisième partie, rédigée par M. Courant, professeur à l'Université de 
Gœttingue. 

G. Jager. — Theoretische Physik, t. 111 : Elektrizitàt und Magnetismus 
(Sammlung Gôschen) Fûnfte, verbesserte Auflage. — 1 vol. in-16 de 139 p.; 
avec 33 fig.; Fr. 1,50. Vereinigung wissenschaftlicher Verleger, Walter de 
Gruyter et Co., Berlin. 

Cinquième édition, revue et complétée, du troisième volume de la Phy- 
sique théorique rédigé par le professeur G. Jàger (Vienne) pour la collec- 
tion Goschen. L'auteur expose les notions fondamentales de l'électro- 
statique, du magnétisme et de l'électromagnétisme. 

K. KoMMERELL. — DcF Bcgrlff des Grenzwerts in der Elementarmathe- 
matik. (Beihefte zur Zeitschrift fur math, und naturwiss. Unterricht hrsgbn 
von W. Lietzmann u. W. Hillers) Nr. 6. — 1 vol. in-8 de 62 p. avec 25 fig.; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Ce fascicule reproduit, avec quelques compléments, les conférences sur 
la notion de limite que M. Kommerell, professeur à l'Ecole technique su- 
périeure de Stuttgart, a été appelé à faire aux maîtres de l'enseignement 
secondaire du Wurtemberg. Il sera lu avec profit par tous ceux qui sont 
chargés d'initier leurs élèves à la notion de fonction et aux méthodes du 
calcul infinitésimal. 



328 HU I.LETl y Hl H LIO G H A P HIQ U E 

SoPHus Lie. — Gesammelte Abhandlungen auf Grund einer Bewilligung 
aus dem norwegischen Forschungstonds von 1919 mit Unterstiitzung der 
Videnskapsselskap zu Kristiania und der Akademie der Wissenschaften 
zu Leipzig herausgegeben von dem norwegischen Mathematisciien Verein, 
durch Friedrich Engel und Paul Heegaard. Dritter Band : Abhandlungen 
zur Théorie der Dijjerentialgleichungen. Erste Abteilung, herausgegeben 
von F. Engel. — 1 vol. in-8, cartonné, de 789 p.; H. Aschehoug, Kris- 
tiania. 

C'sst par ce volume que commence la publication des mémoires scien- 
tifiques du savant mathématicien norvégien Sophus Lie. Il renferme les 
travaux sur la théorie des équations différentielles qui ont paru de 1872 à 
1882 (42 mémoires annotés par M. Fr. Engel). 

L. KiEPERT. — Grundriss der Differential-Rechnung. II. Band : Einige 
grundlegende Untersuchungen aus der Algebra und Funktionen von 
mehreren unabhàngigen Verànderlichen. — 1 vol. in-8 de 360 p. avec 193 
fig., Helwingsche Verlagsbuchhandlung, Hanovre. 

Quatorzième édition du Tome II du traité bien connu de Calcul diffé- 
rentiel de M. Kiepert, professeur à l'Ecole technique supérieure de Hanovre. 
L'ouvrage est principalement consacré à des chapitres complémentaires 
d'algèbre (résolution des équations algébriques, déterminants) et à l'étude 
des fonctions de plusieurs variables (différentiation; applications géomé- 
triques; série de Taylor; maxima et minima). 

F. Michel et M. Potron. — La composition de mathématiques dans 
l'examen d'admission à l'Ecole Polytechnique de 1901 à 1921. (Exercices 
d'application du cours de mathématiques spéciales). — 1 vol. in-8 de 452 p. 
avec figures; 40 fr.; Gauthier- Villars et Cie, Paris. 

Ce nouveau Recueil de problèmes comprend, dans sa première partie, les 
solutions développées des problèmes donnés au Concours d'admission à 
l'Ecole polytechnique de 1901 à 1921. Dans la deuxième partie les auteurs 
ont réuni et classé, dans l'ordre même du programme, tous les problèmes 
simples auxquels ils ont été conduits dans la première partie : Algèbre et 
analyse. — Trigonométrie et Géométrie analytique dans le plan. — Géo- 
métrie analytique dans l'espace et Mécanique. 

Les candidats trouveront donc pour chaque partie importante du cours, 
une série d'exercices se rapportant uniquement à ce point précis. Ce Recueil 
sera aussi très utile aux professeurs en leur fournissant de nombreux types 
d'exercices, dont il leur sera facile de varier les combinaisons, suivant la 
force de leurs élèves. 

C. H. Mïller u. g. Prange. — AUgemeine Mechanik Grundlegende 
Ansàtze und elementare Methoden der îMechanik des Punktes und der 
Punktsysteme. Eine Einfiilirung fur Studierende der \atur- und Ingenieur- 
Wissenschaften. — 1 vol. in-8 de 551 p.; Helwingsche Verlagsbuchhandlung, 
Hanover. 

Sous le titre de « Mécanique générale » les auteurs ont réunis dans cet 
Ouvrage les notions fondamentales de mécanique rationnelle indispensables 
aux physiciens et aux ingénieurs. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 329 

Neue Lehrplane fur den mathematischen und naturwissenschaftlichen 
Unterricht an den hôheren Lehranstalten nach den Meraner Lehrplane 
vom Jahre 1905 neubearbeitet vom deutschen Ausschuss fur den math, 
u. naturwiss. Unterricht. — 1 vol. in-8, de 45 p.; broché, Fr 1.45; B G. 
Teufcner, Leipzig. 

Nouveaux plans d'études détaillés pour les mathématiques et les sciences 
naturelles dans l'enseignement secondaire supérieur allemand, avec une 
préface de M. H. E. Timerding et de nombreuses annotations d'ordre 
méthodologique. 

S. PiNCHERLE. — Gli Elementi délia Teoria délie Funzioni Analitiche. 

(Parte Prima). — 1 vol. in-8 de 401 p.; 45 lires; Nicola Zanichelli, Bologne. 
Première partie du Cours sur les éléments de la théorie des fonctions 
analytiques que professe l'auteur à l'Université de Bologne. Excellente intro- 
duction comprenant les notions essentielles sur les fonctions elliptiques, 
les fonctions hypergéométriques, la fonction eulérienne et la fonction 
gamma. 

K. RoHN. — Stéréométrie, Ein Handbuch fiir Studierende und Lehrer, 
mit einem Geleitwort von F. Klein. — 1 vol. in-8 de, 188 p. et 65 flg.; 
4 fr.; R. Noske, Borna-Leipzig, 1922. 

Sous le titre de Stéréométrie, M. Rohn, professeur à l'Université de Leip- 
zig, a réuni quelques chapitres de Géométrie synthétique qui forment un 
complément utile à l'étude de la Géométrie élémentaire à 3 dimensions 
et de la Géométrie descriptive. 

Projection oblique et projection centrale ; propriétés projectives. — 
Sphère, cylindre et cône. — Inversion. Projection stéréographique. — Sec- 
tions planes du cône. — Sections coniques considérées comme projections 
centrales d'une circonférence. — Déplacements simples d'une figure 
géométrique; translation: symétrie; rotation. - — Problèmes. 

Salmon-Fiedler. ^ Analytische Géométrie des Raumes unter Mitwir- 
kung von A. Brill, neu herausgegeben von Karl Kommerell. Erster 
Teil : Die Elemente und die Théorie der Flachen zweiter Ordnung. Fiinfte 
Auflage. — 1 vol. in-8, 612 p. et 71 fig., Fr. 22.25; B. G. Teubner, Leipzig, 
1922. 

La cinquième édition allemande de la Géométrie analytique à trois 
dimensions de Salmon a été entièrement remaniée par M. Kommerell qui 
a tenu compte des tendances actuelles de la science. Ce premier volume est 
consacré aux éléments de la Géométrie analytique à trois dimensions et à 
l'étude des quadriques : 

Systèmes de coordonnées; coordonnées pltickeriennes, coordonnées tétra- 
édriques. — Formes quadratiques; invariants. — Quadriques; classifica- 
tion; propriétés générales; cubiques gauches; faisceaux de quadriques. — 
Propriétés focales des quadriques. — Cônes du 2« ordre et coniques sphé- 
riques. — Invariants et covariants des quadriques. — Métrique projective. 

L. Schlesinger. — Einfiihrung in die Théorie der gewôhnlichen Diffe- 
rentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage. — Dritte 
neubearbeitete Auflage. — 1 vol. in-8 de 320 p.; Fr. 10; Walter de Gruyter 
u. Co., Berlin. 

Nouvelle édition, entièrement refondue, de « l'Introduction à la théorie 

L'Enseignement mathéni., 22" anm-c; 1921 et 1922. 22 



330 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

des équations différentielles « rédigée par M. Schlesinger, professeur à 
l'Université de Giessen. Mis en harmonie avec les progrès de la théorie des 
fonctions cet ouvrage constitue pour l'étudiant un très bon guide dans cet 
important domaine de l'analyse. 

« 

Th. ScHMiD. — Darstellende Géométrie. 1. ^Sammlg. Schubert 65). — 
1 vol. in-8 de 283 p. avec 170 fig. relié; 3^ édition; fr. 7.50; Vereinigung 
wissenschaftlicher Verleger, Walter de Gruyter et Co, Berlin, 1922. 

Troisième édition de la Géométrie descriptive rédigé par M. Th. Schmid 
pour la Colbction Schubert, d'après le Cours qu'il professe à l'Ecole techni- 
que supérieure de Vienne. Ce premier volume est consacré à la Géométrie 
de Monge (problèmes fondamentaux concernant la sphère, les surfaces 
coniques, les surfaces cylindriques) et aux principes de l'axonométrie ortho- 
gonale. 

H. ScHi TZE. — Die mathematischen Grundlagen der Lebensversicherung. 

(Math.-Phys. Bibliothek) Band 46. — 1 vol. in- 16 de 48 p.; Fr. 0,95; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

Sous \ine forme très condensée l'auteur présente les notions essentielles 
qui forment une première initiation au calcul des assurances sur la vie. 
Son exposé est accompagné d'exemples et de tables numériques. 

D. J. STRuik. — Grundzuge der mehrdimensionalen Differentialgeome- 
trie in direkter Darstellung. — 1 vol. in-8 de 198 p.; Julius Springer, Berlin. 

L'auteur expose les principes fondamentaux de la Géométrie infinité- 
simale dans l'espace à n dimensions en tenant compte des travaux les plus 
récents. 

M. Stuyvaert. — Algèbre (Premier degré) à l'usage des écoles primaires, 
moyennes, normales. Athénées et Collèges et des Autodidactes. — 1 vol. 
in-8 de 117 p., Fr. 4.50; Van Rysselberghe et Rombaut, Gand. 

Ouvrage destiné à la première initiation à l'Algèbre. Ce premier volume 
comprend les chapitres suivants : Algèbre intuitive. — Nombres négatifs 
et calculs des polynômes. — Equations du premier degré. — Chacune de 
ces parties est accompagnée de nombreux exercices et problèmes. 

G. N. Watson. — A Treatise on the Theory of Bessel Functions. — 1 vol. 
in-4, de 804 p.; 70 sh. net; Cambridge University Press, C. F. Clay, Londres. 

Dans ce bel Ouvrage, très riche par sa documentation, M. Watson fait 
un exposé très complet de la théorie des fonctions de Bessel et de ses appli- 
cations à la Physique mathématique. En voici le sommaire : 

Bessel Functions before 1826. — The Bessel Coefficients. — Bessel 
Functions. — Differential Equations. — Miscellaneous Properties of 
Bessel Functions. — Asymptotie Expansions of Bessel Functions. — Bessel 
Functions of large Order. — Polynomials associated with Bessel Functions. 
— Functions associated with Bessel Functions. — Addition theorems. — 
Definite Intégrais. — Multiple Intégrais. — The Zéros of Bessel Functions. 
■ — Neumann Séries and Lommel's Functions of two variables. — Kapteyn 
Séries. — Séries of Fourier. — Bessel and Dini-Schlômikh Séries. — The 
Tabulation of B<>s.sel Functions. — Table of Bessel Functions. — Biblio- 
graphy. — Index of Symbols. — List of Authors quoted. — General 
Index. 



BUf.LETiy m BI.IOG HAP II IQU E 331 

J. WixTERNiTZ. — Relativitàtstheorie und Erkenntnislchre. Eine Unter- 
suchung ûber die Erkenntnistheoretischen Grundlageii der Einsteinschen 
Théorie und die Bedeutung ihrer Ergebnisse fur die allgemeinen Problème 
des Naturerkennens. (VVissenschaft und Hypothèse, XXIII). — 1 vol. 
in-8° de 230 p. avec 6 fig. ; broché Fr. 11,20; B. G. Teubner, Leipzig. 

Dans ce nouveau volume de la collection « Wissenschaft u. Hypothèse » 
l'auteur examine les bases de la théorie de la relativité, envisagées au point 
de vue de la théorie de la connaissance et il étudie leur rôle dans les 
problèmes généraux de la connaissance de la nature. 

A. WiTTiNG. — Abgekiirzte Rechnung iMathematisch-Physikaiische 
Bibliothek, Band 47). — Funktionen Schaubilder und Funktionenstafeln. 
(Id., Band 48). — 2 vol. in-16 de 51 et 41 p.; Fr. 0,95 par volume; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

M. Witting vient de rédiger deux nouveaux volumes de la collection des 
initiations mathématiques intitulé « Mathematisch-Physikalische Biblio- 
thek ». Dans le premier, il a réuni quelques notions élémentaires sur l'ap- 
proximation dans les calculs, présentées avec de nombreux exemples numé- 
riques; il les fait suivre d'une introduction au calcul logarithmique. 

Dans l'autre, il examine la représentation graphique des fonctions 
simples avec tables numériques (carrés, racines carrées, etc.), Il s'attache 
plus particulièrement au rôle des fonctions y = ax; y ^ ax + b; xy = k^; 
y = ax'-; j/ = x". — Il les accompagne de quelques indications sur l'inter- 
polation. 



S. l*ul>licatioii!< |>éi*ioclii|(ie!< : 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 2^^ semestre 1921. 
— 4 juillet. — Bertrand G.\mbier: Surfaces imaginaires applicables sur 
une surface de révolution ou sur une surface moulure réelle: systèmes cj'cli 
ques réels correspondants. — 11 juillet. — S. Carrus: Recherches des 
systèmes triples orthogonaux. — 18 juillet. — M. Janet: Sur les caracté- 
ristiques de certains systèmes aux dérivées partielles comprenant autant 
d'équations que de fonctions inconnues. — A. Denjoy. — Sur un mode 
d'intégration progressif et les caractères d'intégrabilité correspondante. — 
25 juillet. — P. Humbert: Formule de multiplication pour la fonction de 
Kusumer. — E. Borel: Sur les hypothèses fondamentales de la physique 
et de la géométrie. — l*^"" août. — L. Antoine: Sur les ensembles parfaits 
partout discontinus. — J. Kampe de Feriet: Sur certains systèmes 
associés d'équations aux différences fmies et d'équations aux dérivées 
partielles linéaires. — 8 août. — P. Fatou: Sur les domaines de certaines 
fonctions uniformes. — Potron: Sur une représentation du groupe de 
27 droites en groupe de collinéations quaternaires. — A. Demovlin: Sur 
les suT'faces cerclées. — Kinossuke Ogura: Sur le mouvement d'une par- 
ticule dan= le champ d'un noyau ihari.'e. — 22 août. — J. Kampe d: Periet: 
Les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur, à deux variables. — 
K. Oglra: Sur le mouvement d'une particule dans le champ dun noyau 
chargé. — 29 août. — De Ségiier: Sur le groupe quaternaire primitif 
d'ordre 25920 et le groupe hessien. — J. Chazy: Sur les courbes définies 



332 B UL I. E TIN Hlli LIO G H A l' Il I O U E 

parles équations différentielles du second ordre. — S. Garrus: Sut les systè- 
mes triples orthogonaux. — G. Bertrand: La loi de Newton et la formule 
d'Einstein pour le périhélie des planètes. — 5 septembre. — S. Banach: 
Sur les ensembles de points où la dérivée est infinie. — ■ 19 sept. — J. Kampe 
DE Feriet: Quelques propriétés des fonctions hypergéométriques d'ordre 
supérieur à deux variables. ■ — 26 sept. — Th. Varopoulos: Sur quelques 
propriétés des fonctions croissantes. — L. Caste els: Sur un type de géné- 
ration quadratique doublement continue d'une cubique plane donnée par 
neuf points simples. — J. Chazy: Sur la stabilité à la Poisson dans le pro- 
blème de trois corps. — K. Ogura: Sur le champ statique de gravitation 
dans l'espace vide. — 3 octobre. — G. Giraud : Sur les équations non linéai- 
res aux dérivées partielles du second ordre du type elliptique. — Drouin 
Contribution à une étude générale des algorithmes illimités. — 10 octobre — 
Th. Varopoulos: Sur les fonctions croissantes. — P. Fatou: Sur les fonc- 
tions qui admettent plusieurs théorèmes de multiplication. — G. Valiron: 
Le théorème de Picard-Borel dajis la théorie des fonctions entières. — 
J. Chazy : Sur la stabilité dans le problème des trois corps. — 17 octobre. — - 
M. Brillouin: Atome de Bohr. Fonction de Lagrange circum-nucléaire. — • 
K. Ogura: Sur la courbure des rayons lumineux dans le champ de gravi- 
tation. — 24 octobre. — G. Julia: Sur la permutabilité des substitutions 
rationnelles. — Th. Varopoulos : Sur les fonctions croissantes. — P. Fatou : 
Sur un groupe de substitutions algébriques. — Riabouchi.xski: Equations 
du mouvement d'un fluide rapportées à des axes mobiles. — ■ 2 novembre. — 
M. Gevrey: Sur les équations linéaires aux dérivées partielles admettant 
une seule famille de caractéristiques imaginaires. — Riquier : Sur les 
familles complètes de figures intégrales d'un système d'équations aux déri- 
vées partielles du premier ordre et sur l'application de leurs propriétés à la 
théorie des systèmes différentiels quelconques. — B. Gambier: Corres- 
pondance conforme entre deux surfaces avec conservation des lignes de 
courbure et de la valeur absolue du rapport des rayons de courbure prin- 
cipaux. — K. Ogura: Extension d'un théorème de Liouville au champ 
de gravitation. — ■ 7 nov. — G. Julia: Sur une classe d'équations fonction- 
nelles. — H. Villat: Sur certaines équations intégrales possédant une infi- 
nité de solutions avec un nombre illimité de paramètres arbitraires. — 
K. Popoff: Sur le développement d'une fonction arbitraire en série suivant 
une suite de fonctions données. — P. Boutroux: Sur les fonctions associées 
à un groupe «autogène» de substitution. — Riabouchinski: Equations 
générales du mouvement de corps solides dans un fluide parfait incompres- 
sible . — A. Buhl: Sur le rôle des symétries analytiques dans les théories 
relativistes. — 14 nov. — B. Déirmendjian: Sur une nouvelle démonstra- 
tion d'un théorème de M. Picard et sur quelques généralisations de ce théo- 
rème. — J. Kampé de Fériet: Sur l'intégrale générale des systèmes d'équa- 
tions aux dérivées partielles des fonctions hypergéométriques d'ordre 
supérieur. — A. Lévy : Sur les séries récurrents et sur des formes homogènes 
qui s'y rattachent. — R. Gosse: Sur deux nouveaux types d'équations aux 
dérivées partielles du second ordre et de la première classe. — K. Ogura: 
Sur la théorie de la gravitation dans l'espace à deux dimensions. — J. Chazy 
Sur les fonctions arbitraires figurant dans le ds- de la gravitation einstei- 
nienne. — P. Painlevé: La gravitation dans la mécanique de Newton et 
dans la mécanique d'Einstein. — 21 nov. — Th. Varapoulos: Sur quelques 
propriétés des fonctions croissantes. — G. Julia: Sur les fonctions entières 



BVLI.ETIS H J R lia GRAPHIQUE 333 

OU méromorphes. — 28 nov. — G. Mittag-Leffler: Le théorème de 
Gauchy sur l'intégrale d'une fonction entre des limites imaginaires. — 
G. Cerf: Sur les systèmes de Pfaff et les transformations des équations 
aux dérivées partielles. — J. Wolff: Sur les séries. — E. Borel: Remar- 
ques sur la Note de M. Wolff. — G.Valiron: Sur les fonctions entières 
et leurs fonctions inverses. — 5 déc. — G. Julia: Sur les solutions méro- 
morphes de certaines équations fonctionnelles. — G. Guichard : Sur la 
géométrie infinitésimale du complexe linéaire. — 12 déc. — Séance publique 
annuelle. Le palmarès des prix et subventions accordés forme un total de 
fr. 330.500 répartis entre 97 lauréats. — 19 déc. — • E. Borel: La théorie 
du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique. R. Lagrange: Sur le 
■calcul différentiel absolu. • — J. Wolff: Sur les séries. — A. Den.ioy: Sur 
les fonctions quasi-analytiques de variables réelles. — E. Delassus: Sur 
les chaînes articulées fermées. — E. Esclangon: Sur la relativité du temps. 

— 27 déc. — E. Borel: Les fonctions quasi analj'tiques de variables réelles. 

— M. Gevrey: Sur la détermination des intégrales des équations aux 
dérivées partielles d'ordre 2 p k m variables admettant une famille multiple 
de caractéristiques d'ordre p. — G. Bertrand: L'équation de Fredholm 
et les masses statiques de la première sorte. 

Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 30. Band, 
1921. — R.Badus: Mathematik und râumliche Anschauung. — M.Bauer; 
Beweis von einigen bekannten Sàtzen ueber zusammengesetzte Kôrper 
ohne Anwendung der Idealtheorie. — L. Berwald: Zur projektiven 
Differentialgeometrie der Ebene. — S. Breuer: Das Abelsche Gleichungs- 
problem bei Euler. — F. Dingeldey: Die Elemente des Kriimmungs- 
kreises ebener Kurven bei projektiven Punkt und Linienkoordinaten. — 
P. Franck: Ueber paraboloidische Flàchen. 3. Mitteilung. — J. A. Gmeiner: 
Arithmetische Bemerkungen; insbesondere ûber dir Peanoschen Axiome. 

— H. Hahn: Arithmetische Bemerkungen. — K. Kommerell: Affine 
Raumtransformationen und Affinoren. — L. Kosch.mieder: Zur kom- 
plexen Multiplikation der lemniskatischen Funktionen. Zur Théorie der 
Jakobischen Polynôme. — E. Landau: Ueber die Hardy-Littlewoodschen 
Arbeiten zur additiven Zahlentheorie. — H. Liebmann: Johannes Thomae. 
Die Bour-Darbouxsche Biegungsgleichung und die Fundamentalgrôssen 
zweiter Ordnung. — W. Lietzmann: Die Mathematik in der Schulreform. 

— A. Lœwy: Eine algebraische Behauptung von Gauss. II. — H. F. Mac 
Neish: Das Problem der 36 Offiziere. — L. Neder: Ueber stetige Funk- 
tionen mit tiberalldicht divergierender Fourierreihe. — R. Neumann: 
Beitràge zur Kenntnis der Laguerreschen Polynôme. — O. Prange: 
W. R. Hamiltons Bedeutung fur die geometrische Optik. Habilitationsrede. 

— H. Rademacher: Ueber eine Eigenschaft von messbaren Mengen posi- 
tiven Masses. — E. Salkowski: Eine neue Klasse von Kurvenpaaren. — 
H. E.'Timerding: Die Schulreform und der mathematische Unterricht. 

Mathematische Annalen. 83. Band. — M. Noether: Hieronymus Georg 
Zeuthen. — E. Xoether: Idealtheorie in Ringbereichen. — Von Ludwig: 
Ein neues Fundamentalsystem fur symmetrische Funktionen. — M. 
Bauer: Ueber relativ Galoissche Zahlkôrper. Id.:Ueber die Différente eines 
algebraischen Zahlkôrpers. — O. Perron: Ueber diophantische Approxi- 
mationen. — E. Kamke: Verallgemeinertmgen des Waring-Hilbertschen 



334 H U I.LET ly fi I H L I O (, H A 1^ H ] Q U E 

Satzes. — J. Radon: Mengen konvexer Kôrper, die einen gemeinsamen 
Punkt enthalten. — K. Reidemeister: Ueber die singulàren Randpunkte 
eines konvexen Kôrpers. — H. Hake: Ueber de la Vallée Poussin Ober- und 
Unterfunktionen einfacher Intégrale und die Integraldefinition von Perron. 
— A. Schur: Ueber die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises 
unter den Kurven konstanter Krummung. — K. Boehm: Der Unabhàngig- 
keitssatz fur Doppelintegrale. — Id.: Ueber eine Eigenschaft der Minimal- 
flachen. 84. Band. — O. Perron: Ueber Summengleichungen und Poin- 
carésche DifTerénzialgleichungen. — E. Hilb: Lineare Difîerenzialglei- 
chungen unendlich gleicher Ordnung mit ganzen rationalen Koeflizienten, 

II. — O. Perron : Lineare DifTerénzialgleichungen unendlich hoher Ordnung 
mit ganzen rationalen KoefTizienten. — E. Hilb: Lineare DifTerénzialglei- 
chungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen KoefTizienten, 

III. — J.-G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschàtzungen. — 
C. Siegel: LTeber Nàherungswerte algebraischer Zahlen. — L.Tschakaloff: 
Arithmetische Eigenschaften einer unendlichen Reihe, II. — A. Razmadze: 
Ueber das Fimdamentallemma der Variationsrechnung. — L. Neder: 
Zur Théorie der trigonometrischen Reihen. — R. Schauffler: Ueber 
wiederholbare Funktionen. — Th. Pôschl: Ebene Bipotentiale die nur von 
einer Verànderlichen abhàngen. — G. Polya: Ueber eine Aufgabe der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung betrefTend die Irrfahrt im Strassennetz. — 
H.-W.-E. Jixg: Singulàre Punkte ebener algebraischen Kurven. — B. 
Baule: Ueber Kreise und Kugeln im Riemannschen Raum, II. — T. Bon- 
nesex: Ueber eine Verschàrfung der isoperimetrischen L'ngleichheit des 
Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberflâche nebst einer Anwendung 
auf eine Minkowskische Ungleichheit fiir konvexe Korper. — O. Mûhlen- 
dyck: Ueber eine Beziehung zwischen dreidimensionalen Somenmanig- 
faltigkeiten und Vektorfeldern. — G. Szegô: LTeber die Randwerte einer 
analytischen Funktion. — G. Doetsch: Ueber die Summabilitàt von 
Potenzreihen auf dem Rande des Borelschen Summabilitàtspolygons. — 
W. Alexaxdrow : Leber die Ausdehnung eines Lemmas von Fejér auf die 
einfach unbestimmten Intégrale. — E. Bessel-Hagen: Ueber die Erhal- 
tungssàtze der Elektrodynamik. — H. Kxeser: Untersuchungen zur 
Quantentheorie. — W. Schmeidler: Ueber die Singularitàten algebrai- 
scher Gebilde, IL 

Mathematische Zeitschrift. — 9. Band. — F. Carlson: Ueber Potenz- 
reihen mit ganzzahligen KoefTizienten. — G. -H. Hardy u. J.-E. Little- 
wooD. Some Problems of « Partitio, numerorum » IL Proof that every 
large number is the sum of at most 21 biquadrates. — A. Ostrowski. Be- 
merkung zur Hardj'-Littlewoodschen Lôsung des Waringschen Problems. — 
T. Carleman: Ueber eine nichtlineare Randwertaufgabe bei der Gleichung 
Au = 0. — M. Torhorst: Ueber den Rand der einfach zusammenhàngen- 
den ebenen Gebiete. — H. Hahn: Ueber die stetigen Kurven der Ebene. — 
F. Halsdorff: Summationsmethoden und Momentfolgen. — I.-R. Bach: 
Zur Weylschen Relativitatstheorie und der Weylschen Erweiterung der 
Kriimmungstensorbergriffs. — E. Salkowski: Orthogonale Kurvensysteme 
in der Ebene und auf der Kugel. — W. Blaschke: Ueber afTme Géométrie. 
XXIX: Die Starrheit der Eifltichen. — S. Ramanljan: Congruence pro- 
perties of partitions. — T. Carleman: Zur Théorie der Minimalflâchen. — 
L. Bieberrach: Bemerkung zu meinem Beweis des Drehungssatzes fur 



BULI.ETiy HI H Ll OG I{ AP n K) UE 835 

schlichte und konforme Abbildungen. — G. Szegô: Ueber die Lebesgue- 
chen Konstanten bei den Fourierschen Reihen. — J. Kùrschak: Ein Irre- 
duzibilitàtssatz in der Théorie der symmetrischen Matrizen. — T. Carle- 
MAX: Zur Théorie der lineare Integralgleichungen. — - G. Szegô: Ueber 
orthogonale Polynôme die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene 
gehôren. — St. Jolles: Allgemeine KoUineationen und ihre Umkehrungen. 

— F. Hausdorff: Summationsmethoden und Momentfolgen, II. — R. 
Rothe: Zum Mittehvertsatze der Differentialrechnung. 

10. Band. — St. Bobr: Eine Verallgeraeinerung des v. Kochschen Satzes 
iiber die Absolute Konvergenz der unendliehen Determinanten. — R. 
Remak: Ueber die Zerlegung der kommutativen Gruppen in direkte unzer- 
legbare Faktoren. — H. Falckenberg: Ableitung der « Ergànzungsrela- 
tionen » aus den Formeln von Simon l'Huilier. — H. Weyl: Ueber die neue 
Grundlagenkrise der Mathematik. — R. Weitzenbôck ■ Zur Tensoralge- 
bra. — H. Weyl Zur Abschàtzung von ^ (1 + it). — A. Rosenthal: Ueber 
Peanoflàchen und ihren Rand. — J.-G. van der Corplt: Zahlentheoretische 
Abschàtzungen nach der Piltzschen Méthode. — S. Szidon: Reihenthe 
oretische Sàtze und ihre Anwendungen in der Théorie der Fourierschen 
Reihen. — E. Landau: Ueber die NuUstellen Dirichletscher Reihen. — 
L. Lichtenstein: Untersuchungen ùber die Gestalt der Himmelskorper. 
Erste Abhandlung. Die Laplacesche Théorie der Gestalt des Erdmondes. — 
L. Berwald: Ueber affine Géométrie XXX: Die oskulierenden Flàchen 
zweiter Ordnung in der afTinen Flàchentheorie. — G. Siegel: Approxima- 
tion algebraischer Zahlen. — K. Reidemeister: Ueber Korper konstanten 
Durchmessers. — K. KomMerell: Klassifikation der Raumkorrelationen. 

— M. Lagally Ueber ein Verfahren zur Transformation ebener Wir- 
belprobleme. — H. Hamburger: Ueber die Riemannsche Funktionglei- 
chung, der ^ — Funktion. — P. Tortorici: Alcune Osservazioni analitiche 
suUe congruenze rettilinee Waderenti a due superficie rigate. — G. -H. 
Hardy: The Zéros of Riemann's Zeta-Funktion on the critical line. — 
K. Reidemeister: Ueber affine Géométrie. XXXI: Bestàndig ellip- 
tisch oder hyperbolisch gekrûmmte Eilinien. 

Monatshefte fiir' Mathematik und Physik, Wien. — XXX. Band. — 
L. Klug: Ueber zwei Konflgurationen. — K. Mayr: Wahrscheinlich- 
keitsfunktionen und ihre Anwendungen. — L. Klug: Ueber ein Dreikant, 
dessen Seitensumme zwei Rechte betràgt. — J. Luckhaub: Beitràge zur 
Géométrie der quadratischen und Hermiteschen Formen. — Id. Ueber den 
Winkel zweier windschiefen Geraden. — W. Gaedecke: Erzeugung einer 
speziellen Kuspidalkubik. — A. Rubinowicz: Herstellung von Lôsungen 
gemischter Randwertprobleme bei hyperbolischen Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung durch Zusammenstiickelung aus Lôsungen einfacher 
gemischter Randwertaufgaben. — W. Gross: Ueber Steigungszahlen. — 
M. Pasch: Die Ausartungen des Kreises. — Z. Zindler: Ueber konvexe 
Gebilde. — K. Mack: Papierstreifenkonstruktion einer durch konjugierte 
Durchmesser gegebenen Ellipse. — E. Bloch: Ueber Gesamtschwankun- 
gen von Funktionen mehrerer Verànderlichen. — A. Wintermtz: Ueber 
zwei von Hamel herrûhrende Extremumsàtze der Funktionentheorie. — 
W. Gaedecke: Beitràge zur Théorie der Kuspidalkubiken. — L. Klug: 
Die Verallgemeinerung der Feuerbachschen Sàtze ûber den Neunpunkte- 
kreis. — J. Lense: Ueber die Intégration eines p-fachen Differentialaus- 



336 BULLETl.y B I H I, I O G H A P fl I Q U E 

druckes von n unabhàngigen Veranderlichen. — Th. Pôschl: Ueber ein 
System von Differentialgleichungen zweiten Grades. — R. Weitzenbôck: 
Zur Théorie der Aquitangentialkurven. — Ph. Furtwangler u. M. Zeisel • 
Zur Minkowskischen Parallelepipedapproximation. — XXXI. Band. — 
E. Muller: Relative Minimalflàchen. — E. Salkowski: Konvexe Aqui- 
tangentialkurven. — K. Zindler: Ueber konvexe Gebilde. — W. Wirtin- 
ger: Bemerkung zur Partialbruchzerlegung. — E. Helly: Ueber Système 
linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. — J. Lense: 
Ueber eine kanonische Form der quadritischen Differentialausdrlicke. ■ — 
E. Zilsel: Versuch einer neuer Grundlegung der statischen Mechanik. — 
F.-W. Palm: Ueber die Umrissbestimmung von allgemeinen Schraub- und 
Drehflâchen in zentral- und parallelperspektiven Darstellungen. — L. 
ViETORis: Stetige Mengen. 



3. Thèse de doctorat: 

Nous signalons sous cette rubrique les thèses de doctorat dont un exemplaire 
imprimé aura été adressé à la Rédaction, 110, Floressant, Genève. 

Allemagne. — Université de Giessen. — J. Fuhrich. — Zur natUrlichen 

Géométrie ebener Transformations gruppen (Mitteilungen des Math. 

Seminars der Universitât Giessen, VI. Heft). — 1 brochure in-8°, 12 p.; 

1922. 
J. MoLL. — Ueber eine Klasse gewôhnlicher Differentialgleichungen hôherer 

Ordnung (Mitteilungen des Math. Seminars der Universitât Giessen, 

IV. Heft). — 1 brochure in-S», 20 p.; 1922. 
L. MoNviLLE. — Analytische Beitrdge zu Lies Abbildung des Imaginàren 

der ebenen Géométrie. (Mitteilungen des Math. Seminars der Universitât 

Giessen, Heft V). — 1 brochure in-8°, 33 p.; 1922, 

Suisse. — Université de Berne. — P. Thalmann. — Ueber eine neue gra- 
phische Darstellung der komplexen Zahlen. Sonderabdruck aus dem Jahr- 
buch der philosoph. Fakultàt II der Universitât Bern, Bd. III, 1923, — 
1 brochure in-S», 8 p. 

Université de Zurich. — M. Riwlin. — Ueber die Darstellung der Dreieks- 
funktion durch die Poincarésche Reihe. — 1 fasc. in-8°, 48 p.; 1922. 

Etats-Unis. — Université de Chicago. — Dans son Bulletin of Information 
de mai 1922 (Vol. XXII, N» 4), l'Université de Chicago publie la liste 
des thèses de doctorat en philosophie pour les diplômes qu'elle a délivrés 
de juin 1893 à décembre 1921. Les sciences mathématiques y figurent 
pour 94 thèses et l'astronomie mathématique pour 20. îs'ous les avons 
signalées au fur et à mesure dans nos listes annuelles. 



DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE ST^CKEL 

PAR L'ÉLIMINATION DU TEMPS 

ENTRE LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE 

PAR 

M. Emile Turriêre (Montpellier). 



Le théorème de Liouville a été généralisé par M. P. St^eckel 
et par M. E. Goursat ^ sous la forme suivante: 

Soient A, , B^ , Ci ... Qi des fonctions d'un seul paramètre 
^, ; Aa , B, , Cg... Q2 des fonctions d'un seul paramètre q.^] 
A3 , B3 , C3 . . Q3 des fonctions d'un seul paramètre q^\ etc. 

Soient 



^ = 



Aj Aj A3 
Bj B, B3 
C. C, C, 



D = 



Qi Q2 Q3 

B, B,- B3 

C, C, C3 



M,, Mj, etc., étant les mineurs relatifs aux éléments des pre- 
mières lignes de ces déterminants, soient enfin 



T = A 



M, ^ \L ^ M, ^ 



/ ci (17. 



U = 



L'intégration des équations de la dynamique avec les expres- 
sions précédentes de l'énergie cinétique T et de la fonction des 
forces U, pour un système à k paramètres Çi, q.,, g^ ... , est réduc- 



* p. Stakckel. Sur une classe de problèmes tle dynamique. C R., t. CXVI. ('■ mars 1893, 
p. 4S5-487. 

E. (JouRSAT. Sur une classe de problèmes de dynamique, C. H., t. CXVI, 8 mai 1893, 
p. 105II-1U51. 

P. Stakckki.. Sur des problèmes de dynamique qui se réduisent à des quadratures, 
C. B., t. CXVI, 5 juin 1893, p. 1284-128G. 



L'Enseignement mathém., 22« année, 1921 et 1922. 



338 E. TU RR 1ERE 

tible à K^ quadratures; K (K — 1) de ces quadratures déter- 
minent les relations entre les paramètres; K quadratures entrent 
dans l'expression du temps. 

Le théorème a été démontré comme application de la méthode 
de Jacobi, Je vais en donner une démonstration nouvelle, 
fondée sur l'emploi des équations obtenues après l'élimination 
du temps entre les équations de Lagrange. Cette démonstra- 
tion généralise celle du théorème de Liouville, exposée dans un 
précédent travail ^ 

Je vais établir la démonstration avec trois paramètres q^, q^ 
et ^3, mais sous une forme telle que la démonstration soit iden- 
tique dans le cas général de K paramètres. 

Le dernier paramètre, q^^ étant pris pour paramètre indépen- 
dant avec 

^ _ „ ^2 _ 

dq. - ^' ' dq, - ^^ ' 

et en écrivant simplement q pour ^3, je poserai : 

T=@(J')" û'=e.U = DH avec H=J+| + ±. 

Je supposerai nulle tout d'abord la constante h de l'intégrale 
des forces vives, T — U = A. Les K — 1 = 2 équations de 
Lagrange, après élimination du temps^ sont les suivantes : 



d /ôQ\ 
dq \mJ 


_ dQ 
- ^q, ' 


d /dQ\ _ ^Q 


En remarquant que 






ôÛ _ 


D^i 


ôQ _ D r|2 


ÔYlj "" 


Q M, ' 


ôr,2 ~ ïï M 2 ' 


lies deviennent : 






_d^ /D r), \ 
dq \Q mJ 




d /D ri^X i^Q 
dq \i} mJ ^q. 



* Démonstration du tliéorùme de Liouville par l'éliminiition de temps entre les équa- 
tions de Laohanok. L'Enseignement mathématique, t. XXU, rJ21-1922, p. 277-285. 



THÉORÈME DE S T .E C K E L 339 

La première s'écrit encore : 

Q M, rfryl^Q.Mj dq \p.- m'J ~ î^. ^l.iXf, ~ O^"' M, ' dq^ ' 

c'est-à-dire: 

d /D \ \ _ r„ ^(DH) 



dq \H M^ H M/ c>y, • 

On obtient ainsi le système suivant de trois équations équi- 
valant au système des deux premières d'entre elles: 



d . 


/D 




1 - """ 


^(UH) 


d'I 


~ H.\l, 


^Hi ' 


d 1 


/d 


MV 

2'' 


_ ^i2 

~ H. M, 


d(DH) 


d 


/D 


1 \ 

M?) 


1 


ô(DH) 


dq 1 


- H.M3 


^^73 



Je poserai maintenant : 
n^» - "^^ = '-^ ' H -M» -^^-= '-- ' H^ - "^'^ = '-^ • 

* 1 * s * 8 

Les dérivées de Q,, Q,, Q3 par rapport aux variables respectives 
Çi, Ço, q-i seront désignées par Q[, Q', Q' et, par suite: 

" ^» - dq ' '2 ^^ - dq 

Avec ces notations, les équations deviennent : 
dX 



dq 

dj. 
d 






''■'■3, o'- ' /'d'^" -^h'^ 



3A0 E. TURRIERE 

Prenons la première. Comme Q2, Q3 et .Mj ne sont pas fonc- 
tions de q^ , cette équation devient : 



m,^ + m,,,q; 



(< ÎE. + ^ ^A + H (m. q; + Q,Î^« + Q,^") \ , 



= ^ _ D ' "» '^^^^ ^ ^ '^^^ ^ H /m n' ^ n ^^ 



elle se réduit à la suivante : 

Finalement, nous obtenons le système suivant de trois équa- 
tions : 

'^^73 ''■^'/s ''^'Z 



avec l'identité 



X, M, + \ M, + X3 M3 = , 



(qui résulte de la définition même des X). 
La forme de cette identité conduit à poser : 

X, = PB, + yC, , X, = fsB, + yC, . X3 = [iB3 + yC3 ; 

puisque : 

B, M, + Bj Mg + B3 M3 = , Cj M, 4- C2 M, + C3 M3 = ; 

jS et y sont, pour le moment, des fonctions arbitraires. Les équa- 

M^ e^Mg f)M3 



tions Imeaires et homogènes en —^ 






THÉORÈME DE S T .E C K E L 

entraînent l'équation : 



^ ^ '- 



341 



't^' ^' «. 



dq 



c„ c. 



= , 



ou encore 



' dff dq 



Pour la même raison 



Ces conditions exigent que |S et y soient des constantes. En 
remontant alors à la définition des X, les équations deviennent : 



g^^=Q, + ,3B,+yC, . 



H m; 

D j_ 
H M» 



= Q2 + .^B^ + yC^ , 
= Q3 + i^B3 + yC3 . 



avec deux constantes arbitraires /à et y, ou encore: 

< < 1 



M;(Q, + p \\ + T C,) M»(Q, + fi B, + Y C,) M;(Q3 + p B3 + y C3) 
- M, VQ7+-p7TïC; ~ Mj VQ2 + .a B^ + y Cj 
- M3VQ3 + .3B3+yC;, ■ 



342 E. TURRIÈRE 

Ces dernières relations conduisent aux équations (en prenant 
les signes +): 






VQi + fiBx + yC, VQ2 + PB, + yC, VQ3 + IÎB3 + yC3 

intégrables par six quadratures. 

Pour simplifier l'écriture, j'ai pris h = 0. Dans le cas général, 
il suffît de changer U en U + h, c'est-à-dire D en D + AA, ou 
encore Q, en Q, + M^, Q^ en Q, -\- Mj et Q3 en Q, + M3. 
Le problème est ainsi résolu par les formules avec six quadra- 
tures suivantes; ces deux équations entre les seules coordonnées 
définissent les trajectoires : 



J VQ, +AA, + pB, + yC, J ■ 



B^dq^ 



VQ2 + AA, + I3B2W-YC2 

+ I - =: constante , 

J VQ3 + AA3 + pB3+yC3 

Cg dq^ 






VQ2 + kA, + ^B^ +yC 



-f / ^ - = constante 



J Vq., -+ 



A A3 + ,^B3 +yC3 



{h, /3, y sont trois constantes arbitraires). 

La loi du temps est ensuite déterminée par le théorème des 
forces vives. L'intégrale des forces vives est ici : 

d'où 

dty AH A2 D + hl 



,dqj u + h D + h\ • ^p(Q^ _j_ /,A3 + .3B3 -f yC3) 

car on a : 

^\''^ = ^^(Qs + /'A3 + PB3 4- TC3) ; 

l'expression de dt est donc : 

dt = (A, M, -f A2 M, -f A3 M3) ^"^^ • 



M3VQ3 -f k\, + PB3 +yC3 



THÉORÈME DE STMCKEI. 343 

Ce qui, en vertu des expressions de -r^, -y^, devient (à une 
constante additive près): 

J VQ3 + AA3 + 13 33 + YC3 



+ 



D'une manière générale, on aurait K — 1 équations entre les 
seuls paramètres, chacune contenant K quadratures; le temps 
est ensuite donné par K quadratures. En tout, K- quadratures 
indépendantes. 

Les résultats obtenus sont identiques à ceux fournis par l'ap- 
plication de la méthode de Jacobi. 

Le théorème de Liouville est un cas particulier du théo- 
rème de St.ï:ckel. Il suffit de prendre des valeurs constantes 
pour les B, pour les C et, par suite, pour les M. Dans le cas par- 
ticulier du théorème de Liouville, la démonstration s'arrête 
avant l'introduction des X ; Mi,M2,M3 étant réduits à l'unité, 
H étant indépendant de ^j ^2 ••• on a simplement 

de/ [U M.J - " ^» - rfç • . 

C'est le résultat de ma précédente note. Les fonctions X ici 
introduites sont constantes, dans le cas de théorème de Liou- 
ville. 

20 mars 1922. 



DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE MORLEY 



PAR 



B. NiEWENGLOwsKi (Papis). 



Je rappellerai, en premier lieu, les propositions suivantes; 
1^ Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC. 
En appelant A, B, C les angles de ce triangle, on a 



/N HT A 

BIC = A + ^ + ^ = 90- + ^ . 



20 Réciproquement, si le point I est, à l'intérieur du triangle 
ABC et sur la bissectrice de l'angle A et si, en outre. 



/\ A 



le point I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. 
Pareillement : 



/\ B 

Aie = 90° + - 



/\ C 

AIB = 90^ + - 



donc la perpendiculaire MN 
menée à AI par le centre I, 
fait avec IC et IB les angles 



A 




Fie. 1. 



^ B 

CL\ = -r 



BIM = - 



30 Supposons toujours que A I soit la bissectrice de l'angle 
A et posons ABI = /3, IBC = /3'; ACI = y, ICB = /. Je dis 



THEOREME DE M OR LE Y 



3i5 



que si l'on a: 










/\ 




x\ 




CL\ = .3 


el 


BIM 



I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. 

En effet, les sommes /S + y et /3' + y' ayant, l'une et l'autre 

BIC pour supplément, sont égales. On peut donc écrire 



? + T = [i' + t' = 



B + C 



d'où il résulte que 



/\ B + C ^ „ A 

BIC = A + .3 + y = A + — ^- = 90° + - 

ce qui démontre la proposition. 

Cela posé, soient D, E, F les milieux des côtés d'un triangle 
équilatéral H KL. Soient a, /5, y trois angles dont la somme 
a — /3 ^ V = 60°. A l'intérieur du triangle HEF, construisons 

le triangle isoscèle EFD' de façon que les angles HED' 

= HFD' = a; pareillement, traçons les triangles isoscèles DFE' 

et DEF' tels que KFE' = K^E' - /3; LDF' = LEF' = y. 




Fig. 2. 



346 B. NlEWENGl.OWSKI 

Appelons A le point de rencontre des droites E' F, F' E. 
Dans le triangle AEF, les angles adjacents au côté EF valant 
60° + /3 et 60° H- y, le troisième angle vaut «. Pareillement, si 
B est le point de rencontre des droites D'F, F' D et C celui 

des droites D' E, E' D, on voit que DBF = /S, DGF = y. 

Remarquons maintenant que la droite DH passe par D' 
et n'est autre que la bissectrice de l'angle BD'C, puisqu'elle 
est perpendiculaire au milieu de EF. 

D'autre part LDC = /5, KDB = y ; donc, d'après le lemme 
rapporté plus haut (3°), D est le centre du cercle inscrit au triangle 
BCD'. On verra de même que E est le centre du cercle inscrit 
au triangle ACE' et F le centre du cercle inscrit au triangle 
ABF'. On en conclut que les angles A, B, C du triangle ABC 
valent 3a, 3/5, 3j/ respectivement. Les droites AE, AF par- 
tagent l'angle A en trois parties égales, de même BD, BF 
pour l'angle B et CD, CE pour l'angle C. On a ainsi démontré 
le théorème de Morley: 

On partage chaque angle d'un triangle ABC en trois parties 
égales par les droites AE, AF; BD, BF; CD, CE qu'on peut 
appeler trisectrices. Les trisectrices BD, CD voisines du côté BC 
se rencontre en D; les trisectrices CE, AE voisines du côté CA 
se coupent en E et enfin les trisectrices voisines du côté AB 
se coupent en F. 

Le triangle D E F est équilatéral. 



RÉCRÉATION MATHÉMATIQUE. 



LE JEU DE CLOCHE ET MARTEAU 



]\I. Jéquier (Neuchâtel). 



Connaissez-vous le Jeu de Cloche et Marteau ? Il est fort 
divertissant pour jeunes et vieux. Durant les longues soirées 
d'hiver, les membres des familles nombreuses spécialement riva- 
lisent d'intuition aiguisée par la soif du gain pour découvrir 
les lois suivant lesquelles le Hasard manifeste ses volontés capri- 
cieuses et inéluctables, décevant souvent les espérances, en 
apparence les mieux fondées. 

Il nous a paru curieux d'étudier ce jeu sous le jour du Calcul 
des Probabilités, à simple titre de curiosité mathématique et 
sans autre prétention. 

Voici les règles du jeu: 

1. Le nombre n des joueurs peut être quelconque; toutefois, 
il ne doit être ni trop faible, ni trop grand; il est généralement 
compris entre 5 et 10. 

2. Chaque joueur reçoit au début de la partie un nombre m 
de jetons de la Caisse commune, qui est tenue par Tun des 
joueurs. 

3. A part les jetons, le matériel du jeu comprend : 

a) 8 dés à jouer. Chaque dé a 5 de ses faces non marquées, 
ou si Ton veut, marquées 0. La 6^6 face du l^r dé est mar- 
quée 1, la 6nie face du 2^6 dé 2, etc., jusqu'au 6™® dé, dont la 
6™e face est marquée 6. Le 1^^ dé porte sur une de ses faces 



348 M, .lÉQUIEH 

le dessin d'une Cloche (symbole Cl), le 8"^^ dé a une de ses 
faces marquée d'un Marteau (M). 

h) 5 cartes, à savoir : la Cloche (Cl), le Marteau (M.), la Cloche- 
et le Marteau (CM), le Chei^al (Ch) et Y Auberge (Au). 

4. Au début de la partie les cartes sont misées par l'un des 
joueurs choisi comme commissaire-priseur. Les cartes sont adju- 
gées au plus offrant et dernier enchérisseur contre paiement 
comptant à la Caisse — paiement effectué au moyen des jetons 
précités. 

5. Les mises terminées, le propriétaire du Cheval lance les 
8 dés, qu'il passe ensuite à son voisin. Chaque joueur joue ainsi 
à tour et reçoit de la Caisse le montant indiqué par les dés. 
On lance les dés jusqu'à épuisement de la Caisse. 

6. Lorsqu'un joueur amène le signe Cl ou le signe M, le mon- 
tant indiqué par les 6 premiers dés doit être payé par la Caisse 
non à ce joueur, mais au propriétaire de Cl, respectivement de ^L 

7. Si un joueur amène, à la fois, les signes Cl et M, le montant 
indiqué par les dés sera payé par la Caisse au propriétaire de 
la carte CM 

8. Lorsqu'un joueur quelconque, autre que le propriétaire 
du Ch, amène 0, sans figure, il doit payer 1 â celui-là. 

9. Si un joueur quelconque amène 0, avec l'une ou l'autre 
des figures Cl et M ou toutes les deux à la fois, le joueur ne recevra 
ni ne paiera rien. La somme 1 sera payée au propriétaire du Ch 
par le propriétaire de la carte correspondant au dé amené, 
Cl, M ou CAL 

10. Si le propriétaire du Ch amène 0, sans figure, chacun des 
autres joueurs devra lui payer 1. 

IL L'Auberge ne peut rapporter à son propriétaire qu'à la 
fin de la partie et voici comment : l'encaisse commune baisse 
continuellement, puisque les mises terminées, la Caisse n'opère 
que des versements sans jamais rien toucher. Arrive donc un 
coup où la somme restant en caisse est trop faible pour payer 
le montant indiqué par les dés : on dit alors que FAu est 
« ouverte ». Supposons qu'il reste r en caisse, les dés indiquant 
5>/-. Le joueur ayant lancé les dés paiera à l'Au la différence 
s — r > 0. La somme r restera en caisse. Chacun des joueurs 
suivants qui amènera une somme 5 > /• paiera la difl'érence 



CLOCHE ET M Ali TE AU 349 

respective s — r à l'Au, jusqu'à ce qu'un joueur amène s-^r^ 
somme qu'il recevra de la caisse. Dans le cas de l'inégalité le 
jeu coritinue; dans celui de l'égalité, il est terminé puisque la 
Caisse doit payer précisément la somme qui lui restait. On dit 
alors que la Caisse « saute ». 

12. si un joueur amène 5>/', avec une figure, c'est le proprié- 
taire de la carte correspondante qui doit payer la différence s — r 
à l'Au. 

13. A partir du moment où l'Au est ouverte, et chaque fois 
que l'un des joueurs amène 0, sans figure, le propriétaire du Ch 
doit payer 1 à l'Au. 

14. Si un joueur amène 0, avec une figure, c'est le propriétaire 
de la carte correspondante qui paie 1 à l'Au. 

15. Le gagnant est celui des joueurs qui, la partie terminée, 
a le plus grand nombre de jetons. 

Ceci posé, proposons-nous de calculer l'espérance mathé- 
mathique de chaque carte, ainsi que le gain probable d'un joueur 
seul, sans carte. 

Nous pouvons remarquer, tout d'abord, que les lois régissant 
les divers gains changent au moment où l'Au s'ouvre. On dis- 
tinguera donc la première période de la partie, s'étendant depuis 
le début jusqu'à l'ouverture de l'Au, et la seconde période, 
depuis l'ouverture de l'Au jusqu'à la fin de la partie. 

L'encaisse commune étant suflîsamment grande au début, 
la partie entière comptera un nombre de coups assez grand 
pour que les lois du hasard (lois des grands nombres) permettent 
de calculer les diverses espérances mathématiques correspon- 
dant à la première période, avec un faible écart probable. Quant 
à la seconde période, elle compte généralement un nombre si 
faible de coups qu'il serait illusoire de vouloir lui appliquer les 
lois des grands nombres: dans les cas pratiques les écarts relatifs 
seraient beaucoup trop considérables. 

Nous nous bornerons donc, dans cette étude, à calculer les 
diverses espérances mathématiques correspondant à la première 
période. Comme l'Au ne fonctionne que dans la seconde, cela 
revient à poser égale à son espérance mathématique. Les 
espérances mathématiques qu'on calculera pour les autres cartes 



350 .»/. JÉOVIER 

ainsi que pour les gains des joueurs sans cartes seront toutes 
des valeurs maxima correspondant au cas, pas très rare, où la 
caisse saute sans que l'Au ait rien rapporté à son infortuné 
propriétaire. Les valeurs calculées serviront donc de limites à 
ne raisonnablement pas dépasser au moment de la mise des 
cartes. Il sera, d'ailleurs, raisonnable, lors des mises, de se 
tenir sensiblement au-dessous des espérances mathématiques 
maxima calculées, d'une part pour se réserver une marge cor- 
respondant à la somme que la carte misée pourra être appelée 
à payer à l'Au, d'autre part pour se ménager la probabilité 
d'un gain. 

Appelons : 

C le montant en caisse, au début de la partie, une fois les mises 
terminées : 

n le nombre de joueurs ; 

N le nombre total de coups joués pendant la i^^ période ; 

a le versement moyen de la caisse, par coup. 

On a, naturellement, la relation 

C = N . a . (1) 

Cette relation suppose que l'encaisse r, au moment où l'Au 
s'ouvre est négligeable devant G, ce qui est pratiquement tou- 
jours le cas. 

Calcul de a. — Appelons |U la somme indiquée par les dés. 
Il a l'une des valeurs ci-après: 0, 1, 2, 3, 4 ... 19, 20, 21. Dési- 
gnons par ç^ le nombre de possibilités différentes d'amener ^ 
points. On a la relation 



f*=0,l,2...21 



qui indique que le nombre total des points amenés par des 
combinaisons de dés différentes est égal au nombre de ces combi- 
naisons multiplié par la moyenne des points par coup. 

Le tableau ci-après résume le calcul de sommes figurant dans 
l'expression 2. On vérifierait aisément l'exactitude des valeurs 
indiquées dans la colonne des v^.. Par exemple, un dé pré- 



CLOCHE ET M Ali TE A U 



351 



sente 5 possibilités différentes d'amener le 0, puisque 5 de ses 
faces ne sont pas marquées, 2 dés présentent 5'^ possibilités, 
etc., 6 dés 5^ possibilités différentes. 
On a donc 

^" = 46656 = 6« , (3) 



.a=(i,i,2...2l 



'^ [v^ . al = 162 . 296 
i:t=o.i,2...2l 



(M 



La première de ces deux sommes a une valeur évidente, car 
le nombre des possibilités différentes de combiner 6 à 6 les 36 
faces des 6 dés est donnée par le produit 6x6x6x6x 6x 6 = 6^ 
qui est précisément égal à l'expression 

(5 + 1)« = 5« + 6 . 55 -f 15 . ô-* + 20 . 53 4- 15 . 52 + 6 . 5 + 1 - 6« . 





Nombre de possibilités d'.imener 




(u U.1 


'J. 


/* points z= V 




VV • ' 1 





56 = 


15625 





1 


55 = 


3125 


3125 


2 


55 = 


3125 


6250 


3 


55+ 54 = 


3750 


11250 


4 


55+ 5* = 


3750 


14000 


5 


55 + 2.54 = 


4375 


21875 


6 


55 + 2.54+ 53 = 


4500 


27000 


7 


3.54+ 5s = 


2000 


14000 


8 


2.54+2.53 = 


1500 


12000 


9 


2.54+3.53 = 


1625 


14625 


10 


54+3.53+ .52 = 


1025 


10250 


11 


54+3.53+ 52 = 


1025 


11275 


12 


3.53 + 2.52 = 


425 


5100 


13 


2.53 + 2.52 = 


300 


3900 


14 


53 + 3.52 = 


200 


2800 


15 


53 + 2.52 + 51 = 


180 


2700 


16 


2.52+51 = 


55 


880 


17 


52 + 51 = 


30 


510 


18 


52 + 51 = 


30 


540 


19 


51 = 


5 


95 


20 


51 = 


5 


100 


21 


50 = 


1 


21 


2(V -- 


= 5« + 6 . 5^ + 15 . 5* + 20 . 5^ + 15 . 5- + 6 . 5 + 1 = 6« 


=: 46656 


a=(M,2.. 


21 

V(v,^.ai = 162296 








(*=(!, 1,2. ..21 







352 M. JÉQUIER 

Il vient donc pour a 



et pour N (relation 1) 



162296 
46656 



N =: 



= 3,4787 , 



3.4787 



(6) 
(7) 



Calcul du gain probable Gj cfun joueur seul, sans le secours 
d'aucune carte. — Il s'agit de calculer le gain moyen par coup, 
désigné par è, réalisé par le joueur envisagé, pour son propre 
compte ou celui de l'un des propriétaires de cartes. De la règle 
8 découlent d'emblée les inégalités : 

b ^ a , h <_ a (8) 

On peut se servir, pour calculer b, du tableau ci-dessus, qui 
a été utilisé pour déterminer a. Remarquons qu'il suffît de subs- 
tituer à iJL=0 la valeur u= — 1 (application de la règle 8). Nous 
désignerons la somme 2(c ) ainsi obtenue par l'écriture 



Lp=_l.l,2...2lJ^ 



pour la distinguer de celle figurant sous (4) qu'on peut aussi 
écrire de façon analogue 



On obtient : 



• .it=o.l,-2...2l -la 



Lfl=_l.l,-2...21-lè Lp=i).i.2...21 



M'a 


;j.| 


— 15625 = 162296- 


-15620 = 146671 


.2...". 


1 - 


a 


(9) 



On a naturellement : 



d'où 



.f*=_i.i,2.. 21-Ia 146671 



2"» 

|A=ii,l,2...21 



~ '-6656 ~ ^'■^*^'^ • 



(10) 



(11) 



CLOCHE ET MARTEAU 353 

Appelons pci, Pm, />cm, Ps les probabilités pour les 2 dés 
avec figure d'amener respectivement Cl seule, sans M, M seul, 
sans Cl, Cl et M simultanément, aucune figure. Les dés (règle 3) 
donnent évidemment: 

_ 5 _ 5_ _ £ 

/'ci — 36 • /'m — 36 ' ^CM — 36 ' 

Ps = 1 -- iPc: + Pm + /'cm) = i • (12) 

Nous disposons maintenant des éléments nécessaires au calcul 
de G^. Remarquant qu'un joueur quelconque joue, en tout, 

N C 

— = coups, son gain est donné par l'expression: 

En effet, quand le joueur seul amène l'une ou l'autre des figures 
Cl, M ou CM son gain est 0. 

En outre, le propriétaire du Cli amène Po . ps > fois 0, sans 

= 466i6 ) d'amener le zéro. 
Chaque fois, le joueur S doit payer 1 au propriétaire du Ch 
Son gain net est donc : 

c - n ^^ iJl Po\ - 25 31437 C / 15625 \ _ C 

(13) 

Le gain total d'un joueur ayant une ou plusieurs cartes sera 
constitué par le gain G^ réalisé par ce joueur lui-même, sans le 
secours de ses cartes, et ce que lui rapportent ses 'cartes. Cette 
conception nous permet de séparer, par la pensée, les cartes 
de leur propriétaire. Les cartes sont considérées comme de 
nouveaux joueurs passifs, passifs dans ce sens qu'ils ne lancent 
pas les dés, mais gagnent seulement quand l'un ou l'autre des 
n joueurs actifs amène leur figure respective. Le gain total 
réalisé par les n joueurs, sans l'aide de leurs cartes est par consé- 
quent égal à 

n.G = p -h([ —^] = 0.56073 c . (14) 

* ' ^ a \ h / 

L'Enseignement n\nthém.. 22" année; 1921 et 1922, -'< 



354 M. JÉQUIER 

La différence C — n(js = 0,43927 C est donc gagnée par les 
cartes. 

Espérance mathématique de la Cloche. — La Cl seule est ame- 
née /Jci • ^ fois par l'ensemble des joueurs, avec un gain 
moyen par coup, pour Cl, égal à è. On a donc simplement : 

Gc, - /'c, ■^■''='k- 3:^ • ^1^^^ = ^.ir.'o2C (15) 

Xous pouvons remarquer ici qu"il n'est pas nécessaire, pour 
calculer Go de spécifier si les coups favorables à Cl sont amenés 
par le propriétaire de Cl ou un autre joueur. 

Espérance mathématique du Marteau. ■ — • Toutes les règles 
valables pour Cl s'appliquent identiquement à M. On pose donc 
immédiatement : 

G^j = p^^ .s . h = 0,12552C , (16) 

car 

P. = Pa = à • <'') 

Espérance mathématique de Cloche-et- Marteau. — On a de 
même 

G„, = ^„, . N . '' = ^ ■ 5;^, . 3.1'.3~ = O.OMIOC . ,17, 
Remarquons que nous avons ^ 

Espérance mathématique du Cheval. — Le propriétaire du Ch 

C 
amène Pq. Ps • fois 0, sans figure, avec un gain par coup égal 

k n -r i. 

En effet, chacun des n ■ — 1 joueurs paie 1 au propriétaire du 
Ch, ce qui fait n^ \. (règle 10). En outre, le propriétaire du Ch 
paie 2 de sa caisse particulière de joueur seul à celle du Ch, ce 
qui fait bien en tout un gain par coup égal à n — L II paie 2 
et non pas 1, attendu que son gain G/ de joueur seul se calcule 
au moyen de la même formule (13) que celui des autres joueurs 
seuls. Comme il est propriétaire du Ch, son tour de payer de sa 
caisse particulière au Ch revient 2 fois moins souvent que celui 



CLOCHE ET MARTEAU 355 

des autres joueurs. Il doit donc payer chaque fois le double de 
ce que paient au Ch les autres joueurs, afin que son gain G, soit 
bien calculé d'après la formule (13). Nous voyons aisément que 
Gch est donné par l'expression 

^c. = Po • ,^ [P.(« + 1' + /^ci + ^M + PcM + *" - i'] i'9> 

où le premier terme représente le gain dont nous venons de 
donner l'explication. 

Les 3 termes suivants représentent les gains de Ch quand le 
propriétaire de cette carte amène avec Cl seule, respectivement 
avec I\I seul ou CM. Le dernier terme exprime le gain fait par 
Ch quand les autres joueurs amènent 0, avec ou sans figure. 

Remarquant que dans la parenthèse de (19) la somme 

Ps + Pcx + /'m + /'cm 

est égale à l'unité, l'expression de Gch se réduit à la forme très 
simple : 

G,H = /'o«' +/'.'-^ . (20) 

ou, en introduisant les valeurs numériques connues : 

15625/ 25\C^ 

Cl- 46656 \ ^ 36/ 3.4787 ^ ' 

Vérification. — On doit évidemment avoir, comme vérifi- 
cation, l'identité : 

«G, + G,, + G,^ + G„, + G,, = G . (22) 

Introduisant dans le 1^^ membre de cette expression les valeurs 
spéciales trouvées pour les différents G on obtient 



C 



t±_b = c , (23) 

a 



qui devient, en remplaçant a , b et p^ par leurs valeurs 

^146671 + 15625 46656 ^ r^ — r^ 

C ^ C , ou (-. — G ■ 

162296 46656 — 

L'identité est donc bien vérifiée. 



356 M. .lÉQUIER 

Reproduisons en un tableau les valeurs trouvées : 

1 C , 0,56073 „ L Gain total des H joueurs ) A-^r.-oo 

G = — . — .n (/> — »„i = G , „ =:0.o60>3C 

•f n a II ' seuls, saus carte = nKjs ) 

Gc, = ^PcJ' = 0.12552 C 

G„ = -P., h z= 0,12552 C, 

Gain total de ^ ,,,,,, ^ 
(' / toutes les cartes 

GcM= --Pc.'^ =0,02510C| 

Gc. = -■Poi'^+Ps^ = 0,16313 C 



Somme totale = C 

Remarques. — 1. L'espérance mathématique du gain d'un 
joueur seul est inversement proportionnelle au nombre des 
joueurs. Par contre, l'espérance mathématique du gain total 
de tous les joueurs seuls est indépendante de leur nombre. 

2. L'espérance mathématique de chacune des cartes est indé- 
pendante du nombre des joueurs. 

3. Si un joueur a plusieurs cartes l'espérance mathématique 
de son gain total est égal à l'espérance mathématique de son 
gain en tant que joueur seul + la somme des espérances mathé- 
matiques de chacune de ses cartes. 

4. Toutes les espérances mathématiques déterminées s'ex- 
priment en fonction de l'encaisse G au début de la partie, une 
fois les mises terminées, et sont d'ailleurs, naturellement, pro- 
portionnelles à cette grandeur. Du moment que C est inconnu 
des joueurs avant la clôture des mises, on ne pourra pas calculer 
d'avance la valeur probable de chacune des cartes. On devra 
attendre que, les mises terminées, le caissier ait compté à combien 
se monte C et alors seulement on pourra vérifier si les cartes 
ont été payées leur juste prix. 

5. Sans pousser plus avant les calculs, on voit immédiatement 
que les écarts relatifs probables sont d'autant plus grands que 
la probabilité d'amener la figure considérée est plus faible. Les 
écarts relatifs probables, ordonnés par ordre décroissant, se 



CLOCHE ET MARTEAU 



Î57 



présentent donc comme suit : (CM), (Cl et M ex-aequo), (Ch), 
(gain moyen d'un joueur sans carte). 

Appliquons les formules établies à un cas particulier. Suppo- 
sons 

C = 1500 , n = 6 . 

La tabelle ci-aprcs permet de comparer les espérances mathé- 
matiques, calculées au moyen des formules trouvées, aux. résul- 
tats d'une partie quelconque jouée en éliminant délibérément 
l'Auberge. Pour terminer la partie la caisse a simplement payé 
la somme r {r = somme restant en caisse avant le dernier coup 
de dés de la partie) à celui des joueurs ayant amené s ^ r. 





Espérance math. 


Résultats d'une 


Moyennes de 


Ecarts relatifs 




calculée 


partie jouée 


ces résultats 


moyens 


1 


140,18 


146 


\ 




2 


140,18 


143 


1 




3 
4 


140,18 
140,18 


98 
168 


1 142,17 


1.42 % 


o 


140,18 


143 


i 




6 


140,18 


155 


1 




Cl 
M 


188,27 
188,27 


158 
208 


j 183,00 


2,80 % 


CM 


37,65 


44 




16.87 % 


Ch 
Somme 


244,70 


237 




3,15 % 


1499,97 


1500 



La partie a compté un nombre de coups N = 404, alors que 
le nombre de coups probable était ^ ,^q^ = 431,2. L'écart rela- 



tif est donc 6,3 %. 

Neuchâtel, 10 décembre 1922. 



3,4787 



MELANGES ET GOKRESPONDANGE 



Fonctions triplement périodiques d'une seule variable indépendante 
par Marcel Wiivants (Liège). 

I. — En analyse élémentaire, on étudie les fonctions d'une variable 
réelle. On fait correspondre aux diverses valeurs de celle-ci les diffé- 
rents points d'une droite ou d'un segment de droite. On connaît des 
fonctions périodiques de cette variable, c'est-à-dire des fonctions 
telles que l'on ait: 

/■(.r + m-\) = /-(.r) , 

quelle que soit la valeur de ;r ; T représente une constante bien 
déterminée — c'est la période — tandis que m est un entier complète- 
ment arbitraire: négatif, nul ou positif. Les fonctions périodiques les 
plus simples sont les fonctions circulaires. 

Et l'on a démontré l'impossibilité d'une fonction doublement 
périodique. 

IL — Aux différents points d'une surface plane on peut faire 
correspondre les diverses valeurs d'une variable complexe. L'expres- 
sion z = X -{- i Y est appelée une variable (une, au singulier). L'ana- 
lyse des variables complexes a pris un développement tel que l'on en 
peut considérer l'analyse réelle comme un cas très particulier. 

On connaît des fonctions doublement périodiques d'une seule 
variable complexe ; ce sont des fonctions satisfaisant l'égalité 

f{z + ml + m'T') = /(r) . 

quelle que soit la valeur de z ; T et T' sont les deux périodes, et l'on 
a démontré que leur rapport était nécessairement complexe ; m et 
m' sont des entiers arbitraires. 

Les fonctions elliptiques sont les plus simples parmi les fonctions 
doublement périodiques d'une seule variable indépendante. 

Un très original théorème de Jacobi démontre l'impossibilité d'une 
fonction uniforme triplement périodique d'une seule variable com- 
plexe. 

III. — Nous allons développer des considérations analogues pour 
l'espace à trois dimensions, et nous montrerons enfin comment la 
science cristallographique semble justifier tous ces développements. 



MELANGES ET C R R E S P O X D A N C E 359 

Soient trois axes coordonnés rectangulaires. Envisageons trois 
vecteurs non coplanaires a, è, c, issus de l'origine. 

Considérons le parallélépipède dont les huit sommets correspondent 
aux vecteurs: 

, a + /^ + c . i 

a , b , c , (P) ■ 

\ 
h-\-c,c-\-a.a-\-b. ] 

A l'intérieur de son volume, prenons un point quelconque, et soit 
Il le vecteur joignant ce point à l'origine. Choisissons u comme 
variable indépendante. 

Par un procédé quelconque, à toute valeur de u faisons corres- 
pondre un vecteur v ; nous aurons: 

'■ = /•(") ; 
posons ensuite: 

/■(» -j- ""ï + '"''' + '""t") = /'(") . 

Et nous aurons ainsi défini une jonclion triplement périodique d'une 
seule variable indépendante. 

Des fonctions de cette nature ont peut-être déjà été envisagées, 
notamment en analyse vectorielle ? Nous nous bornerons pour le 
moment à soulever la question et nous serions heureux si quelque 
lecteur de VEns. math, pouvait nous renseigner sur ce point. 

IV. — Les cristallographes donnent au volume P le nom de paral- 
léloèdie. Ce paralléloèdre est empli de matière et d'éther. On conçoit 
un cristal comme formé d'un nombre prodigieusement grand de 
paralléloèdres identiques, juxtaposés. 

Toute propriété, physique ou chimique, en un point d'un cristal, 
est donc une fonction triplement périodique de la position de ce 
point. Cette fonction est actuellement réelle, mais ce n'est là qu'un 
cas particulier. 

La triple périodicité d'une structure cristalline est un fait qu'aucun 
cristallographe ne conteste plus. Elle pourrait, et même devrait 
suggérer au mathématicien l'étude systématique des fonctions à 
trois périodes. Cette étude nous paraît fort difficile, d'autant plus 
que nous ne connaissons encore aucune analyse à trois dimensions, 
pouvant être considérée comme une généralisation de l'analyse 
complexe. On ne soutiendra certainement j)as que la théorie des 
quantités complexes rentre dans celle des quaternions comme un cas 
particulier dans un cas général. 

Néanmoins, nous croyons qu'aujourd'hui l'on peut ne plus mettre 
en doute l'existence des fonctions triplement périodiques d'une seule 
variable indépendante. 

Liège (Université), le 31 mars 1923. 



360 M E LANGE S E T C O N H E S P O N D A .V C E 

Sur le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet. 

I. — Réponse à une Note de M. Mar. Bedarida 
par M. Léon Aubry. 

Dans sa note {Enseignement mathématique, 22™^ année, 1921 et 
1922, n°* 1-2, pp. 51-52), M. Bedarida affirme que les considérations 
sur lesquelles je me suis basé, ne sont pas justes, mais il ne donne 
aucun argument décisif contre mes objections; voici quelques expli- 
cations pour bien montrer que je n'ai pas du tout envisagé la valeur 
s=i. 

Dans le Journal de Liouville (Tome 4, 1839, p. 396), Dirichlet a 
voulu établir, pour 5^1, l'égalité 

mais, en réalité, sa démonstration, basée sur la convergence de ^ — , 

n'est valable que pour les valeurs de s qui rendent cette somme 
convergente, elle n'est donc pas valable, à bien plus forte raison, 
pour les valeurs de 5 ^ 1 qui rendent log. Lo = oo , puisque par 

construction Lo <^ ^,— et l'on ne peut donc avoir en même temps 

log. Lo = co et l'égalité (1) démontrée, comme l'a admis Dirichlet, 
[lac. cit., p. 408 et 411). 

M. Bedarida affirme que Dirichlet a déduit par des raisonnements 
rigoureux l'équation de la page 411 {loc. cit.) où 5 = 1 -f jo, /5 > 0, 
or il faut remarquer que p n'est pas un nombre quelconque, mais néces- 
sairement infiniment petit, puisque la démonstration de Dirichlet 
est basée en grande partie sur des raisonnements d'analyse infinité- 
simale rigoureux seulement pour s = i -\- p avec p infiniment petit 
et tendant vers 0; il y a donc là encore une contradiction, puisque 
ces raisonnements d'analyse ne sont absolument exacts que pour la 
limite s = 1, tandis que pour cette valeur de s l'égalité (1) n'€st pas 
démontrée par Dirichlet. 

II. — Réponse à la lettre de M. Léon Aubry 
par M. Mar. Bedarida. 

Dans la note ci-dessus qui nous a été obligeamment communiquée 
par la Rédaction, M. L. Aubry nous dit qu'il n'est pas persuadé de 
mes observations sur ses objections concernant la démonstration 
de Dirichlet du théorème de la progression arithmétique. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 361 

En supposant ^o^O, Dirichlet arrive à l'égalité (Journ. de Lion- 
ville, t. 4, 1839, p. 411) : 

qui a toujours une valeur déterminée et finie dans l'hvpothèse 

Dans cette relation, Dirichlet passa à la limite pour p =^0{s =^ 1); 

dans le § II de son Mémoire il a démontré que ^^^ log L((,) = x. 

A présent, les considérations pour le passage à la limite pour 5=1 
ne conduisent pas à devoir considérer l'égalité : 



n^^-2 



/i = L 



{!) 



pour 5=1. Dans la démonstration de Dirichlet, on ne demande pas 
d'examiner (1) pour 5=1, mais il y a seulement des considérations 
à la limite pour 5 = I (^ = 0). 

M. Aubry ne doit pas oublier le principe fondamental de la théorie 
des limites fonctionnelles, c'est-à-dire que la limite (quand elle existe) 
est bien différente de la valeur (s'il y en a une) que prend la fonction 
lorsqu'on remplace la variable par la valeur pour laquelle oji consi- 
dère la limite. 

J'ajouterai encore les observations suivantes, au sujet des réponses 
publiées dans le fasc. 5-6, p. 69-70, 1922, de Vlfiiermédiaire des Mathé- 
maticiens, à propos des remarques de M. Aubry sur la démonstration 
de Dirichlet du théorème de la progression arithmétique. 

Les citations bibliographiques de ces répons.es ne font pas com- 
prendre si quelque mathématicien a prouvé que les raisonnements 
de Dirichlet ne seraient pas rigoureux, mais ils donnent seulement 
des indications d'auteurs qui ont simplifié la démonstration de 
Dirichlet et qui ont donné au théorème une plus vaste extension; 
en outre, on signale la nouvelle démonstration de M. Landau. 

Quant au théorème indiqué dans la première réponse, je dis qu'il 
a été étendu, sans recourir à des considérations d'analyse, aux pro- 
gressions mx +1, où m est un entier quelconque (Kronecker, 
Vorlesungen iiber allgemeine Arilhmetik, p. 440-441). 

Gênes, décembre 1922. 

A. -M. Bedarida. 



CHRONIQUE 



Congrès de lAssociation française pour l'Avancement des Sciences K 

Montpellier, 24 au 29 juillet 1922. 

Les Sections de mathématiques, astronomie, géodésie, mécanique, 
se sont réunies sous la présidence de M. Clapier, D'" es Sciences, 
Professeur au Lycée de Montpellier. Vice-Présidents: MM. le L^-Col. 
Perrier, chef de la Section de géodésie au Service géographique de 
l'Armée, et M. Boccardi, Directeur de FObservatoire de Turin; 
Secrétaire, M. A. Gérardin, Correspondant du Ministère de l'Instruc- 
tion Publique, à Nancy. 

Après un discours d'ouverture de M. Clapier, on passe à la pré- 
sentation des mémoires. 

1. — M. le L^-Col. Perrier parle de la Réfection de la triangulation 
des Régions Libérées. De nombreux points géodésiques, dont plus de 
mille clochers, ont été détruits. Une nouvelle triangulation fera le 
canevas indispensable aux levés à grande échelle, 10.000®, 20.000®, 
plans directeurs. Elle intéresse le Ministère de la Guerre et celui des 
Régions Libérées, car environ 2000 communes réclament la réfection 
de leurs plans cadastraux. En 1922, on a fait les premières opérations 
de reconnaissance pour le réseau de premier ordre. 

2. — ]\L Boccardi présente son mémoire sur L'erreur probable 
dans les calculs par nombres et par logarithmes. Presque tous les auteurs 
ont envisagé l'erreur maxima à craindre, mais elle est exceptionnelle. 
M. Boccardi a étudié l'erreur probable à craindre dans un calcul tiré 
de tables avec le même nombre de décimales sans interpolation. 
Il trouve qu'en général c'est le calcul par logs qui donne le plus d'exac- 
titude, tandis que pour une puissance, c'est le calcul numérique qui 
est le plus précis. 

3. — M. Hadamari» envoie une note (présentée par M. Varopoi- 
Los) Sur la jonction harmonique la plus voisine d'une jonction donnée. 



* Nous devons ces notes à MM. GiiivAiu)iN, Ci.ai'Iich et Varopoulos. 



C H ROM QUE 363 

M. Levi Civita a déterminé la fonction harmonique n qui donne à 
l'intégrale 

I = ///(« — Vy-dxdydz 

valeur la plus petite possible, U étant une fonction donnée et le volume 
d'intégration û étant également donné. 

Par une méthode plus directe, mais au fond équivalente à celle da 
M. L. Civita, on peut résoudre ce problème. 

Il suffit de chercher les conditions auxquelles doit satisfaire une 
fonction régulière F pour que l'intégrale 

J = f ffFWd.x drdz 
soit nulle quelle que soit la fonction harmonique V. 

4. — M. Hadamard (présentée par M. Varopoulos) La notion 
de différentielle dans renseignement. 
On sait que, si 

r = f{x) . dr = /■'(.»•) dx (1) 

= = f(x , r) , dz = pdx 4- qdy (!') 

l'égalité (1) signifie tout simplement, que, x étant fonction d'une 
variable auxiliaire quelconque n, on aura 

la relation entre x et u étant quelconque. De même pour l'égalité (!') 
on aura 

dz^^d^dx^d^d^ 
dit dx du d\ du 

Ces égalités ont lieu quelle que soit la variable indépendante u 
l'égalité 

d-r = f'(x)d-x -f- f"(x)dx- 

signifie que l'on a 

d-r , d^-x „ ,/dxY 

Et aussi 

d-z = pd-x + (jd-y + rdx- + idy- + 2sdxdy 

veut dire uniquement que l'on a 

d-z d-'x d-r /dxY /drY . dxdv 

d7^ = Pd^ + 'fd^-^'ii7J + 'U;; ■^-■'d7td7r 



364 CHRONIQUE 

5. — M.Varopoulos expose sa note Sur les fonctions croissantes 
et les jonctions entières. 

L'auteur communique quelques résultats obtenus et donne des 
applications. Il établit d'abord le théorème suivant: 

Etant donné un nombre 9>1 quelconque pour des valeurs de r 
indéfiniment croissantes l'inégalité 



[j.|r -| ^ j < . [j.(/-) [a "> 1 quelconque) 

yXr) étant une fonction croissante quelconque, a lieu. 
Il applique cette proposition aux fonctions entières 

^[z) = «0 + a,z+ ... + «„."+ ... 

désignant par m.{r) le module maximum sur le cercle \z\ = r il dé- 
montre les inégalités suivantes: 

m(r) < i'ij.(r) log ix (r) ... log^a(/-)^ {a > l quelconque) (1) 

OÙ 

I I " ^ I \ 

\"n\'' < l'-in ■ 

m{r) < ru.{r)q{r) \og q {r) ... log^,r/(r)'' (2) 

où (j{r) croît plus vite que toute puissance de r finie 

n<r^lJ.{r)q(r) \o^ q {rf+' : > (3) 

71 étant le nombre de zéros de la fonction f{z) [|/(z)| ^e J dont 
le module est plus petit ou égal à /• et lim ,' = co . 

6. — M. Farid Boulad bey, Ingénieur des chemins de fer de l'Etat, 
au Caire, présente son mémoire Sur la représentation et la détermination 
des tensions et des déformations autour d'un point dans un corps 
élastique. 

7. — M. Candido, proviseur au Lycée de Campobasso (Italie), 
Sur les identités rationnelles. L'auteur généralise des identités de 
Fagnani et pose une demande de priorité en faveur de Fagnani pour 
le théorème « dit de Stewart ». Cette question sera étudiée au pro- 
chain congrès. 

8. — M. HuTTiNGER, Sur la décomposition en facteurs des équations 
algébriques. L'auteur annonce qu'il a trouvé une nouvelle théorie, 
et qu'il la fera connaître plus tard. En attendant, il donne plusieurs 
exemples. 



CHRONIQUE 365 

9. — M. Richard, Professeur au Lycée de Châteauroux, Sur la 
géométrie dans ses rapports avec la théorie de la Relativité. L'auteur 
présente plusieurs critiques sur la théorie d'EiNSTEiN. 

10. — M. Richard, -Réflexions diverses sur V Enseignement des 
mathématiques. L'enseignement, dans les lycées, devrait être surtout 
géométrique. L'auteur fait ensuite des observations sûr la manière 
d'enseigner différentes branches des mathématiques élémentaires. 

IL — Vœu sur la Réjection du Cadastre. 

12. — jM. Clapier présente une Note d' Arithmétique. En partant 
de l'équation de Pell-Fermat x^ — Aif = 1, l'auteur montre com- 
ment on peut déduire d'une solution particuhère une infinité d'autres 
solutions, et donne une suite convergente de fractions qui permet de 
définir y A. 

13. — M. A. Gérardin présente ses Notes sur Vextension de cer- 
taines tables mathématiques importantes. Ces tables forment une suite 
aux Quadratic Partitions de M. le L*-Col. Allan Cunningham, de 
Londres. En général, on peut dire qu'elles mettront encore autant de 
matériaux nouveaux à la disposition des mathématiciens. Plusieurs 
exemples sont indiqués, ainsi que des identités inédites mettant cer- 
tains nombres premiers p sous diverses formes. 

14. — M. A. Gérardin, Sur certaines équations indéterminées en 
nombres entiers. Solution immédiate de questions posées par des 
membres de la Section. 

15. — M. A. Gérardin, Lettres inédites de H. Le Lasseur à Ed. 
Lucas. Ces lettres seront reproduites en 1923, in extenso, dans le 
Sphinx-Oedipe. 

16. — M. A. Gérardin, Notes sur The Oxford, Cambridge and 
Dublin Messenger of mathematics. 

17. — M. Cadenat (présenté par M. A. Gérardin) Le calendrier 
universel à semaine invariable. 

L'auteur résout le problème d'amener le même jour de la semaine 
au même quantième, pendant la suite indéfinie des temps, avec la 
condition expresse que la semaine ne sera altérée ni dans sa durée, 
ni dans son cours. L'auteur donne une belle citation de Laplace sur 
l'utifité de la conservation de la semaine. Il propose la création de 
deux sortes d'années: 

1° Année ordinaire de 52 semaines ou 364 jours. 

2° Année complémentaire de 53 semaines ou 371 jours. 



366 CHRONIQUE 

Les années complémentaires s'intercaleraient dans le cours des 
années ordinaires, suivant une formule longuement expliquée. Le 
l^"" janvier de l'année civile oscillerait autour du périgée de 4 jours en 
plus ou en moins. 

18. — M. Boulogne, Construction de Tables de caractéristiques 
relatives à la base 300, pour la détermination des nombres premiers et 
des facteurs premiers des autres nombres non divisibles par 2, 3 ou 5. 

19. — M. Véronnet, astronome à l'Observatoire de Strasbourg 
envoie une note, présentée par M. A. Gérardin sur Les étoiles géantes: 
Constitution et Evolution. Les étoiles géantes constituent un groupe 
nettement séparé, au moins dans les étoiles rouges et jaunes, les 
moins chaudes. Elles ont un éclat global de 50 à 100 fois plus consi- 
dérable que les étoiles normales du même type et de même tempé- 
rature, sans étoiles intermédiaires et leurs diamètres peuvent être 
des centaines de fois plus considérables. 

Les lois des gaz ne permettent pas de leur donner la même consti- 
tution physique que les autres étoiles. Il faut admettre une enveloppe 
de particules solides, analogue à la couronne solaire, et maintenue au 
delà de l'atmosphère par la pression de radiation, à des centaines 
de fois le rayon de l'astre central. La note étudie les conditions phy- 
siques d'équilibre et de température du système. Par le rayonnement, 
la température de l'astre central diminue, mais celle de l'enveloppe 
augmente en se rapprochant du centre, et atteindra son maximum 
quand l'étoile sera redevenue normale. 

20. — M. Fontaine, ingénieur, envoie une brochure intitulée: 
Les erreurs de V analyse moderne: Note sur un théorème de Cantor et 
sur sa démonstration. 

21. — M. BiocHE, Professeur au Lycée Louis le Grand, Remarques 
sur les faisceaux des surfaces qui contiennent des systèmes de plans. On 
considère le faisceau des surfaces définies par l'équation 

P.P^... P„+X.Q,Q, ...Q„ = 

où l'on a évidemment deux systèmes de plans à deux valeurs opposées 
de 1 correspondent des surfaces telles que les plans tangents soient 
conjugués harmoniques par rapport aux plans P, et Q. 

On peut établir facilement des résultats intéressants pour ces 
surfaces. 

M. A. Gérardin présente les notes suivantes: 



CHRONIQUE 367 

22. — Léon Aubry, de 'oiiy les Reims, Démonstration du théo- 
rème de Fermât sur les nombres polygones. 

En se basant sur la décomposition de tout nombre en une somme de 
trois triangulaires et sur l'identité 

[ ^(—2—) + -•'■ + 1 + '^ [-^r- + -^~ + —2-) 

f X = 1 {.r + _v + « + . - 1) , Y = i- (.r + v —,/ — . + 1) 
U = - {r — V + " — v + 1) • V = ^ (.r - y — « + v + 1) 

on démontre beaucoup plus facilement que par la méthode de Cauchy, 
que tout nombre est décomposable en une somme de K + 2 nombres 

de la forme K ( '" j + m. 

23. — M. R. GooRMAGHTiGH, Ingénieur à La Louvière (Belgique): 
Un théorème sur les puissances entières. Cette note contient la démons- 
tration du théorème suivant: Toute puissance d'' exposant in d'un 
multiple de 3 est la somme algébrique dhin bicarré et de deux cubes. 

Cette proposition suppose n au moins égal à 3. La démonstration 
montre cependant qu'elle est aussi applicable au cas de n = 2, en ce 
qui concerné les multiples impairs ou pairement pairs de 3. 

24. — ^L R. GooRMAGHTiGH, Sur des propriétés remarquables de 
certaines chainettes tordues. Cette communication est destinée à faire 
connaître des résultats obtenus dans l'étude de la courbe gauche 
remarquable obtenue en tordant la chaînette d'équation intrinsèque 

p = a -f — de manière que son rayon de torsion soit défini par la 
relation t = — , c'est-à-dire de manière qu'elle devienne une certaine 

s 

géodésique de cône. Ces résultats peuvent se résumer ainsi: 

Le cône sur lequel la chaînette tordue considérée est une géodésique 
peut s'obtenir en projetant du centre d'une sphère la développée sphérique 
d'une courbe sphérique à torsion constante tracée sur cette sphère, et 
dont le rayon de torsion est égal au rayon de la sphère. 

La transformée par inversion de la chaînette tordue, par rapport au 
sommet du cône, est une courbe à courbure constante. 

Les normales principales de la chaînette tordue sont les binormales 



368 CHRONIQUE 

d'une autre courbe qui s'obtient en tordant la développée d'une chainette 
d'égale résistance de manière qu'elle devienne aussi une géodésique 
de cône. 

Pour la chainette tordue considérée, le rayon de la sphère osculatrice 
varie proportionnellement au rayon de courbure. 

25. — M. Kraitchik, Ingénieur à Bruxelles. Tables d'indices 
jusqu'à 10.000. Une table d'indices est dans la théorie des nombres 
ce qu'est une table de logs en algèbre. On comprend donc l'utilité 
de cette table; celle de Jacobi ne va que jusqu'à 100. L'auteur donne 
les indices de tous les nombres premiers inférieurs à 100 pour tous les 
modules inférieurs à 10.000, avec des applications. On en trouve 
d'autres dans la « Théorie des Nombres » et dans les « Décomposi- 
tions de a" ± è" en facteurs dans le cas où nab est un carré parfait » 
publiés récemment par l'auteur (Gauthier Villars). 

26. — M. P. HuMBERT, Sur une propriété des jonctions hyper- 
cylindriques. 

27. — M. T. Lemoyne, à Paris, Sur les normales aux courbes algé- 
briques planes. En cherchant l'ordre du lieu des pieds des normales 
menées d'un point donné P aux courbes algébriques appartenant à un 
système de caractéristique (u, v) on conclut les théorèmes suivants: 

I. Dans un système de courbes (a, v) d'ordre m. il y a (a + v) courbes 
normales à une droite quelconque D. 

II. Le lieu des pieds des normales menées d'un point P aux courbes 
[fx, y) est une courbe d'ordre 2^ + v qui admet le point P et les points 
cycliques pour points multiples d'ordre p.. 

28. — M. T. Lemoyne, Sur les cubiques à point double. En partant 
du théorème bien connu de Chasles «Lorsque deux angles sont cir- 
conscrits à une conique, les sommets et les 4 points de contact sont 
6 points d'une même conique » nous étabhssons un autre théorème. 

C'est le théorème suivant: 

Théorème: Si de deux points quelconques A, B d'une cubique à 
point double on mène les tangentes à la courbe les deux points A, B 
et les 4 points de contact sont 6 points d'une même conique. 

29. — M. HosTiNSKY à Brno (Tchéco-Slovaquie), Analyse vec- 
torielle et équations intégrales. On sait que la recherche des fonctions 
inconnues d'un système d'équations intégrales de Fredholm se 
réduit à la résolution d'une équation intégrale unique. 

On peut ou bien appliquer la méthode même de M. Fredholm 
(Acta mathematica, 1903), ou bien on peut employer un procédé dont 
s'est servi M. Weyl. 

L'auteur compare ces deux méthodes et envisage un cas très inté- 



CHRONIQUE 369 

ressant qui se présente dans les problèmes de la physique mathéma- 
tique: Chercher trois composantes u, v, w d'un vecteur A dont le 
point d'application P est situé sur une surface fermée S. 

30. — M. DoNTOT, Sur une formule crEuler. 

31. — M. Clapier présente sa Note Sur les équations irrationnelles 
de la forme 

y7+ V7+ V^-t- •■• = . 

L'auteur donne une méthode simple pour les rendre rationnelles. 
Il interprète géométriquement ces formes et généralise pour le cas de 
5 variables, les propriétés de la surface de Steiner. 

32. — M. RiABoucHiNSKY, cuvoie une Note Sur les mouvements 
plans des fluides autour de solides avec tourbillons. L'auteur obtient 
pour chaque configuration des solides et des tourbillons des constantes 
cycliques bien déterminées. 

Après l'élection de M. le L*-Col. Perrier, comme président de la 
Section pour 1923, M. Clapier prononce un discours de clôture. La 
Section remercie vivement M. Clapier qui a su intéresser aussi de 
nouveaux collègues et les amener à notre groupement. 

Questions à l'ordre du jour pour le Congrès A. F. A. S. 1923 (Bor- 
deaux): 

10 Réforme du calendrier. — • 2° Rapports entre la géologie et 
l'astronomie. — 3° L'accélération du moyen mouvement de la Lune. — 
4° Equations irrationnelles de la forme 

n « n 

\/-r + V/.r + V/- 4- ■•• = . 

50 Bio-Bibliographie d'un savant de la Région de Bordeaux. — 6° Dé 
termination des efforts secondaires dans les poutres américaines à 
grande portée. 



Société mathématique suisse. 

Berne, 26 août 1922. 

La Société mathématique suisse a tenu sa douzième réunion ordi- 
naire à Berne, le 26 août 1922, sous la présidence de M. le Prof. 
Gustave Dumas (Lausanne). La partie scientifique comprenait douze 
communications dont voici les résumés: 

I.'F.nseitinement mHtht-m., 22* année : 1921 et l'.t22. 25 



370 ClIliONIQUE 

1. — Prof. Marcel Grossmann (Zurich). — Géométrie dans le 
système des antipolaires. — Si on ordonne à chaque point d'un plan 
son « antipolaire » par rapport à un cercle donné, il en résulte un sys- 
tème polaire par rapport à un cercle imaginaire. Si on prend celui-ci 
comme conique absolue d'une métrique projective, on aura une 
représentation de la géométrie elliptique (non-euclidienne). Chaque 
triangle polaire sera par exemple un triangle avec trois angles droits. 
A chaque figure et à chaque construction de la géométrie elliptique 
correspondra une figure et une construction dans le système polaire. 

Comme exemple on donne la construction d'un cercle dont on 
connaît le centre et un point de la circonférence. Il est facile de trouver 
parmi les cercles concentriques autour du centre donné une courbe 
qui est à la fois cercle de la géométrie euclidienne. Tous les autres 
cercles de la géométrie sont collinéaires à cette courbe. 

2. — Prof. A. Speiser (Zurich). — Groupes de congruences. — 
D'après le théorème de C. Jordan il n'y a qu'un nombre limité de 
groupes simples représentables par des substitutions de degré n 
avec des coefficients réels ou complexes. Si au contraire on prend 
pour coefficients les résidus d'un nombre premier p ou d'un idéal 
premier (un domaine d'imaginaires de Galois), on a une infinité de 
tels groupes. Cependant on peut démontrer par la théorie du déter- 
minant des groupes, que si l'ordre d'un groupe de congruences est 
premier à p, ce groupe est représentable comme groupe de substitutions 
du même degré avec des coefficients réels ou complexes. La complexité 
immense des groupes de congruences dépend donc uniquement du 
facteur p de l'ordre. 

3. — Prof. R. FuETER (Zurich). — La théorie indépendante des 
fonctions modulaires elliptiques. — Hurwitz, dans sa thèse de doctorat, 
a le premier défini et développé les fonctions modulaires elliptiques 
sans revenir à la théorie des fonctions elliptiques. Plus tard {Math. 
Annalen, t. 48), il a simplifié ses démonstrations, sans parvenir 
cependant à un résultat tout à fait satisfaisant. C'est à l'aide du théo- 
rème de Fourier 



-^ //•(?) r-'^"''-^^ - ^'^^^ +/'(') 



11 = X (I 



qu'on arrive au bout sans difficulté. Cette théorie sera exposée dans 
un ouvrage didactique en préparation. 

4. — Prof. A. ËMCH (Urbana, E.-U.). — Sur quelques applica- 
tions géométriques des groupes de substitutions symétriques. — Cette 
communication envoyée par notre savant concitoyen soleurois se 



CHRONIQUE 371 

rattache au mémoire fondamental de Veronese sur l'interprétation 
géométrique de la théorie des substitutions de n lettres. Elle sera 
insérée dans un prochain n" de V Enseignement mathématique. 

5. — D^ Charles Willigens (Interlaken). — Application du 
calcul des probabilités à V adaptation des salaires au coût de la vie. — 
On appelle nombre indice un nombre qui est sensé indiquer la dépense 
nécessaire à une famille type. On obtient ces nombres indices à l'aide 
de comptes de ménages, en prenant la moyenne des quantités consom- 
mées pour la nourriture, les vêtements, etc. Ce procédé, ainsi que celui 
employé pour déterminer la composition de la famille corresponda^it 
à la moyenne est très rudimentaire et sujet à caution. Dans ce qui suit 
nous admettrons que l'on dispose d'un nombre indice acceptable, 
représentant la moyenne des dépenses des ménages de la Suisse. 
Connaissant les besoins et les prix du jour, on pourra à tout moment 
calculer la valeur de cette moyenne. 

Supposons que nous connaissions le revenu x de chaque ménage. 
Soit MxAx le nombre de ménage dont le revenu est compris entre 
X ei X -\- ^x, M le nombre total des ménages. Sur les longueurs ^x 
égales portées sur l'axe des x, construisons des rectangles de hauteur 

-^. L'aire du rectangle représente la fréquence des ménages de 

revenu compris entre x Qi x -\- ^x. A l'aide d'un procédé d'interpola- 
tion, on peut déterminer, connaissant un certain nombre des mé- 
nages seulement, une fonction N{x), tel que y{x)dx représente la 
probabilité pour un ménage ayant un revenu compris entre x et 
X + dx. Le procédé consiste à prendre un nombre suffisant de termes 
du développement en série uniformément convergente, suivant les 
polynômes qui s'introduisent dans les dérivées successives de ' 

Dans ce qui suit nous nous contenterons de la 1^® approximation, 
les données faisant défaut pour pousser plus loin. L'indice J est donné 
comme moyenne des valeurs de x par l'intégrale 



^/ 






' Voir pour la méthode : E. Czuuur. Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3» édition, t. I. p. 'il8. 
— Voir aussi l'exposé de A. Gui.DHKEtc dans les Comptes rendus du Congrès international 
des mathématiciens, Strasbourg, 1920, p. 552. 



372 C H HO y I QUE 

En effet V(x) c?a; X M étant le nombre des familles de revenu entre 
a; et a; + à,x, leur dépense supposée égale à leur revenu sera 
a; . M + V(x) àx. Pour tous les ménages la dépense sera 



M / .1 V (r) dx 



et la moyenne de ces dépenses sera 

J = / rV (.r) c^.r 



ICI nous prenons 



Y(.,.) = Jl_-h^(—^? 



Si par suite d'une variation de prix l'indice prend une valeur J' et 
si nous désignons par ©(a;) le nouveau revenu, déterminé en fonction 
de l'ancien, on aura 



y = -^^.{Ae-''^^-'^'d.r , (i: 



c'est-à-dire que J' devra de nouveau être la moyenne des revenus. 
La constante h est donné par la formule: 

1 :/,V2-^ y/ "^"--'^' . (2) 

la somme étant formée pour les valeurs de x pour les ménages connus, 
au nombre de n. 

(1) donne une relation permettant de déterminer des constantes 
laissées arbitraires dans (p(a;). 

Nous imposerons en outre la condition: 

y = ?(J) (3) 

pour que le maximum de l'exponentielle corresponde de nouveau au 
nombre indice. 

I. Si l'on pose (p{x) = "kx les conditions (1) et (3) sont identiques 
et on a 

IL Si l'on a ^(a;) = aa;-f-ft les conditions (1) et (3) donnent J'= ai -{-b 
Si l'on veut assurer un revenu minimum i' correspondant à un ancien 



C H ROM QUE 373 

revenu minimum i on aura i' = ai + h, soit en définitive le nouveau 
salaire 

III. Si is{x) est quelconque on aura 

•r — J , (■»• — J)- „,,, , 

o(.r) = 9(.I + .V - J) = r(J) +—,— ?(■'■) + . ; r'(J) + - 

que nous supposerons convergente pour toute valeur de x. On a 
©(J) = J' et (1) donnera une relation entre les valeurs des dérivées 
de (^{x) pour X = i. 

On pourrait encore faire l'adaptation en assurant un salaire 
minimum et en remarquant que la variation du prix de la vie est 
d'autant moins éprouvé que le revenu est élevé. Si l'on adopte l'hypo- 
thèse de Daniel Bernoulli sur la valeur morale d'une somme, on 
obtient la formule 

ç (,,) = .r + ^ log ( 1 + — 7 

log-r 

pour X = i, on a bien ©(x) = ï' ; à l'ancien salaire minimum, corres- 
pond le nouveau minimum. 

6. — Dr Jules Chuard (Lausanne). — Le problème des quatre 
couleurs. — Le problème de la coloration de la carte sur la sphère 
est bien connu: Quatre couleurs ont toujours suffi à colorier les sub- 
divisions d'une carte terrestre, à condition de ne pas donner la même 
couleur à deux d'entre elles qui ont en commun une ou plusieurs lignes 
de séparation \ La condition de suffisance n'a cependant pas été 
établie jusqu'ici. 

Des résultats antérieurement acquis ont montré que toute la diffi- 
culté consistait à colorier une carte dont les frontières forment un 
réseau cubique. Or de tels réseaux sont réductibles, de diverses 
manières, en un réseau quadratique et un réseau linéaire. 

J'ai tiré d'un procédé dû à M. Veblen ^ un moyen d'obtenir tous 
ces réseaux quadratiques, partant toutes les réductions d'un réseau 
cubique donné. En correspondance avec ce réseau on établit une cer- 
taine matrice, dont chaque ligne concourt à la formation d'une équa- 
tion hnéaire et homogène. Leur ensemble compose le système (1) 
dont les solutions jouissent des propriétés suivantes: 



» A. ERRiiRA. Du coloriage des cartes... Paris, Gauthier- Villars ; Bruxelles, Falk fils, 
1921. 

* G. Vbblkn. An application of modular équations in Analysis ï^itus. {Aimais of Mathe- 
matics, Princeton, 1912, p. 86.) 



374 CHRONIQUE 

Il existe a., — 1 solutions linéairement indépendantes, aj étant le 
nombre des pays. 

Le nombre total de solutions est 2*2" . 

A tout contour fermé constitué par des arêtes du réseau, corres- 
pond une solution du système (1). A toute solution du système (1) 
correspond un contour fermé ou un ensemble de contours fermés. 

Les réseaux quadratiques correspondent aux solutions qui ren- 
ferment «0 valeurs différentes de zéro. 

Le nombre des réductions du réseau cubique considéré est ainsi 
égal à celui des solutions du système (1) qui ont «o valeurs différentes 
de zéro. Le noriibre total des solutions du système (1) étant fmiy 
on a la possibilité d'obtenir toutes ces réductions. 

En vue de la coloration de la carte à l'aide de quatre couleurs, on 
peut classer les réseaux quadratiques obtenus plus haut en trois 
types suivant qu'ils comprennent: 

a) Un contour fermé unique. — b) Deux ou plusieurs contours 
fermés, chacun d'eux renfermant un nombre pair d'arêtes. — c) Deux 
ou plusieurs contours fermés parmi lesquels il en est qui renfer- 
ment un nombre impair d'arêtes. 

L'on a enfin les propositions: 

L'existence dhin seul réseau des types a ou b suffit à assurer la colo- 
ration de la carte avec quatre couleurs. 

Dans tout réseau cubique tracé sur une sphère il existe un réseau 
quadratique du type a. 

7. — Prof. RoHn Wavre (Genève). — Un problème d'' itération. — 
L Soient é (z,, ... z ), n fonctions entières ou rationnelles des n 

Tp ^ " II" 

variables complexes z = x -{- iy (p = 1, ..., n). Les relations 

=(') = ■: (2 . . z \ 
p .p\\ < II] 

définissent une substitution, que nous désignerons par T, du point 
V''^^{,z[^\ ..., z\p) au point P (2,, ..., z„) de l'espace E à 2n dimensions 
(a;,,..., a;,,; y^,....yj. 

Soient W^''\ W^'^\ ... les itérées de la substitution ^'. Choisissons 
un domaine Do de E constitué par l'intérieur de n courbes analytiques 
fermées simples C,, ... C„ situées dans les plans des variables 2,, ... z„ 
respectivement, tels que M^ soit continue' à l'intérieur de Dg et sur 
sa frontière. Appelons D, le premier itéré du domaine D^ et supposons 



* Point de continuité — (loint réjjiilier. 

Il infini — » singulier non essentiel de première espèce, 

» d'indétermination — ■> » » » de seconde espèce. 



CHRONIQUE 375 

que D, appartienne ainsi que sa frontière F^ au domaine D^, ce que 
nous désignerons par l'inégalité 

">o > f>, + f. • m 

Formons également l'itéré D,„ de D^ par la substitution ^("') 
et cela pour toutes les valeurs de m. Les substitutions ^<"') sont 
continues dans D^,. 

On a évidemment 

l>o> », >"^2> • ■ • 

a) Lorsque m augmente indéfiniment, D„, tend à se réduire à un 
point a de E, seul point double de la substitution intérieur à Dq. Le 
point a sera dit point double attractif de la substitution. 

Nous pouvons toujours prendre le point a comme origine de l'espace 
E. Soit alors aS^^z^ -\- ... -j- fl^"^z„ la partie linéaire du développement 
de ^y au voisinage de l'origine a. Supposons le déterminant des a^') 
différent de zéro. 

b) Les n racines s, , s^, ... 5„ de l'équation 



A (5) = 



1 2 • ;i 

l s n 



= 



sont toutes en module inférieures à l'unité. 

Inversement, si cette condition est vérifiée on peut trouver un 
domaine D„ tel que D^ >• D, + F,. 

Formons l'ensemble D_,„ des points P_„, où la substitution M^("') 
est continue et dont l'itéré P,, = ^("') (P_„,) appartient à D,, et cela 
pour toutes les valeurs de m. Soit F_,„ la frontière de D_„,. 

Si la relation (1) est vérifiée on a D^ <^ D_i < D_2 <C — • Soit D 
l'ensemble de tous les points qui appartiennent à l'un des D _„, et 
F sa frontière. La substitution T peut admettre des points d'indé- 
termination dans le domaine D. Nous dirons tout de même que D est 
un domaine complètement invariant par la substitution et son 
inverse. 

c) Tout point p de F est point limite d'une suite p,, p^, ... de points 
distincts appartenant respectivement aux frontières F_i, F.-.. ,...; 
la substitution ^:'<"') étant continue en p,,,. C'est la présence des points 
d'indétermination des substitutions m"^"'^ qui exige un peu de réflexion 
pour établir cette proposition. Cette indétermination ne se présente 
pas dans le cas d'une seule variable. 



y 76 CHRONIQUE 

Soit D,^ l'ensemble des points de D qui peuvent être reliés à a par 
un arc de Jordan dont tous les points appartiennent à D. Soit F^ 
sa frontière. F» appartient à F. D., sera appelle domaine immédiat 
du point a. F et F,;, sont deux ensembles parfaits. 

II. Considérons l'équation fonctionnelle de Schroder 

sç[P] = ?[T(P)] . 

Il résulte des recherches de M. Leau, que cette équation est réso- 
luble par des fonctions (j) holomorphes au voisinage du point « pour 
les racines Sp respectivement, que nous supposerons ici toutes dis- 
tinctes, et telles que la racine carrée du plus petit de leur module soit 
supérieure au plus grand. 

Par une substitution linéaire, Poincaré a montré que l'on peut 
ramener la substitution T à la forme canonique 

les f,„ évidemment entières ou rationnelles, étant nulles ainsi que 
leurs dérivées premières à l'origine. 

Désignons par 2^'^ , z^'-\ ... les itérés successifs du point Zp. 



Les expressions 



~p 



(F = 1. 



tendent respectivement vers les n fonctions o (2, ,...,z„) lorsque n 
augmente indéfiniment. 

Donnons un développement de ç»^ valable dans tout le domaine D. 

d) Avec la forme canonique (2) les fonctions ç; peuvent être mises 
sous la forme suivante: 

^ f {-(.q) -(9)) 

,pi^. ^») = >+S- ^^ v+r" ' ip = i. ...,"). (2) 

<7=l> ^P 

ce développement étant absolumenf U uniformément convergent dans 
tout domaine fermé et borné appartenant à D. 

En un point de D, un nombre fini de termes peuvent être infinis 
ou indéterminés, mais alors leur somme est holomorphe au voisinage 
de ce point. Les fondions o) ^ sont donc holomorphes dans D. 

Pour chaque fonction <^ , il est possible de définir un domaine d„, 
satisfaisant à la condition (1), donnant évidemment naissance au 
même domaine D et sur la frontière duquel on ait, r étant un nombre 
positif, 



C H ROy [QUE -611 

Supposons donc que le domaine D^ lui-même donne lieu à cette 
inégalité. On voit aisément que si le point P est un point de conti- 
nuité de ^'("') situé sur F_ ,„ , le point ^<"')(P) est sur Fp. L'équation 
de Schrôder donne 



et par suite on a 



V(f')|>-7. \'p\<' 



p 



en tout point de continuité de ^F^"^^ situé sur F_„,. 

e) Ceci montre, en vertu delà proposition c, que chaque point de F 
est point limite d'une suite de point de D sur lesquels le module 
(les fonctions œ^ croit au delà de toute limite. 

L'ensemble F est donc singulier pour les fonctions cp,,. Le domaine 
D pourrait se composer de plusieurs domaines disjoints et alors le 
développement (2) définirait une fonction holomorphe dans chacun 
d'eux, sans qu'il soit possible de passer de l'un à l'autre par prolonge- 
ment analytique au sens de Weierstrass. Le domaine D^ est donc 
le domaine de Weierstrass au voisinage du point «. 

Une démonstration légèrement différente montrerait qu'il en est 
de même pour toute solution holomorphe au voisinage de l'origine 
de l'équation de Schrôder sans aucune restriction concernant les 
racines s,,. 

Nous obtenons donc le résultat suivant: 

Le domaine de Weierstrass des solutions holomorphes au voisinage 
d'un point double attractif, des solutions de Véquation de Schrôder 
pour une substitution à un nombre quelconque de variables, est le do- 
maine immédiat de ce point. 

Dans le cas d'une seule variable, M. Fatou a démontré cette pro- 
position ainsi que d'autres beaucoup plus précises sur la nature des 
fonctions cp et de l'ensemble Fa. 

8. — Prof. F. GoNSETH (Berne). — Sur la représentation de La- 
guerre des imaginaires de V espace. ■ — 1. Par la combinaison de la 
représentation de Laguerre du point imaginaire de l'espace et d'une 
seconde représentation (que Study nomme dans le plan « das zweite 
Bildpaar ») on arrive à traiter avec simplicité les problèmes des- 
criptifs de l'espace où entrent des éléments imaginaires. Par exemple 
la congruence linéaire elliptique s'obtient comme suit: De chaque point 
M du plan médian de deux droites dirigées on abaisse la perpendiculaire 
sur ces droites. La normale en M sur le plan de ces deux perpendiculaires 
décrit la congruence. 

2. La symétrie de Schwarz-Laguerre par rapport à une courbe 
plane analytique peut être étendue dans l'espace de la façon sui- 



378 CHRONIQUE 

vante: Soit une surface analytique, réelle ou imaginaire et P un 
point réel. Le cône isotrope de P coupe en une courbe y, et la 
développable isotrope circonscrite à y contient en outre du point P 
une courbe réelle c. La correspondance de contact P— >- c peut être à 
certains points de vue (conservation de certains angles) envisagée 
comme une extension de la symétrie susmentionnée. 

Si en particulier est une sphère imaginaire, c est un cercle, qui 
pour une sphère réelle se réduit au conjugué de P. 

9. — D'' E. Anliker (Berne). — Sur la génération cinématique des 
astroïdes. — Examinons le système cinématique dans lequel Vellipse 
de demi-axes 2a et a roule sans glisser sur une rosace à quatre bran- 
ches de paramètre 2a à condition que le petit-axe de l'ellipse passe 
constamment par le nœud de la rosace. 

Nous aurons entre autres les courbes suivantes: Toute droite du 
plan mobile parallèle au petit-axe de l'ellipse enveloppe une circon- 
férence. Toute autre droite formant un angle a- avec le petit-axe 
engendre une astroïde, dont la position des axes de symétrie et les 
dimensions dépendent de w. Par exemple: Toute droite par le centre 
de l'ellipse enveloppe une astroïde régulière ; toute droite par un 
sommet du petit-axe une demi-croix de Malte, etc. 

Tout point du petit-axe ou de son prolongement décrit la podaire 
de la développante d'astroïde enveloppée par la perpendiculaire en 
ce point sur le petit axe. Le centre de l'ellipse par exemple engendre 
une rosace à quatre branches régulières. Les extrémités du petit- 
axe décrivent des Ovales de Miinger, etc. Tout autre point décrit 
une conchoïde oblique ou une orthoconchoïde de la trajectoire du centre 
de l'ellipse. En particulier les milieux des demi-axes principaux four- 
nissent des cornoïdes. 

10. — D^ Paul Thalmann (Berne). — Sur une nouvelle représen- 
tation des fonctions de variables complexes. — La représentation 
ordinaire d'un point imaginaire a l'inconvénient qu'un point réel 
d'une courbe est présenté par deux points différents, c'est-à-dire par 
un point sur l'axe des x et un point sur Taxe des y; de plus ce couple 
n'est pas indépendant du choix du système des coordonnées. La- 
guerre et plus tard Study ont introduit un autre couple de points 
n'ayant plus ces désavantages. Je veux montrer, qu'on peut encore 
choisir de manière simple un autre mode de représentation. (Voir 
Jahrbuch der philosoph. Fakultài II der Universitât Bern, Bd. III 1923: 
Paul Thalmann : Ueber eine neue graphische Darstellung der komplexen 
Zahlen. Dissertation, p. 34-42). 

Soient 

Construisons d'abord A(.r, y); puis déplaçons le système des coor- 



CHRONIQUE 379 

données jusqu'en A et construisons dans ce nouveau système le 
point B(|, 7)). Nous choisissons A et B comme couple représentatif. 
B a les coordonnées u = x +^, v = y -\- -fi relativement au système 
primitif. Si nous examinons la transformation A— *-B, nous obtenons 
le résultat suivant: chaque surface couverte en B(m, v) est le double de 
la surface au point A {x, y). De plus la correspondance A— *-C conserve 
les aires, avec C(|, yj). 

On peut, en particulier, à l'aide de cette représentation donner un 
sens géométrique simple au problème consistant à chercher les points 
d'intersection d'une droite d (réelle) et d'une conique — une ellipse 
par exemple — lorsque ces points sont imaginaires. 

Les deux couples représentatifs ont le même point A: l'intersection 
de d avec le diamètre conjugué à la direction de d. Les points B et B' 
sont sur d, de part et d'autre de d. Ils sont les points d'intersection 
toujours réels de d avec une conique semblable à la donnée, de centre 
A et d'ailleurs très facile à déterminer. 

Si d se meut parallèlement à elle-même, B et B' sont sur une hyper- 
bole, complémentaire de l'ellipse, déjà introduite par Poncelet. Le 
système de ces hyperboles peut être considéré comme un prolonge- 
ment analytique de l'ellipse. 

Les autres coniques fournissent des résultats analogues. 

Il pourrait être intéressant d'étudier, à ce point de vue, quelques 
courbes d'ordre supérieur. 

IL — Dr Willy ScHERRER (Zurich). - — Un théorème sur les réseaux 
et sur les volumes. — Il s'agit d'un théorème de la géométrie des 
nombres, auquel on peut donner l'énoncé suivant : Dans un réseau 
de côté unité, un domaine D de volume unité contient au moins deux 
points que joint un vecteur du réseau. 

La démonstration est basée sur le lemme suivant: Etant donnés 
Z > ^" points répartis d'une façon arbitraire dans un réseau à n 
dimensions, où ^ est un nombre naturel, il y a au moins deux points 
réunis par un vecteur du réseau de côté u. 

Considérons les vecteurs ayant leurs origine en un point quelconque 
du. réseau et se terminant aux Z points en question. Parmi ces vecteurs 
il y en a au moins deux ayaiit les mêmes restes pour le module p. et 
notre lemme se trouve démontré. 

Divisons maintenant les côtés du réseau unité primitif par le 
nombre naturel N et construisons le réseau correspondant à ces 
divisions. 

Parmi les points de ce réseau il y en a Z qui tombent dans le do- 
maine D. Le volume de D peut être défini par l'expression: 

Z 

lim — = > • 
N=oo N" 



380 CHRONIQUE 

Appliquons maintenant le lemme précédent aux Z points du nou- 
veau réseau et prenons u. = [_\/ Zj . Rapportons tout aux unités 
primitives et faisons le passage à la limite : N =■ go , nous obtenons 
notre théorème. 

Ce théorème fournit une base simple pour différents théorèmes de 
la géométrie des nombres. Il en est ainsi du théorème de Minkowski 
sur les corps convexes centrés, de même de l'inégalité de Tchebychew- 
Minkowski concernant les formes quadratiques décomposables. Enfin 
notre théorème donne sous une forme géométrique certains résultats 
concernant les systèmes d'équations linéaires de Diophante. 

12. — Prof. G. JuvET (Neuchâtel). — Equations aux dérivées 
fonctionnelles partielles. — Ces recherches font partie d'un travail 
qui sera publié plus tard. 



Société suisse des Professeurs de Mathématiques. 

La Société suisse des professeurs de mathématiques a tenu sa 
réunion annuelle à Zoug, le 8 octobre 1922, sous la présidence de 
M. le Dr H. ScHUEPP, professeur à l'Ecole cantonale de Zurich. En 
ouvrant la séance, le président a rappelé le décès des Professeurs 
Cailler (Genève), Gubler (Zurich), Meier (St-Gall), et H. Suter (Zurich), 
puis il a rendu compte des démarches qui ont été faites auprès des 
autorités à la suite des propositions et vœux émis par la Société en 
1921 au sujet des programmes des examens fédéraux de maturité. 

Les éléments à Vinfini dans renseignement de la Géométrie. — M. le 
Prof. Grossmann (Zurich) a d'abord rappelé l'importance et la por- 
tée des éléments à l'infini en géométrie, puis M. le Prof. Mettler 
(Zurich) s'est placé au point de vue de l'enseignement dans les écoles 
moyennes. A quel moment et dans quelle mesure ces notions peuvent- 
elles être introduites dans l'enseignement géométrique ? 11 estime 
que pour le début, il faut rester au point de vue des anciens: deux 
droites parallèles ne se rencontrent pas. L'introduction des locutions 
nouvelles, point, droite et plan de l'infini, ne doit se faire que plus 
tard à l'aide d'exemples bien choisis, au moment où l'on aborde les 
notions de géométrie moderne. 

Plans d'études. — Dans une seconde séance MM. Amberg (Zurich) et 
Flatt (Bâle) rapportent sur le projet de maturité et les plans d'études 
mathématiques dans l'enseignement moyen. M. Amberg se place 
au point de vue du «jymnase, tandis que M. Flatt insiste plus parti- 
culièrement sur les besoins des écoles réaies et des sections scienti- 
fiques. A])rès discussion, l'assemblée décide de confier à une commis- 
sion spéciale l'élaboration d'un projet de plans d'études pour les 
branches mathématiques dans les différentes sections de l'enseigne- 



CHRONIQUE 381 

ment moyen. Cette commission est composée du Comité (MM. Schuepp, 
Zurich; Mercier, Genève ; Vaterlaus, Zurich; Stohier, Bâle; Flukiger, 
Berne); des deux rapporteurs, MM. Amberg et Flatt, et de M. Huber, 
recteur du Gymnase d'Altorf. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemag-ne. — Le Prix Ackermann-Teubner pour ]922 a été 
accordé à P. M. Koebe, Professeur à l'Université de léna, pour ses 
Mémoires sur l'uniformisation des courbes algébriques parus dans les 
« Mathematische Annalen » (Tome LXVll, 1909; LXIX, 1910 et 
LXXll, 1912). 

Belg-ique. — Académie Royale de Belgique : Classe des Sciences. — 
Le programme du concours annuel pour 1924 comprend les questions 
suivantes pour les sciences mathématiques et physiques: 

1. On demande une contribution importante à la géométrie infini- 
tésimale des surfaces courbes. 

2. On demande une contribution nouvelle à nos connaissances sur 
l'absorption de la lumière dans l'espace interstellaire. 

Pour chacune de ces questions, le prix peut être de 1500 fr. Délai 
1er août 1924. 

Italie. — Sous le titre Unione matemaiica italiana il vient d'être 
constitué une société groupant les mathématiciens italiens et destinée 
en même temps à assurer leur contact avec l'Union internationale 
Mathématique fondée à Strasbourg en 1920. Le Comité provisoire 
est dirigé par MM. S. Pincherle, président et E. Bortolotti, 
secrétaire. Il publiera un bulletin dont l'administration a été confiée 
à l'éditeur bien connu N. Zanichelli, à Bologne. Le Bollottino délia 
Unione Mafetnatica Italiana, dont le premier fascicule porte la date 
d'octobre 1922, comprendra les rubriques suivantes: Sezione prima: 
Piccole Note. — Sezione seconda: A. Sunto di lavori pubblicati dai 
periodici itaJiani. — B. Sunto di lavori pubblicati dai periodici 
esteri. — C. Corrispondenza matematica. — D. Notizie. — E. Re- 
cenzioni di opère. 

Universités. — Ont été transférés: M. G. Armellini de Pise (méca- 
nique supérieure) à Rome (astronomie); M. A. Comessati, de Cagliari 
(géométrie analytique) à Padoue( géométrie descriptive); M. E. Laira, 
de Pavie (Mécanique rationnelle) à Padoue (même chaire); M. .V. 
Palatini, de Messine (méc. rat.) à Naples (phys. math.). 

Ont été nommés professeurs extraordinaires: M. E. Bompiani, 
pour la géométrie analytique ;i l'Institut Technique Supérieur de 
Milan; M. C. Rosati, pour la géométrie projective et descriptive 
à l'Université de Pise; M. G. Sannia, pour la géométrie analytique 
et M. G. \'iTALi, pour l'Analyse infinitésimale à l'Université de 
Modène. 



382 BIBLIOGRAPHIE 



Nécrologie. 

Albert Kundig. — C'est avec un profond chagrin que nous faisons 
part à nos lecteurs du décès de M. Albert Kundig, maître-imprimeur, 
emporté subitement par une embolie le i*''" mars 1923 à l'âge de 53 ans. 
Sa mort prématurée est une perte douloureuse pour l'imprimerie 
suisse en général. 

Fondée en 1832 par Elie Carey, la maison d'imprimerie resta dans 
cette famille jusqu'en 1892, date à laquelle elle fut reprise par MM. W. 
et A. Kundig, père et fils. Depuis la mort de son père, survenue en 
1908, M. Albert Kundig dirigea seul son imprimerie qui maintenant 
va être continuée par ses fils. 

Les remarquables publications que la Science doit aux soins de la 
Maison Kundig lui ont acquis dans le monde savant un renom juste- 
ment mérité. M. Albert Kundig se consacra plus spécialement à 
l'impression de travaux scientifiques et d'ouvrages de luxe. Il vouait 
un soin tout spécial aux publications périodiques. Grâce à son bien- 
veillant appui, beaucoup d'entre elles purent continuer à paraître 
dans les circonstances difficiles dues à la guerre mondiale. 

L'Enseignement Mathématique fut imprimé dans ses ateliers depuis 
1904. Pendant près de 20 ans, nous avons largement bénéficié de sa 
précieuse collaboration. Xous garderons d'Albert Kundig un sou- 
venir reconnaissant et nous réitérons ici à la famille Texpression 
respectueuse de nos sentiments de regrets qui, nous en sommes 
certains, seront partagés par tous les lecteurs de la Revue. 

Au nom de la Rédaction 
H. Fehr. 



BIBLIOGRAPHIE 



Index Generalis 1922-1923. Annuaire général des Universités, The Yearbook 
of the Universities, publié sous la direction de R. de Montessus de Bal- 
LORE, docteur es sciences et lauréat de l'Institut. Ouvrage honoré d'une 
souscription du Ministère de l'Instruction publique. — Un volume in-16 
double-couronne de 2111 pages : broché, 50 fr. ; relié, 55 fr. ; Gauthier- 
Villars et Cie Paris. 

UIndex Generalis, qui paraît annuellement, indique l'organisation des 
Universités et des Ecoles Supérieures du monde entier avec les noms des 
Professeurs et l'indication des cours professés. Plus de 900 pages sont 
consacrées à ce Chapitre. Les Chapitres concernant les Universités et les 



BIBLIOGRAPHIE 383 

Grandes Ecoles, les Archives, les Bibliothèques, Instituts scientifiques. 
Jardins botaniques et zoologiques, Musées, Observatoires, Académies et 
Sociétés savantes, ont été considérablement augmentés dans cette nouvelle 
Edition. 

Pour les Sociétés savantes, on trouve: l'objet et le but de la Société, le 
nombre de ses membres, l'année de sa fondation, les noms du Président et 
des Secrétaires, le montant de la cotisation ; les lieux, dates et heures des 
réunions privées et publiques ; enfin des indications très déiaUlées sur les 
Publications de la Société. 

Une Table alphabétique de plus de 40.000 noms, permet de «situer» 
immédiatement les Universitaires ou Savants dont on cherche les titres et les 
fonctions. 

'L'Index Generalis est donc un instrument de travail et de recherches 
indispensable aux savants, professeurs ou non, aux étudiants de tous les 
pays et à tous ceux qui exercent des industries et commerces relatifs à 
l'activité intellectuelle mondiale. 

Robert d'Adhémar. — Statique, Cinématique. (Eléments de Mécanique 
à l'usage des Ingénieurs). — Un vol. gr. in-S» de XII-254 pages et 
153 figures ; 16 fr. ; Gauthier-Villars et G», Paris, 1923. 

Ce livre reproduit, tel qu'il a été enseigné, le cours professé par Fauteur 
à l'Institut industriel du Nord de la France ; il contient des éléments de 
Cinématique et de Dynamique et un développement élémentaire de la 
Statique. Il s'adresse à de jeunes élèves, élèves qu'on peut supposer inexpé- 
rimentés, et dans ces conditions, on ne doit point s'attendre à une analyse 
signalant des choses bien originales. On s'aperçoit cependant très vite qu'on 
a à faire avec un auteur savant et, s'il y a une chose qui frappe particulière- 
ment dans l'œuvre, c'est la discussion des principes. Tout examen philoso- 
phique était ici hors de propos et cependant l'exposé ne pouvait être celui 
d'un Béotien. M. d'Adhémar s'est tiré de ce pas d'une façon particulière- 
ment fine ; il a laissé pressentir les difficultés en indiquant soigneusement 
le moyen de ne point s'en embarrasser. Il a été élégant en Cinématique et 
profond en Statique en insistant sur l'équilibre des systèmes pesants, 
équilibre qui, en pratique, correspond toujours aux positions les plus 
basses du centre de gravité. 

Par endroits transparaissent les idées de Duhem, celles de MM. Emile 
Picard et Léon Lecornu. L'analyse mathématique nécessaire est préparée 
par une courte introduction. Beaucoup de figures et de graphiques, des 
calculs courts et significatifs, de nombreuses courbes étudiées et à étudier ; 
tel est, en quelques mots, le bilan d'un livre qui formera, tout au moins, 
des techniciens avertis. A. Buhl (Toulouse). 

H. Andoyer. — Cours de Mécanique céleste, Tome I. — 1 vol. in-8° de 

440 p. ; 50 fr.; Gauthier-Villars et Cie, Paris, 1923. 

Après le Traité de Tisserand et les profondes recherches de Poincaré 
sur la Mécanique Céleste, il y avait place encore pour un Ouvrage dérivant 
d'une conception différente, et qu'attendaient les astronomes praticiens. 
C'est un tel Ouvrage que donne aujourd'hui M. Andoyer, membre de 
l'Institut. 

Dans le Livre qu'il fait paraître à la librairie Gauthier-Villars, on trou- 



384 m H 1.1 () G R A l' Il I E 

vera d'abord sous une forme très personnelle, un exposé systématique des 
méthodes de la mécanique céleste classique, avec de nombreuses additions 
propres à l'auteur ; mais on distinguera surtout le souci constant qu'il a 
pris de n'exposer aucune théorie, aucune méthode, sans l'éclairer immédiate- 
ment par une application numérique à un cas concret. Ne perdant jamais 
de vue la véritable fm de la mécanique céleste, M. Andoyer s'est attaché à 
fixer rigoureusement le choix des formules, la suite et l'ordonnance des 
calculs, en vue d'une approximation déterminée, mettant à la disposition 
du calculateur, dans le corps même de l'Ouvrage, les tables auxiliaires 
indispensables. 

Le volume actuel contient d'abord un rappel des théories générales ; puis 
une étude complète du mouvement képlérien, comprenant le problème de 
la détermination des orbites et le calcul numérique des perturbations ; enfin, 
le développement analytique de la fonction perturbatrice. 

Un second Volume doit compléter l'Ouvrage ; outre la fin de la théorie 
des planètes, il contiendra la théorie de la Lune, celle du mouvement de 
rotation de la Terre et de la Lune sur elles-mêmes et celle des anciens satel- 
lites de Jupiter. 

H. Andoyer. — Cours d'astronomie. Première partie : Astronomie Théo- 
rique (Faculté des Sciences de Paris). — 1 vol. in-8° de 455 p. ; 35 fr. ; 
Librairie Scientifique J. Hermann, Paris, 1923. 

Cette nouvelle édition du Cours d'Astronomie que M. Andoyer professe 
à la Sorbonne a été entièrement refondue. L'auteur a non seulement apporté 
de nombreux perfectionnements de détail, suggérés par l'expérience de 
l'enseignement, mais il a en outre complètement modifié l'exposition de 
la théorie de la précession, comme aussi celle de la théorie générale des 
éclipses. Le problème de la détermination d'une orbite képlerienne par 
trois observations rapprochées, qui figurait dans le second volume, se 
trouve présentée ici avec une solution toute nouvelle. Le volume se ter- 
mine par une intéressante Note sur le Calendrier. 

H. Andoyer. — Tables logarithmiques à treize décimales. — 1 vol. in-4o de 
25 p. ; 8 fr. ; Librairie Scientifique, J. Hermann, Paris, 1922. 

Ces Tables sont appelées à rendre de grands services aux calculateurs. 
Il est assez souvent nécessaire d'obtenir dans un calcul logarithmique une 
exactitude supérieure à celle que peuvent donner les tables usuelles à sept 
ou même huit décimales. S'il s'agit de lignes trigonométriques, les Nou- 
velles Tables trigonométriques (logarithmes), publiées par M. Andoyer en 
1911 permettent d'aller sans trop de peine jusqu'à la précision de quatorze 
décimales. Pour le calcul des logarithmes des nombres et la résolution du 
problème inverse, on dispose bien du Thésaurus de Véga, qui ne donne que 
dix décimales, mais il est devenu très rare. 

La Table I donne les logarithmes à treize décimales des nombres n de 
trois chiffres, depuis 100 jusqu'à 1000 ; la Table II ceux des nombres depuis 
100.000 jusqu'à 101.000 ; la Table Wbis la correction positive pour la 
différence seconde . La Table III contient les nombres qui correspondent 
aux logarithmes depuis 00000 jusqu'à 00432 avec treize chiffres ; la Table 
IIIèi>, la correction négative pour la différence seconde. H. F. 



BIBLIOGRAPHIE 385 

I. Barrow. — Geometrical Lectures, translated, \vith Notes and Proofs and 
a Discussion on the Advance made therein on the Work of his Predeces- 
sors in the infinitésimal calculus, by J. M. Ghild. (The Open Court 
Séries of Classics of Science and Philosophy, Nro. 3). — 1 vol. in-8° de 
218 p., 4 s. 6d.net. Open Court Company, 149, Strand, Londres.W.G. 2. 

Cet ouvrage apporte une contribution très importante à l'Histoire des 
origines du Calcul infinitésimal. Dans une série d'intéressantes Notes qui 

accompagnent ces Geometrical Lectures de Barrow (1630-1677), M. Child 

montre le rôle prépondérant que joue la méthode géométrique du savant 
géomètre dans l'invention et le développement ultérieur du Calcul infini- 
tésimal. 

Tous ceux qui s'intéressent à l'Histoire des mathématiques tiendront à lire 
ce petit volume. H. F. 

Emile Borel. — Méthodes et Problèmes de la Théorie des Fonctions. — 

1 vol. gr. in-8° de XII-148 pages; 12 fr. ; Gauthier-Villars et C'e, Paris, 
1922. 

Ce nouvel ouvrage fait partie de la Collection de Monographies où M. Borel 
et d'éminents collaborateurs ont déjà publié tant de belles choses sur la 
Théorie des Fonctions. Il est surtout constitué par des Mémoires et des 
Notes de l'auteur qu'il est de la plus grande utilité d'avoir sous la main, 
en un seul livre, mais qui, de plus, ont été liées par de curieux rapproche- 
ments philosophiques. M. Borel voit maintenant le monde fonctionnel à 
l'image du monde vivant. La Théorie des ensembles forme une sorte de 
terrain vital où se développent des êtres normaux ou monstrueux sans pré- 
judice d'êtres non existants mais possibles. 

Dans un premier Chapitre, consacré aux domaines et aux ensembles, 
nous retrouvons d'abord, dans un cas simple, les fonctions discontinues 
de M. Baire considérées comme limites de fonctions continues, les fonctions 
bornées définissables analytiquement et leur représentation par des poly- 
nômes, les ensembles de mesure nulle dans leurs rapports avec les fonctions 
monogènes, le rôle assez souvent illusoire du transfini et l'étude de nom- 
breux cas où l'on peut se passer de cette notion, le rôle également illusoire 
de séries dont la convergence bien qu'existante est insuffisamment définie. 
De nombreuses pages sont consacrées aux ensembles de mesure nulle et à 
leur classification; ces ensembles sont, en effet, d'une importance capitale 
pour la théorie des fonctions en ce qu'elle a de plus pratique; c'est avec les 
ensembles de singularités de mesure non nulle que naissait plus particu- 
lièrement les monstres. 

Le Chapitre II traite des opérations et des développements en séries. 
Nous y trouvons d'abord la notion de déplacement pour les termes d'une 
série semi-convergente, notion qui permet d'énoncer d'élégants théorèmes 
sur les changements dans l'ordre des termes qui n'altèrent pas la valeur 
de la série. Pour les fonctions de deux variables réelles, le désir de cons- 
truire un développement indéfiniment dérivable, et représentant de ce fait 
toutes les dérivées partielles de la fonction, conduit à une série qui, par sa 
forme, tient à la fois de la série entière et de la série trigonométrique; ce 
résultat généralise celui donné, par M. Borel, dans sa thèse, pour les fonc- 
tions d'une seule variable. 

Nous retrouvons encore ici des pages célèbres sur les définitions cons- 

L'Enseignement mathém., 22' année, ID'il et li)22. 2<i 



386 H l B l.l O il H A P H I E 

tructives. Il y a une très grande différence entre un être déterminé et un 
être défini; une véritable définition est restrictive en ce sens qu'elle suppose 
un nombre fini de mots mais on ne peut espérer faire un véritable objet de 
science des êtres échappant à une telle restriction. 

Le Chapitre 111 nous rappelle la Théorie de la croissance et le rôle des 
constantes arbitraires. Ce titre conduit à des considérations fort diverses: 
structure des nombres irrationnels, fonctions entières et croissance du 
type exponentiel, analyticité des données dans une équation aux dérivées 
partielles et non analyticité d'tine solution construite d'ailleurs à l'aide de 
la série entière et trigonométrique du chapitre précédent. Enfin voici de 
curieux procédés d'approximation par nombres rationnels et, plus parti- 
culièrement, par nombres quadratiques; d'où des quadratures très appro- 
chées du cercle. 

l;e Chapitre IV nous ramène aux fonctions de variable complexe générales 
et particulières. L'interpolation est rapprochée de la théorie des zéros. des 
fonctions entières et les singularités d'une fonction définie par un déve- 
loppement taylorien ont leur étude ramenée à celle du point essentiel à 
l'infini d'une fonction entière. Viennent ensuite les séries entières à termes 
manquants qui admettent leur cercle de convergence comme coupure et 
l'étude asymptotique des fonctions méromorphes qui illustra le nom de 
Pierre Boutroux si prématurément disparu. Il s'agit surtout, quant à cette 
dernière étude, de la croissance de la dérivée logarithmique d'une fonction 
entière sur des droites is.sues de l'origine. Les transcendantes entières 
satisfaisant aux équations différentielles de M. Painlevé et l'indétermina- 
tion au voisinage d'un point essentiel sont l'objet de remarques terminant 
le volume aussi simplement et aussi élégamment qu'il a été commencé et 
continué. N'oublions pas une conclusion philosophique, aussi brève qu'inté- 
ressante, qui, naturellement, réclame des jeunes géomètres des efforts aussi 
honorables que difficiles mais auxquels l'intérêt des exposés précédents 
semble promettre un aboutissement de grande utilité et de haute esthé- 
tique. 

A. BuHL (Toulouse). 



M. BoRN. — La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases physiques. — 

Exposé élémentaire. Trad. de l'allemand d'après la seconde édition par 
F. A. FiisKELSTEiN et J. G. Verdier. — 1 vol. in-8° de 339 pages avec 
133 figures ; broché 25 fr. ; Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Les difficultés apparentes de la Théorie de la Relativité sont pour la 
plupart du temps dues au fait que les auteurs qui en parlent ne mettent 
pas assez en évidence la base expérimentale sur laquelle elle repose. Et 
c'est ainsi que l'opinion erronée a pu se répandre, même parmi les esprits 
très cultivés, que la nouvelle Théorie est plutôt une spéculation mathéma- 
tique qu'une théorie physique à proprement parler. 

La lecture du Livre pénétrant et clair de M. Born rendra désormais 
impossible cette fausse interprétation. De l'étude magistrale, surtout 
des phénomènes optiques et électrodynamiques, faite dans les Chapitres IV 
et V, il ressort avec pleine évidence non seulement que le pnncipe de rela- 
tivité a une origine exclusivement expérimentale, mais qu'il a de plus 
exercé une influence des plus fécondes sur les recherches de laboratoire. 

Emanant de toutes les branches de la Physique, la Théorie de la Rela- 



BIBLIOGRAPHIE 387 

tivité les fait apparaître sous un aspect nouveau, y introduisant une har- 
monie d'une singulière beauté. Elle projette finalement une vive lumière 
sur les problèmes cosmologiques. 

M. Born s'est, en outre, donné comme tâche de démontrer que l'évolu- 
tion des théories physiques et la critique épistémologique des notions fonda- 
mentales devaient fatalement conduire à la conception nouvelle qui marque 
une étape décisive dans l'histoire de la Science. 

Par la façon approfondie dont les problèmes y sont discutés, sa forme 
élémentaire et les exemples concrets qu'il offre pour faciliter l'intelligence 
des points difficiles, ce Livre représente aujourd'hui le Traité le plus 
complet, le plus méthodique et le plus exact de la Théorie de la Relativité. 

Pierre Boltroix. — Les Mathématiques. (Cosmos. Petite bibliothèque 
de Culture générale.) — Un vol. petit in-8° de 182 pages et 51 figures ; 
5 fr. ; Albin Michel, Paris, 1922. 

La présente analyse est doublement attristée. Elle ne signale plus qu'une 
œuvre posthume ; rendons hommage une dernière fois à Pierre Boutroux, 
le jeune et brillant géomètre prématurément disparu. De plus, il s'agit 
d'un petit ouvrage d'initiation à l'usage des esprits simplement philoso- 
phiques et ceci rappelle cette Initiation mathématique, iadis écrite par notre 
si regretté fondateur Charles-Ange Laisant, œuvre citée par P. Boutroux 
lui-même et qui continue à être très appréciée (Revoir l'analyse de 
D. Mirimanoff. Ens. math. 1906, p. 323). 

Toutefois, les points de vue diffèrent en ce que Laisant attachait sur- 
tout du prix à la « récréation m, tandis que Boutroux voit l'attrait dans la 
science elle-même, décrite telle qu'elle est, sous réserve qu'on ne pré- 
sentera que les grandes lignes et les résultats essentiels dans leurs aspects 
intuitifs ou leurs harmonies qui, pour être parfois très modernes, n'en sont 
pas moins fort analogues à celles qui, autrefois, ravissaient Pythagore et 
ses contemporains. 

C'est ainsi qu'en partant du nombre, nous terminons avec les fonctions 
elliptiques, modulaires et fuchsiennes dont les groupes de transformation 
sont, en effet, de la plus haute esthétique. Les équations différentielles per- 
mettent quelques réflexions mécaniques où voisinent les noms de Newton 
et d'Einstein. Bref, ouvrage descriptif, bien placé dans une bibliothèque 
de culture générale et où cependant les mathématiciens eux-mêmes pour- 
ront glaner de judicieuses suggestions. A. Buhl (Toulouse). 



Léon Brunschvvieg. — L'expérience humaine et la causalité physique. 
— 1 vol. in-80, XVI + 62.5 p.; UU ir.. Librairie Félix Alcan, Paris 1922. 

Une revue de mathématique ne peut rester étrangère au mouvement 
d'idée qui côtoie son domaine propre, qu'il s'agisse de physique, de lo- 
gique ou de philosophie scientifique. Si les mathématiciens ont quelques 
fois éprouvé une certaine indifférence à l'égard des spéculations philo- 
sophiques, c'est souvent avec raison semble-t-il; le propre de leur science 
est d'être autonome et de se développer d'elle même sans emprunter 
aucun secours des spéculations connexes. N'est-il pas téméraire de la part 
de certains philosophes de vouloir, au nom d'une philosophie, souvent 
trop conceptuelle et étroite, régenter les savants et les contraindre à .se 



388 H I B 1.10 G H A P II I E 

mouvoir dans un monde dont une anticipation philosophique aurait 
tracé d'avance le plan et les bornes. 

Les philosophes ont souvent essayé de placer une toiture trop rigide 
sur un édifice en pleine construction, sur un organisme en plein dévelop- 
pement. 

Si ce reproche peut être adressé à quelques uns d'entre eux, comme 
Auguste Comte, il ne peut certes pas être fait à M. Brunschwieg qui est 
à l'opposé du Comtisme. 

L'auteur du remarquable ouvrage « Les étapes de la philosophie ma- 
thématique » a fourni, pour s'assimiler l'esprit des recherches modernes 
et contemporaines en mathématique, un effort qui fait l'admiration des 
spécialistes. 

Déjà dans ses œuvres antérieures se dessinait son attitude d'épisté- 
mologiste. Avec lui, la philosophie mathématique se renverse sur elle- 
même pour aboutir à une analyse réflexive. Bien loin de vouloir maîtriser 
la science ou l'enfermer dans des cadres construits à priori, M. Brunschwieg 
la suit dans son développement historique et la compréhension si large 
de ce philosophe met en valeur précisément ce qui fait l'originalité et la 
puissance des sciences mathématico-physiques envisagées comme discipli- 
nes indépendantes. 

Dans l'ouvrage qu'il livre au public aujourd'hui le problème de la cau- 
sante lui sert d'exemple pour définir sa position critique. Si l'on a pu 
concevoir la philosophie des sciences comme une synthèse, une généra- 
lisation des résultats scientifiquement obtenus ou encore comme une 
anticipation sur ces résultats, nous donnant sur l'objet de la connaissance 
des renseignements plus systématiques ou plus étendus que les sciences 
elles-mêmes sont susceptibles de nous les donner, là est le point de vue 
opposé à celui de M. Brunschwieg. 

Au contraire, rejetant à la fois le réalisme empiriste et le réalisme 
logique, la science lui paraît n'avoir aucun objet, donné comme avant 
elle, dans l'absolu, et indépendant de la pensée scientifique; pas plus 
d'ailleurs qu'une spéculation logique ou transcendentale ne pourrait par 
elle-même étreindre le champ de la science. 

Ni l'une, ni l'autre de ces deux attitudes extrêmes ne correspond à 
l'activité scientifique telle qu'elle se manifeste dans l'histoire, lorsqu'on 
l'étudié sans idée préconçue. 

L'objet de la science est une élaboration de l'extérieur et de l'esprit, 
sans que l'un ou l'autre puisse se dégager à l'état pur. C'est au fond 
l'attitude de Kant, mais la lecture de ce livre montrera combien la critique 
y est plus large, plus compréhensive et plus soucieuse du développement 
historique que chez l'auteur de la critique de la raison pure. 

Si dans l'esthétique transcendentale, Kant en se plaçant à un point 
de vue trop idéaliste avait par trop négligé l'apport à part l'exemple 
des objets symétriques de l'expérience, dans la genèse des notions d'es^ 
pace et de temps, par contre, dans certaines pages de l'analytique trans- 
cendantale, la critique est plus large. 

Le principe de causalité en fournit un exemple. Il n'est ni imposé par 
l'expérience comme les empiristes le pensaient, pas plus que par une forme 
abstraite de l'esprit. 

Kant l'avait bien vu et c'est ici le nœud de la question. En le préci- 
sant nous ferons voir comment le problème de la causalité conduit M. 



B I B LIOGRÂPHIE 389 

Brunschwieg à une critique kantienne convenablement élargie et adaptée 
au progrès des sciences. 

Dans l'analytique transcendantale Kant montre que le principe de cau- 
salité ne peut être formulé que corrélativement à un principe de per- 
manence, conservation de la substance ou de l'énergie, lequel a sa source 
dans l'esprit-même. Mais le principe de causalité n'est pas purement a 
priori. Il doit au travers de l'intuition pure du temps rejoindre l'expé- 
rience du concret laquelle apporte de son côté le principe de changement 
de succession et d'irréversibilité sans lequel il n'aurait aucun sens. 

C'est cette continuelle influence de l'esprit sur la nature et de la nature 
sur l'esprit qui forme le développement de la pensée scientifique. Toute 
théorie scientifique nous dévoile la pensée aussi bien que la nature ou mieux 
elle nous dévoile une élaboration de l'une par l'autre. 

C'est là, que M. Brunschwieg cherche l'inspiration d'un idéalisme re- 
lativiste qui apparaît comme un élargissement de la critique kantienne. 

Cette attitude ne le conduit plus, à proprement parler à une philoso- 
phie scientifique, mais plutôt à une philosophie de la pensée, qu'il tente 
de rapprocher dans ses dernières pages de l'humanisme socratique. 

Ce livre est plus que cela pour nous. Il contient quelques-unes des plus 
belles études que l'on ait faites ,'<ur l'histoire des mathématiques et de la 
physique en relation avec l'histoire de la philosophie. Mentionnons spé- 
cialement les chapitres consacrés à la relativité einsteinienne, dont M. 
Brunschwieg paraît avoir compris merveilleusement la portée et la si- 
gnification philosophique. 

Dans cette analyse reflexive de la pensée mathématique, qui n'est pas 
une simple histoire des sciences physico-mathématiques, faite d'un point 
de vue si large et si humain, sans aucune idée préconçue et indépendamment 
de toute conception philosophique arrêtée, les savants trouveront peut- 
être des idées suggestives conduisant à de nouveaux modes de rationnalité. 

Rolin Wavre (Genève). 



E. C.\RTAN. — Leçons sur les Invariants intégraux. Cours professé à 
la Faculté des Sciences de Paris. — 1 vol. gr. in-S» de X-210 pages; 
20 frs. ; .1. Hermann, Paris, 1922. 

Ces leçons sont toutes imprégnées du beau talent que leur auteur a déjà 
mis au service des théories einsteiniennes et cependant elles n'ont pas été 
écrites spécialement dans ce but. Elles présentent les développements d'une 
analyse due originairement à Henri Poincaré et développée surtout par 
MM. E. Goursat, Th. de Donder et par M. Cartan lui-même. 

L'ouvrage se compose de dix-neuf chapitres tous très bien délimités 
et donnant une impression de brièveté qui en rend l'assimilation facile 
mais que, faute de place, nous ne pouvons analyser successivement. Conten- 
tons nous des idées générales d'ailleurs faciles à discerner. 

La première, très grandiose, consiste à associer étroitement les invariants 
intégraux de la Dynamique et le Principe d'Hamilton. Rappelons que ce 
Principe peut être le fondement de la Gravifique la plus générale. 

Avec les trois chapitres suivants, nous étudions les invariants intégraux 
et les formes différentielles (isolées ou formant un système dit système de 
Pfaff) qui restent invariantes de par un système d'équations différentielles 
dit système caractéristique. Les intégrales d'un système tel que ce dernier 



390 BI BLIOG HAPH I E 

sont des fonctions qui restent constantes en vertu du système; on peut 
évidemment concevoir que non seulement des fonctions explicites mais aussi 
des expressions différentielles ou intégrales aient une propriété de constance 
tout à fait analogue; l'expression intégrale est un invariant intégral. Il y a là 
des résultats auxquels on doit être rapidement conduit rien qu'en cherchant 
à poursuivre l'étude des systèmes d'équations différentielles. 

Mais où apparaît une note beaucoup plus curieuse c'est quand, avec le 
chapitre VI, on aborde les formes différentielles à multiplication extérieure 
dites, plus simplement, formes extérieures. Ce sont les formes différentielles 
qui apparaissent naturellement sous les intégrales multiples; elles ont des 
propriétés manifestement héritées des déterminants fonctionnels qui appa- 
raissent, sous les mêmes intégrales, lors d"un changement de variables; 
ainsi la permutation de deux éléments différentiels successifs entraîne un 
changement de signe. Il y a là une des faces du calcul vectoriel considérée 
autrefois par Grassmann. Une forme extérieure admet généralement une 
forme dérivée et la forme primitive et sa dérivée figurent sous des intégrales 
égales mais d'ordres de multiplicités différant d'une unité, d'où les formules 
du tj'pe stokien. Une des variétés d'intégration est alors déformable avec 
invariance de l'intégrale y attachée. Au fond cette intégrale invariante 
équivaut à un invariant intégral parce qu'on peut toujours imaginer que la 
déformation susdite a lieu conformément à un système d'équations diffé- 
rentielles. 

Il n'y a pas besoin d'aller plus loin pour apercevoir la magnifique et 
prodigieuse synthèse contenue dans ces théories. Au point de vue physique 
rappelons que les formules stokiennes peuvent conduire aux principales 
formules de la Gravifique et notamment aux équations de FElectromagné- 
tisme. 

La notion de transformation infinitésimale d'un système d'équations 
différentielles retentit naturellement sur les invariants intégraux de ce 
système. Elle conduit aussi aux équations aux variations de Poincaré: les 
applications physiques ou mécaniques sont nombreuses. M. Cartan reprend, 
à ce propos, le problème des trois corps et en examine les intégrales de 
nature élémentaire, en les faisant dépendre de transformations infinité- 
simales simples admises par les équations du mouvement. 

On aurait déjà pu dire qu'à une forme dérivée nulle correspondait une 
forme primitive différentielle exacte; cette remarque peut s'étendre aisément 
à des systèmes de formes et elle constitue alors le Théorème de Frobenius. 
Le théorème du multiplicateur nous ramène à l'analyse jacobienne; il 
remet au premier plan les équations canoniques (à multiplicateur égal à 
l'unité) et, avec celles-ci, il faut étudier les formes bilinéaires aux dérivées 
partielles qui en permutent les intégrales; c'est une idée analogue à celle 
de la forme linéaire qui peut permuter les intégrales d'un système diffé- 
rentiel ordinaire. 

En ces points il semble que M. Cartan ait donné la mesure de vues per- 
sonnelles des plus profondes. Après Poincaré il généralise les parenthèses 
de Poisson et s'efforce de tirer d'intégrales connues un parti beaucoup plus 
étendu que celui qui correspond à leur combinaison deux à deux. 

Ici, il y aura probablement toujours une pierre d'achoppement. Des inté- 
grales, combinées entre elles par les méthodes en litige, finissent toujours 
très rapidement par révéler un cycle d'intégrales qui ne font plus que se 
permuter, annihilant tout espoir d'apercevoir une intégrale nouvelle. Mais 



Hl HI.IOGK APH lE H91 

il ne faut pas perdre de vue que Texistence et la structure de ces cycles 
jettent un jour tout spécial sur les équations différentielles de la Mécanique 
qu'on peut précisément se proposer d'étudier au point de vue de ces pro- 
priétés cycliques. 

Soyons bref sur les questions, si importantes cependant, qui constituent 
le dernier tiers du volume. M. Cartan retrouve les méthodes d'intégration 
pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Il étudie les 
équations différentielles admettant des transformations infinitésimales 
données. Il revient, dans un chapitre spécial, à la réduction des équations 
du problème des trois corps. Il examine les positions, souvent réciproques, 
de la théorie des invariants intégraux et du Calcul des Variations. Il ter- 
mine par l'équation invariante de l'optique, par les trajectoires lumineuses 
considérées jusque dans le champ d'Einstein-Schwarzschild. 

Que de choses entre ce dernier résultat et une théorie dont la première 
esquisse grandiose appartient à Henri Poincaré. 

A. BuHL (Toulouse). 

H. Galbrun. — Introduction à la Théorie de la Relativité ; Calcul diffé- 
rentiel absolu et Géométrie. — 1 vol. in-8, 'i.59 pages; 60 fr. Gauthier- 
Villars & C'e, Paris, 1923. 

Dans les 11 chapitres de ce livre, M. Galbrun expose les principes du 
calcul différentiel absolu, la théorie du déplacement parallèle, la Géométrie 
de M. Weyl et les applications de ces théories aux géométries euclidienne 
et non-euclidiennes à n dimensions, à l'étude des espaces de Galilée en 
mécanique rationnelle et en électromagnétisme, à la relativité restreinte, 
et à l'électrodynamique de Minkowski. 

Le point de vue de l'Auteur est à la fois didactique et critique, et l'on 
ne saurait trop étudier les remarques judicieuses et fines que lui inspire 
cette seconde attitude quant aux interprétations que nombre de commen- 
tateurs d'Einstein ont données de la relativité restreinte. On pourrait 
parfois regretter que l'exposé didactique soit un peu touffu, et nous n'avons 
pas les mêmes préventions que l'Auteur contre la suppression du signe 2. 
Il est à souhaiter que cet ouvrage soit suivi d'un autre livre consacré à la 
relativité généralisée et rédigé avec le même soin critique. 

G. JuvET (Neuchâtel). 

F. Klein. — Gesammelte mathematische Abhandlungen herausgegeben 
von R. Fricke and A. (Jstrowski (von F. Klein mit ergànzenden 
Zusâtzen versehen). Erster Band: Liniengeometrie, Grundlegung der 
Géométrie, Zum Erlanger Programm. — 1 vol. in-S", 612 p. avec un 
portrait; Verlag Julius Springer, Berlin. 

La publication des œuvres de M. Félix Klein, dont ce volume constitue 
la première partie, présente un intérêt tout à fait spécial. C'est l'auto- 
biographie du maître. Le vénérable mathématicien retrace, dans une série 
d'articles intercalés entre les mémoires du recueil, le développement de ses 
idées, les milieux et les personnes dont l'influence s'est fait sentir sur ses 
idées, et parfois les recherches récentes d'autres mathématiciens qui 
jettent de la lumière sur ce qui était alors prématuré ou peu précis. Avec 
une vue d'ensemble il nous fait entrevoir l'influence qu'il a eu lui-même, 
et le rôle joué actuellement dans la science par les idées qu'il représente. 



392 BIBLIOGRAPHIE 

Les innovations des grands savants sont pour la plupart les expressions 
de l'état d'esprit de leur temps. Ces penseurs trouvent dans l'âge qui les 
précède la source de leurs idées, et ils anticipent les points de vue de l'âge 
qui leur succède. Pour ce qui est des idées fondamentales résumées par 
Klein dans son Programme d'Erlangen, le monde mathématique était déjà 
prêt pour en saisir la portée ; toutefois les étudiants d'aujourd'hui n'en 
ont pas épuisé toute la fécondité. L'idée directrice est celle de l'invariance 
par rapport à un groupe. La Géométrie était tombée dans un nombre 
toujours croissant de disciplines séparées. Klein montra qu'il s'agit bien 
d'un tout bien structuré ; chacune des disciplines étant individualisée par 
un groupe d'opérations, dont l'application ne change pas certaines pro- 
priétés des figures. 

Il faut donc clairement préciser ces deux notions : 1° l'ensemble des 
figures envisagés pour Vinstant ; 2° le groupe des opérations considéré. 

Les liens des différentes espèces de Géométrie apparaissent clairement 
lorsqu'on contemple ces notions. 

L'édifice de la Géométrie doit son charme en partie à un artifice compa- 
rable à celui qui contribue à la beauté architecturale de nos cathédrales, à 
savoir le contraste entre la symétrie de l'ensemble et la diversité des 
parties. La symétrie de la Géométrie est due à l'isométrie des groupes de 
certaines disciplines, et à leur subordination à d'autres groupes géométri- 
ques ; la diversité apparaît d'une part en suite de la variété de leur compo- 
sition et d'autre part de la différence des ensembles de figures envisagées. 
Ainsi dans ses œuvres, Klein présente la Géométrie élémentaire comme 
l'étude des figures, dont les propriétés géométriques ne changent pas 
lorsqu'on les soumet aux opérations du groupe de transformations qu'il 
appelle le groupe principal et comprenant les déplacements, la similitude de 
la symétrie, etc. Ce groupe est isomorphe avec le groupe des transformations 
projectives de l'espace qui laissent en place une surface déterminée, mais, 
quelconque, du deuxième degré, dont un point reste fixe tandis que les 
autres glissent l'un à la place de l'autre. Deux parties symétriques de l'édi- 
fice de la Géométrie sont ainsi la Géométrie élémentaire et la Géométrie 
projective d'une surface de deuxième degré dont un point est regardé 
comme point fixe. Leur variété consiste dans la différence des objets 
traités, soit d'une part les figures planes, d'autre part les figures dessinées 
sur la surface. Toutes les deux disciplines sont subordonnées à la Géométrie 
projective de l'espace. 

Analytiquement, les groupes sont exprimés par certaines transforma- 
tions des coordonnées. Dans le cas de la Géométrie projective de l'espace, 
c'est l'ensemble des transformations linéaires de quatre coordonnées homo- 
gènes, 

z.; î/; z; (f = aX + 6X -f cZ + rfW; a'X + è'Y -f c'Z -f rf'W 

: a"X + b"Y -f c"Z + rf" W : a"'X -f h'" Y + c'" Z + d"'W . 

Les coordonnées jc, y, z, ce, X, Y, Z, W et les paramètres a, b, et c peuvent 
être considérées comme quantités complexes. Les paramètres sont fixés 
pour l'une des opérations, mais variables pour le groupe. La propriété de 
l'ensemble de ces opérations de constituer ce que nous appelons un groupe, 
n'est autre chose que le fait qu'opérant successivement avec de différents 
a, b..., c'", rf'", nous avons une opération linéaire avec des paramètres 



BIBLIOGRAPHIE 393 

déterminés par les précédents. Si les paramètres sont soumis à varier sous 
certaines conditions, comme par exemple de laisser invariant une expres- 
sion de second degré à un facteur près, on aura un groupe géométrique 
subordonné au premier. 

On trouve dans ce volume nombre d'exemples intéressants, moins 
simples que ceux qui précèdent, mais de même nature. Un cas qui nous 
intéresse spécialement est la place de la théorie de la relativité dans le 
cadre Kleinéen. Elle est marquée par le Mémoire XXX intitulé « Sur les 
fondements géométriques du groupe de Lorentz. » 

Nous n'avons insisté ici que sur l'œuvre de Klein dans la théorie des 
groupes ; mais son volume contient aussi d'autres recherches, précurseurs 
de celui-là, dont quelques-unes frappent à cause de l'extrême jeunesse de 
l'auteur ; nous citons spécialement celle sur la Géométrie réglée et la 
Géométrie non-euclidienne. 

En raison des nombreuses annotations de l'auteur, ce premier volume 
sera lu avec profit même par ceux qui connaissent déjà les Mémoires parus 
autrefois dans des périodiques. 

Nous attendons avec impatience le second volume. 

G.-C. YouNG (Lausanne). 

A. KopFF. — Grundziige der Einsteinschen Relativitâtstheorie, 2me édition- 
— 1 vol. in-80 de 20't p. avec 3 figures ; S. Hirzel, Leipzig, 1922. 

Tandis que Ton possède déjà de nombreux ouvrages sur la théorie de la 
relativité écrite par des mathématiciens ou des physiciens, en voici un qui 
est dû à un astronome, M. Kopff, professeur à l'Université de Heidelberg. 
Son Introduction à la théorie cV Einstein correspond, avec quelques développe- 
ments et remaniements introduits à l'occasion de la 2me édition, au cours 
professé pendant l'année universitaire 1919-1920. Elle contient, sous une 
forme aussi simple que possible, mais à la fois claire et précise, les fonde- 
ments de la théorie de la relativité. L'auteur s'en tient strictement au 
domaine de la physique mathématique, sans se perdre dans des considéra- 
tions philosophiques et sans aborder les extensions dues à M. Weyl. Son 
exposé constitue une excellente introduction à la théorie de la relativité 
restreinte et généralisée. H. F. 



E. Madeluxg. — Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers (Die 
Grundlehren des mathem. ^^'issenschaften in Einzeldïu-stellungon, B. IV). 
— 1 vol. in-80 de 247 p. ; 10 fr. ; Julius Springer, Berlin. 

Dans ce volume, qui fait partie de la nouvelle Collection Springer, M. 
Madelung, professeur de physique théorique à l'Université de Francfort 
s. M., a. réuni les principales notions de mathématiques et de physique 
mathématique qu'il estime particulièrement indispensables aux physiciens. 
Il n'a pas voulu écrire un cours de mathématiques générales à l'usage des 
physiciens, mais plutôt ce qu'on appelle un précis, un abrégé contenant les 
propriétés es.sentielles et les résultats que le physicien doit avoir constam- 
ment sous la main. A ce point de vue son Ouvrage sera non seulement utile 
aux étudiants en physique, mais il sera aussi examiné avec intérêt par tous 
ceux qui .sont chargés de leur enseigner les mathématiques. 

Les dix premiers chapitres sont entièrement consacrés aux mathéma- 



394 BIBLIOGRAPHIE 

tiques ; ils traitent des objets suivants : Algèbre. — Des fonctions qui inter- 
viennent dans les sciences physiques. — Des séries. — Calcul différentiel 
et intégral. — Equations différentielles. — Equations intégrales linéaires. — 
Calcul des variations. — Des transformations. — Analy.se vectorielle. — 
Calcul des probabilités. 

La seconde partie de l'Ouvrage comprend la mécanique et les principaux 
chapitres de physique théorique dans lesquels on a recours à l'instrument 
mathématique : Electricité. — Théorie de la relativité. — Thermodyna- 
mique. H. F. 

G. MoNGE. — Géométrie descriptive. Augmentée d'une théorie des ombres 
et de la perspective extraite des papiers de l'auteur, par Barnabe Bris- 
son. (Les Maîtres de la Pensée Scientifique ; Collection de Mémoires et 
ouvrages publiés par les soins de M. Solovine). — Deux volumes in-16 
de 144 pages avec 37 fig. et de 138 pages ; ensemble 6 fr. ; Gauthier- 
Villars et Cie, Paris. 

Nous avons déjà eu l'occasion de signaler la très intéressante collection 
des «Maîtres de la pensée scientifique», qui paraît chez Gauthier-Villars, et 
qui reproduit les travaux scientifiques les plus importants de tous les temps 
et de tous les pays. Cette collection que dirige Maurice Solovine, vient de 
s'enrichir d'une œuvre de tout premier ordre : la Géométrie descriptive de 
Monge publiée d'après la 4™^ édition parue en 1820, la plus complète des 
éditions. 

Parm i les savants ayant illustré la fin du XVI 1 1™^ siècle et l'aube du XI X™^, 
il est difficile de trouver une figure plus attachante que celle de Gaspard 
Monge, professeur de Physique à 16 ans. Membre de l'Académie des Sciences 
à 34, savant, ingénieur, homme d'Etat, l'un des principaux fondateurs de 
l'Ecole Normale et de l'Ecole Polytechnique et qui, par la supériorité de 
son génie, l'affabilité de ses manières et l'élévation de ses sentiments, sut 
acquérir l'admiration et la sympathie de tous ceux qui l'approchaient 

Le génie inventif de Monge s'est manifesté avec un éclat tout particu- 
lier dans sa Géométrie descriptive, œuvre créée de toute pièce par lui et 
remaïquable non seulement par sa portée scientifique, mais encore par le 
champ illimité qu'elle offre aux applications pratiques Ce qui semblait 
voué pour toujours à la mutine, aux tâtonnements et aux mo\ens empi- 
riques se trouve réuni en un corps de doctrine d'une logique impeccable 
réduit à des règles rigoureuses qui permet de représenter d'une façon pré- 
cise, à l'aide du dessin, les formes des corps et inversement de les recon- 
naître d'après la description exacte une fois réalisée. En plus, des parties 
achevées, ce livre contient en germe presque tout ce qui a été ultérieurement 
ajouté à cette nouvelle branche des Mathématiques. Monge en conçut les 
idées fondamentales vers 1775, il les élabora lentement et les exposa pour 
la première fois d'une façon sj-stématique à l'Ecole Normale, l'an III de la 
République, mais il ne put les publier que l'an VII sous le Directoire, la 
Convention ayant interdit la publication de ses importantes découvertes, 
par ciainte d'en voir profiter les écrivains étrangers dans leurs ouvrages 
de défense militaire. 

Par sa puissante originalité et les horizons nouveaux qu'elle ouvrit, cette 
œuvre raviva l'intérêt pour les recherches géométriques, qui étaient par 
trop délaissées au profit de l'Analyse. La façon dont il a exposé les « nou- 
velles « vérités est in modèlp de simplicité et d'exactitude. 



BIBLIOGRAPHIE 395 

H.-E. SoPER. — Frequency Arrays, illustrating the Use of Logical 
Symbols in the Study of Statistical and other Distributions. — 1 fasc, 
48 pages, in-S» ; 3s. 6d. ; University Press, Cambridge, 1922. 

L'étude de M. Soper a pour objet de montrer l'emploi que l'on peut faire 
des symboles logiques dans les études statistiques. L'auteur explique dans 
son introduction que des symboles ayant une signification logique, mais 
pas d'interprétation numérique, peuvent être utilement introduits dans 
les expressions mathématiques de la distribution de fréquence. En sup- 
posant que ces symboles obéissent aux lois ordinaires de l'algèbre, il devient 
possible de simplifier considérablement la description, l'analyse et la 
dérivation des distributions de fréquence. 

Certaines des expressions obtenues, telles que celle représentant l'ordre 
de fréquence d'un degré déterminé, ont une grande analogie avec les 
expressions que l'on rencontre dans le calcul des probabilités — la pro- 
babilité étant remplacée par Tordre de fréquence. Aussi cet exposé sera-t-il 
lu avec intérêt surtout par les personnes familières avec le calcul des pro- 
babilités. 

Un chapitre est consacré aux expressions du binôme, de Poisson, de 
Gauss, de l'exponentielle et de gamma. Un autre chapitre traite de la 
statistique de population limitée sans remplacement, s^it la fréquence 
d'événements en prenant des unités ou groupes sans remplacement, la 
fréquence hypergéométrique, etc. L'application à la distribution géomé- 
trique et aux vecteurs amène l'auteur à des équations intégrales. 

Renée Rocque-Masson (Paris). 

D.-J. Stri iK. — Grundzùge der mehrdimensionalen Differenzialgeometrie 

in direkter Darstellung. — 1 vol. in-8o. 198 pages; J. Springer, Berlin, 

1922. 

La géométrie différentielle d'une multiplicité riemannienne quelconque 
peut se faire le mieux du monde par les méthodes du calcul différentiel 
absolu de MM. Ricci et Levi-Civita. Les calculs effectués au moyen des 
symboles de cet algorithme, et tout particulièrement ceux qui se rattachent 
à la notion de dérivée covariante, c'est-à-dire, en fait, à l'idée du déplace- 
ment parallèle, aboutissant à des résultats qui sont indépendants du sys- 
tème de coordonnées curvilignes choisi pour les obtenir et pour en écrire 
la formulation. Toutefois les calculs que l'on a effectués pour arriver à ces 
propriétés intrinsèques n'ont pas toujours à chaque instant de leur dévelop- 
pement une signification intrinsèque; de plus l'invariant final obtenu s'écrit 
au moyen de symboles qui postulent le choix d'un système de coordonnées 
particulier, bien que quelconque. On pouvait se proposer de dépouiller 
encore le calcul différentiel absolu de ces éléments extrinsèques; c'est ce 
que M. J.-A. Schouten a tenté de faire dans une série de travaux inspirés 
d'une part par les idées de MM. Ricci et Levi Civita, et d'autre part par les 
méthodes de Glebsch et Aronhold relatives au calcul des invariants. 

La méthode de M. Schouten exige de qui veut l'utiliser une initiation 
assez difficile, tant à cause de la variété des opérations possibles qu'à cause 
des procédés symboliques du calcul des invariants qui ne sont pas le fait 
de chacun. Mais cette initiation passée, les calculs se présentent avec beau- 
coup d'élégance et les résultats essentiels s'obtiennent avec aisance. 

M. Struik dans l'ouvrage que nous analysons s'est proposé de traduire 



396 Hl HLIOGHAPIUE 

dans le langage de M. Schouten les calculs et les résultats essentiels de la 
géométrie différentielle des multiplicités riemanniennes. Une introduction 
brosse à grands traits et d'une manière remarquablement synthétique, 
l'histoire de la science des continua. Le chapitre premier expose les méthodes 
de M. Schouten et pose les principes de l'algèbre tensorielle ^. L'élément 
essentiel à la base de ces considérations, est le corps de vecteurs (au 
sens de M. Weyl) attaché en chaque point d'une multiplicité ; au lieu 
de ne calculer qu'avec les composantes de ces vecteurs dans une base 
quelconque, on considère ces vecteurs pour eux-mêmes, et l'on conçoit dès 
lors — sans qu'il soit nécessaire de faire un exposé dont ce n'est pas ici le 
lieu — que les calculs, portant sur des êtres géométriques et non pas sur 
leurs ombres portées dans tel ou tel système dé coordonnées aient une 
signification qui reste constamment intrinsèque. 

Le chapitre II est consacré à l'étude de l'analyse tensorielle infinitésimale. 
On y définit le déplacement parallèle — allgemeine lineare Uebertragung — 
les géodésiques, la difierentiation, les tenseurs de courbure. 

L'étude des variétés V,„ plongées dans des variétés V„ (n >> m) fait 
l'objet des deux chapitres suivants; le premier d'entre eux s'occupe des 
propriétés de courbure qui ne font pas intervenir les tenseurs de Riemann- 
Christoffel, le second s'occupent de celles qui se rattachent à ces tenseurs. 
Les calculs sont si élégants que M. Struik obient au cours de son exposé 
et comme en se jouant un très grand nombre de résultats connus et de résul- 
tats nouveaux. Ce n'est pas le moindre mérite de l'Auteur, que celui d'avoir 
mis à la portée des mathématiciens une foule de théorèmes dispersés dans 
des mémoires qui fussent devenus classiques si un traité sur la question les 
avait réunis plus tôt. C'est aux théories d'Einstein que l'on doit cette renais- 
sance des études de géométrie différentielle, et le livre de M. Struik rend un 
service considérable à ceux dont l'intérêt mathématique était éveillé par 
les nouveaux problèmes que pose la physique, mais dont les forces étaient 
absorbées en partie, sinon par la découverte d'anciens résultats, du moins 
par des recherches bibliographiques très longues. 

Le livre se termine par une liste très dense des Mémoires sur la géométrie 
différentielle parus depuis 1806, et par une manière de dictionnaire qui 
permet au lecteur, s'initiant à la méthode directe, d'établir les correspon- 
dances entre les symboles de Ricci, Einstein, Weyl, Laue et Blanchi et 
ceux de Schouten-Struik. G. Ji vet (Xeuchâtel). 



J. Ville Y. — Les divers aspects de la théorie de la relativité avec une pré- 
face de M. Brillouin. — 1 volume in-S» de 96 p. ; 7 fr. 50 ; Gauthier- 
Villars et Cie, Paris. 

L'auteur présente d'abord, entremêlée de quelques remarques et explica- 
tions, une analyse approfondie des ouvrages d'Einstein et d'Eddington, 
Dans la seconde partie, il donne une esquisse schématique de l'exposition 
purement objective de la théorie de la relativité en s'inspirant de l'enseigne- 
ment de M. Langevin au Collège de France. A titre de conclusion il énonce, 



* Au lieu du terme tenseur, certains géomètres, dont M. Struik, emploient le terme 
1 a/jînor «, les tenseurs «tant alors des « affinors » symétriques. Il serait à désirer que les 
géiomètres eussent des dénominations identiques : la multiplicité des termes ne pouvant 
créer que des confusions. 



B [ H I. I OG n A 1' H I E 397 

sous une forme à la fois simple et succincte, le contenu essentiel de cette 
Théorie, en laissant de côté toutes les justifications et tout le détail des 
conséquences. 

Comme l'écrit M. Brillouin, dans la Préface, « M. Villey n'a pas essayé de 
vulgariser la théorie de la relativité d'Einstem, de donner au lecteur l'illu- 
sion qu'il a compris quelque chose sans un véritable effort et surtout sans 
une connaissance préalable approfondie de la Physique contemporaine, et 
sans notions de géométrie et d'analyse. Ce serait une tentative sans intérêt 
scientifique et destinée au plus complet échec. Mais tout le public de pro- 
fesseurs, de savants, d'ingénieurs, pourvus d'une forte instruction scienti- 
fique et connaissant le langage et l'écriture mathématiques, peut lire avec 
fruits son Livre » . 

G. E. Weatherbî RN. — Elementary Vector Analysis, with application to 
Geometry and Physics. — 1 vol. in -8° do 184 p. avec 61 fig. ; 12 sh. ; 
G. Bell and Sons, Londres. 

D'un caractère élémentaire, cet ouvrage contient les notions fondamen- 
tales sur les opérations vectorielles avec leui s applications à la Géométrie 
et à la Mécanique. Les principes de l'algèbre et de l'analyse vectorielles 
sont présentés avec beaucoup de clarté. Pas à pas l'auteur en montre 
la portée à l'aide d'exemples empruntés à la Géométrie élémentaire, à la 
Géométrie de la sphère, à la Trigonométrie (plane et sphérique) et à la 
Géométrie infinitésimale. Les applications à la Mécanique sont réparties 
sur plusieurs chapitres : Cinématique et dynamique d'un point matériel ; 
dynamique d'un système de points ou d'un corps solide ; statique des corps 
rigides. 

Suivant Tusage généralement adopté par les auteurs de manuels anglais, 
chaque chapitre se termine par un choix d'exercices et de problèmes à 
résoudre, les solutions étant indinuées brièvement à la fin de l'ouvrage. 

H. F. 

H. Wf.ber. — Arithmetik, Algebra und Analysis, Band I. (Weber-Well- 
stein, Enzyklopàdie der Elementarmathematik. Ein Handbuch fiir 
Lehrer und Studierende) Vierte Auflage neubearbeitet von Paul Epstein. 
— 1 vol. in-80 de 568 p. avec 26 fig. ; relié 16 fr. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

A la suite de décès des auteurs, M. Epstein, professeur à l'Université 
de Francfort s. M. s'est chargé de la publication de la quatrième édition du 
tome I de r« Enzyklopàdie der Elementarmathematik ». Il ne s'agit pas, 
comme on sait, d'une encyclopédie proprement dite, mais d'un ouvrage 
d'un caractère encyclopédique par le fait qu'il embrasse toutes les branches 
des mathématiques élémentaires. 

M. Epstein a apporté de nombreux remaniements et compléments au 
tome I qui comprend les principes de l'Arithmétique et de l'Algèbre. Le 
nombre des feuilles a été porté de 31 à 35, c'est dire que d'importantes 
additions ont été faites à l'ouvrage primitif. 

Spécialement destmé aux candidats à l'enseignement dans les écoles 
moyennes, cet ouvrage continuera à rendre de grands .services aux étu- 
diants et aux professeurs. H. F. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Livres nouveaux : 

Tous les ouvrages adressés à la Rédaction sont signalés ici avec une brève 
indication de leur contenu, sans préjudice de l'analyse dont ils peuvent être 
ultérieurement V objet sous la rubrique « Bibliographie » . 

Atomes et Electrons. Rapports et discussions du Conseil de Physique tenu 
à Bruxelles du 1er au 6 avril 1921 sous les auspices de l'Institut international 
de Physique Solvay, publiés par la Commission administrative de l'Institut 
et MM. les Secrétaires du Conseil. — 1 vol. in-S" de 274 pages avec figures ; 
20 fr. : Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Ce volume contient les rapports et discussion du Conseil de Physique 
tenu à Bruxelles du 1er au 6 avril 1921 sous la présidence de M. H. A. 
Lorentz. On y trouvera les Mémoires présentés par MM. Bohr, Bragg» 
Brillouin, de Broglie, Ehrenfest, de Haas, Kammerlingh Onnes, Lorentz, 
Millikan, Rutherford et Weiss. 

W. BiRKEMEiER. — Uebeî den Bildungswert der Mathematik, Ein Beitrag^ 
zur philosophischen Pàdagogik. (Wissenschaft und Hypothèse). — 1 vol. 
in-8° de 191 p., broché, 9 fr. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Après avoir examiné l'objet des mathématiques au point de vue de la 
théorie de la connaissance, l'auteur étudie la valeur éducative des diffé- 
rentes branches mathématiques. Son exposé, très documenté, sera lu avec 
profit par tous ceux qui s'intéressent aux progrès de la méthodologie et de la 
philosophie des sciences mathématiques. 

A. BoRio. — Una teorla semplice dei Logaritmi. — 1 vol. in-i" de 24 p. ; 
Unione Tipografica Editrice Provinciale, Cunea. 

Dans ce fascicule, l'auteur présente un exposé de la théorie des loga- 
rithmes en utilisant les symboles du « Formulario Mathematico» de M. 
Peano. 

R. Bouvier. — La Pensée d"Ernst Mach, essai de biographie intellectuelle 
et de critique. — 1 vol. in-8o de 370 p. édité par Fauteur, 67, rue de Seine, 
Paris, 1922. 

Cette étude sur la pensée d'Ernest Mach sera lue avec intérêt dans les 
pays de langue française où le savant mathématicien et philosophe viennois 
n'était guère connu que par la traduction de La Mécanique (1904) et La 
Connaissance et V erreur (1908). 

M. de Broglie. — Exposé concernant les résultats actuels relatifs aux 
éléments isotopes. Conférence faite le 10 novembre 1920 et publiée avec des- 
compléments sur les travaux récents. (Publications de la Société de Chimie- 
Physique, XI), — 1 vol. in-80 de 15 p. ; 2 fr. ; Librairie Scientifique, 
J. Hermann. 

Conférence sur les corps isotopes faite le 10 novembre 1920 et publiée 
avec des compléments sur les travaux récents. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 399 

Lt.-Col. Corps. — Les théories de la relativité dépassent les données de 
l'expérience. — 1 vol. in-4o de 43 p. ; 3 fr. 50 ; Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Dans cet Ouvrage, l'auteur expose les observations qui l'ont amené à 
formuler que « la Théorie de la Relativité dépasse les données de l'expé- 
rience •> ; c'est d'ailleurs le titre qu'il a donné à son Livre. L'objet de son 
étude est de rechercher si le principe de la relativité et celui de la cons- 
tance absolue de la vitesse de la lumière sont bien des conséquences néces- 
saires au résultat de l'expérience de Michelson et de Morlay, la plus 
concluante des expériences qui ont servi de bases à la mécanique de la 
Relativité. 

P. Drimaux. — L'évidence de la théorie d'Einstein. — 1 vol. in-S» de 
72 pages, broché, 6 francs ; Librairie Scientifique, J. Hermann, Paris, 1923. 

L'auteur se propose de montrer que la théorie de la relativité relève du 
bon sens le plus élémentaire. Son exposé constitue une intéressante tenta- 
tive d'initiation à cette théorie. 

E. Fettweis. — Wie man einstens rechnete. — (Mathematisch-Physikal- 
ische Bibliothek.) — 1 vol. in-16 de 56 pages avec 10 figures, 2 tabelles et 
de nombreux exercices : fr. 90, broché : B. G. Teubner, Leipzig. 

Aperçu historique des procédés de calcul numérique en usage chez les 
principaux peuples de l'antiquité et du moyen-âge. 

M. Groll. — Kartenkunde. (Sammlung Gôschen Nro. 599) neubearbeitet 
von Dr. O. Graf, 11 : Der Karteninhalt. — 1 vol. in-16 de 133 p. avec 
39 cartes ; 1 fr. 25 ; Walter de Gruyter et Co., Berlin et Leipzig. 

Notions sommaires sur la construction et l'emploi des cartes topogra- 
phiques, les procédés de reproduction et l'histoire de la cartographie. 

E. W. HoBsoN. — The Theory of Functions of a real Variable and the 
Theory of Fourier's Séries. Second Edition revised throughout and enlarged, 
Volume 1. — 1 vol. in-4o de 671 p. 45 sh. ; Cambridge University Press. 

Ouvrage indispensable à tous ceux qui font des recherches dans le domaine 
de la théorie des fonctions d'une variable réelle. Dans ce premier volume de 
la 2™^ édition entièrement revue et considérablement augmentée, l'auteur 
donne un exposé très minutieux et bien complet de cette théorie. 

1. Le nombre. — lia IV. La théorie des ensembles. — V. Fonctions d'une 
variable réelle. — VI. L'intégrale de Riemann. — VII. L'intégrale de 
Lebesgue. — VIII. Intégrales non absolument convergentes. 

H. Kauffmann. — AUgemeine und physikalische Chemie. (Sammlung 
Gôschen.^ — 1 vol. in-16 de 154 p. avec 12 figures ; 1 fr. 25 ; Walter de 
Gruyter et Co, Berlin. 

Cette monographie qui paraît aujourd'hui en 8"»® Edition fournit une excel- 
lente introduction aux théories modernes de 'a chimie physique. 

H. Lebesgue. — Les Professeurs de Mathématiques du Collège de France. 

Humbert et Jordan, Roherval et Humus. — 1 fasc. in-8'^ de 48 p ; Edition 
de la Revue Politique et Littéraire et de la Revue Scientifique, Boul. 
Saint-Germain, Paris. 

Leçon d'ouverture du Cours de mathématiques pures du Collège de 
France, professés le 7 janvier 1922. Dans cette conférence, M. Lebesgue 
donne un tableau de l'œuvre scientifique de ses deux prédécesseurs immé- 



400 BULLETIN B I li L I O G R A P H I Q U E 

diats, Georges Humbert et Camille Jordan puis il rappelle les travaux de 
deux de ses compatriotes de l'Oise, Roberval et Ramus. 

T. Levi-Civita et U. Amaldi. — Lezioni di Meccanica razionale. Volume 
Primo : Cinematica; Principi e statica. — 1 vol. ui-S" de 741 pages, 65 lires, 
N. Zanichelli, Bologne. 

Destiné aux étudiants des universités italiennes ces Lezioni comprendront 
les chapitres classiques de mécanique rationnelle indispensables aux mathé- 
maticiens, aux physiciens et aux ingénieurs. Ce premier volume renferme 
les principes de cinématique et de statique. 

L. LicHTENSTEiN — Astronoitiie und Mathematik in ihrer Weehsel- 
wirkung. Mathematische Problème in der Théorie der Figur der Himmels- 
kôrper. — 1 vol. in-S» de 97 pages avec 3 figures, Hirzel, Leipzig. 

Intéressant exposé des rapports entre les mathématiques et l'Astronomie. 
L'Auteur passe en revue les grands problèmes qui ont préoccupé les savants 
au cours des quarante dernières années et qui encore aujourd'hui font l'objet 
de nombreux travaux dans le domaine de l'Astronomie théorique. 

M. MiLANKoviTCH. — Théoric Mathématique des Phénomènes Thermiques 

produits par la radiation solaire. — 1 vol. in-8° de XVI 340 p. avec 27 figures 
dans le texte ; broché 20 fr. ; Gauthier-Villars et Cie, Paris. 

Cet Ouvrage de M Milankovitch, professeur à l'Université de Belgrade, 
a pour but de déduire, à l'afde des lois de la Physique, le rapport mathé- 
matique existant entre l'état d'insolation et l'état thermique des surfaces 
et des atmosphères planétaires, afin de pouvoir apphquer les résultats 
obtenus aux problèmes de la Physique cosmique. 

E. MiJLLER. — Lehrbuch der darstellenden Géométrie fur technische 
Hochschulen. ZAveiter Band, Dritte Aufl. — 1 vol. in-S» de 362 pages avec 
328 figures ; 10 ir., broché ; B. G. Teubner, Leipzig. 

En peu d'années le Traité de Géométrie descriptive de M. E. Mtiller, pro- 
fesseur à l'Ecole technique supérieure de Vienne, atteint sa 3me édition. Il 
compte aujourd'hui au nombre des ouvrages classiques qui sont consultés 
par tous ceux qui enseignent la Géométrie descriptive. Nous nous bornons 
à rappeler que le tome II contient, avec de nombreuses applications, les 
méthodes de la projection cotée, de l'axonométrie et de la perspective. 

T. Nagel. — Sur la distribution des nombres qui sont premiers avec un 
nombre entier donné. — 1 vol. in-S^ broché de 30 p. : Morten Johansen, 
Christiania, 1922. 

L'auteur a réuni dans ce fascicule deux mémoires sur la distribution des 
nombres qui sont premiers avec un nombre entier donné. Son étude est 
basée sur la notion de diviseur d'uniformité par rapport à un module. 

A. de PoMPiGNAN. — Note sur le calcul tensoriel. — 1 vol. in-S» de 32 p. ; 
3 fr. ; Librairie Scientifique, J. Horniann, Paris 1923. 

L'auteur a condensé dans cette Note les notions essentielles relatives à 
l'algèbre et à l'analyse tensorielles. Son exposé s'adresse à ceux qui dési- 
rent s'initier aux opérations sur les tenseurs. 



BLLLETIX BIBLIOGRAPHIQUE 'lOl 

Sir J. J. Thomsox. — Les rayons d'électricité positive et leur application 
aux analyses chimiques, trad. Fric et Corvisy. — I vol. in-S" de 223 p. avec 
9 planches et de nombreuses figures, 20 fr. ; J. Hermann, Paris 1923. 

Traduit d'après la deuxième édition anglaise, cet Ouvrage du savant pro- 
fesseur de Cambridge est consacré aux recherches qui ont été effectuées 
pendant ces dernières années sur les rayons positifs. L'auteur a apporté 
une attention spéciale aux propriétés des rayons positifs qui semblent jeter 
une lumière sur les problèmes de la structure des molécules et des atomes et 
sur la question de !a combinaison chimique. 

S. Valextixer. — Vektoranalysis. (Sammlung Gôschen, Nr. 354). — 
1 vol. in-16 de 132 p. avec 13 figures; 1 fr. 25; 3me édition; Walter de 
Gruyter et Co, Berlin et Leipzig. 

Troisième édition entièrement revue des notions d'analyse vectorielle 
et de ses principales applications en physique, par S. Valentiner, professeur 
de physique à l'Ecole des mines de Clausthal. 

J. G. Van der Corput. — Grepen Uit de Getallenleer. Rede uitgesproken 
bij de aanvaarding van het Hoogleeraarsambt aan de Riiksuniversiteit te 
Groningen op Zaterdag 17 maart 1923. — 1 fasc. in-8o, 19 p. ; J. B. Wolters, 
Groningue. 

Considérations sur la théorie des nombres présentées à TL^niversité de 
Groningue, à l'occasion de sa leçon d'ouverture, par M. le Prol. J. G. van 
der Corput. 

G. Viv.\xTi. — Complementi di Matematica ad uso dei chimici e dei 
naturalisti, 2. edizione riveduta (Manuali Hoepli). — 1 vol. in-16 de 388 p. 
et 43 fig. : 16,50 lires ; Ulrico Hoepli, Milan. 

Nouvelle édition, entièrement levue, des compléments de mathématiques 
à l'usage des étudiants en chimie et en sciences naturelles rédigés par 
M. G. Vivanti, professeur à l'L'niversité de Pavie. L'ouvrage est divisé 
en six parties : Algèbre, Géométrie analytique, Calcul infinitésimal, Calcal 
des probabilités. Mécanique et Thermodynamique. 

H. WiELEiTNER. — Geschichte der Mathematik. Neu bearbeitet. (Samm- 
lung Goschen.) I, Von den àltesten Zeiten bis zur Wende des 17. Jahr- 
hunderts. — 1 vol. in-16 de 136 p. 1 fr. 25, Walter de Gruyter et Co., 
Berlin, 1922. 

Dans cet abrégé l'auteur donne sous une forme très condensée un excel- 
lent aperçu de l'Histoire des mathématiques depuis l'antiquité jusqu'à la 
fm du XVI lime siècle. 

2. I*iil>lio:ilioii!!* péfiotliqueî* : 

Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen 
Universitàt, Band 1. 

Académie royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences, 1922. — ■ 
Hayez, Bruxelles. 

Annaes scientificos da Academia polytechnica do Porto, directeur 
F. Gomes Teixeira. — \o\. 14. Imprensa da Universidade, Coimbra. 

L'Enseignement nialhéin.. 2J^ aiuii-i' : rj'.'l cl l'.i22. 27 



402 BULLETIN B I B L I O <} H A P H I Q U E 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 41°i« année. 

Annales de 1" Université de Grenoble, tome XXXIII. — Gauthier-Villars, 

Paris; Allier frères, rirenoble. 

BoUettino délia Unione matematica Italiana, anno I. — Zanichelli, 
Bologne. 

BoUettino di Matematica. Giornale scientifico-didattico per l'incrementa 
degli Studi .Matematici nelle scuole medie. Diretto dal Doit. Alb. Conti, 
con una Sezione storico-bibliografica publicata per Gino Loria. Xuova 
série, Anno 1. Firenze. 

Bulletin de la Société française de Philosophie, 2ime année, 1921. — A. 
Colin, Paris. 

Bulletin of the American Mathematical Society, tome XVIII, 1922. — 
Xew-York. 

Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, vol. XII, 1920-21. — 
Calcutta, University Press. 

Bulletin of the University of Kansas, Science Bulletin, Vol. XIII, No^i-is. 

Contribucion al Estudio de las Ciencias fisicas y matematicas. — N*'» 49- 
53. La Plata. 

Fundamenta Mathematicae, publié par St. Mazurkiewicz et W. Sierpinski. 
Tomes I à l\\ ^'ar.sovie. 

Giornale de Matematiche di Battaglini, tome LX. — Pellerano, Naples. 

Intermédiaire des Mathématiciens, dirigé par Ed. Maillet, A. Bou- 
langer, J. Lemaire. — 2116 série, tome 1,1922. — Gauthier- VilJars et Cie. 
Paris. 

Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik, Band 45, Jahrgang 
1914-15 (in 3 Heften), Heft 3. — Verein. wiss. Verleger, Berlin. 

Journal de Mathématiques élémentaires, publié par H. Vlibert, 46™^ 
année, 1921-22. — Librairie \'uibert, Paris. 

Journal of Mathematics and Physics, Massachusetts Institute of Tech- 
nology, Vol. I, 1922. 

Journal of the mathematical association of Japan for secondary Education 
Vol. III, 1921. — Tokyo. 

Mathematisk Tidsskrift. Revue dirigée par P. Heegaard, séries A et B ; 
1921. — Copenhague. 

Mathematical Gazette (The), publié par G. Greexstreet. \o\. XI, 1921. 

G. Bell and Sons, Londres. 

Mathesis. Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales, publié 
par J. Neuberg et Ad. Mineur, tome XXX\'I, année 1922, Bruxelles 
et Paris. 

Mémoires de la Société royale des Sciences de Liège, 3°^^ série, tome XL 

Nieuw Archief voor Wiskunde, publié sous les auspices de la Société des 
Sciences d'Amsterdam, par D.-J. Korteveg, F. Schuh et W. Van der 
WoNDE, 2™e série, tome XIV. — Delsman en Nolthenius, Amsterdam. 



HUI.I.ETIN Hl H l.l OG HAy H I <j U E 403 

Periodico di matematiche, série \\\ ^'ol. II, 1922. — Nicola Zanichelli, 
Bologne. 

Prace Matematyczno Fizyczne, tumes XXXI et XXXII, Varsovie. 

Revista Materaatica Hispano-Americana, dirigée par J. Rey-Pastor. 
Tome III. — Madrid, 1921-1922. 

Revue de mathématiques spéciales, 32^6 année, 1921-1922. — Librairie 
Yuibert, Paris. 

Revue semestrielle des Publications mathématiques. Tome XXIX, 
avril 1920-octobre 1921. — Deisman en Xolthenius. Amsterdam. 

Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften, Wien. Tome 129, 
1921. — \ienne. , 

The Tôhoku mathematical journal, publié par T. H.\y.\shi, M. Fuji\v.\r.\, 
T. Klbota. Vol. XX, 1921. — Tôhoku Impérial University, Sendai, 
Japon. 

Travaux scientifiques de lUniversité de Rennes, tome XV, 1922. 

Unterrichtsblàtter fiir Mathematik und Naturwissenschaften, heraus- 
gegebt-n von G. Wolff. XXIII. Jahrgang, 1922. Otto Salle, Berlin. 

Wiadomoski Matematyczne, dirigé par S. Dickstein. Tomes XXIV et 
XX\ . — \'arsovie. 

Acta Mathematica. tome 43, N^^ 3 et 4. — J. Kampé de Fériet: Sur 
les fonctions hypersphériques et sur l'expression de la fonction hypergéo- 
métrique par une dérivée généralisée. — O. Szasz : Ueber Konvergenz 
unendlicher Kettenbruche mit durchweg reellen Elementen. — Ph. Jour- 
dain : A proof that every aggregate can be well-ordered. — P. Kœbe : 
Ueber die konforme Abbildung endlich- und unendlichvielfach zusammen- 
hàngender symmetrischer Bereiche. — P.-J. Myrberg : Ueber die auto- 
morphen Funktionen zweier Veràndlichen. — T. Carleman : Dévelop- 
pements asymptotiques des solutions d'une classe d'équations différen- 
tielles linéaires. 

Tome 44, X» 1. — G. -H. Hardy et J.-E. Littlewood : Some Problems 
of Partitio numerorum ; III : On the expression of a number as a sum of 
primes. 

American Journal of Mathematics. ^ olume XLIIl. — A. B. Coble : 
Multiple binary Forms with the Closure Property. — E. Kasner: Einstein's 
Theory of Gravitation Détermination of the Field by Light Signais. — 
F. Morley : Note on Einsteins Equation of an Orbit. — H. M. Morse : 
A One-to-One Représentation of Geodesics on a Surface of Négative 
Curvature. — E. P. Lane : Conjugale Systems with Indeterminate Axis 
Curves. — R. D. Car.michael : Boundary Value and Expansion Pro- 
blems ; Algebraic Basis of the Theory. — L. E. Dickson: Algebraic 
Theory of the Expressibility of Cubic Forms as Déterminants, with 
application to Diophantine Analysis. — E. Kas?«er : The Impossibility 
of Einstein Fields Immersed in Fiat Space of Five Dimensions. — Id. 
Finite Représentation of the Solar Gravitational Field in Fiat Space of 
Six Dimensions. — B. Datta : On the Motion of Two Spheroids in an 
Infinité Liquid along their Common Axis of Révolution. — P. J. Damell: 



404 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Intégral Products and Probability. — E. L. Post: Introduction to a General 
Theory of Elementary Propositions. — A. Berry: Note on Schlàfli's 
Elliptic Modular Functions. — O. C. Hazlett : Associated Forms in the 
General Theory of Modular Covariants. — Temple Rice Hollcroft: 
One (2,3} Compound Involutions. — J. A. Scholten et D. J. Struik: 
On some Properties of General Manifolds Relating to Einstein's Theory 
of Gravitation. — E. Kasner : Geometrical Theorems on Einstein's 
Cosmological Equations. — G. M. Sparrow: On the Fermât and Hessian 
Points for the Non-Euclidean Triangle and their Analogues for tlie Tetra- 
neuron. — W. L. Hart: The Cauchy-Lipschitz Method for Infinité Systems 
of Differential Equations. — R. D. Carmichael : Boundary Value and 
Expansion Problems ; Formulation of Varions Transcendental Problen.'S. — 
J. K. Whittemore: Reciprocity in a Problem of Relative Maxima and 
Minima. 

The American Mathematical Monthly. Vol. XXVIIl, 1921. — R. C. 
Archibald : Historical notes on the relation e—'^l'^ = ii — E. T. 
Bell : Note on the prime divisors of the numerators of BernouUi's numbers. 
— A. A. Bennett: Some arithmetic opérations with transfinite ordinals. — 
G. D. Birkhoff: An elementary treatment of Fourier's séries. — L. P. 
Copeland : The triangle of référence in elementary analytic geometry. — 
H. M. Dadourian: Acoustic circles. — L. E. Dickson: Rational triangles 
and quadrilaterals. — O. Dunkel: A détermination of the curve minimizing 
the area enclosed by it and its evolute. — Id.: The relation of caustics 
to certain envelopes. — A. Emch: On the construction and modelling 
of algebraic surfaces. — O. D. Kellogg: On a Diophantine problem. — 
W. D. Lambert and O. S. Adams: Mathematical problems in the Work 
of the United States Coast and Geodetic Survey. — T. W. Mason: On 
amicable numbers and their generalizations. — G. A. Miller: The formula 
a {a -\- l)/2 for the area of an equilateral triangle. — F. V. Morley: 
A curve of pursuit. — F. D. Murnaghan: A cubic space curve connected 
with the tertrahedron. — H. L. Rietz: On certain properties of Makeham's 
laws of mortality with applications. — T. R. Ru.\ning: Graphical solutions 
of the quadratic, cubic and biquadratic équations. — D. E. Smith: Among 
my autographs ; Notes 1-17. — Id. : The first work on mathematics 
printed in the New World. — Id.: New information respecting Robert 
Recorde. — Id.: Religio mathematici. — Id.: Two mathematical shrines 
of Paris. — H. S. Uhler; Oblique déviation and refraction produced by 
prisms. — Id. : On the numerical value of i^. — Questions and discussions. — 
Récent publications. — Problems and solutions. • — Notes and News. 

Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse. Tome XI. — 
R. Deltheil: Sur la théorie des probabilités géométriques. — G. Darmois: 
Sur les courbes algébriques à torsion constante. — Tome XII. — 
A. BuHL : Sur les formules foiîdamentales de rélectromagnétisme et 
de la gravifique. — Id.: Sur Taddilion des fonctions elliptiques et 
les pseudo-lignes d'infini des intégrales doubles. — E. Joiguet : 
Notes sur la théorie de l'élasticité. — L. Roy: Sur les équations générales 
de la mécanique, le théorème de d'Alembert et celui du travail virtuel. — 
R. Gosse: De l'intégration des équations s =/ (or, y, z, p, q) par la méthode 
de M. Darboux. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 405 

Bulletin de la Société mathématique de France. Tome L. — R. Gâteaux: 
Sur diverses questions de calcul fonctionnel. — Fatou : Note sur les fonc- 
tions invariantes par une substitution rationnelle. — M. Well; Sur les 
courbes rectifiables. — A. Pellet : Fonctions d {x) de Jacobi et p (u) de 
Weierstrass. — E. Maillet: Sur quelques propriétés de nombres transcen- 
dants de Liouville. — A. Bloch : Mémoire d'analyse diophantienne linéaire. 

— A. Angelesco: Sur des poylnomes orthogonaux et des extensions d'une 
formule de Rodrigues. — X. Wiener: Limit in terms of continuons 
transformation. — E. Cottox: Sur quelques formules d'Hydrodynamique. 

— V. Myller-Lebedepp: Sur un théorème de Gauss-Arndt relatif aux 
congruences binômes. — B. Gambie r: Déformation du paraboloïde de 
révolution: cubique de M. Lyon et congruencedeM. Thybaut. — P. Appell: 
Sur un système particulier de quatre droites concourantes dans l'espace ; 
droites équirésultantes. 

Isis. International Review devoted to the History of Science and Civil- 
isation. Edited by G. Sarton. Bruxelles. X" 10. — G.A.Miller: Différent 
types of mathematical history. — N» 11. — G. Sarton: The Teaching 
of the History of Science. — Ch. Haskins: Michael Scot and Frederik 11. — 
P. BouTROLx: L'enseignement de la mécanique en France au XMI^ 
siècle. — J. Davidbond: The Development of Trigonométrie Methods 
down to the close of the XVth Century (with a gênerai account of the 
methods of constructing tables of natural sines, down to our days). — X° 12. 

— D. Cajori ■ On the History of Calorie. 

Revue de Métaphysique et de Morale. — 29^ année, 1922. X" 4. — Le 
fascicule 4 est entièrement consacré au mouvement général de la pensée 
américaine. 11 contient une note de M. C.-l. Lewis, intitulée « /,« logique 
et la méthode mathématique y>, dans laquelle l'auteur fait ressortir les carac- 
tères du type de logistique qui s'est plus particulièrement développée aux 
Etats-Unis. 

30^ année, 1923. X" 1. — M. \^inter: Le théorème de Pythagore. 

Revue générale des Sciences pures et appliquées, 33^ année, 1922. — 
E. Doublet: Lne famille d'astronomes: les Herschel. — R. Adhemar: 
La démonstration scientifique. — M. d'Ocagne: Coup d'œil sur les prin- 
cipes fondamentaux de la Xomographie. — A propos de l'histoire de la 
Xomographie. — R. Soreau : Pour servir à l'histoire de la Xomographie. — 
R. Thiry: Sur la possibilité de se représenter l'espace fini et sans bornes 
de la théorie de la relativité. 

34« année, X» 1. — M. G. Juvet: Les principes du calcul différentiel 
absolu et du calcul tensoriel et quelques-unes de leurs applications. — X° 4. 

— H. Malet: Une nouvelle formule de la relativité. 

Revue scientifique, 60^ année, 1922. — A. Buhl: Les théories einstei- 
nieniies et le bon sens. ■ — Lebesgue: Les professeurs de mathématiques 
du Collège de France : Humbert, Jordan, Roberval et Ramus. — R. 
Pancot: La durée et la conceptinn einsteinienne du temps. 

Scientia. 1922, X» 1. — G. Loria : Deux grands historiens des mathé- 
matiques. — P. Boutroux: Le père Mersenne et Galilée. — X° 6. — E.- 
Dickson: TheTheory of Numbers; its Principal Branches. — K. Hirayama: 
Origine des astéroïdes. — X» 9. — J. Bosler: La résistance du milieu 



406 BULLETIN R L B 1. f O G R A l> H I Q U E 

cosmique et l'évolution des orbites planétaires — 1923, N» 1. — H. 
Bouasse: La question préalable contre la théorie d'Einstein. — N" 3. 

— G. Castelxiovo : L'espace-temps des relativistes a-t-il un contenu 
réel ? — J.-H. Jeans: The Motions of the Stars. 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, i^r semestre 1922. 

— 3 janvier. — P. Mortel; Sur les familles quasi-normales. — A. Auric: 
Sur la généralisation des fractions continues. — 9 janvier. — Th. Varo- 
pouLOs: Sur une classe de fonctions croissantes. — P. Humbert: Sur le 
produit de Laplace relatif à certains hypercylindres. — G. Dumas: Sur un 
tableau normal relatif aux surfaces unilatérales. — A. Denjoy: Sur les 
fonctions définies par des séries de fractions rationnelles. — B. Gambier: 
Surfaces et variétés de translation dé Sophus Lie. — Ch. Lallemand: 
Sur la genèse et l'état actuel de la science des abaques. — 16 janvier. — 
P. Montel: Sur une extension d'un problème de M. Landau. — A. Auric: 
Sur la réalisation des nombres entiers complexes. — M. D'Ocagne: Sur la 
réduction de la quatrième dimension à une représentation plane. — G. 
Tzitzeica: Sur les réseaux de points. — 23 janvier. — D. Riabouchinski: 
Quelques considérations sur la forme du solide et l'énergie du fluide qui 
l'entoure. — 30 janvier. — Th. Varopoulos : Sur un théorème de M. Montel. 

— A. Angelesco: Sur les zéros de certaines fonctions. — A. Cahen : Sur les 
équations différentielles du premier ordre à points critiques fixes. — 
Ch. Lallemand: Sur les avantages comparés des abaques hexagonaux et 
des abaques à points alignés. — A. Auric : Sur le développement en fraction 
continue des nombres algébriques. — R. Jacques: Sur les surfaces telles 
que les axes des cercles osculateurs à une famille de lignes de courbure 
appartiennent à un complexe linéaire. — 6 février. — M. Gevray : Remar- 
ques sur les fonctions quasi-analytiques et les fonctions indéfiniment déri- 
vables. — G. Julia: Les séries de fractions rationnelles et l'intégration. — 
T. Carleman: Sur un théorème de M. Denjoy. — C. Guichard: Sur les 
réseaux qui sont plusieurs fois i^^^. — L. Lecornu: Quelques remarques 
sur la relativité. — 15 février. — M. Janet: Les caractères des modules de 
formes et les systèmes d'équations aux dérivées partielles. — W. Wilkozs: 
Sur un point fondamental de la théorie du potentiel. — E. Cartan: Sur une 
définition géométrique du tenseur d'énergie d'Einstein. — Auric: Sur la 
résolution d'une équation linéaire indéterminée. — 20 février. — E. Borel: 
Sur les fonctions d'une variable réelle indéfiniment dérivables. — G. Julia: 
Les équations fonctionnelles et la représentation conforme. — G. J. Re- 
MOUNDos: Sur le raccordement des lignes et la courbe élastique plane. — 
R. Lagrange: Sur quelques applications du calcul différentiel absolu. — 
B. Gambier: Correspondance ponctuelle entre deux surfaces avec échange 
des réseaux conjugués en réseaux orthogonaux et vice-versa. — H. An- 
doyer: Sur le calcul de la précession. — 27 février. — T. Carleman : Sur 
les séries 2Ar/{z — a,). — S.Sarantopoulos: Sur un théorème de M. Lan- 
dau. — E. Cartan: Sur une généralisation de la notion de courbure de 
Riemann et les espaces à torsion. — 6 mars. — G. Julia: Nouvelles 
applications de la représentation conforme aux équations différentielles. — 
H. Villat: Sur un problème nouveau concernant les fonctions analytiques 
et la représentation conforme. — R. Lagrange: Sur l'application des 
variétés d'ordre p dans un espace x d'ordre n. — B. Gambier: Correspon- 
dances ponctuelles déduites de l'étude des trois formes quadratiques fonda- 



BULLETIN HlLi LIOGHAPHIQU E 407 

mentales de deux surfaces. — G. Prévost: Détermination des coefficients 
dans le développement des polynômes de Laplace d'une fonction de deux 
variables. — 15 mars. — K. Popoff: Sur l'équation générale du type ellip- 
tique. — M. Lecat: Sur les cayléens et les bicayléens anormaux. — C. Gui- 
chard: Sur les réseaux qui sont harmoniques d'une congruence C. L. et 
conjugués à une autre congruence C. L. — E. Cartan : Sur les espaces 
généralisés et la théorie de la relativité. — E. Bompiani: La géométrie des 
espaces courbes et le tenseur d'énergie d'Einstein. — 20 mars. — G. Mittag- 
Leffler: Le théorème de Cauchy sur l'intégrale d'une fonction entre des 
limites imaginaires. — J. Drach: Sur la détermination des équations diffé- 
rentielles du second ordre intégrables par quadratures. — G. Julia: Sur la 
transformation des substitutions rationnelles en substitutions linéaires. — 
Stoïlow: Sur l'intégrale définie et la mesure des ensembles. — 27 mars. — 
P. Montel: Sur un théorème d'algèbre. — E. Goursat: Sur une théorie 
classique de Cauchy. — G. Girald: Sur les équations non linéaires aux 
dérivées partielles du second ordre ou type elliptique. — P. Levy : Sur la loi 
de Gauss dans la théorie des erreurs. — E. Cartan : Sur les espaces confor- 
mes généralisés et l'Univers optique. — 3 avril. — N.-E. Nœrlund : Sur la 
formule d'interpolation de Stirling. — B. Gambier: Surfaces isothermiques 
à représentation sphérique isotherme. — J. Le Roux: La courbure de 
l'espace. — St. Millot: Sur les balances à calcul. — 10 avril. — E. Vessiot: 
Sur la géométrie conforme des systèmes de cercles. — A. Myller: Quelques 
propriétés des surfaces réglées en liaison avec la théorie du parallélisme de 
M. Levi-Civita. — E. Borel: Définition arithmétique d'une distribution de 
masses s'étendant à l'infini et quasi-périodique, avec une densité moyenne 
nulle. — M. Hamy: Sur l'approximation des grands nombres. — Ivar 
Fredholm: Une application de la théorie des équations intégrales. — 
M. Janet: Sur les formes canoniques invariantes des systèmes algébriques 
et différentiels. — T. Carleman : Démonstration d'un théorème de M. Borel. 
— E. Borel: Remarque sur la note de M. Carleman. — M. Sauger: Sur une 
coïncidence remarquable dans la théorie de la relativité. — 18 avril. — 
G. Valiron : Sur les fonctions entières d'ordre entier. — E. Goursat: Sur le 
problème de la poussée des terres. — E. Belot: Sur le rôle des milieux 
nébuleux dans la dynamique des systèmes stellaire et planétaire. — E. 
Borel: Hypothèses physiques et hypothèses géométriques. — 24 avril. — 
B. Gambier: Sur les correspondances ponctuelles de deux surfaces et sur 
une classe de surfaces analogues aux surfaces isothermiques. — E. Ves- 
siot: Sur les surfaces cerclées. — E. Cartan : Sur les équations de structure 
des espaces généralisés et l'expression analytique du tenseur d'Einstein. — 
E. Goursat: Sur la théorie des invariants intégraux. — N.-E. Nœrlund: 
Sur la formule d'interpolation de Newton. — 1^^ mai. — G. Mittag- 
Leffler: Le théorème de Cauchy sur l'intégrale d'une fonction entre les 
limites imaginaires. — E.-O. Lovett: Généralisation d'un problème de 
Sophus Lie dans la géométrie des transformations de contact. — J. Chazy: 
Sur les vérifications astronomiques de la théorie de la relativité. — 
J. Trousset: Les lois de Kepler et les orbites relativistes. — P. Painlevé: 
Remarques sur les deux communications précédentes. — P. Fatou: Sur le 
mouvement d'une planète dajis un milieu résistant. — P. Dienes: Sur la 
connexion du champ tensoriel. — G. Guillemin: Sur l'équilibre des talus 
en terre cohérente. — P. Painlevé: La théorie classique et la théorie eins- 
teinienne de la gravitation. — 8 mai. — C. Guichard : Sur les lignes asymp- 



408 BULLETIN B I B L 1 G R A I' H I Q U E 

totiques des surfaces. Etude d'un cas particulier. — P. Montet: Sur un 
nouveau théorème d'algèbre. — J. Sudria: Sur une démonstration et la 
généralisation du théorème de Menabrea. — D. Riabouchinski: Sur quel- 
ques cas de mouvements plans des fluides autour de solides avec tourbillons. 
Th. De Doxder: Champ électromagnétique compatible avec le champ 
gravifique correspondant. — 16 mai. — G. Guillaumin: Sur les équations 
de l'équilibre limite des corps cohérents. — J. Chazy : Sur le mouvement 
d'une planète dans un milieu résistant. — 22 mai. — S. Sarantopoulos: 
Sur les fonctions croissantes positives. — Th. Varopoulos: Sur quelques 
théorèmes de M. Borel. — R. Nevanlinna: Sur les relations qui existent 
entre l'ordre de croissance d'une fonction monogène et la densité de ses 
zéros. — J. A^DRADE: Sur trois classes de mouvements vibratoires non- 
entretenus. — M. D'Ocagne : Vue d'ensemble sur les machines à calculer. — 
P. Fatou : Sur le mouvement d'une planète dans un milieu résistant. — 
29 mai. — F. -H. Ml rray : Sur le tracé des arcs de cercles de grand rayon. — 
Riquier: Sur les figures intégrales singulières des systèmes partiels du 
premier ordre auxquels s'applique la méthode d'intégration de Jacobi. — 
J.-W. Lindeberg: Sur la loi de Gauss. — P.-J. Myrberg: Sur les fonc- 
tions automorphes de plusieurs variables indépendantes. — S. Zaremba: 
Sur la conception relativiste de l'espace. — 12 juin. — Riquier: Sur les 
figures intégrales singulières des systèmes positifs du premier ordre n'im- 
pliquant qu'une seule inconnue. — Torsten Carleman : Sur les séries asymp- 
totiques. — G. Valiron: Sur la méthode d'approximation d'Hermite. — 
19 juin. — Gosse: Des équations aux dérivées partielles du second ordre 
intégrables par la méthode de Darboux. — Riquier: Sur l'élimination des 
constantes arbitraires. — Bertrand Gambier: Surfaces applicables avec 
égalité des rayons de courbure principaux. — 26 juin. — H. Mineur: 
Sur certaines équations fonctionnelles algébriques. — T. Carleman: Sur le 
problème des moments. — P. Lévy: Sur la loi de Gauss. — W. Margoulis: 
Les abaques à transparent orienté. — M. D'Ocagne : Sur les nomogrammes 
à transparent orienté. — G. Bertrand: La loi de Riemann, le périhélie 
de Mercure et la déviation de la lumière. 



3. Thèîxe de doctorat: 

Nous signalons sous cette rubrique les thèses de doctorat dont un exemplaire 
imprimé aura été adressé à la Rédaction, 110 Florissant, Genève. 

Allemagne. — Université de Giessen. — H. Lotz. — Zur Géométrie der 
dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten von konstantem Krilmmungs- 
mass. — 'Miftoilungen des Math. Seminars der Univer.sitat Giessen VIL 
Heft.). — 1 fasc. in-S» de 36 p. ; 1 fr. 

F. Kammerer. — Zur Flàchentheorie im n-jach ausgedehnten Raume. 
(Mitteilungen des Math. Seminars der Universitat Giessen), IX Heft, 
1 fasc. in-go de 24 p., 1 fr. 

Suisse. — Université de Genève. — J. Kopelîowitch. — Théorie c/p.* Quater- 
nions. — 1 vol. in-8" de 74 p. avec 13 figures. 



TABLE DES MATIÈRES 



ARTICLES GÉNÉRAUX 
Méthodologie et Notes diverses. 

Pages 

WiNANTS (M.). — Applications géométriques de la cristallographie, 
I^e partie (avec 7 figures) 5 

NiEWENGLowsKi (B.). — Sur le rayon de courbure d'une courbe . . 30 

PoLYA (G.). — Sur les séries entières dont la somme est une fonction 
algébrique 38 

Petrovitch (M.). — Sur le nombre e 48 

Frechet (M.). — Familles additives et fonctions additives d'ensembles 
abstraits 113 

Appell (P.). — Sur les foyers rationnels d'une courbe algébrique . . 129 

TuRRiÈRE (E.). — Sur les foyers rationnels des courbes planes . . . 133 

Jans (C. de). — Sur les tractrices et les courbes équitangentielles. . 136 

Delens (P. C). — Sur certaines identités géométriques et leur tra- 
duction algébrique 146 

TiERCY (G.). — Sur le déplacement d'un point dans l'espace à n 
dimensions. Géométrie du «-èdre ; . . . . 152 

NiEWENGLOwsKi (B.). — Sur les formules de Lorentz 167 

WiNANTs (M.). — Applications géométriques de la cristallographie 
(avec 10 figures) 170 

Petromevics (B.). — Déduction des dérivées de fonctions circulaires 
par la méthode géométrique des limites (avec 9 figures) 195 

Child (J. m.) et Petromevics (B.). — Déduction géométrique de 
l'expression pour le rayon de courbure (avec 4 figures) 209 

Stuyvaert (M.) — Un chapitre de méthodologie mathématique. Les 
imaginaires de Galois 249 

NiEWENGLOwsKi (B.). — Sur les radicaux carrés 269 

Turrière (E.). — Démonstration du théorème de Liouville par l'éli- 
mination du temps entre les équations de Lagrange 277 

Turrière (E.). — Démonstration du théorème de Staeckel par l'éli- 
mination du temps entre les équations de Lagrange 337 

NIEWENGLOWSKI (B.). — Démonstration d'un théorème de Morley 
(avec 2 figures) 344 

Jequier (M.). — Récréation mathématique. Le jeu de cloche et 

marteau 347 

Organisation de l'Enseignement. 

LcRQuiN (C). — La section mathématique de l'Institut Normal 

supérieur de Bolivie 286 

Histoire et Philosophie. 

BuHL (A.). — Camille Jordan (1838-1922) 214 

MÉLANGES ET CORRESPONDANCES 

Sur le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet. A propos 
d'une communication de M. Léon Aubry. Par M. Bedarida . 51, 360 

Sur le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet. Réponse 
à une Note de M. Bedarida. Par Léon Albry 360 

Fonctions triplement périodiques d'une seule variable indépendante. 
Par M. WiNANTS 358 



410 TA BLE DE S M AT 1ER E S 

CHRONIQUE 
Articles divers. 

Pages 

Allemagne: Nominations et distinctions 79,223,301, 381 

La préparation des professeurs de mathématique en Prusse ... 80 

Angleterre: Association britannique pour l'avancement des sciences 223 

Belgique: Académie Royale de Belgique. Prix décernés ; Concours 

de 1923 et de 1924 .' 53, 381 

Conférence mathématique de Bruxelles 53 

Cercle mathématique de Belgique 80 

Nominations et distinctions 302 

Les Amis des nombres 80 

Danemark: Nominations et distinctions 80 

Etats-L^nis: Nominations et distinctions 79 

Mouvement de réforme de l'enseignement mathématique .... 81 

Thèses de doctorat 290 

France: Nominations et distinctions 81, 223 

Académie des Sciences de Paris, Prix décernés 52, 301 

Congrès des Sociétés savantes, Paris, 1921 54 

Les travaux de la section de mathématiques et d'astronomie de 
l'Association française pour l'Avancement des Sciences, Rouen 

1921, Montpellier 1922 55, 362 

Einstein au Collège de France (R. Wavre) 219 

Université de Strasbourg 302 

Italie: Nominations et distinctions 81,224, 302, 381 

Cinquantenaire de la maison U. Hoepli 224 

Unione matematica italiana 381 

Société italienne Mathesis 82 

Conférence de M. A. Einstein 82 

Suisse: Nominations et distinctions 82,225 

Cours de vacances 224 

Société mathématique suisse. Réunion de Bâle, 8 mai 1921. — 
Réunion de Schafîhouse, 27 août 1921. — Réunion de Bienne, 

avril 1922. — Réunion de Berne, août 1922 . . 59, 66, 291, 369 

Société suisse des profess urs de mathématiques, réunion de Zug 1 922 380 

Nécrologie. 



Amstein 303 

W. Berman 226 

C. L. Bouton 226 

P. Boutroux 225 

H. Buchholz 226 

C. Cailler 83, 225, 302 

E. Clevers 303 

H. Grassmann 303 

Ed. Gubler 83 

G. B. Halsted 303 

A. Hofler 304 



F. Jahnke 226 

C. Jordan 83, 214 

J.-G. Kapteyn 304 

L. Kœnigsberger 226 

G. Kohn 226 

A. Kundig 382 

E. Lebon ........ 225 

M. Noether 226 

H. -A. Schwarz ...... 83 

O. Tedone 226 



NOTES ET DOCUMENTS 

Cours universitaires: France, Italie, Etats-Unis, Suisse . . 84, 227, 304 
France. — Dispense de la licence en vue du doctorat es sciences . . 304 



TABLE DES MATIERES Ul 
BIBLIOGRAPHIE 

Pages 

Adhémar (R. d'). • — Statique. Cinématique (A. Buhl) 383 

Andoyer (M. H.). — Cours de Mécanique céleste 383 

Cours d'Astronomie, I, Astronomie théorique 384 

Tables logarithmiques (H. F.) 384 

Appell (P.). — Eléments de la théorie des vecteurs et de la Géométrie 

analytique (A. Buhl) 85 

Appell (P.). — Education et Enseignement (A. Buhl) 311 

Barrow (I.). — Geometrical Lectures 385 

Becquerel (J.). — Le principe de la relativité et Je principe de la 

gravitation (R. Wavre) 228 

Bergson (H.). — Durée et simultanéité (R. Wavre) 313 

Bieberbach (L.). — Funktionentheorie (D. Mirimanojj ) 315 

Borel (E.). — L'espace et le temps M. 5»/2/> 229 

Borel (E.). — Méthodes et Problèmes de la théorie des fonctions 

(A. Buhl) 385 

BoRN (M.). — La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases phy- 
siques 386 

BouTROux (P.). — L'idéal scientifique des mathématiciens (A. Buhl) 86 

BouTROux (P.). — Les Mathématiques (A. Buhl) 387 

Brunschwieg (L.). — L'expérience humaine et la causalité physique 

(R. Wavre) 387 

Cartan (E.). — Leçons sur les invariants intégraux (A. Buhl) . . . 389 
Du Pasquier (G.). — Le principe de la relativité et les théories d'Ein- 
stein 230 

Eddingtox (A. S.). — Espace, temps et gravitation (R. Wavre) . . 86 

Galbrun (H.). — Introduction à la théorie de la relativité (G. Juvet) 391 

GouRSAT (E.). — Leçons sur le problème de Pfaff (A. Buhl) .... 316 

Haxphen (C.-H.). — Oeuvres, Tome III M. 5i/;î/j . 88 

Hilton (H.). — Plane Algebraic Curves M. 5«7i/; 89 

Index generalis 1922-1923 382 

Juvet (G.). — Introduction au calcul tensoriel et au calcul différen- 
tiel absolu (R. Wavre) 319 

Klein (F.). — Gesammelte Abhandlungeti, I (C. Gr. Young) . . . 391 

KoPFF (A.). — GrundzOge der Einsteinschen Relativitàtstheorie (H. F.) 393 

Lemeray (E.-M.). — Leçons élémentaires sur la gravitation (A. Buhl) 231 

Levi (B.). — Abbaco da 1 à 20 (A. Buhl) 320 

Levy (P.). — Leçons d'analyse fonctionnelle (R. Wavre) 321 

Lorentz, Einstein, Minkowski. — Das Relativitàtsprinzip (H. F.) 91 

Madelung (E.). — Diemathematischen HilfsmitteldesPhysikers('//.F.j 393 

Marcolongo (R.). — Relatività (R. Wavre) 231 

MoNGE (G.). — Géométrie descriptive 394 

Petrovitch (M.). — Mécanismes communs aux phénomènes dispa- 
rates (A. Buhl) 91 

RoY (L.). — Cours de Mécanique appliquée (A. Buhl) 92 

Roy (L.). — Cours de Mécanique rationnelle (A. Buhl) 232 

SoPER (H. E.) — Frequency Arra^s ( Rocque-Masson ) 395 

Struik (D. J.). — Grundzûge der Mehrdimensionalen Diiïerenzial- 

geometrie in direkter Darstellung (G. Juvet) 395 

ToNELLi (L.). — Fondamenti di Calculo délie Variazioni (R. Wavre) 234 



412 TABLE DE S M ATI E H E s 

Pages" 

TuRRiÈRE (E.). — Sur le calcul des objectifs astronomiques de 
Frauenhofer. — là. : Le Problème des objectifs de longue-vues 
dans la dioptrique contemporaine. Exposition des recherches de 

M. Harting. — là. : Optique industrielle 93 

Vallée-Poussin (Ch. de la). — Cours d'analyse infinitésimale 

{R. Wavre) " 323 

ViLLEY (J.). — Physique élémentaire et théories modernes .... 102 

Les divers aspects de la théorie de la relativité 396 

Weatherburn (C. e.). — Elementary Vector Analysis (H. F.). . . 397 

Weber (H.). — Arithmetik, Algebra und Analysis (H. F.) 397 

Weyl (H.). — Temps, Espace, Matière (R. Wavre) 235 

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

1. Livres nouveaux. 

Annuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1922 237 

L'Académie Royale de Belgique depuis sa fondation 325 

Atomes et électrons 398 

Ampère (A. M.). — Mémoires sur l'électromagnétisme et l'électro- 

dynamique 95 

Appell (P.). — Eléments d'analyse mathématique 95 

Bachmann (P.). - Grundlehren der neueren Zahlentheorie 95 

Bauer (E.). — La théorie de la relativité 325 

Berzolari (R.). — Geometria analitica, II 237 

Bieberbach (L.). — Lehrbuch der Funktionentheorie, Band I. . . 96 

Difïerential and Integralrechnung, Band 1 237 

Funktionentheorie 237 

Bieri (H.). — Lehrbuch der Lebensversicherung 237 

Birkemeier (W.). — Ueber den Bildungswert der Mathematik . . . 398 

Blaschke (W.). — Vorlesungen ûber Difîerentialgeometrie .... 238 

Bloch (L.). — Le principe de la relativité et la théorie d'Einstein . 238 

Bloch (S.). — Cours élémentaires de géométrie descriptive 96 

BoGGio (T.). — Calcolo difîerenziale, 1 96 

Borel (E.). — Méthodes et problèmes de théories des fonctions . . 326 

BoRio (A.). — Una teoria semplice dei Logaritmi 398 

Boussinesq (J.). — Cours de physique mathématique 326 

Bouvier (R.). — La pensée d'Ernst Mach 398 

Brandenberger (C). — Das abgekûrzte Rechnen 326 

Branford (B.). — A Study of Mathematical Education 96 

Broglie (M. de). — Résultats actuels relatifs aux éléments isotropes 398 

Brouhon (L.). — Résolutions des équations algébriques 96 

Burali-Forti (C). — Geometria descrittiva, Vol. I et II 97 

Burali-Forti (C.) et Boggio (T.). — Meccanica razionale .... 97 
Burali-Forti (C.) et Marcolongo. — Elementi di calcolo vettoriale 97 
Burkhardt (H.). — Einfûhrung in die Théorie der analytischen 

Funktionen einer komplexen Verànderlichen 97 

Canesi (C). — Vocabolario interlingua 97 

Carslaw (H. S.). — Introduction to the Theory of Fourier's Séries 

and Intégrais 97 

(Id.). — Introduction to the Mathematical Theory of the Conduc- 
tion of Heat in Solids 97 

Cartan (E.). — Leçons sur les invariants intégraux 238 



TABLE DES MATIERES 413 

Pages 

Chapel (Général). — Ether — Electricité — Relativisme 238 

Corps (Lt-Col.). — Les théories de la relativité dépassant les données 

de l'expérience 399 

DiECK (W.). — Mathematisches Lesebuch 98 

DiNTZL (E.) et Vaselli (C). — Aufgaben ans der reinen und ange- 

wandten Mathematik 238 

Drumaux (P.). — L'évidence de la théorie d'Einstein 399 

EscLANGON (E.). — Les preuves astronomiques de la relativité . . . 239 
Evans (G. E.). — Functionals and their Applications selected Topics 

including intégral Equations 325 

Fettweis (E.). — Wie man einstens rechnete 399 

Fischer (P. B.). — Darstellende Géométrie 98 

Franck (SI.). — La loi de Newton est la loi unique 98 

Galbrun (H.). — Introduction à la théorie de la relativité, Calcul 

différentiel absolu et géométrie 326 

GouRSAT (E.). — Leçons sur le problème de Pfaff 236 

Groll (O.). — Kartenkunde I et II 399 

Grossmann (M.). — Darstellende Géométrie 329 

Haag (J.). — Cours complet de mathématiques spéciales, II et III 98, 327 
Heiland (F.). — Sammlung von Aufgaben aus der ebenen und sphari- 

schen Trigonométrie 239 

HoBSON (E. W.). — Theory of Functions, I 399 

HuMBERT (P.). — Introduction à l'étude des fonctions elliptiques . 98 

Hurwitz-Courant. — Funktionentheorie 327 

Jaeger (G.). — Theoretische Physik, II et III 99, 327 

Jessop (C. m.). — Elementara Analysis 99 

Karbowiak (A.). — Bibljografja Pedagogiczna 239 

Kauffmann (H.). • — Allgemeine und physikalische Chemie .... 399 

Kiepert (L.). — Grundriss der Difîerential-Rechnung, II- 328 

Knopp (K.). — Théorie und Anwendung der unendlichen Reihen . . 239 
Kommerell (K.). — Der Begriff des Grenzwerts in der Elementar- 

mathematik 327 

Laplace (P. -S.). — Essai sur les probabilités. I et II 95 

Lebesgue (H.). — Les professeurs de mathématiques du Collège de 

France 399 

Lemeray (E.-M.). — L'éther actuel et ses précurseurs 240 

Levi-Civita (T.). — Questioni di Mecanica classica i relativista . 240 

Levi-Civita (T.). e Amaldi (U.). — Lezioni di Meccanica razionale,I 400 

Lichtenstein (L.). — Astronomie und Mathematik 400 

Lie (S.). — Gesammelte Abhandlungen 328 

LiNDOw (M.). — DifTerentialgleichungen 240 

LoTZE (A.). — Die Grundgleichungen der Alechanik 99 

Mac Leod (A.). — Introduction à la géométrie non-euclidienne. . . 240 
Malet (H.). — Etude géométrique des transformations birationnelles 

et des courbes planes 99 

Marcolongo (R.). — Relativita 99 

Meth (P.). — Théorie der Planetenbewegung 100 

Michel (F.) et Potron (M.). — La composition de mathématiques . 328 

Mie (G.). — La théorie einsteinienne de la gravitation 240 

Milankovitch (M.). — Théorie Mathématique des Phénomènes Ther- 
miques 400 



414 TABLE DES MATIERES 

Pitges 

MoNTESsus DE Ballore (R. de). — Index Generalis 100 

MoRDELL (P.). — The origin of letters and numerals ,. 241 

Muller (C. h.) et Prange (G ). — AUgemeine Mechanik 328 

Neue Lehrplàne fur den mathematischen und naturwissenschaftlichen 

Unterricht an den hôheren Lehranstalten 329 

Muller (E.). — Lehrbuch der darstellenden Géométrie . . . 100, 400 
Nagel (T.). — Sur la distribution des nombres qui sont premiers 

avec un nombre entier donné 400 

Pacotte (J.). — La Physique théorique nouvelle 100 

Pauli (W.). — Relativitàtstheorie 100 

Perron (O.). — Irrationalzahlen 101 

Petronievics (B.). — L'évolution universelle 241 

Petrovitch (M.). — Notice sur ses travaux scientifiques 241 

Picard (E.). — La théorie de la relativité et ses applications à l'Astro- 
nomie 241 

Pincherle (S.). — Gli elementi délia Teoria délie Funzioni Anali- 

tiche, I 329 

Poincaré (H.). — Les fondements de la géométrie 101 . 

Poire (J.)- — Précis d'Arithmétique 100 

PoMPiGNAN (A. de). — Note sur le calcul tensoriel 400 

PoppovicH (N. M.). — Die Lehre vom diskreten Raum 241 

RoHN (K.). — Stéréométrie 329 

Rougier (L.). — La matière et l'énergie 101 

RoY (L.). — Cours de Mécanique rationnelle 101 

RuNGE (C). — Praxis der Gleichungen 102 

Salmon-Fiedler. — Analytische Géométrie des Raumes 329 

ScHiPS (M.). — Mathematik und Biologie 241 

Schlesinger (L.). — Einfûhrung in die Théorie der gewôhnlichen Dif- 

ferentialgleichungen auf Funktionentheoretischer Grundlage . . . 329 
Schmidt (H.). — La prima conoscenza délia relativita dell' Einstein 

alla portata di tutti 242 

Schmidt (Th.). — Darstellende Géométrie 330 

ScHUTZE (H.). — Die mathematischen Gru ndlagen der Lebensver- 

sicherung 330 

ScoRZA (G.). — Corpi numerici e algèbre 102 

Severi (F.). — Vorlesungen iiber algebraische Géométrie 102 

SiERPUTowsKi (T.). — Elementarz Rachunkowy 242 

Smith (D. E.). — Computing Jetons 102 

Struik (D. j.). — Grundzûge der mehrdimensionalen Differential- 

geometrie in direkter Darstellung 330 

Stuyvaert (M.). — Algèbre 330 

Thomson (J. J.). — Les rayons d'électricité positive 401 

TiMERDiNG (H. E.). — Die Fallgesetze 102 

Repertorium der hÔheren Mathematik 242 

TwEEDiE (Ch.). — James Stirling 242 

Valentiner (S.). — Vektoranalysis 401 

Vallée-Poussin (Ch.-J. de la). — Introduction a las teorias de 

conjuntos \ de funciones 242 

Cours d'Analyse infinitésimale 242 

Van der Corput (J.-G.). — Grepen uit de Getallenleer 401 

Veblen (O.). — Analysis situs 325 



TABLE DES MATIERES 415 

Pages 

Vessiot (E.) et MoNTEL (P.). — Cours de Mathématiques générales 102 

VivANTi (G.). — Complementi di Matematica 401 

Watson (G. N.). — A Treatise on the Theory of Bessel Functions . 330 

Weyl (H.). — Temps, espace, matière 103 

WiELEiTNER (H.)- — Gcschichte der Mathematik 401 

WiLLis (E. J.). — The Mathematics of Navigation 103 

WiNTERNiTz (J.). — Relativitàtstheorie und Erkenntnislehre . . . 331 

WiTTiNG (A.). — Einfuhrung in die Trigonométrie 103 

(Id.). — Abgekiirzte Rechnung 331 

YouNG (J. W.). — I concetti fondamentaH dell' Algebrate délia 

Geometria 103 

ZiEPRECHT (E.)- — Verzeichnis mathematischer Schriften .... 103 

2. Publications périodiques. 

Abhandlungen des math. Seminars (Hamburg) 401 

Acta mathematica ^6'<ocA/io/m^ 104,247, 403 

American Journal of Mathematics (Baltimore) 106, 403 

American mathematical Monthly (Lancaster, Pa.) 404 

Annaes scientificos da Academia Polytechnica do Porto 401 

Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse . . . 404 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles 402 

Annales de l'Université de Grenoble 402 

Annali di matematica pura ed applicata (Milan) 106, 247 

AnnaJs of Mathematics (Harvard University, Cambridge, Mass.) . . 106 

Atti délia R. Accademia dei Lincei (Rome) 107 

Bollettino délia Unione matematica Italiana (Bologna) 402 

Bolletino di Matematica (Firenze) 402 

Bulletin de l'Académie royale de Belgique 402 

Bulletin de la Société française de Philosophie (Paris) 402 

Bulletin de la Société mathématique de France (Paris) 405 

Bulletin des Sciences mathématiques 107, 247 

Bulletin of the American Mathematical Society (New- York) .... 402 

Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 402 

Bulletin of the University of Kansas (Etats-Unis) 402 

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (Paris) 104, 331, 406 

Contribucion al Estudio de la Ciencias Fisicasy Matematicas (LaPlata) 402 

Funtamenta mathematicae (Varsovie) 402 

Giornale di Matematiche di Battaglini (Naples) 402 

Intermédiaire des Mathématiciens (Paris) 402 

Isis (Bruxelles) 405 

Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik (Berlin) 402 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Leipzig) 107, 333 

Journal de Mathématiques élémentaires (Paris) 402 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Berlin) .... 108 

Journal of Mathematics and Physics (Massachussets) 402 

Journal of the mathematical Association of Japan for Secundary 

Education (Tokio) 402 

Matematisk Tiddskrift (Copenhague) 402 

Mathematical Gazette, The (London) 402 

Mathematics Teacher, The (Etats-Unis) 243 

Mathematische Annalen (Berlin) 108, 333 

Mathematische Zeitschrift (Berlin) 109, 334 



416 



TABLE DES MATIERES 



Mathesis (Bruxelles) 402 

Mémoires de la Société helvétique des Sciences 243 

Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège 402 

Monatshefte fur Mathematik u. Physik (Wien) 335 

Nieuw Archief voor Wiskunde (Amsterdam) 402 

Nouvelles Annales de Mathématiques (Paris) 243 

Periodico di Matematiche (Bologna) 403 

Prace Matematyczno-Fyzyczne (Varsovie) 403 

Proceedings of the London Mathematical Society 244 

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo (Palerme) 245 

Revista Hispano-Americana Matemâtica (Madrid) 403 

Revue de Mathématiques spéciales (Paris) 403 

Revue de l'Enseignement des Sciences (Paris) 245 

Revue de Métaphysique et de Morale (Paris) 405 

Revue générale des Sciences pures et appliquées (Paris) 405 

Revue scientifique (Paris) 405 

Revue semestrielle des Publications mathématiques (Amsterdam) . 403 

Scientia (Milan) 405 

Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften (Wien) . 111, 403 

Tôhoku Mathematical Journal, The (Sendai, Japon^ 403 

Travaux scientifiques de l'Université de Rennes 403 

Unterrichtsblàtter fur Mathematik und Xaturwissenschaften (Berlin) 403 

Wiadomosci Matematycne (Varsovie) 403 

Zeitschrift fiir den mathem. und naturw. Unterricht (Leipzig) 111, 246 

3. Thèses de doctorat. 

Allemagne . . . 248,336, 408' France 248 



Etats-Unis 280, 

Finlande 



336 
111 



Suède 112 

Suisse . . . 112, 248, 336, 408 



TABLE DE NOMS D'AUTEURS 

Cette table comprend les auteurrs d'articles généraux ou d'articles de chronique, de lettres 
ou notes insérées dans la correspondance ou de connptes rendus bibliographiques. 
Les numéros qui suivent chaque nom renvoient aux pages du volume. 



Pages 

Appell (P.) 129 

AuBRY (Léon) 360 

BuHL (A.) 85,86,88,89,91,92,214, 

229, 230, 231, 232, 311, 316,320, 

383, 386, 387, 391 

Bedarida (M.) .... 51, 360 

Child (J. m.) 209 

Clapier 362 

Delens (P. C.) 146 

Fehr (H.) 83, 91, 382, 384, 385, 
393, 394, 397 

Frechet (M.) 113 

GÉRARDIN (A.) 362 

Jans (C. de) 136 

Jequier (M.) 347 



Pages 

LURQUIN (C.) 286 

MiRIMANOFF (D.) . . . 303, 315 

NiEWENGLOWSKi (B.) 30, 167, 269, 

344. 
Petronievics (B.) . . . 195 209 

Petrovitch (M.) 48 

POLYA (G.) 38 

Rocque-Masson (R.) . . . 395 

TiERCY (G.) 152 

TuRRiÈRE (E.) . . 133, 277, 337 

Stuyvaert (M.) 249 

Varopoulos 362 

Wavre (R.) 86, 219, 228, 231 

234, 235, 313, 319, 321, 323, 389 
WiNANTS (M.) ... 5, 170, 358 
YouNG (Gr. Ch.) 393 



JuvET (A.) 391, 396 

Erratum. 
N" 5. page 295, 13^ ligne: Lire: Eisenstein au lieu de Einstein. 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

MKI HOI)OI.()(;iE El C)H(;AXISA I ION DE l. ENSKKJNE.MENT 

PHILOSOPHIE El' HISlOlltE DES M A IHEM A TIQU ES 

C H n O M Q U K S C I E X r I F I O U E M É I. A N C E S IJ I II I. I O (; It A P H I K 



REVUE INTERNATIONALE 



p A H A I s s A N r T O U S T. E S 1) K U X M O I S 



Fondée en 1899 par C.-A. LAISANT et H. FEHR 



DIRIORE PAR 



H. FEHR 

Docteur es sciences 

Professeur à l'Université 

lie (îenéve. 



A. BUHL 

Docteur es sciences 

Professeur à l'Université 

lie Tuiiliiu.ie. 



VINGT-TROISIEME ANNEE 

1923 



PARIS 
GAUTHIER- VILLAHS et C'^ EDITEURS 



GKNÈVE 
GEORG & C'«, ÉDITEURS 



1923 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



L'Ensei(;nement inathcm., 23< aanve; 1923. 



GENEVE 

IMPRIMERIE ALBERT KUKDIG 



MÉTHODES D'APPROXIMATION 

DANS LE CALCUL DU NOMBRE DES POINTS 

A COORDONNÉES ENTIÈRES ' 

PAR 

J. G. VA^• DER CoRPUT (Fribourg, Suisse et Groningue). 



1. — La méthode de Gauss. 

Dans les écrits laissés par Gauss - on trouva les fragments 
de deux articles qu'il avait l'intention de remettre à la Société 
des sciences de Gôttingue dans les années 1834 et 1837, mais qu'il 
n'a pas achevés. Dans ces fragments Gauss déterminait au 
moyen des points à coordonnées entières Taire d'une figure, et 
spécialement d'un cercle dont le centre coincide avec l'origine 
des coordonnées. Si le rayon est égal à 10, lOV/lO, 100 ou 
100\/lO, Gauss a calculé que le cercle contient 

317 . 3149 , 31 417 ou 314 197 

points entiers (c'est-à-dire points à coordonnées entières), 
tandis que l'aire du cercle, à une demi-unité près, a pour valeur 

314 , 3142 , 31 416 on 314 159 . 

de sorte que la différence est relativement petite. Dans cet 
article, lorsque nous parlerons des points entiers d'une figure, 
nous voulons parler des points à coordonnées entières situés à 
l'intérieur et sur le contour de cette figure. 



• Conférence donnée à la première Réunion mathématique des Universités de la Suisse 
romande, à Genève, le 17 février 1923, par M. J, G. van der Corput, professeur à l'Université 
de Kribourg (Suisse). — Depuis le semestre d'été 1923 M. van der Corput occupe l'une des 
chaires de mathématiques de l'Université de Groningue. Rèd. 

" Werkc, II, p. 269-391. 



6 J. G. V AN DEB COHPUT 

Nous pouvons nous attendre à ce que le nombre des points 
entiers d'une figure soit approximativement égal à l'aire de 
cette figure. Etant supposé que le contour de la figure a une 
longueur déterminée Z, Gauss démontre que la différence entre 
ces deux quantités est comprise entre — 4(Z + 1) et 4(i + 1). 
La démonstration qu'il en a donnée est la suivante: 

Soit r le nombre des carrés tels que leur centre ait des coor- 
données entières, leurs côtés aient l'unité pour longueur, et à 
l'intérieur desquels se trouve au moins un point du contour. 
Le nombre des points entiers de la figure est plus petit que l'aire 
de la figure augmentée de r, mais plus grand que cette aire, 
diminuée de r, de sorte que la différence entre le nombre des 
points entiers et l'aire de la figure est comprise entre — r et r. 
Une portion du contour qui appartient à plus de quatre carrés 
différents contient au moins deux points distants de plus d'une 
unité. Si donc r est plus grand que 4«, n étant entier, il y a sur 
le contour n^ + 1 points tels que la distance entre deux points 
consécutifs est plus grande que 1. Alors la longueur du contour 
est plus grande que w, et comme nous pouvons choisir 4 {n + 1) 
plus grand ou égal à r, r est plus petit que 4 (/ + 1), et la pro- 
position de Gauss est démontrée. 

Nous pouvons considérer comme cas particulier celui du 
cercle v? -\- v" ■= x, ii et c étant des coordonnées rectangulaires. 
Soit P {x) la différence entre le nombre des points entiers du 
cercle et son aire. En vertu de la proposition de Gauss la valeur 
absolue de P {x) est plus petite que 4 (27rV^a; + 1). P {x) 
est donc au plus du même ordre que la fonction \/x^ ce que l'on 
écrit 

P(.r) = O(V^) , 

désignant le symbole connu de Landau. 

Nous allons traiter maintenant un autre problème, celui des 
diviseurs. Le nombre d{n) des diviseurs du nombre entier posi- 
tif n ne peut pas être représenté approximativement par une 
fonction simple. Par contre on peut trouver une expression 
simple pour représenter 

n entier 



POINTS A COORDONNEES ENTIERES 7 

d'une manière approchée. En effet, sur l'hyperbole équilatère 
ttc = Al se trouvent exactement d{n) points entiers, car à chaque 
diviseur $ àe n correspond un point à coordonnées entières à 

et '^ et réciproquement. La fonction D {x) est donc égale au 

nombre des points entiers situés sur l'une des hyperboles 
uv = 1, 2, ..., E(a;), E(a;) désignant la partie entière de a;. Tous 
ces points se trouvent dans le domaine D, limité par l'hyper- 
bole uv ^ X ei par les deux droites m = 1, c = 1, et récipro- 
quement tout point entier contenu dans ce domaine se trouve 
sur l'une de ces hyperboles. La fonction T){x) est donc égale 
au nombre des points entiers du domaine D,. L'aire de ce do- 
maine est égale à 



X 



\.\ du = X log X — X -\- \ , 



et le contour a une longueur plus petite que 4 x^ de sorte qu'en 
vertu de la proposition de Gauss 

D(.r) — (x log:r — X -f 1) 

est contenu entre — 4(4rr+l) et 4(4a;+i); la fonction 
X log X représente donc T){x) avec une erreur dont l'ordre ne 
surpasse pas celui de x, donc 

D[x) = xlogx -\- 0(x) . il) 

2. ■ — La méthode de Dirichlet. 

Dirichlet^ a réussi à améliorer considérablement ce résultat 
de la manière suivante: 

Par le point (V/a:, \/x), qui se trouve sur l'hyperbole équilatère 
on construit une parallèle à l'axe des ii et une parallèle à l'axe 
des u, de sorte que le domaine D, en question est divisé en trois 
parties. Une de ces parties est un carré, et l'on peut immédiate- 
ment calculer le nombre des points entiers qui y sont contenus. 
Les deux autres parties contiennent le même nombre de points 
entiers par raison de symétrie, et comme on connaît le nombre 



1 Berl. Abh. (18'i3), p. «9-83; Werke, II, p. '<9-C6. 



8 J. G. VAN DER CORPUT 

des points entiers du carré, il ne reste donc à calculer que le 
nombre des points entiers du domaine D, limité par l'hyperbole 
équilatère uv = x et par les trois droites c = 1, u — 1, 
u = \/x. Les points entiers de D, se trouvent tous sur l'une deS 
droites w = 1, 2, ..., E {\/x), et la droite u = h contient dans 
Ds exactement E[M points entiers, de sorte que D.^ contient 

h entier 

points entiers. Pour calculer approximativement D(a:), il suffit 
donc d'évaluer cette somme. Comme on peut calculer la somme 

h entier 

au moyen de la formule sommatoire d'Euler avec le degré 
d'exactitude voulu, on n'a qu'à évaluer la somme 

2 (""-E^^^ ' 



_ ,A \hj 2 

h entier 

Comme chaque terme est en valeur absolue <^ 77 , la valeur 

absolue de la dernière somme est ^ — \/x, de sorte que l'on 
trouve la valeur de D {x) avec une erreur qui est au plus du 
même ordre que vx. Si l'on pose 

A(.r) = D{x) — x{los;.r + 2C — 1) , 

C désignant la constante d'Euler, le résultat trouvé par Dirichlet 
est que l'ordre de \{x) ne surpasse pas celui de \/x, donc 

A(:r) = 0(V-7) . (2) 

Il est facile de généraliser ce que nous venons de dire pour 
l'appliquer à un domaine à k dimensions. Alors on remplacera 
la figure m ^ 1, p ^_ i, iw <.x par le domaine 



POINTS A COORDONNEES ENTIERES 9 

et d{n) par le nombre di,{n) des décompositions de n en produit 
de k facteurs; par exemple d^{^) = 10, parce que 4 peut être 
décomposé de 4 manières différentes en produit des 4 facteurs 
4, 1, 1, 1 et de 6 manières différentes en produit des 4 facteurs 
2, 2, 1, 1. Comme M. Piltz^ l'a montré, on peut donner à la fonc- 
tion 



=2- 

n entier 



d,,\n\ 



la forme suivante 

A— 1 

où les coefficients h^- it ne dépendent- pas de a;, et où 






Le résultat donné par la formule (2) est naturellement bien 
meilleur que celui donné par la formule (1). Cependant Dirîchlet 
a réussi à améliorer encore son propre résultat, comme on le sait 
par une lettre qu'il écrivit à Kronecker peu avant sa mort - : 

« Seit unserm neulichen Gesprâch auf der Fahrt von Ilsenburg 
nach Harzburg ist es mir gelungen, die Funktion D(x), die ich 
bisher nur mit einem Fehler der Ordnung \/x angeben konnte, 
bedeutend in die Enge zu treiben. Die Auffîndung des hiezu 
dienenden Mittels, welches aller Wahrscheinlichkeit nach auch 
auf die folgenden Fâlle anwendbar seyn wird, macht mir zwar 
grosses Vergnùgen, kommt mir aber in sofern zu ungelegener 
Zeit als ich dadurch von der Vollendung der hydrodynamisclien 
Abhandlung abgezogen werde, welche doch endlich fertig 
werden muss. » 

Quel résultat Dirichlet a-t-il trouvé et quelle méthode a-t-il 
employée, nous ne le savons pas et probablement nous ne le 
saurons jamais, parce que c'est un des secrets que Dirichlet 
enlevé en pleine activité, a emporté avec lui. C'est d'autant plus 



» Thèse (le doctorat (1881), Berlin. 

• LhJKL'Mv-DiKiCHLhT, Wtrke. II, p. 407. Diiiehlct emploie une autre notation pour 1» 
fonction L)(jr). 



10 J . G. VAN DE R COR PUT 

difficile de savoir quelle méthode il a employée, que nous connais- 
sons déjà cinq méthodes générales pour améliorer les résultats 
précédents, une méthode géométrique, une méthode arithmétique 
et trois méthodes analytiques, dont une découle de l'étude des 
variables complexes et les deux autres de l'étude des variables 
réelles '. 

3. — La méthode de Voronoï. 

C'est Voronoï - qui a découvert la méthode géométrique (1903). 
Comme Dirichlet, il décompose le domaine D,, mais il le fait 
d'une autre manière. Il construit q tangentes à Thyperbole 
équilatère uv = x^ de sorte que le domaine est décomposé en 
un polygone (de q + 2 côtés) et en ^ + 1 segments. Il calcule 
approximativement le nombre des points entiers de chacun de 
ces domaines; les points entiers qui pourraient se trouver sur 
l'une des tangentes, sont comptés ou avec le polygone ou avec 
l'un des segments. Il choisit le nombre q et la direction des 
tangentes tels que l'erreur soit la plus petite possible. Son résul- 
tat est 

3 

A(x) = Oi\/x log x) ; (31 

il est donc bien meilleur que celui de Dirichlet. 

Avec la méthode de Dirichlet le domaine est décomposé en 
3 parties, avec la méthode de Voronoï en ^y + 2 parties, et ce 
qu'il y a d'intéressant dans cette dernière méthode est que q 
croit indéfiniment avec x. 

Voronoï s'est rendu compte que sa méthode pouvait être 
appliquée non seulement dans le problème des diviseurs, mais 
dans bien d'autres problèmes; on le sait par la fin de l'intro- 
duction de son travail: 

« Il est aisé de généraliser, dit-il, la méthode exposée dans ce 
mémoire et de l'appliquer aux recherches des valeurs asympto- 
tiques de différentes sommes multiples. » 



1 Nous ne considérerons pas la méthode de Wigert {Malh. /.<., 5 (1919), p. 310-318), parce 
que jusqu'à présent on ne l'a employée que dans le problème du cercle, d'autant plus que 
l'ordre de l'erreur trouvé par M. Wigert est un peu plus grand que l'ordre trouvé par les 
autres méthodes. 

* J. (tir .Valh., l'iC, (1903), p. 241-282. 



POINTS A COORDONNÉES ENTIERES 11 

M. Sierpiiiski ^ applique la méthode de Voronoï au problème 
du cercle, et il trouve 

s 
Pl^) = 0(\/.7) . (4) 

donc un résultat bien meilleur que celui de Gauss. 

4. — La méthode de Piltz. 

C'est M. Piltz qui a trouvé la méthode arithmétique (1881). 
Comme nous l'avons déjà fait remarquer à propos de la méthode 
de Dirichlet, il suffît dans le problème des diviseurs de s'occuper 
de la somme 



h entier 

où pour abréger on a posé i\i (c) = v — E (c) — ^ , 

Dirichlet se sert de la borne supérieure triviale — \/x pour 

la valeur absolue de cette somme, mais M. Piltz a remarqué 
que, si x est grand, les termes négatifs atténuent l'influence des 
termes positifs. Il décompose l'intervalle (1, \/x) en intervalles 
partiels, et il montre qu'en choisissant d'une manière appro- 
priée les points de division, la contribution de chaque intervalle 
partiel à la somme en question est d'un ordre plus petit que la 
longueur de l'intervalle, d'où l'on déduit que la valeur absolue 
de la somme considérée est d'un ordre inférieur à Vx. 

L'idée fondamentale de la méthode de Piltz est donc de réunir 
beaucoup de termes 



+ 'M^^T + - + 



/ -+- 1/ ' ' ' \< + B — 1 

de telle façon que la valeur absolue de cette somme reste cepen- 
dant relativement petite. Pour cela on doit pouvoir trouver une 
borne supérieure de cette valeur absolue, ce qui se fait de la 
façon suivante: 



> Prace mal. fiz., 17 (1906), p. 77-114. 



12 



/. G. VAN DER CORP Vf 



On choisit le nombre positif A ne contenant aucun des facteurs 
de B tel que la plus grande valeur g de 



B.r 

t + // 



Ml 



OÙ h est un des nombres 0, 1, ..., B — 1, soit la plus petite pos- 
sible. On a alors 



/ + h 



<- 

- B 



Si g est petit, 



A A 



— - — j est à peu près égal à ^ — 1 — ^ , donc 



la somme en question est à peu près égale à. 

B— I 



2H7 



+ 



Ah 

"b" 



plus exactement on a 



B— 1 



2H-ir, -2 



A/j 



< i^ + 'i- ■ 



<5) 



Calculons maintenant la somme 

B— 1 



2<f + 4^' 



c'est-à-dire la somme 

B— 1 



2 

A=0 



h=v> 



kh -t- f 
B 



\ix 



ou c = 



A chaque nombre entier h dans l'intervalle ^ A ^ B — 1 
correspond un nombre entier k dans le même intervalle et tel 
que la différence 

\h + E(() — A- 

soit divisible par B, et la réciproque est vraie aussi, A ne conte- 
nant aucun des facteurs de B. -^ (/) étant une fonction de période 
1, on a 

^Ah + <-\ ^ , / /• + c — E {c) \ _ /. + <•- !•: (<•) 



POINTS A COOR DONNÉ ES ENTIERES 13 

puisque la partie entière de -^^ '— ^ est égale à 0. On a donc 

/!=0 k=« . 

= ^ + c-_E(c-)-|=c_E(.)-|, 

ce qui est en valeur absolue inférieur à 1. Il s'ensuit donc de (5) 



2-fG 



+ h 



< 4;,' + 3 . 



C'est sur cette inégalité que repose la méthode de Piltz. Pour 
une valeur donnée de t on peut choisir A et B tels que le membre 
de droite de cette dernière inégalité est beaucoup plus petit que 
B, donc aussi beaucoup plus petit que la longueur de Tintervalle. 

M. Piltz n'a jamais publié sa méthode. En 1901 il a écrit 
deux lettres à M. Landau, pour exposer son procédé et pour 
démontrer le théorème de Voronoï. Les démonstrations données 
dans ces 'lettres, ne sont pas exactes, et ce n'est que depuis 
quelques années que M. Landau ^ a réussi à en déduire l'approxi- 
mation de Voronoï. Jusqu'à présent on n'a pu trouver aucun 
résultat meilleur avec cette méthode, quoique M. Piltz pré- 
tendît qu'il pouvait diminuer l'erreur, et la ramener à \x'' ), 
quelque soit le nombre positif e. 

5. — La méthode de Pfeiffer. 

Le sort de la méthode de Piltz ressemble un peu à celui de la 
troisième méthode que nous allons exposer, celle de Pfeiffer -. 
L'inventeur a, il est vrai, publié sa méthode (1886) ; mais son tra- 
vail manquait tellement de clarté et de précision qu'il est resté 
sans influence sur le développement de la théorie analytique des 
nombres, jusqu'à ce que M. Landau ' en 1912 eût trouvé 



» Côtt. yachr. (1920), p. 13-32. 

' Jahresbericht der l'fsifferschen l.ehr- und Erzichiings-Aiistalt zu Jena (188B). 

•> WUn. Bcr. (lia), 121 (l'Jli). p. 2105-2332 ; 124 (1915), p. 469-i05. 



14 /. G. VAN DEIi CORPUT 

l'erreur dans la démonstration et Teût remise en ordre. Cette 
méthode est basée sur l'étude des séries de Fourier. On considère 
l'intégrale 

D 

où l'on a posé 

m 

et où le domaine D satisfait à des conditions très générales. 
L'idée fondamentale de la méthode est que, pour m croissant 
indéfiniment, <!>„, tend vers le nombre des points entiers du 
domaine D, à condition que les points entiers, situés sur le contour 
de D, soient comptés d'une façon déterminée; par exemple, si le 
contour du domaine a une tangente en un point entier, on ne 
comptera ce point qu'à demi. 

Avec la méthode de Pfeiiïer, M. Landau démontre les résul- 
tats de Voronoï et de Sierpihski, donc (3) et (4) '. Dans le pro- 
blème du cercle il en déduit non seulement une relation conte- 
nant le symbole O de Landau, mais encore une relation contenant 
le symbole i> de Hardy-Littlewood. Il montre en effet que pour 
chaque nombre c positif * 



P(x) = 

c'est-à-dire que pour x croissant indéfiniment le quotient 

P(-r) 
1 

X 

ne tend pas vers 0. 

Si /3 ne dépend pas de x, la relation 

P(x) = o{.J) 

1 1 

est valable pour /3 ^ ^ , d'après (4), mais fausse pour /3 < 7- . 



> Ânnalidi Mat. (Tortolini), Rome (3) 20 (1913), p. 1-28; GÔtt. Nachr. (1915), p. U8-160. 
» Wien. Ber. (lia) 12'. (1915), p. 169-505. 



POINTS A COORDONNEES ENTIERES IS 

En eiïet, si la relation était juste pour /3 < — , on pourrait choisir 
le nombre positif e de telle façon que /3 < — • — e, et alors , 

tendrait vers pour x croissant indéfiniment. La limite inférieure 

de l'exposant /3 est donc contenue dans Tintervalle — < c' ^ — . 

La détermination exacte de la limite inférieure est un des pro- 
blèimes les plus intéressants de la théorie des nombres, mais on 
n'y est jusqu'ici pas encore arrivé. 

M. Landau ^ applique aussi cette méthode à d'autres pro- 
blèmes; entre autres il en déduit les approximations analogues 
pour une ellipse. D'autres applications ont été données par 
Cauer -, Hammerstein ^ et moi-même *. 

Comme le fondement de la méthode de PfeiiTer est une iden- 
tité, on ne doit pas s'étonner de pouvoir en déduire non seule- 
ment des approximations, mais aussi des identités. Par exemple, 
si X est un nombre positif, non entier, on trouve" 



V[.r)=\/-:^^:^tK{-^-^Vn.) (6) 



et' 



A(.,)=:i + \/.7^^L(2.\/;;:;) 



(7) 



où r {n) désigne le nombre des solutions entières de m- -j- p»- = n, 
et l'on a 

L (r) z=: — I cos .ru sin — du =. Yj (2a) — Hj (2a-) ; 



J, {x) est la première fonction de Bessel de premier ordre, Y, {x) 
est la deuxième solution habituelle de l'équation dilTérentielle 



' Wien. Bcr. (lia) 124 (1915), p. 469-500. 

* Thèse de doctorat (l'Jt'i). Gœtlingue. 
' Thèse de doctorat (1919), Gœtlingue. 

* Nicuw Archief(2) 13 (19ïi), p. 12â-rin, 

* Lanoau. G6tt. Nachr. (1920), p. 109-13i. 

' ROGOSINSKI. Thèse de doctorat (1922), Gœtlingue. 



16 J. G. VA!^ hER COHPUT 

de Bessel avec 1 comme paramètre, et H, {x) est la fonction 
cylindrique 

V- 



2 /' te 



Si X est entier, on doit remplacer dans (6 ) et (7) P {x) par 
V{x) — — r {x), et A (x) par ^{x) — ^ d {x). 

Des relations (6) et (7), qui ont été découvertes par Voronoï ^ 
«t Hardy-, on déduit facilement les relations déjà mentionnées 
plusieurs fois de Voronoï et de Sierpinski \ 

Comme je l'ai déjà fait remarquer, l'ordre de grandeur exact 
de P (x) n'est pas connu, d'ailleurs l'ordre de ^{x) ne l'est pas 
non plus. Par contre l'ordre exact des valeurs moyennes des 
fonctions (A (t))- et (P (t))- dans l'intervalle i ^ t ^ x est 
€onnu. En effet comme M. Cramer^ l'a déduit de (6) et (7) 
(il s'est servi même de deux relations plus simples), on a pour 
chaque nombre positif e 



f{l{t)y'dt = y^'x^ + 0\.r' 



et 



3 



f(?{i)Y-dt = Y,r-^+ oU' 



7+'- 



où y, et y, désignent des nombres positifs constants. La valeur 
moyenne des carrés des fonctions l{x) et P{x) a donc le même 

ordre que la fonction \/x , de sorte que -^,^— et —^ — ne tendent 

pas vers zéro pour x croissant indéfiniment. Nous pouvons donc 
écrire 

A(.r) = i2\\/x) et P(J-) = ÛV\/-ï^/ • 



' Aiin. dt l'Ec. Norm. (3) 21 (1904). p. 207-268 et p. 459-534; Verh. III. intern. Math 
Kongrcsses in Heidelberg (1904), p. 241-245. Cf. Hardy, Lond. M. S. Prec. (2) 15 (1916), 
p. 1-25 et SlKRPl.NsKi, Prace mat.-fiz., 18, p. 1-59. 

2 Quart. J., 46 (19151. p. 26:i-283. 

» Landal-. GÔtt. Nachr. (1915), p. 161-171; Miiiich. Bcr. (1915), p. 317-328: Math. Zs. 5 
<1919), p. 319-320. 

* Math.Zs. 15(1922), p. 201-210. 



POINTS A COORDONNÉES ENTIÈRES 17 

Si l'on emploie l'inégalité connue de Schwarz 

b . ^ b 



(fmdtj ^ (h-a)fr-{t)dt , 



où l'on suppose b^ a, on trouve que la valeur moyenne des 
fonctions |A(a;)| et |P(:r)[ est au plus du même ordre que \/x. 

6. — La méthode de Landau. 

La méthode basée sur l'étude des fonctions de variables 
complexes s'appuie sur le lien qui existe entre le nombre des 
points entiers de certains domaines et la convergence de cer- 
taines séries de Dirichlet. Nous n'avons à considérer ici que les 
séries de DirichJet ordinaires, c'est-à-dire celles du type 



2!l 



les a,i étant des coefficients constants et s une variable complexe. 
Si cette série converge en un point s^ , elle converge en chaque 
point s ayant une partie réelle plus grande. Pour le démontrer, 
posons 



donc 



^ = F, . F„ = . 



Si c et w sont des nombres entiers (cv > t' > 1), on a 

n=i' n=v n=v n=4'— 1 ^ ' 

donc 

"' II' — 1 „ r-, 



(8) 



L'Enseignement inathém., 23« année, 1923. 



18 
On a 



donc 



./. G. VAN DE H COUP UT 



11 f* du 

= (« — ■^o) / rr 



I" +1)^ 



< \s 



n + \ 

f - 



du 



P+^ ' 



(9) 



p désignant la valeur réelle de s - Sq. En vertu de la convergence 
de la série en question en So, le nombre F„ est borné, donc en 
valeur absolue plus petit qu'un nombre constant A; on a donc 
d'après (8) et (9) 



< A ! « - 5 J . Z' 



du A A^ 

7+^ "^ .^ ^ 7 



(10) 



Comme p est positif (parce que la partie réelle de s est plus 
grande que celle de So), l'expression finale tend vers pour c 
croissant indéfiniment, de sorte que la série de Dirichlet en 
question converge au point s. 

Il s'ensuit que pour une série de Dirichlet, on a trois cas 

possibles: convergence en chaque point, comme par exemple 

pour la série 

1 



divergence en chaque point, comme par exemple pour la série 

ou bien il y a une droite parallèle à l'axe imaginaire telle que la 
série diverge à sa gauche et converge à sa droite. L'abscisse de 
cette droite s'appelle l'abscisse de convergence de la série, et 
il y a une relation simple entre cette abscisse a et l'ordre de 
grandeur de la fonction 

S(.r)=2«„ , 



POINTS A COORDONNÉES ENTIÈRES 19 

En effet, si « ^ 0, on a pour chaque nombre e positif 

S(.r) = 0(,r«+^) . 

et inversement, si 



Su) = oix^) , 



11) 



l'abscisse a de convergence est ^ /3. Pour démontrer la première 
de ces propriétés, nous appliquerons l'inégalité (10) en y posant 
s = 0, ç = i, w = E{x), de sorte que le membre de gauche de 
cette inégalité est égale à la valeur absolue de S (x). Nous devons 
poser 5'o = a + e, parce que la série converge en ce point ; 
alors p = — (a + e), donc 

X 

I s (X) I < A . ( a + £ ) r ««+'-' du + A.r«+^ + A = 2Ax«+' . 
1 

Pour démontrer la seconde propriété, il suffit de montrer que 
la série de Dirichlet converge pour chaque nombre réel 5 ]> /3, 
c'est-à-dire il suffît de montrer que pour chaque nombre 
5 = /3 + £ (e > 0) le membre de gauche de la relation (8) tend 
vers 0, si (^ croit indéfiniment. Posons ^o = 0, donc p = s — ^o 
= /3 -r s- Le nombre F„ est égal à S{7i) et d'après (il) il existe 
un nombre constant A tel que la valeur absolue de F„ est infé- 
rieure à An^ et à A{n + l)*^, donc inférieure à u^, u désignant 
un nombre quelconque dans l'intervalle n^ii'^n -\- i. 

Il s'ensuit 

n + l n + 1 " + 1 

I p I /> </« ^ . /^ 3 du . /» du 

Il II II 

D'après (8) et (9) on a 



2 



du A A 



<A. 1,^ + 0./—^ + - + 



et l'expression finale tend en effet pour chaque nombre positif 
£ vers 0, si (^ croît indéfiniment. 

De ces considérations on déduit un lien entre nos problèmes 
et la convergence de certaines séries de Dirichlet. Comme 



20 /. G. VAN DER CORPUT 

exemple nous prendrons le problème du cercle. Le nombre des 
points entiers du cercle w + v- = x est égal à la somme 

2 r{n] , 
< « ^ a; 

r {n) désignant le nombre des solutions entières de l'équation 
u^ -\- ç^ = n. D'après le résultat de M. Sierpiiiski la fonction 
■nx représente cette somme avec une erreur dont l'ordre ne 

3 

surpasse pas celui de \/x, donc 



2 {r{n) - r.) = o{x^) , 



n entier 



de sorte que la série de Dirichlet 

<^ r(n] 



1 

a line abscisse de convergence ^ — • Si nous pouvons démontrer 
directement ce théorème, nous aurons montré que pour chaque 
nombre £ positif nous avons la relation 



l<n<x 



.1 = o(;-+') . 



n entier 



donc 



V{x) =^r(n) — -X = o(.r'*^7 



n entier 

M. Landau ^ a publié en 1912 une méthode au moyen de 
laquelle on peut trouver une démonstration directe dans ce cas 
et dans bien d'autres. Cette méthode est applicable pour des 
domaines à k dimensions pour lesquels la série correspondante 
de Dirichlet satisfait entre autres à une équation fonctionnelle 
analogue à celle de la fonction Ç(;ç) de Riemann. Il applique cette 



1 Gutt. Nachr. (1912). p. 087-771; (1915), p. 209-243; (1917). p. 90-101. 



POINTS A COORDONNÉES ENTIÈRES 21 

méthode entre autres ^ aux problèmes concernant l'ellipsoïde 
à k dimensions -. 

La méthode de Landau se sert, il est vrai, de propositions 
exigeant des connaissances mathématiques assez profondes, 
mais elle conduit parfois très rapidement au but. Par exemple 
M. Landau * n'a besoin que de 2 pages pour démontrer la pro- 
position de Sierpiiiski 

p(,c) = oVV/x) . 

tandis que M. Sierpifiski * a besoin d'environ 40 pages pour la 
démonstration du même théorème par la méthode de Voronoï. 

Un des grands avantages de l'emploi des variables complexes 
est qu'il conduit non seulement à des résultats contenant le 
symbole 0, mais encore à des résultats contenant û. 

MM. Landau % Hardy % Wigert ' et Cramer « ont appliqué 
la théorie des nombres complexes au problème des diviseurs 
et à celui du cercle. M. Hardy a montré: 



P(A-) 



Ay^xAogx) et A(x) = QV\/xlog j: log logj-/ ; 



si a^ désigne la Hmite inférieure de l'exposant /3^' pour lequel 
la relation 



\,.{x) = Olx^/f) 



est encore juste, on a 



En admettant l'hypothèse de Riemann que toutes les racines 



' Gôtt. Nachr. (1917), p. 102-111; Einfiihrung in die elementarc und analytische Théorie 
dcr algebraischen Zahlen und der Idéale (1918), p. i:tl ; Math. Zs., 2 (1918), p. 52-154. 

» Berl. Ber. (1915), p. 458-476 ; Wien. Ber. I\U), 124 <1915), p. 445-468. 

» Math. Zs.,'o (1919), p. 319-320. 

* Prace mat. fiz., 17 (1906), p. 77-114. 

6 Batt. C.,51 (1913), p. 73-81 : Miinch. Ber. (1915), p 317-328; Gôtt. Nachr. (1915). p. 161- 
171 ; Math. Zs., 5 (1919), p. 319.320. 

" Quart. J., 46 (1915), p. 2C3-283 ; Lond. M. S. Prin. (2), 15 (1916), p. 1-25 et p. 192-213; 
18 (1919), p. 201-204. 

' Acta Math., 37 (1914). p. 113-140. Cf. L.\ndau, r.ôlt. gelehrte Anzeigen, 177 (195), 
p. 377-414. 

" Ark. ffir Mat.. Astron. och Fys., 21 (1922). 



l'i J. G. VAX DER CORP UT 

complexes de la fonction ^{s) se trouvent sur la droite d'abscisse 

2-, M. Landau^ a déduit d'une proposition due à M. Littlewood^ 

1 
qu'aucun des nombres a.,, a,, ... etc. ne surpasse-^. 



7. — La méthode de Van der Cor put ^ et de Vinogradoff*. 

Finalement nous traiterons une méthode que M. Vinogradofî 
et moi avons trouvée indépendamment l'un de l'autre. Plus 
d'un mois après avoir tenu cette conférence, j'ai pour la pre- 
mière fois appris le nom de M. Vinogradofî et les remarques 
faites dans cet article au sujet des résultats trouvés par lui 
ont été ajoutées au texte lors de la correction de la première 
épreuve. 

Avant de passer à la méthode, je veux indiquer comment 
j'y suis arrivé peu à peu par l'étude des méthodes de Voronoï, 
de Pfeiffer et de Piltz. 

Comme nous l'avons déjà dit à propos des méthodes de Diri- 
chlet et de Piltz, nous n'avons dans le problème des diviseurs à 
nous occuper que de la somme 



2 



h entier 



De même dans le problème du cercle nous n'avons à considé- 
rer que la somme 



1 Gbtt. Isachr. (1912), p. 728. 

2 C. fi., 154 (1912), p. 263-266. 

' Thèse de doctorat (1919), Leiden ; Math. Ann., 81 (1920), p. 1-20; Math. /..<.. 10 (1921), 
p. 105-120; Math. Aiin., 8i (1921), p. 53-79; 87 (1922). p. 39-G5. Un autre article paraîtra 
bientôt dans les Math. Ann. et un antre encore dans la Math. Zs. Cf. LANOAU-Van der 
COHPUT, Gôlt. Nachr. (1920), p. 135-171. 

* Journal de la .Soc. math. Charkov yl'iV') ; Bnll. de l'Ac. des Sciences de liussie. Pi'trograd 
(1917), p. 1347-1378 ; Thèse de doctorat (1920), Pétrograd. Les articles de M. VinogradotV ont 
été écrits dans la langue russe. 



POINTS A COORDONNÉES ENTIÈRES 23 

Pour calculer le nombre des points entiers d'un domaine quel- 
conque, il suffît de calculer la somme 

2 ''^*"** • 

n entier 

ç — j[u) OU M = j{v) étant l'équation d'une partie du contour. 
Jusqu'à ces dernières années la méthode de PfeifTer était appli- 
quée à peu de problèmes seulement, et la méthode de Voronoï 
à deux seuls problèmes, celui des diviseurs et celui du cercle, 
de sorte que dans l'emploi de cette dernière méthode on posait 

toujours /(m) = — ou f{u) =\/x — u^ . J'ai montré que ces 

deux méthodes pouvaient être appliquées à chaque fonction 
f{u) remplissant la condition suivante : 

l f {u) est réelle et deux fois dérivable dans l'intervalle 
,\a<?e<è, (a + 1 ^ 6), la deuxième dérivée étant uni- 
) oscillante (c'est-à-dire monotone), toujours positive ou 
\ toujours négative. 

Les deux méthodes donnent dans ce cas le même résultat, 
à savoir qu'il y a une constante absolue c telle que l'on ait 



f\ f"\u) t du + ^ + ^ \ 



a<n<b 



(12) 



Il est évident que l'on peut maintenant calculer approxima- 
tivement le nombre des points entiers dans des domaines satis- 
faisant à des relations très générales. Nous prendrons comme 
exemple le problème des diviseurs, c'est-à-dire nous approxime- 
rons la somme 

h entier 

Nous décomposons cette somme en deux sommes partielles 

3 ^ ' J 

h entier h entier 



? r 



24 /. G. VAN DER CORPUT 

Puisque \^\ ^ 2" ' ^^ valeur absolue de la première somme par- 

tielle est < -:^\/x . Pour un x suffisamment grand \/x + 1 ^\/^ 

3 
de sorte que la relation G' est remplie pour a = \/x , b = \/ x , 

f{u) = — . La valeur absolue de la deuxième somme partielle 

est donc plus ^petite que 

% /2.r\3 , 1 1 

/ ('?)'" + 7^ + ;727 

/i ^_ '_ 1 ^- 1 \ 

= cU \'2 yx log.r + — = Vx -h -— , 
\6 ^ y2 V2 / 

de sorte que l'erreur dans le problème de diviseurs ne surpasse 

pas, en effet, l'ordre de la fonction vx log x. 

La méthode de Piltz ne donne pas seulement la proposition 
énoncée, mais encore un résultat plus général. De la méthode de 
Piltz il suit que l'inégalité (12) est valable non seulement pour 

la fonction ^{v) = ç — E{ç) — — , mais encore pour chaque 

fonction '^{ç) remplissant la condition suivante: 

t^((^) est réelle et périodique de période 1, unioscillante 
dans l'intervalle < (^ < 1, et satisfait à 
B 

^1 (0 ^ V ^ 1) , /'J>(f)c?w = 

Si l'on part de cette supposition, il est très facile de saisir le 
principe de la nouvelle méthode. De la supposition B il découle 
que ^l) (p) est développable dans la série de Fourier suivante 

^,.) = 2 «,««'""'" . où a, = , 

m= — oc 

donc 



2 '}''/■(")>= 2 2 "'-' 

n entier n entier 



2m7tmn) 



POINTS A COORDONNEES ENTIERES 25 

donc 

00 



2 •^(/■'"'M^ 2 i'^'' 

a<n<b /«=— « 






(13) 



n entier 



étant admis la convergence de la dernière double sommation. 
Si f{u) satisfait à la condition C, mf{u) y satisfait également. 
Si donc de la condition C une borne supérieure peut être déduite 
pour la valeur absolue de la sommation 

2 e-'^'A") , (14) 

a^n <r b 
n entier 

on trouve également une borne supérieure pour tous les termes 
de la sommation dans le membre de droite de (13), de sorte que 
l'on obtient ainsi une borne supérieure pour le membre de gauche 
de cette inégalité. 

Le problème essentiel réside donc dans la possibilité d'approxi- 
mer aussi près que possible la somme (14), et c'est grâce à une 
équation fonctionnelle approximative remarquable que la chose 
est possible. Puisque f"{u) dans l'intervalle a^u<^b est 
supposé constamment positif ou constamment négatif, f'(u) 
est une fonction unioscillante de u. Si A désigne le plus petit et 
B le plus grand des nombres f'{a) et f'{b), à chaque v dans 
l'intervalle A < (^ ^ B correspond un nombre n^, univoquement 
déterminé par les relations f{n,,) = v, et a< n^ ^ b. L'équation 
fonctionnelle approximative établit que la somme cherchée (14) 
est donnée avec une très grande approximation par l'expression 

.*T -^ «"""'"'-"'' . (15, 

V entier 

où l'on doit prendre le signe + ou le signe — , selon que /"(w) 
dans l'intervalle a<. u ^ b est constamment positif ou con- 
stamment négatif. 

Pour approximer la somme (14), il suffit donc de calculer cette 
dernière expression. 



26 J. G. VA\ DEIi CORP UT 

Si nous employons pour la valeur absolue de cette der- 
nière somme la borne supérieure triviale 

"S y^ "«I 

,<t!:BV/|/-'Xil 



nous obtenons à peu près la même approximation pour la somme 
(14), et si nous substituons ce résultat, nous trouvons préci- 
sément l'inégalité (12), de sorte que cette méthode fournit le 
même résultat que la méthode de Piltz. Mais elle peut fournir 
encore un meilleur résultat. Nous avons employé pour la somma- 
tion (15) l'approximation triviale (16). Il se pose maintenant 
la question suivante: est-il possible de remplacer cette appro- 
ximation triviale par une meilleure? A cette question il a été 
répondu affirmativement, tant par M. Vinogradoff que par 
moi. Je suppose que M. Vinogradofî a développé une propre 
méthode, tandis que moi j'ai appliqué la méthode de Weyl S 
entre autres dans le cas où / (m) satisfait non seulement à la 
condition C, mais encore à la condition suivante: 

/(m) est dans l'intervalle a^u<b k -\- 1 fois dérivable 
(A; ^2); on a 

-+^ 

\f"'{u)\ ^ \f"(u)f (17) 



D 



(vy > 0), et dans l'intervalle a<u<b chaque produit 

/^(^+2)(«)./•(^+'>('^) ... /■(''^-i+->(«) (18) ' 

où les A,, h^, ..., hk—\ désignent des nombres non- 
négatifs dont la somme égale k — 1, est en valeur ab- 
solue au plus égal à \f"{u)]^ ~ . 

Les conditions C et D étant remplies, on peut trouver pour la 
somme (15), donc aussi pour la somme (14) une meilleure approxi- 
mation. Dans ce cas on peut remplacer la proposition énoncée 



1 Weyl. Cntt. Aac/îr. (1914). p. 234-244; Math. Ann., 11 (191G). p. 313-352 et Math. Zs., 

10 (1921). p. SS-lOl. 



POINTS A COORDONNEE S^ENTIERES 27 

par la proposition suivante: Les conditions B, C et D étant 

vérifiées, il existe un nombre y dépendant au plus de k et un 
nombre positif w dépendant au plus de A; et de r? avec la pro- 
priété 

/ * 

n entier ( 19) 



< il h /■"(") I' "^"' du + ^ -f _i ) 



1 

L'exposant j est donc remplacé par un nombre plus grand. 

Avec cette inégalité on peut améliorer tous les résultats en 
question obtenus jusqu'ici contenant le symbole O de Landau. 

On trouve par exemple qu'il existe une constante < -q- telle 

que dans le problème des diviseurs l'ordre de l'erreur ne sur- 
passe pas celui de x®; j'ai montré qu'on peut prendre même 

33 

< TT^. Donc dans le problème des diviseurs l'exposant du 
terme représentant l'ordre de l'erreur est compris entre t 6t ^^ ; 

donc ^^a, <-^. 

Comme exemple je prouverai que dans le problème du cercle 

1 
l'exposant analogue est inférieur à j. Comme nous l'avons déjà 

fait remarquer, il suffit de démontrer 

2 -iCV/r^^) = 0(.r®) , 

« entier 

désignant une constante < 3-- Nous appliquerons notre pro- 
position, en posant a=l,6 = \/^x, /(") = ^^ — ^'- Nous 
devons supposer :r > 8, donc a -}- i ^b ; de cette manière la 
condition C est remplie. En choisissant x assez grand, la condi- 
tion D est remplie pour A; = 4, yj = — . En effet, dans l'inter- 
valle i£u<K/^x, l'ordre de f"{u), f"{ii), /'^(m), P {u) est 



28 /. G. VAX DER COHPUT 

Il 1 1 

ésral respectivement à celui de , —, , — . Dans (17) 

l'ordre du premier membre est donc — et celui du second membre 



de sorte que, x étant choisi suffisamment grand, le premier 

membre est plus petit que le second. L'ordre du produit (18) 

est 

1 _\_ 

2^''l+l)+|(''î+l)+5(''«+l) ^^ 

à cause de h^ — h^~ h^=^ 3, de sorte que, x étant choisi suffi- 
samment grand, la valeur absolue de ce produit est plus petite 

6 , 1 

que ' /"(zO ) ^ 1 dont Tordre est égal à 



1 35 



Les conditions sont ainsi remplies; l'inégalité (19) a donc lieu, 
et il s'ensuit 

n entier 

= o( J-K3+") + ,î) = o(J-^^" + /') . 

Dans le problème du cercle l'ordre de l'erreur ne surpasse pas celui 
de .r®. désignant le plus grand des deux nombres -^ — y &> 

et i (donc <-^). 



Nous sommes arrivés au terme de notre exposé. Le choix 
entre les différentes méthodes dont nous venons de parler dépend 
dans chaque cas particulier du problème posé et du degré 



POINTS A COORDONNEES ENTIERES 29 

d'exactitude demandé. Si une première approximation est 
suffisante, on peut se contenter de la méthode de Gauss ou de 
celle de Dirichlet. Pour les approximations contenant Q. et 
aussi dans les problèmes concernant des domaines à k dimensions, 
l'emploi des variables complexes est préférable; jusqu'ici en 
effet dans les questions de cette nature la méthode de Pfeiffer 
n'est appliquée qu'à des cas particuliers, et les autres pas du 
tout. La méthode de Van der Corput et de Vinogradoff n'est 
encore qu'à son stade initial et elle sera en tout cas encore 
applicable à beaucoup d'autres problèmes. Je suis persuadé 
qu'elle est encore susceptible d'amélioration. J'ai en effet l'im- 
pression que la méthode de Weyl, appHquée à la somme (15), 
ne donne pas la dernière approximation possible, qu'au con- 
traire, la valeur absolue de (15) est beaucoup plus petite que 
la borne trouvée avec la méthode de Weyl. Et chaque améliora- 
tion de l'approximation de cette somme donne une amélio- 
ration du résultat final. 

D'après une communication qu'il a faite par écrit, M. Vino- 
gradoff a démontré que dans le problème des diviseurs la 
limite inférieure de l'exposant dans le terme de l'erreur est 

^ TV et il n'est pas impossible que sous peu il sera démontré 

1 

que cette limite inférieure est égale à—. 



APPLICATION DES MÉTHODES DE H. GRASSMANN 
A LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 

PAR 

P.-C. Delens (Le Havre). 



Si H. Grassmann a pensé établir, dans son « Ausdehnungs- 
lehre » un instrument de calcul géométrique d'une portée uni- 
verselle, les éditeurs mêmes de ses œuvres n'ont pas manqué 
de rappeler à ses disciples qu'un tel espoir leur semblait vain : 
le rêve de Leibnitz, le commencement de réalisation qu'il reçut 
de Grassmann, seraient trop ambitieux et il faudrait se contenter 
d'algorithmes spéciaux, propres à traduire les opérations à 
l'intérieur de certains groupes ! Si juste que puisse être cette 
réserve, nous craignons qu'elle n'ait contribué à faire apparaître 
le calcul géométrique comme un ensemble de recettes particu- 
lières bien isolées les unes des autres, et par suite sans grande 
généralité. 

En fait, dans beaucoup des applications qu'on a publiées, la 
méthode de Grassmann a manqué de souplesse : puissante pour 
les grandes constructions théoriques, elle n'a pas toujours 
atteint le but que lui assignait Leibnitz « donner en même temps 
la solution et la construction et la démonstration géométrique, 
le tout d'une manière naturelle et par une analyse — c'est-à- 
dire par des voies déterminées ». Mais nous croyons encore 
possible, suivant le plan de Grassmann, d'aérer quelque peu 
l'édifice en abattant quelques-unes des cloisons étanches qui 
en séparent les diverses parties. 

Le travail que nous publions ici a pour objet la géométrie 
métrique du plan : nous y reprenons le produit intérieur avec 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 31 

l'extension que lui avait donnée Grassmann dans un essai fort 
discuté et peu compris, et y adjoignons ce produit complexe 
également signalé par l'auteur de r« Ausdehnungslehre », sans 
qu'il en ait fait d'applications. Ces deux produits étant déduits 
et rapprochés naturellement du produit algébrique comme du 
produit combinatoire ou extérieur, l'algèbre de la géométrie 
métrique est bien contenue dans celle de la géométrie projective. 
Nous pensons établir, en outre — et malgré que la brièveté de 
cet exposé le rende incomplet — qu'il est désormais possible de 
décrire et de noter simplement les constructions de la géométrie 
élémentaire, y compris celles de cette géométrie du plan complexe 
qui s'apparente si étroitement à la théorie des fonctions et de 
former, en somme, pour chaque configuration, l'identité algé- 
brique qui la traduit. 

Dans toute étude de ce genre se pose encore la question de 
notations : quoique nous efforçant à des notations complètes 
et uniformes, nous ne croyons guère possible de ne pas user 
d'abréviations et d'enlever au lecteur le bénéfice de toute 
attention; le contexte sufiîra sans doute à lever toute incerti- 
tude. En outre, quand aucune confusion ne sera à craindre, 
nous supprimerons souvent les symboles opératoires. 

Chapitre Premier, 
Géométrie projective du domaine binaire. 

Entre deux éléments a et 6 d'un tel domaine, Grassmann a 
défini les produits suivants : 

algéhrique ah =z Ixi 

extérieur [ah] ^ — [/^fl] 

que nous écrirons encore : aè = — ba et aussi : a.b = — b.a. 
Tandis que le produit extérieur de deux éléments dépend de 

"'" ~ — ' = 1 unité, c'est-à-dire est scalaire, le produit algébrique 

2(2 + 1) 

dépend de 7^ — = 3 unités. Un tel produit, ou forme géomé- 
trique quadratique, appartient donc à un nouveau système 



32 P -C. DELEN S 

linéaire, dans lequel on peut définir de nouveaux produits. 
Nous nous intéresserons à quelques-uns d'entre eux en indiquant 
leur construction à partir des éléments initiaux du domaine 
binaire. 

On peut, en particulier, prendre comme unités du 2°^^ ordre 
trois carrés algébriques, soit a-, 6", c-, et se contenter de définir 
les opérations sur de tels carrés. Entre les éléments du 2™^ ordre 
nous envisagerons les produits : 

polaire^ a^ ){ />- = h^ Il a- = [«/>]' 

jacobien a- . b- =z — b^ . a- = [ab]ab 

qui, étendus à des formes plus générales : 

f^ = Za' g^'^ = Zb' 

s'écrivent symboliquement : 

Le premier nous ramène aux scalaires; le nom que nous lui 
donnons se justifie par le fait que quand l'invariant \jgf est 
nul, les deux formes /(-' et g^'^) gont dites apolaires. 

Le second n'est qu'une fonction linéaire d'un produit exté- 
rieur dans le système des éléments du 2°^^ ordre. Comme [/g] 
symbolise un scalaire, on voit que ce produit est de nouveau 
une forme quadratique, à savoir la jacobienne des formes /'^^ 
et g('2). 

Si nous ajoutons que toute forme quadratique peut se ramener 
à un produit algébrique de deux éléments, distincts ou confondus, 
ses deux points-racines, on voit que l'équation caractérisant 
ces racines n'est autre que : 

ah ){ x^ = [ax][bx] = . 



1 Les nécessités d'impression ont substitué au symbole choisi pour le produit polaire : 
deux parenthèsos entrecroisées — souvent employées dans un sens analogue dans la théorie 
des formes — celui du texte, où les parenthèses sont juxtaposées, (yote de l'auteur.) 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 33 

Enfin, notons que trois carrés algébriques donnent lieu au 
produit : 

jacohien {a-, h- |i c- z=z [a/y] [rtc] [/>t] =z — [a/v] [6c] [ca] 

que nous écrirons encore : 

[a-, h-. C-] ou a^ . h^ . c^ 

qui n'est autre qu'un produit extérieur entre éléments du 2™^ 
ordre, et est de nouveau un scalaire. Il s'ensuit immédiatement 
la définition du produit plus général : 

Rappelons encore que la 1^^ polaire d'un élément du l^'" ordre 
m par rapport à une forme quadratique est obtenue par : 

/■^-^ )( m = Z'^^^- m =z 2[rtw]r/ 

et a par suite, pour équation : 

f^^^ l( mx = [(/'-^ w)x] = i:[rtm][rtx] = . 

Les opérations que nous venons d'énoncer sont familières à 
te us ceux qui connaissent la théorie des formes algébriques, 
quel que soit le procédé par lequel on les expose \ Notre but 
n'est pas de reprendre toute cette théorie en nous contentant 
de changer quelques notatiors; nous devons cependant pour 
plus de clarté, envisager rapidement le système des produits 
et formes algébriques d'ordre n. 

On obtient une telle forme comme produit algébrique de n 
éléments du 1®^ ordre, ou points, ou comme somme de tels pro- 
duits; une forme d'ordre n peut aussi se ramener à la somme de 
w + 1 puissances algébriques ^i"'^% linéairement indépendantes, 
et qu'on peut choisir comme unités du système linéaire. Nous 
poserons encore : 

/■<") = i]a" 

pour la forme d'équation : 

f"> )( x" = i:[rt.rj" = 



' Cf. par exemple J. H. Grâce and A. Volno. The Algebra of Invariants. 
L'Enseignempnt niathém., 23* année; 1923. 



34 P.-C.DELENS 

et définirons le produit : 

jacohien généralisé f^^V g^^K h^"^ ... = "^a". h", c" ... 

avec : 

a", h" = [ah]a"-H"-^ = 2[a//]a'-"-2 
a", h", c" = 2:[a^][a'c]2a'2"-*c"-2 , etc. 

produits qui représentent successivement des formes d'ordres : 

2(« — Il 3{n — 2) ... etc. 

de sorte que le produit jacobien de }i-{-i formes d'ordre n est 
une forme d'ordre {n-\-\) {n — /i) = 0, c'est-à-dire est scalaire. 
A partir d'une forme d'ordre n, f-"\ et d'un point m on définit 
les différentes polaires du point, à savoi. 

l^e polaire /*"> ){ m = f^"\ m = I.[am]a"-^ 

/jme polaire f*"' M m^ = p"^P n.P = 'E.[am]P a"-P p < n 

c'est-à-dire la forme d'ordre ?i — p qui a pour équation 

/•<") )i mPx'—P = I.lamf [a.rf-P = 
invariant polaire f^"^ ){ m" = f^"^? m" = i:[rtw]" 

Sui ce type est basée l'opération plus générale de transvection 
entre deux formes d'ordres n et n\ /^") et g<"'', dont ie /?™^ 
tiansvectant a pour expression 

f^{n+u'-ip) _ ^(n)p ^{,i') _ ^^abya""Pb"'-P 

et pour équation : 

^,„+„'_â^) , ^n+n'-'^p _ s;^[ah]P{axf-P[b.xf-P = . 

Nous n'envisagerons pas ici les autres opérations inv^ariantes 
possibles; on peut du reste ^es construire toutes comme les pié- 
cédentes au moyen de produits entre les formes lacunaires de 
Grassmann. Dans celles que nous avons considérées, avec quelque 
apparence de diversité dans les symboles, notons que nous avons 
employé le signe p entie deux produits algébriques pour exprimer 
que p éléments du l^"" ordre du premier produit formaient avec 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 35 

p éléments analogues du second une combinaison scalaire sur 
le modèle du produit polaire, tandis que nous avons réservé 
le symbole )( de ce produit pour le cas où tous les éléments d'une 
des formes au moins entraient dans un tel produit. 

En dehors des méthod^^s de Grassmann, Hamilton, ou de 
leurs disciples, la théorie des formes n'a guère considéré les 
opérateurs linéaires . homographies ou réciprocités, symboles 
de transformations quadratiques, etc. Il ne nous semble pas 
nécessaire de les traiter dans cette introduction. 



Chapitre II. 

Géométrie métrique des vecteurs du plan : 
produits de deux vecteurs. 

Ce sont les points de la droite de l'infmi du plan qu'on repré- 
sente par les vecteurs. Les opérations de la géométrie métrique 
peuvent se définir à partir des seuls vecteurs réels, mais il est 
plus direct d'introduire dès le début des éléments imaginaires, 
à savoir les vecteurs isotropes (points cycliques) du plan. 

Tandis que nous représenterons par w et f deux vecteurs 
égaux (que nous dirons unitaires) et rectangulaires, les vecteurs 
isotropes seront désignés pai : 

yj = « + tv /o = M — l^' (t = V— 1) 

Le produit intérieur de deux vecteurs a, b est dès lors défini 
par le produit polaire suivant ^ : 

Comme : 

y'iA = "" + ^^ 



il peut aussi s'écrire, comme l'on sait : 

rt X '' =: ah )l u- -\- v-) = [au][hit] -f- [«>][/'»'] 



' Cf. R. Mhhmke. Vorlesungen iiber Pitnkt itnd Vektorenrechnung, I, 1, p. 289. 



36 P.-C . DE LE NS 

Ses propriétés sont bien connues; nous rappellerons cependant 
qu'en conséquence de la définition, on a : 

2 î 

X = /X = 

• 1 -2 

et qu'un tel produit étant scalaire, on pose souvent, pour sim- 
plifier les calculs : 

«X=..X= 1 = i(y; X/J (3) 

l'homogénéité rompue pouvant ensuite être rétablie au moyen 
de la même égalité (ce qui levient à calculer avec 



,<x 

Tandis que le produit algébrique de deux vecteurs ne s'an- 
nule qu'avec l'un de ses facteurs, il n'en est plus de même pour 
le produit intérieur. Il sera aussi toujours possible de résoudie 
une équation intérieure : 

+ xX = a X I) 

Supposons, par exemple, axb positif; l'équation peut s'écrire: 

•■^^ )(./i,/2 = «^ Il Jih 
et la division par jj.^ est possible et donne : 

1, et 1.2 étant deux païamètres indéterminés; ou encore: 

X- = ah (modules /' , /^i 

> '15 

c'est-à-dire qu'on est ramené à une équivalence algébrique] 
nous utiliserons à plusieurs reprises ce mode de solution; si on 
veut poursuivre jusqu'au bout, il faut écrire : 

x^ )( = {ab + XjI + \jl H = 
équation scalaire de condition entre >, et h. 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 37 

Ce produit intérieur de deux vecteurs aurait aussi pu être 
défini par : 

a y< h = ah II p-r— ^ 

et pour plus de deux vecteurs on pourrait ainsi envisager diverses 
extensions du produit intérieur : mais aucune n'a semblé jus- 
qu'ici s'imposer avec quelque utilité. 

Arrivons à ce que Grassmann a appelé produit complexe de 
deux vecteurs, défini du reste seulement par des lois formelles. 
Non sans quelque hésitation, à cause des nombreuses acceptions 
du mot complexe, nous proposerons de substituer au terme usité 
par Grassmann celui de produit cyclique. 

Entre deux vecteurs, nous définirons ce produit par l'ex- 
pression : 

a^h = j-^, (iah M ,1^,1 - {ah )i j\)f^ (4) 



qui peut encore s'écrire 
En effet, l'on a : 



a - b = p— -.«/^ . j,h • (5) 



•'1 J* 

J1J2 = 



et : 

«*• ^jI-A) =|((«V)(y:'./:-(«^)(y:)y:) • 

Pour développer a ^ b sous la forme (5), il est commode 
d'empJoyei la relation identique entre les quatre formes a/,, 
«/s, bj^, bj^ : 

K]^./2 — [«ysl'v, = U'.ii]''j2 — U'J2]"Ji ■ (6> 

On voit aussitôt que : 

y. -j2 = ^ 

et que le produit cyclique de deux vecteurs est une nouvelle 
forme quadratique, mais dépendant seulement de deux unités, 
par exemple j^ et /^ ; cette forme est en effet toujours apo- 



38 P.-C. DELENS 

laire (conjuguée) d'une part à /,/2, d'autre part à la forme pri- 
mitive, en vertu de: 

«'■* ■ hh ■ il h = ^ 

al) . j^j^ .ail := , 

Le produit cyclique de deux vecteurs représente donc le 
système des bissectrices du produit algébrique, avec un coeffi- 
cient approprié. Nous dirons encore que a _ 6 est V orientante 
de ab. 

On a évidemment : 



u^ := - — -u'^ . (u^ -\- v-) =. luv 



donc : 



u^ -f- i— = ainsi que : (7) 

U -^ V = I,' ^ u 



soit les règles énoncées par Grassmann. 

Remarquons encore qu'à V exception du produit ji^j^., le pro- 
duit cyclique ne s'annule qu'avec l'un de ses facteurs, et aussi 
qu'on peut toujouis satisfaire à l'équation : 

.7 — ' zz= a ^ l) ou : (8) 

•^' • A 72 = «^ • Ji.i2 • 

La division par /, j^ est en effet possible et donne : 

x^ =: ah -\- À/i/j 

OU : 

x^ = ah (module /jy,) 

ce qui montre qu'à une équation cyclique (entre produits 
cycliques), on peut faire correspondre une équivalence ou con- 
gruence suivant le module /1/2. 

Quant au facteur indéterminé Ji, sa valeur résulte de : 

x' )( = {ah + )./,/, i( = . 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 39 

Enfin, une équation cyclique, telle que (8.), peut aussi être 
remplacée par le système de deux équations scalaires : 

( x' )( j\ = ah ){ jI 

(9) 

( xM(,/:= ah){jl 

c'est-à-dire par un système d'équations écrites en coordonnées 
symétriques. 

Nous allons maintenant établir diverses formules de réduction 
entre produits cycliques de deux vecteurs, montrant aussi 
leur lien avec le produit intéiieur. 

Ainsi le produit polaire de deux orientantes a pour expression: 



a ~ h )( c -^ d = jjjjjalj . jj^_ )( cd . jj^) 



se développant en : 



2 



ab )( cd jj^ )( cd 

«^ )(JJ2 .il. h )ijl.J2 



Ihhf 

donc : 

a ^ b ){ c ^ d = — ai ]{ cd + -{a X b){c X d) . (10) 

En particulier, l'équation : a^b){c^d=0 exprime en 
général que les bissectrices des couples ab et cd se bissectent 
mutuellement. 

Une autre expression à considérer est : 

2 

a ^ b )[ cd = . .. ab . j^j^ . cd = — ab )\ c ^ d . 
\..h]i\ 

Une telle expression, fonction linéaire de a_6 comme de c^rf, 
est un produit particulier entre ces orientantes; c'est ce que 
nous allons retrouver ci-après. Remarquons d'abord que l'ex- 
pression s'écrit aussi : 

2 ^ 

\ab . cd ){ y,/, = — i(ab . cd) 



UJ2] 

c'est-à-dire qu'elle représente à un facteur près l'invariant 



40 P.-C. DELENS 

intérieur du jacobien de ab et cd. Donc l'équation 



(ah . cd)^ = 



signifie que les couples ab et cd ont mêmes bissectrices. 

Or le jacobien de a._ 6 et c^d représente évidemment jj^ 
affecté d'un certain coefficient : si celui-ci était nul, ab et cd 
auraient encore mêmes bissectrices, d'où : 



a -^ h . c ~ d z= \\ah . cd) j^j^ 



On détermine le coefficient \ en considérant en particulier 



,x 



ce qui donne : 



>. = -i, 



d'où la formule: 



1 ^ 

a ^ h . c ^ d = — — (ah . cdj^jj^ (11) 

et par suite aussi, en substituant le produit intéiieur au pro- 
duit algébrique : 

(a ^ b . c ^ d}^ = — \ah . cd)'^ (12) 

[ac]h X d -\- [bd'ja X c 

~ 2 

donc : 

a ^ h )( cd = — ah i( c ^ d =z i(a ^ b . c -^ dï^ (13) 

ce qui est bien, comme nous l'avons annoncé, une fonction 
linéaire d'un produit entre a ^ b et c ^ d, donc un nouveau pro- 
duit entre ces formes 

Remarque — Nous avons, dans ce qui précède, employé 
autant que possible des symboles d'opération; on est parfois 
amené à leur substituer des symboles fonctionnels Ainsi, piendre 
l'oiientante de ab peut être représenté par : 

a ^ b — Oo(ah 
de sorte que l'orientante de cette nouvelle forme serait : 

Oja ^ b = e^\0^(ah = e'-^iab . 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 41 

On vérifie du reste que Ton a : 
donc: 



ce que l'on peut roter . 



^2 ^2 



et permet évidemment le calcul des puissances suivantes de 
l'opération O^. 

Chapitre III. 
Extension du produit cyclique au cas de n vecteurs. 

Nou? définirons comme produit cyclique de n vecteurs a, b, c. .1 
l'expression : 

iyiy2l 
où on a posé : 

/(") = ahc ... l . 

Cette forme, ou orientante de la forme initiale, est, elle aussi, 
algébrique et de degré «, mais ne dépend que de deux unités, 
par exemple /'" et /i' ; elle est en effet apolaire à tout produit : 

jPf^-P {p = l, 2..., n- 11 

et l'est aussi à la forme initiale f"\ On peut encore l'écrire 
sous forme d'un jacobien généralisé : 

f^t^ ^ e,/") . ,/;'-',,; . jI-'jI ... . ix-' (2) 

le coefficient 9n pouvant se déterminer par le calcul de /p-, par 
exemple, ce qui donne : 

C C» ... C"-' 

/. n «_ ,3. 

le numérateur étant le produit des coefficients du binôme. 



42 P.-C. DE LE N S 

Comme pour le produit cyclique de deux vccteuis, on peut 
toujours résoudre l'équation binômf : 

X- = f~- (4) 

soit en la ramenant à l'équivalence : 

x" = /(") + \j'r'j, ... + K-d^fT' 

que nous écrirons de manière abrégée : 

x" = /•(") (module j,j,] (5) 

puis déterminant les coefficients X par la condition que le premier 
membre soit une puissance n"^^ parfaite ; soit encore en la rem- 
plaçant par le système d'équations simultanées : 

( x" ), r; = /■(") )( y- 

( x" )( j- = /•(") )( ;■;' 

Il résulte des considérations précédentes que les formes : 

fi") et f(^)^ljj,_g(n-^) 

sont équivalentes pour le produit cyclique, quelle que soit la 
forme g^"-^) et aussi que les n solutions de l'équation binôme 
forment le faisceau régulier de n vecteurs que représente l'orien- 
tante f^, faisceau apolaire au couple isotrope jj^. 

On voit encore que les seuls produits cycliques qui sont nuls 
sans qu'un de leurs facteurs du premier ordre s'annule sont ceux 
qui admettent comme facteur (du second ordre) /j - /V C'est 
Laguerre qui a introduit la notion à'' orientation (relative à un 
axe de repère u) d'un faisceau de directions; G. Humbert a 
désigné sous ce nom, pour la forme abc.l le coefficient : 

abc ... l )( /■" r i:^ ... L 

ahc ... / )( y" 



en cooi données symétriques : 



? = ? - cri 



GEOMETRIE METRIQUE DU PLAN 43 

Nous pouvons sans inconvénient modifier la définition de 
Hurabert en négligeant le facteur ( — 1)", de sorte que l'oiienta- 
tion sera définie par : 

w = — (7) 

qui est le coefficient essentiel d'une orientante, d'équation : 

(;7 - .0.,;; )( ." = . 

Les propriétés des orientations résulteront donc immédiate- 
ment de celles des orientantes, c'est-à-dire du produit cyclique. 
Il est évident que celui-ci est commutatif, mais il nous reste à 
montrer ce qu'on pourra considérer comme la propriété asso- 
ciative du produit, bien que cette propriété soit toute autre que 
celle qu'on considère dans les systèmes numériques complexes; 
le même cas se présente déjà, du r^ste, pour le produit extérieur 
de Grassmann. 

Nous allons établir que si une forme /^"^ est le produit algé- 
brique de formes d'ordre moindre, telles que g^p\ l'orientante 
/'- est un produit des orientantes g^~^ , et pour le produit ainsi 
défini nous conserverons le signe ^ du produit cyclique. 

Nous remarquerons d'abord que si deux foi mes orientantes : 

a^P^ = a jP — ai jP 
a'iP) = a jP + a jP 

diffèrent par le signe du coefficient de /f, c'est-à-dire ont des 
orientations opposées, la seconde est fonction linéaire de la 
première — et inversement — le symbole de cette fonction ne 
dépendant pas de la forme considérée. 
En effet : 

donc : 

a'^p^ = 77^(<«^^' )'yf)yf - (- l)^«'^^ )t yfi/0 = cl.(«(^' . (8) 
[yiy2r 



P.-C. DE LE N s 

Supposons maintenant, : 

fin) ^ Jp)f^(ç) ip + (, = „) 

[il 127 h' ^ = ItJr — Tj/f 



ave:; 



donc 



?2 = T2^2 



Le second membre est de la forme : 

A,B, -A^B^ = 1[(A, -A,)(B, + B^) + (B^ - B^^A, + A^i] 

donc : 

/- = jy^^ ClçlA- + h- Cl^U'- j = ^- ^ /î- (9) 

et comme on a vu en même temps : 

?2 _ T2 ^ 

?i Ti ■ ^, 

l'orientation de /("> est aussi le produit des orientations de 
g(^) et M'^l 

Remarque. — L'opération linéaire cl;, précédemment em- 
ployée sur une orientante est reliée simplement à l'opération 
Op qui donne l'orientante d'une forme d'ordre p. On a, en effet, 
quelle que soit la parité de p : 

e = tV 
p p 

mais si p est pair, on a plus simplement : 



GEOMETRIE METRIQUE DU PLAN 45 



Chapitre IV. 

Les similitudes vectorielles ^ du plan et leur produit fonctionnel. 
Isomorphisme de ce produit et du produit cyclique des vecteurs. 

On désigne sous le nom de similitudes vectorielles les homo- 
graphies du plan qui, appliquées à un vecteur, le font tourner 
d'un angle défini et altèrent en outre sa longueur dans un rap- 
port déterminé. Comme il est bien connu, ces similitudes ont 
fourni la première représentation géométrique des nombres 

complexes. Nous noterons ici par )— l'opérateur qui, appliqué à 

«, le transforme en b par une opération de la nature indiquée, 
donc : 

BCio = )-{a = h . (1) 

a 

Si on définit en particulier l'opération identique 'U (qu'on se 
contente en général d'écrire 1), et le verseur droit J, toute autre 
similitude <?t! peut s'écrire sous la forme : 

cfC = xat + [xJ (2) 

c'est-à-dire que : 

quel que soit a. 

Nous rappelons encore que le produit fonctionnel ou séquence 
de deux opérateurs ciC et c'i" est défini par : 

cfCi^Cla (3) 

de sorte que nous utiliserons pour lui le même symbole (c'est-à- 
dire la demi-parenthèse que nous employons aussi pour séparer 
l'opérateur de l'objet). 

Les similitudes du plan formant un système linéaire à deux 



* (;f. C. Blhali-Forti et R. Makcolo.nco. Analyse vectorielle générale, I. Transformations 
linéaires, p. 47. 



46 P.-C. DELENS 

unités: 'U, j, on sait qu'elles satisfont à l'équation fondamen- 
tale de Hamilton-Cayley : 

^^' — 2acJK: + [> = (4) 

OU : 
Les coefficients « et /S de cette équation étant donnés par ^ : 

( 2a[«/.] = 2[cU"-U][fl/>] = [c/t'a . A] + [« . df^6] 

(5) 

Le produit fonctionnel des opérateurs étant associatif, on peut 
déduire toutes ses propriétés de l'équation de Hamilton-Cayley 
relative à J, à savoir : 

J^' + at^' = • (rt) 

à laquelle il convient de joindre : 

JCU = '■ll|J(= J) . (6) 

Soit u un vecteur unitaire, v un vecteur unitaire perpendicu- 
laire. Avec la notation indiquée, on a : 

IL = )— J = )— 

a u 

donc : 

+ (';7) =0 

(7) 



V a \ Il u\ 



u \ u 



équations qu'on peut rapprocher de celles qui sont à la base du 
produit cyclique des vecteurs: 

"^ + ^- = ^ ,8) 

et qui montrent l'isomorphisme des deux produits soumis aux 
mêmes lois formelles. Mais cet isomorphisme est ici très intime, 



* Cf. R. Mkiimkb. Vorlesungen liber Piinkt und Vektorenrechnitng, I, 1, p. 320. 



GEOMETRIE METRIQUE DU PLAN 47 

en ce sens que les produits précédents peuvent en somme y se 
substituer Vun à Vautre en toute proportion ». 

Nous commencerons cependant par montrer que l'orientante 
d'une forme est bien définie indépendamment de toute direc- 
tion de repère, malgré qu'il y figure les vecteurs isotropes /, et 
i-i définis à partir de u et v. 

Soit en effet: 

u' ■=z cosou -\- sinçi» 

k»' = — siu ÇM + cos ov . 

Posons: 

i[ = u' + t/ /^ = u' — iv' . 

On voit que: 

On savait bien que l'ombilicale était indépendante de toute 
rotation des axes, c'est-à-dire: 

hh = Ji h ■ 

On voit en outre qu'on a aussi: 

-^X^f"" n rX - if"" n /;)/:) 
[Jlh] 

c'est-à-dire que les produits cycliques sont bien définis de façon 
absolue. 

Soit maintenant une forme: 

/•(") = ahc ... l 

évidemment indifférente à l'effet de l'opération identique 'U sur 
un de ses facteurs; il en sera de même de son orientante. 

Agissons ensuite avec le verseur droit J sur un des facteurs de 
f"\ a par exemple, et voyons l'effet produit sur l'orientante. Il 
est évidemment permis de supposer a unitaire, et par suite de 
supposer a identique au vecteur u à partir duquel nous avons 
construit la forme orientante. 



48 P.-C. DE LE N S 

Alors: 
et après la rotation: 

[Ja . yj = [Jrt . fl] [J« . /,] = \3a . a] 

[Ja . j^] = - '.[fl/j] [Ja .y\] = i[«yj • 

Par suite, si: 

a ^ h ^ c ... ^ l — çj-;' - oj'^ (9| 

J« ^ /> ^ c ... ^ / := - iioj; + ^J\ . (10) 

Quel que soit le facteur de /(") sur lequel on aurait opéré, on 
serait arrivé au même résultat, ce qui montre que l'opération 
J est permutable avec les facteurs du produit cyclique; comme 
cela a lieu aussi pour la multiplication par un nombre et l'opé- 
ration 'U, cela est général pour toute similitude ci'C, et on pourra 
écrire : 

Bt.a ^ b ^ ... ^ 1 = cX(f _ /> ^ f ... _ / = ... = a ^ h ... _ BCl (11) 

En particulier si: 

on aura: 

BC (x" = (ae^" x] = c/c' " a ^ ne'' h ... ^ :i&' l 

c'est-à-dire que l'effet de l'opération BC sur une orientante peut 
être réparti uniformément sur tous les facteurs de celle-ci, et 

(l 
ceci quelle que soit la détermination prise pour JC^" ; autrement 

dit, faire subir la rotation © à un facteur d'un produit f"^ revient 
à faire tourner l'orientante de cette forme de l'ansle — . 

n 

De même, si des similitudes c>C, JC, ... etc. ont opéré sur divers 
émélents de /<">, le résultat réalisé sur l'orientante pourra sim- 
plement s'écrire: 

Soit maintenant une équation cyclique: 

a ^ h .^ ... ^ I = o'^ 1/ ... ^ l' . 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 49 

Dans ce système, la division par a est possible ^ au second 
membre, donc au premier, et donne: 

) = b' ^ ... ^ l' 

a 

qu'on peut encore écrire: 

)—,tb^c...^l= b^ c ... ^ l . 
a 

Et comme on peut du reste faire apparaître au second membre 
un facteur quelconque u, en écrivant par exemple: 



oi pourra en général diviser les deux membres d'une équation 
cyclique par tel facteur qu'on voudra, en susbtituant ainsi à 
chaque fois une similitude à un vecteur; de même qu'on pourra 
s'arrêter après un certain nombre de ces opérations, ayant ainsi 
ramené l'équation: 

a ^ b ... ^ l = a' ^ b' ... ^ U 

à une forme: 

p ^ q ^ r = p' ^ ({' ^ r' 

par exemple. 

On pourra également faire les opérations inverses en multi- 
pliant par des vecteurs. Il n'y a donc qu'une différence àHnter- 
prétation entre les équations entre orientantes et celles entre 
similitudes; on voit en outre que de nombreuses opérations 
intermédiaires sont possibles, qui donnent facilement autant 
d'énoncés géométriques. 

Remarquons encore que l'orientante d'un vecteur est ce 
vecteur lui-même et qu'on peut pousser les divisions par des 
vecteurs dans le système du produit cyclique au delà des simili- 
tudes et envisager des opérateurs tels que: 



a ^ b ^ ... ^ l 



^ J'ai df'jà employé cette méthode dans un cas particulier. Enseignement mathématique, 
XXII, 3. 

L'Enseigneni(!nt inathéin., 23» année ; iy23. 4 



50 P.-C. DELENS 

qui, agissant sur un produit de ^i + 1 facteurs, redonnent un 

vecteur, soit: 

1 



a _ h ... _ l 



(a' ^ 1/ ... w /'-^ m' z= m 



Nous verrons un peu plus tard comment on peut transformer 
ces opérateurs. 

Remarque. Nous avons, chemin faisant, remarqué que l'opé- 
ration J, appliquée à une orientante: 

Il n 

la transformait en: 

-^'vr + v^i • 

Ceci donne un sens plus précis aux opérations Cl„ précédem- 
ment employées: 

CX„ = -.J (12) 

et montre que l'opération CX„ est indépendante de son indice n. 
En outre, la formule fondamentale (9) ch. III, devient: 



,,(") '■ ( (p) .,,(?) , Al) ^ (p)\ (P) 



{1S\ 



Chapitre V 

Nouveaux développements sur les similitudes. Anti-similitudes 

et affinités. 

On sait qu'à une similitude: 
on peut adjoindre la similitude conjuguée : 

Kc<c = 7rc = xai — aj 

qui a même équation fondamentale que c'C, comme cela résulte 
de l'égalité des invariants : 

( 3C = JC := A- ■+- \i- (norme de JLi 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 51 

invariants qui sont aussi donnés par: 

( XiHC = HCi^iC = r- + a^ 

si on accepte de représenter par 1 l'opération identique. 
Supposons maintenant : 

2 

cfC = )~ JC = )~r 

a i h 



donc 



i.x 

^e" = — . (1) 



aX 

Puis, comme : 

h = ne a = Àa + (jiJo 

2 

On trouve d'autre part: 

X = ruac] ^ )ii + -^ ,^ = . ^^'^ + ^""-^ ^ ^^lA ,2) 

ce qui donne la relation identique entre les trois orientantes 

2 2 2 2 

a^ir — 2 [a X h) a ^ b + b^ a^ = (3) 

qui n'est qu'une autre forme de la relation fondamentale à 
laquelle satisfait ^C: 

s » 

b"^ ^ a X b b b^ ^ 

2 2 a 2 ' 

a"" flX a^ 

A côté des similitudes, qui transforment une figure en une 
autre directement semblable, nous allons étudier les anti-simi- 
litudes (comprenant les anti-rotations), transformant une figure 
en une autre inversement semblable. 



52 P.-C. DEI.ENS 

Il est pour cela commode d'introduire la notion de vecteur 
inverse d'un vecteur donné, que nous définirons et représen- 
terons ici par: 



^x 



et inversement: 



La similitude conjuguée de: 



-X 



cfC = )- 



sera alors: 

a 



3t = )-_ 
b 



Supposons maintenant que des vecteurs a, x soient transfor- 
més par une anti-similitude ^ en vecteurs è, y. On doit avoir: 



donc: 



r „ X a 

)j- = K)- = )- 
h a -y. 



(S? b ^ a 



et le numérateur pourrait du reste s'abréger en e^. Il serait facile 
de montrer que la séquence de deux anti-similitudes est une 
similitude, comme de calculer les invariants de ces opérateurs. 
Mais nous n'avons là que des cas particuliers des homographies 
vectorielles du plan, ou affinités. 

Nous allons montrer que, réciproquement, toute affinité 
plane peut-être décomposée en la somme d'une similitude et 
d'une anti-similitude. Nous rappelons à ce sujet qu'une homo- 
graphie vectorielle, mise sous forme d'un rapport extensif, peut 
être transformée en une forme dyadique, c'est-à-dire en une 
somme de dyades. 

Soit : 

a = !'>.«[ (5) 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 53 

une telle dyade qui, par définition, transforme un vecteur x de la 
manière suivante: 



y 



CX.r = i /' , « I \x = |a X x)l) 



Il nous suffira évidemment de faire la démonstration indiquée 
sur la dyade cl. Or on peut écrire: 

2C1 = \h , â + 3I> . J7i\ -^ \h . â — 3h , Jâ j . (6) 

Le premier opérateur 

j /> , rt + J/> . J« } 

transforme les vecteurs a et Ja respectivement en b et '^b. C'est 
donc une similitude: 

ciC = \ h , a -\- Jh , Ja\ = z- = )— . 

( ' a , Ju a 

. Le second opérateur 

\ I' , a — Jh , Ja i 

transforme a et Ja en 6 et — Je; c'est donc bien l'anti-similitude 
^ précédemment définie, donc: 

décomposition aussi remarquable pour les propriétés métriques 
que la décomposition en parties symétrique et gauche pour les 
propriétés affines. 

On définirait aussi simplement des opérateurs non-linéaires 
réalisant l'inversion et la sym-inversion (inversion symétrique), 
qui, par leurs séquences, reproduisent les similitudes directes et 
inverses. Nous les formerons directement dans les applications 
quand ils nous seront utiles. 

Remarque. — Une anti-similitude est une transformation 
involutive, qui coïncide avec sa conjuguée, et dont l'équation 
fondamentale est: 



54 P.-C . DE LENS 

Quels que soient les vecteurs a et 6, on a : 
et nous pouvons écrire la constante a sous la forme ^^, donc ; 



^a x^b = <S^a X h . (7) 



On voit immédiatement que: 

2 

^^ = — ^" . (8) 

Pour une similitude, au contraire, en définissant BC^ par: 

2 

Bta X BCb = cfC^ a X h (9) 

on aurait: 

s 

BC^ = 5C" . (10) 

Ces relations (8) et (10) expriment toutes deux que l'homo- 
graphie considérée est telle que le produit CX(Cl est un opérateur 
numérique \ 

Ajoutons, en ce qui concerne les homographies Cl, ôb que la 
relation fondamentale n'est qu'un cas particulier de l'équation: 

|(eX(d3 -f Oh (a) - [UCfh]ci - {iia]ûh + [ctd3]ai = o (U) 

identité entre cinq homographies vectorielles du plan. 

Pour les similitudes ou anti-similitudes, on peut remplacer les 
coefficients de cette équation par des expressions telles que (X xoh 
défini par: 

2(Cl X Cfh)a X b = {(fia X Ohb) + {(Xb x 6ha) . (12) 



1 Cf. G. BuRALi-FoRTi et R. Marcolonco. Analyse vectorielle générale, I. Transforma- 
tions linéaires, p. 47. 



GEOMETRIE MÉTRIQUE DU PIAN 55 



Chapitre VI 

Extension du produit intérieur aux points et segments. Système 
linéaire des cercles du plan. 

Nous avons là encore besoin de quelques notions de calcul 
géométrique pour écrire les relations projectives entre les divers 
éléments du plan: points, segments (droites), et leurs produits 
algébriques. Nous allons très brièvement citer l'indispensable 
pour préciser nos notations. 

Les points du plan — y compris les vecteurs — dépendent 
linéairement de trois unités. Par le produit extérieur^ on définit : 

[«/.] = - [ha] 

(ou encore ab ou a. 6), qui n'est plus ici un scalaire, mais un 
nouvel élément appelé segment (orienté), puis: 

[abc] ^ [hca] = [cab] =z — [bac] ■=. — [acb] ■=. — [cfta]| 

(ou encore ahc, a.b.c) élément scalaire mesurant deux fois l'aire 
orientée du triangle abc. Les segments dépendent eux aussi de 

— 2 = 3 unités et forment un nouveau système linéaire, 

complémentaire de celui des points. Leurs produits extérieurs 
redonnent le point et l'aire orientée. Les segments considérés 
en tant qu'éléments seront représentés par des grandes lettres 
A, B, etc. 

En géométrie affine, on distingue le système des vecteurs, ou 
points de la droite de l'infini J = [uç] ; avec un point a quel- 
conque, cette droite détermine un invariant, la masse ,du 
point a = [ai]; la masse d'un vecteur est nulle. 

A un segment A = [ab] appartient un vecteur déterminé: 

[A . J] = [aJ]h — [hJ]a 

de sorte que si les points a et 6 sont de masse 1, ce vecteur 
s'écrit: 



56 P.-C. DE LE N S 

— »- — 

Xoiis représenterons encore par ab le vecteur d'un segment «6, 

puisqu'il s'agit là d'un produit entre les points a et 6 et le bivec- 

teur J. 

Remarquons que le vecteur d'un bivecteur li est nul. Les 

produits algébriques de points définissent des formes de divers 

degrés ou classes; il en est de même des produits algébriques de 

droites (ou segments) qui définissent des formes d'ordres divers. 

Combinées entre elles par des produits convenables, ces formes 

donnent des combinaisons scalaires. Nous considérerons entre 

formes de même classe les produits construits sur les modèles 

suivants: 

polaire a- )( b- = b- )( a- z= [«/']^ 

A"-^ )( B^ = B2 )( A2 = [A . B]- 



puis: 



«2 |( b- )( c'' = ... = [abcf 
A- )( B- )( C- = ... = [ABC]2 



et de même pour les formes d'ordres supérieurs. 

Ainsi, f'^ représentant une courbe de 3^ classe, X une droite 
variable, l'équation tangentielle de la courbe est: 



^(3) )( x» = 



de sorte que si la droite X contient un point fixe m et un point 
variable x, cette équation s'écrivant: 

^3) y^ j^^z représente la courbe de 3^ ordre formée par les tangentes 
menées de m à f^^ . 

De même, entre des formes contrevariantes de degrés diffé- 
rents /("> et G(^\ si n est supérieur à /?, par exemple: 

fin) ), ç^ip) 

est une forme de classe n-p\ si elle est identiquement nulle, 
G^^) est apolaire à /<">. 
Des produits de forme: 



f{n)rj,p) _ s^^abj a"-'' bP-' 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 57 

définissent des formes mixtes dont nous nous servirons le moins 
possible. Cependant le produit: 

jacobien généralisé [a^") . //"> . c("> ...] ou «("> . /;<") . c'(") ... 

conserve la propriété simple d'exprimer, quand il est nul, que 
les formes é"\ b^"\ etc., sont liées par une relation linéaire à 
coefficients numériques. 

En géométrie métrique, nous ferons usage, au moins pour 
l'exposition, des vecteurs isotropes /, et /., précédemment utilisés, 
et entre deux droites A et B nous définirons le proc^?^i7 intérieur: 

A X B = AB |( /,y, (1) 

(ou, si l'on préfère, le quotient de l'expression précédente par 

2 

lî^). On peut du reste toujours, s'il s'agit de géométrie affine ou 
métrique, supposer que les points qui définissent les droites sont 
de masse unité — en tenant compte de la loi de conservation des 
masses — et nous le ferons désormais. En conséquence, soient 
m et n des points de A et B, a et 6 les vecteurs de ces segments. 

A =1 ma B =r iih 

— — — »- —*- 

A X B = a X /' ou ma X nh = ma X nh 

c'est-à-dire que le produit intérieur de deux segments est égal à 
celui de leurs vecteurs. 

Nous allons maintenant définir le produit intérieur de deux 
points, soient m et n. 

m X n= mn )( ij,_ = -^ (['«/,] ["721 + ["Vs] ["/'i]) • '-> 

Ce produit intérieur est donc une forme du second ordre, 
d'équation: 

mil \{ j^j„ \{ .«•- := . 

Comme cette équation exprime aussi: 

mn )( .»- )( jjo = mxii.r )( y, y, = mx X nx =z 

la forme m X n est le cercle de diamètre m, n. 



58 P.-C. DE LE N S 

Plus généralement, à une forme de 2® classe /^^^ appartient 
ainsi une forme intérieure: 

(2) ' ,„, 

et qui est le cercle de Monge (orthoptique) de la courbe de seconde 
classe représentée par f^^\ 

Une forme ma^ où a est un vecteur (et plus généralement une 
conique tangente à la droite de l'infini) donnera naissance à la 
forme intérieure: 

m X « 

qui représente la droite menée en m perpendiculairement au 
vecteur a (ou une droite de Monge). 

Les cercles, droites, et le produit intérieur de deux vecteurs, 
qui représente la droite de l'infini, forment un système linéaire à 
quatre unités — dans lequel les droites forment un système à 
trois unités. Ce système a été maintes fois étudié, soit au moyen 
des coordonnées quadri-circulaires, soit par les méthodes de 
Grassmann ^, bien qu'on ait jusqu'ici rarement accepté la 
définition du produit intérieur des points, à laquelle nous pensons 
rendre ici sa place. 

Si 0, M, i> sont un point quelconque du plan et deux vecteurs 
unitaires rectangulaires, ce produit obéit aux lois formelles: 

o >^ u ■=^ u y< o X ^' = »' X 

s 2 

H X i' =: »' X ?' = «^ = v'^ 

d'où les quatre unités du système: 

2 t 

0^ , X u , o X. V , 11^ 

Si m est un élément quelconque* point ou vecteur, toute 

forme intérieure l^nî^ peut être, d'une infinité de manières, 
réduite à un produit de deux éléments. Soit en effet à résoudre: 

Sa/H-^ =z ,r X V ' 



* Cf. par exemple, E. Muller. Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grass- 
mann'schen Ausdehnungslehre-Monatshefte f. Math. u. Phys. MI, IV. 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 59 

On peut remplacer cette équation par l'équivalence: 

Xam- = xy + \f^ + \i\ (5) 

ou: 

i]am- = .rv (modules y • y ) 

La première polaire de la droite de l'infmi: 

1 

Sam = Sam-' )( J = xy )( J = - (x + y] 

détermine le centre à distance finie ou infinie ; la combinaison 
polaire lixTii^ )( J^ aurait de même exprimé la conservation des 
masses, que nous avons supposée réalisée: 2/jt = 1. 

On peut ensuite, soit résoudre l'équivalence, soit former 
l'équation du 2® degré ayant les séries de racines x, y et qui est: 

2 2 

xX — 2 Sam X .r + Sam'^ = 
d'où: _ 

■^ j =: Sam ± V (S|xm)X — Sam^ = o ± p V «>< 

si est le centre du cercle, p son rayon réel ou imaginaire. 

On aurait une résolution analogue dans le cas d'une droite à 
distance finie ou infinie. 

L'emploi de l'équivalence (5) a montré qu'une forme intérieure 
est en réalité attachée à un réseau de formes de 2^ classe. 

Dans le système des cercles, on sait former de nouveau des 
produits extérieur et intérieur. Nous définirons directement ce 
dernier de la façon suivante; l'expression: 

(2) (2) 

/2) ,,..,- (2) „X w f2) (2) X 

(i) 

est une fonction linéaire de chacune des formes intérieures /^ 

(2) 

et g^, et on peut montrer qu'elle coïncide avec ce produit 
intérieur (qu'on peut définir à un facteur constant près). C'est 
elle que nous choisirons comme produit intérieur de deux cercles 
(ou droites) et représenterons par: 

(2) I (2) 

/•X|,X=^^^M(/^ )(;.;, (6) 



60 P.-C. DELENS 

On sait que cette expression est la puissance mutuelle de 
deux circonférences; le calcul est du reste aisé: 

/ 2 *\l/'* '\ 2 \ 'î 21/ '2 2\ 

Si les cercles ont été pris sous les formes aX b et a X b' : 

Oï = — {aa' X l>iy -\- ai/ x Im') 

Quand les cercles sont orthogonaux, cette puissance est nulle. 
Sous la forme: ab )( cd )( /", /'a = cela exprime que les couples 
ab et cd sont conjugués harmoniques sur une hyperbole équila- 
tère, d'où le théorème réciproque: les cercles décrits avec deux 
tels couples aux extrémités d'un diamètre, sont orthogonaux. 
En développant l'expression précédente sous la forme: 

(a' — a) X (// — h) + (/>' — a) X (a' — hj = 

ou: 

2(rt X A + «' X //) = {a + a't X {!' + //| 

on retrouve l'analogue de la relation harmonique; en outre: 

a x h + a' X h' _ a + a' h -\- h' 

2 — 2 ^ 2~ 

exprime que le cercle ayant pour points diamétraux les centres des 
deux cercles orthogonaux appartient au faisceau linéaire de 
ceux-ci (condition nécessaire et suffisante pour l'orthogonalité). 
On voit le principe de ces calculs: le produit intérieur des cercles 
se développe comme un produit polaire du domaine binaire, 
mais les segments qui apparaissent ainsi, et ne sont plus scalaires, 
sont soumis à une multiplication intérieure; dans le produit inté- 
rieur obtenu, on peut remplacer les segments par leurs vecteurs; 
si on exprime ceux-ci comme différences de points, on retrouve 
de nouvelles identités à interpréter entre produits intérieurs de 
points, c'est-à-dire entre cercles. 

Les relations métriques sur la droite ne sont que des cas par- 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 61 

ticuliers de ces relations entre cercles du plan, mais inversement 
l'analogie entre les relations telles que: 

a- )i l>- = (7h- = {h — a)2 = /y2 — 2at> + a^ 
sur la droite, et: 

2 I 2 2 2 2 2 

flX I hX = U>X = (h — a)X = h^ — -la X h + o^ 

dans le plan, fournit un principe de transfert utile, et développé 
dans le sens où Grassmann a exposé l'algèbre du domaine binaire 
comme celle du produit intérieur. Il est permis de penser que ce 
calcul donne plus que celui des coordonnées, qui ne considère 
les relations entre cercles qu'à partir d'un point, d'ailleurs 
arbitraire, mais extérieur au système : ce que nous obtenons, par 
exemple, à partir de la dernière relation, en formant l'expression: 

2 2 

ph^ — 2pa X pb -\- pa^ . 

On aura beau multiplier les points de vue p desquels on regarde 
le système, il sera évidemment difficile d'avoir une idée aussi nette 
de sa constitution que celle qui résulte de la composition de ses 
éléments ! 

Toutes les relations métriques entre cercles, droites et points,, 
s'obtiennent et s'interprètent immédiatement; citons seule- 
ment la condition de contact de deux cercles exprimant que leur 
faisceau est singulier: 

(2) (2) 2 

(/•^..^)l=o 

la condition pour que trois cercles passent par un point, ou 
forment un réseau singulier: 

(2) (2) (21 2 

(/•><. g^ . li^)\ = 

etc., qui toutes se développent sur le type des formes du do- 
maine binaire. 

Nous voulons revenir en particulier sur la condition exprimant 
que quatre points sont sur un cercle: 

«X . /,x . ,.x . ^x ^ .. (7| 



62 P.-C. DELENS 

On sait que le développement du carré intérieur du premier 
membre donne le théorème de Ptolémée; nous allons donner 
d'autres développements de cette condition, qui indique une 
relation de la forme: 

2 2 2 2 

xa^ 4- ,3;/>X + yc>< + orf>< = (8) 

OU 

aa2 + ./,2 ^ ^^2 _^ 5^2 + 1^1* ^ y2 ^ q (gj 

ce qui donne la condition sous forme projective: 

a' . h* . C-* . d' . jI . jI = . (10) 

Paul Serret, dans sa « Géométrie de Direction », a étudié plu- 
sieurs des formes qu'on peut donner à la relation précédente entre 
six points sur une conique. C'est ainsi qu'elle se transforme 
aisément en: 

lûr .Vc' . -^' .7}\.Jj1.j~jI = (11) 

et exprime qu'une courbe de 2^ classe est inscrite dans les trian- 
gles abc et djj„: cette courbe est une parabole de foyer d, dont 
la tangente au sommet est la droite de Simson de ce point par 
rapport au triangle abc. Ou encore la relation (11) signifie que 
ces deux triangles abc et djj^ sont conjugués à une même courbe 
du 2^ ordre, à savoir l'hyperbole équilatère de centre d passant 
par les sommets du quadrangle orthocentrique ayant abc pour 
triangle diagonal, et le cercle figure ici comme cercle des 9 points. 
On peut aussi employer la forme remarquable: 

(^>7d . TTcTb )(j\.f^ = (12) 

ou 

ah cd )( y^ ac dh )| y^ 
ab cd ){ il ac dh )( / 



= 



qu'on peut du reste modifier grâce à l'identité: 

âhcd -{- âcdli + âdTc = (13) 

et sur laquelle nous aurons à revenir. 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 63 

Au point de vue métrique, si o, 6, c, d sont des points, non des 
vecteurs, les masses: 

2 \ i ils S|l ils 

étant toutes égales à l'unité, la relation (9) donne, en prenant 
la 1^^ forme polaire de la droite de l'infmi J: 

a.a -\- jij/»-f- Y c + ôc? =^ 

relation qui se déduit aussi de (8) en prenant: 

oiau X ar 4- '^hu X ^.»' + T*^" X ^•'^' -\- ^jdu X dx =z . 

On en déduit aussitôt: 

[hcd] _ — [cda] _ [dab] _ — [abc] 
a ,3 Y ô 

ce qui satisfait aussi à: 

^^ + ? + T + = . 

En outre (8) peut s'écrire: 

y(a>< - d^ + X'^^ - à^ + y(c^ - '^^y = 
(«i _ rfx) (/^x _ ^x) (,i _ ^x) ^ 



ou: 



T X (a — ^) . T; X (/> — *) . Z X (c- — rf) = 



ce qui exprime que les droites menées perpendiculairement à 
arf, èrf, crf en leur milieu, concourent au centre du cercle, et 
permet le calcul de ce centre. 

Ces exemples élémentaires suffisent sans doute à montrer la 
simplicité du calcul employé. Ajoutons qu'il se généralise pour 
ainsi dire sans changement en un calcul appliqué aux sphères 
de l'espace, et qu'en outre cercles et sphères rentrent dans un 
système plus étendu de cercles et sphères orientés qui nécessite, 
par exemple, dans le plan, qu'on substitue aux points les cycles 
de Laguerre : j'espère montrer dans une autre occasion que ceux-ci 
sont les éléments de produits intérieurs qui fournissent sans 
peine des combinaisons intéressantes. 



64 P.-C. DE LE N S 

Chapitre VII 
Extension du produit cyclique aux points et segments. 

Le produit cyclique de n segments A, B, ... L sera l'expres- 
sion: 

|.-t^ =r A ^ B L = -^((F^"^ K /:)a - f F(") ^( .,;')/•;') . ili 

Cette forme vectorielle d'ordre n sera encore appelée Vorien- 
tante de la forme segmentaire initiale F^"); la définition s'étendra 
au cas où la forme F^") sera une somme de produits de segments 
d'ordre /i, et nous voyons que V orientante d''une forme segmen- 
taire est celle de la jorme vectorielle correspondante^ obtenue en 
remplaçant chaque segment par son vecteur. 

Si nous considérons maintenant une forme ponctuelle /("\ 
nous appellerons jorme cyclique correspondante, ou produit 
cyclique^ la forme mixte: 

L/1./2J 

Une telle forme étant nulle dès qu'on substitue à /(") une 
forme contenant /j'., en facteur, il est facile de voir que les 
formes cycliques d'ordre n dépendent linéairement de 2n — 1 
unités. 

C'est ainsi que- les formes cycliques du 2^ ordre forment un sys- 
tème linéaire à 5 unités, que nous étudierons un peu en détail. 

Dans le système ainsi formé, on peut définir un nouveau pro- 
duit intérieur, ce que nous ferons de la manière suivante. L'ex- 
pression: 



est une fonction linéaire des produits cycliques /- comme g^ ; 
on peut la considérer comme un nouveau produit entre ces 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 65 

formes ; le produit intérieur de deux formes cycliques^ de même ordre 
est donc défini par: 

f -^ \ g^ — f ^ )i g — g^ H / (il 

le produit polaire au second membre ayant le sens de l'expres- 
sion (3). Il est à remarquer qu'un tel produit n'est ici pas scalaire, 
mais dépend de deux unités; ce produit intérieur sera aussi 
appelé Vorientante des formes /(") et g^"\ ou /^ et g-'. 

Si /^ et g^ sont des puissances cycliques de points, ce qui 
n'est pas le cas général, on a donc: 

"II" ~T " ~*r " 1 < " 

rt— I h-^ := ao^ =: ah ^ = {h — «)^ 

ce qui montre l'existence d'un principe de transfert analogue à 
celui que nous avons signalé pour le produit intérieur de cercles. 
En ce qui concerne les formes cycliques d'ordre n, nous devons 
signaler qu'une telle forme peut en général se ramener à un pro- 
duit cyclique de n éléments, c'est-à-dire qu'on peut résoudre en 
a. è, c,... l l'équation: 

/^ =: a ^ h ^ c ... l 

à laquelle on peut substituer l'équivalence: 

/'(") =: al>c ... l . (module j^j.^) 

Celle-ci peut à son tour être remplacée par: 

( ^C) )( y- = «/>c .../)(;■;' 
i /■(">,(/•;' = ab...l)ii'^ 

Or /^' )( j1 et f"^ )( /" représentent le système des tangentes 
menées à la forme /("> de classe n par les points cycliques /, et 
Z^; ces deux systèmes de tangentes ont en général pour inter- 
sections un système de n^ foyers, et c'est l'ensemble des n foyers 
réels a, b ... l que nous prendrons de préférence comme solutions. 

On pourra encore dire que la forme mixte f^ caractérise l'en- 
semble des courbes de classe n homofocales à la forme f - 



* Ce produit n'est du reste pas le seul produit absolu qu'on puisse former entre formes 
«ycliques. 

L'Ii^nscijïnemeMt mathéni., 23' années: \92'i. 5 



66 P.-C.DELENS 

Sauf quand il contient le facteur du 2^ ordre /, _ j^ un produit 
cyclique de points ne s'annulera encore qu'avec l'un de ses 
facteurs. 

Entre deux formes cycliques d'ordres différents, on peut aussi 
employer le produit intérieur: quand nous aurons besoin de le 
faire, nous nous ramènerons facilement au cas de deux formes de 
même ordre. 

Nous allons maintenant montrer, au moyen de quelques appli- 
cations, la simplicité des nouveaux produits définis pour l'expres- 
sion des théorèmes sur l'orientation de Laguerre et G. Humbert, 
pour l'étude des propriétés focales des courbes et des coniques en 
particulier, enfin pour la représentation des covariants des for- 
mes binaires sur le plan complexe. 

Note sur la représentation des imaginaires de Laguerre et 
Darboux. 

Nous avons défini les opérations de la géométrie métrique à 
partir de celles de la géométrie projectivc au moyen des vecteurs 
isotropes: 

y, = Il + -.»■ y, = 11 — -V 

mais on peut rendre ces opérations indépendantes de l'intro- 
duction de ces éléments imaginaires si l'on substitue au nombre 
complexe i la rotation d'un angle droit représentée par l'opéra- 
teur J. C'est ce principe de représentation géométrique des 
imaginaires, comme l'on dit, qui a été en géométrie analytique 
étendu par Laguerre et Darboux à la représentation des points 
à coordonnées imaginaires: le calcul vectoriel est tout indiqué 
pour cette adaptation. 

Toute équation entre vecteurs où figurent des coefficients 
imaginaires sera transformée, par le remplacement de t par J, 
en une équation d'autre signification, qui donnera une interpré- 
tation de la relation précédente entre vecteurs imaginaires. En 
outre, nous pourrons donner un sens à un symbole ponctuel: 

a + J/> 
substitué à: 

a -\- il> 

point imaginaire de la droite ab, si toute équation qui contient 
de tels symboles peut être transformée en une équation vecto- 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 67 

rielle, c'est-à-dire si on impose la conservation des masses. 
Ainsi : 

m' = a -\- Ùh 

n'aura de sens qu'en donnant à m' la masse (1 -{- J) et le repré- 
sentant par le point m tel que : 

(1 + J)m = a + Jh 
ni — a = J{l> — m) . 

C'est dans ces conditions que deux points imaginaires conju- 
gués, par exemple : 

a -^ ih a — '.!' 

* i + i 1 — i 

de la droite ab, sont représentés par leurs anti-points réels: 

a -\- Jb a — Jh 

Les points à coordonnées imaginaires appartenant à un do- 
maine à 4 dimensions, et étant désormais représentés dans le 
plan à deux dimensions, la position d'un point-image (représen- 
tatif d'un point imaginaire), situé par exemple hors d'une droite, 
ne suffît pas à indiquer si le point imaginaire correspondant 
appartient à la drcite; au contraire, tout point du plan peut être 
l'image d'un point imaginaire d'une droite, d'un cercle, d'une 
courbe quelconque, quand on ne connaît que sa position; sa 
masse, par contre, c'est-à-dire un opérateur à deux dimensions 
do la forme {a\l + /3j), sera déterminée dès qu'on assujettira 
le point à être l'image d'un point imaginaire d'une courbe 
définie; et aussi par suite l'anti-point conjugué. 

Dans les relations cycliques, où l'on utilise l'équation : 

qui est aussi l'équation de définition de l'opérateur J (ou son 
opposé): 

u^ — J \^r^ =r 

ou bien où l'on se sert d'équivalences suivant le module (w^ + f-), 
toute différence entre les points imaginaires et leurs anti-points 
disparaît. 



68 P.-C. DEI.ENS 



Chapitre VIII 

Quelques applications des formes quadratiques intéreures eti 

cycliques. 

Comme nous Tarons déjà signalé, les relations identiques entre 
formes algébriques de second ordre ou de seconde classe — en 
particulier — fouri iront des identités analogues entre formes 
intérieures ou formes cycliques. Soient ainsi 4 segments P, Q, R, S 
du plan; ils sont liés par la relation identique: 

(P . Q)(R .Si -f (P . R|(S . Q, ■\- iP . S)(Q . R, = (1) 

de forme: 

aflrt' + ;i/>// + y ce' = (2) 

qui signifie seulement que les trois couples aa\ bb\ ce' sont des 
formes de seconde classe dégénérées d'un même faisceau tan- 
gentiel. Od en déduit immédiatement, en prenant les polfires 
successives de la droite de l'infini: 

a + a' r l> + l>' c + c' 

='^— 4- ?^— + T-^ = (3) 

a + ;i + y = (4) 

comme aussi: 

a rt X «' + ,3 '^ X ''' + "f X f' = (5) 

0.(1 ^ a' -\- } h _ />' + y f ^ c' = (6) 

la première de ces équations rappelant plus généralement que 
les cercles de Monge des coniques d'un faisceau tangentiel 
forment un faisceau ponctuel, la seconde traduisant une relation 
analogue entre les foyers des coniques du faisceau; relation 
qui, exprimée à partir d'un point quelconque x par: 

axa ^ .ra' -\- 'j^xb w xli' -\- y.rc ^ xc' ^=. 

signifie seulement que les bissectrices des couples de droites 
joignant x aux foyers des coniques du faisceau appartiennent 
à une même involution. 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PIAN 69 

De même la relation identique entre 4 points a, b^ c^ d: 

(a . b) {c . ci) + (a . c) {d . h) + (a . d] (/> . cl = 

donne aussitôt: 

ah X f(/ + «c X <i/^ + a^ X /'c- =^ 

— *- — >- — >- — >- — *- — *~ 

al' ^ cd -\- ac ^ dh -\- ad ^ bc z^ d 

relations bien connues. 

Pour les formes de seconde classe, il est intéressant de noter 
qu'inversement les relations linéaires entre produits intérieurs 
et produits cycliques suffisent pour entraîner les relations algé- 
briques. 

Ceci revient à dire qu'une courbe de seconde classe est déter- 
minée uniquement par son cercle de Monge et le système de ses 
foyers, à condition encore que de ces deux données résulte le 
même centre et la même masse. 



(2) 



,(2) 



Si en effet /^ et /'-' sont connus, la forme p^ elle-même est 
connue à un multiple près de ij^_ dans le premier cas, de /j et 
/j dans le second: elle est donc bien déterminée. 

En conséquence, il sera naturel d'étudier le système linéaire 
à 5 unités formé par les produits cycliques du 2^ ordre. Dans ce 
système, les produits d'un point par un vecteur (foyers de para- 
boles) forment un important système à 4 unités. Soient o, «, v 
un point quelconque du plan et deux vecteurs unitaires rectan- 
gulaires; les relations: 

o ^ H ■:=. a ^ o ^ V ■= V ^ 

2 2 

H ^ t^ = i' ^ « H^ -(- v^ =. 

permettent de garder pour unités, par exemple: 

> 2 

O-^ , O ^ Il , O ^ k' , u^ . 

Comme précédemment pour le produit intérieur, une forme 
luni-^ à masse différente de zéro, et qu'on peut supposer ra- 
menée à l'unité, pourra, si elle a un centre o à distance finie: 

ï'j. = 1 ïaw = 



70 P.-C. DE /.EN S 

être mise sous la forme du produit cyclique de deux foyers /, /', 
racines de : 

ft _2o ^ f + S;j.;«- = 
^, I rr: ± K o^ — Sam-- zlz o zh '(r u-^ = o + yu 



f 

donc: 

2 2 8 

Sam-' = f ^ f =: o^ — v^Hw . 

Toutes les courbes de seconde classe de foyers /, /' ont pour 
forme générale: 

avec : 

a^ = ± ,i2 + y2 . 

Plûcker a montré comment obtenir les foyers d'une courbe 
donnée par son équation tangentielle ; sous des formes voisines, 
Siebeck, Môbius, ont étudié les foyers des coniques d'un faisceau 
tangentiel; Beltrami, Cesaro, Transon, Laguerre, etc. ont fait des 
études analogues. 

Rappelons-en l'essentiel; dans un faisceau a ^a\ h ^ b' figure 
généralement une forme parabolique p ^ u: 

a ^ a' — I) ^ h' =z p ^ u . (1) 

En faisant le produit intérieur par pt: 

pa ^ pa' =z pb ^ pb' z= pc ^ pc' (2) 

si: 

a a w a' 4- .3 6 _ è' = (a + ^) c _ c' . (3) 

On a aussi: 

' pb pa' 

donc p se construit comme centre de similitude de ah et b' a . 
Gomme on a en outre : 

a j^ a > fe + fc' _ . , r.c + c' 



ou: 



,tiJLl^ + ,,p>L±p^L^^, + r^£l±EîL 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 71 

un couple quelconque c^c du faisceau se construit facilement à 
partir de /?, les vecteurs pc et pc étant donnés par leur demi- 
somme et leur moyenne cyclique. 

Nous avons jusqu'à présent laissé de côté le cas des formes 
cycliques paraboliques, c'est-à-dire qu'on peut mettre sous la 
forme p _ h, produit d'un point par un vecteur. Comment se 
composent ces formes? 

Soient ii^aQi v.^h deux telles formes (a, b points, «, f^ vecteurs 
quelconques ici); toute forme en dépendant linéairement sera: 

ir ^ f = 7.11 ^ a -\- ^^v ^ b (4) 

ce qui entraine (en prenant la polaire de la droite de l'infini): 

ir =. CLU -\- ,3»' (5) 

c'est-à-dire la conservation^ ou la composition des vecteurs. Or, 
dans (4), divisons les vecteurs des 2 membres par un vecteur 
quelconque r; les points a, 6, c sont alors précédés d'opérateurs 

complexes )- ,)-,)- et nous retrouvons l'addition des points- 
images de points imaginaires, que nous avons indiquée. Nous 
pourrons encore dire que dans une expression ii _ a, le point a 
a une masse vectorielle^ et nous parlerons alors d'une addition 
cyclique des points; les points c résultant de la formule (4) sont 
en effet situés sur une circonférence, comme foyers de para- 
boles d'un faisceau tangentiel. 
En particulier, l'identité: 

{c — b) ^ a + {a — c) ^ b + {h — a) ^ c = 

ou: 

~b^ ^ a -Jr~ca ^ h -\-'7h ^ c = (6) 

généralisation de celle de la droite: 

[bc]a -j- [ca]b + [ab]c = 

situe les trois points a, 6, c sur une même circonférence, la masse 
vectorielle attachée à chacun d'eux étant proportionnelle au 
vecteur joignant les deux autres points \ 



» Une telle addition a été employée pour la représentation des vis de Bail d'un faisceau 
et du cylindroïde qui le porte. 



P.-C. DE LE N s 



Au système à cinq unités des formes quadratiques cycliques est 
adjoint le système complémentaire des expressions du type: 

2 2 2 2 

qui trouvent une représentation dans les hyperboles équilatères: 

a- . h- .c' . ci- .y,/2 

déterminées par quatre points a, b, c, d ou quatre conditions 
linéaires équivalentes. Il n'y a ainsi aucune difficulté à inter- 
préter l'équation scalaire: 

a— . b^ . c- ' . d^ . e^ = 

De même, la condition: 

rt- .b^.c^.h^ = (7) 

signifie que les quatre points a, 6, c, h forment un quadrangle 
orthocentrique — ou sont sur une même droite. 
Cette relation pourra encore être écrite: 

(kl _ „d) . (lA _ bl) . (lA _ c^) = 
ou: 

et elle donne les propriétés déjà énoncées du cercle des neuf points 
du quadrangle. Ou bien, par: 

a«-i + ::fe^ = -G,^ i-rjil) (8) 

elle donne: 

— >" 2 — >" 2 

a[3 ao ^ = yr) cli ^ 

c'est-à-dire que ch est perpendiculaire — ou parallèle — à ab; 
ceci résultait également de: 

ou: 

( ab ^ . ch-) = — { ab . ch ) { ab X ch } = 



d'après (12, ch. II). 



GÉO ME TRIE M ÉTRI Q UE I) U FLAN 73 

Le produit intérieur entre formes cycliques donne d'autres 
résultats intéressants. Je rappelle que: 

m ^ n\ p ^ q z=z (9) 

signifie que les deux couples w, n et /?, q sont cycliquement 
conjugués, c'est-à-dire qu'ils ont pour conique harmonique un 
cercle — courbe dont l'orientation des directions asymptotiques 
est nulle — sur lequel ils sont conjugués harmoniques. L'équa- 
tion est en effet équivalente à: 

i mn )( pq )( j\ = 
( mn )( pq )( /' = 

montrant que les points cycliques appartiennent au lieu: 

mn )( pq )( ,*- = 

L'équation (9) se développe en : 

— *- — *- — >- — *- 

mp ^ iiq -j- /'!<■/ w np =: (10) 

{p — m) ^ {q — II) + (7 — m) ^ {p — ri) =z 

■2 (m ^ n + p^ q) = (m + //) ^ (p + q) (11) 

forme de la relation harmonique qui donne les relations vecto- 
rielles connues à partir d'une origine arbitraire x, qu'on peut 
en particulier placer en un des points, ou au milieu d'un des 
couples: 



D'après (10) ou: 



on reconnaît que: 



et aussi: 



mp _ np 

'—>- — ■* — *~ 

mq nq 



mp^ np ^ 

' 2 2 

inq^ nq ^ 



pni(f ■==. pnq (module -) 



ce qui met en évidence deux cercles orthogonaux, l'un conjugué 



74 P.-C. DELE.yS 

au couple /), q et passant par m, n^ l'autre contenant les quatre 
points. Soit o le milieu de p, q: 

P + q = 2o 

2 

et en faisant le produit intérieur de (11) par o^: 

om ^ on = op^ ^ o(j^ (12) 



Tous les couples de vecteurs om, on définis par une telle équa- 
tion, et qui ont op ou oq pour moyenne cyclique, sont formés 
en joignant le point o aux points m et n qu'or dit correspondants 
dans une inversioii symétrique ou sym-inversion, de centre o, 






axe op, puissance o/?- 

Représentons maintenant par des lettres x, y des vecteurs sym- 
inversLs; e étant un vecteur déterminé, l'équation: 



r =r )- (13) 



détermine la sym-inversion ; ou encore: 



r e 

e r 



Pour l'inversion proprement dite, il faut prendre: 



ou: 



.r ,, e 

I- = K )- 
e X 



€ X a — 

x' := K )— (e = )— (e = eyi^x (14) 

•^ e 



X étant le vecteur défini comme inverse de x avec la puissance 
d'inversion 1. On voit encore facilement que le produit (sé- 
quence) de deux sym-inversions de même pôle est une similitude. 
La sym-inversion apparaît aussi comme cas particulier d'une 
transformation quadratique plus générale, V inversion triangulaire, 
dont nous allons donner la définition; a, h, c étant les 3 sommets 
d'un triangle, un couple de points inverses, m, m', sera défini 
par: 

a ^ b ■ b ^ c . c ^ a . m ^ m' = (15) 



GEOMETRIE MÉTRIQUE DU PI. AN 75 

de sorte que m et m' sont les foyers d'une conique inscrite dans 
le triangle ahc. Cette équation n'est qu'une généralisation de 
(7) et si on considère abc comme triangle diagonal d'un quadrangle 
orthocentrique e/g/i, on peut aussi l'écrire: 

2 3 2 

e^ . f-^ . g^ . m ^ m' ■=. . 

Pour la sym-inversion déjà définie par: 

p ^q \ m ^n = (9) 

le faisceau d'hyperboles équilatères qui définit la transformation 
est formée de courbes concentriques passant par p, q et leurs 
deux anti-points imaginaires; on pourra représenter la trans- 
formation par : 

p- ■ q- . ^4-^ ^ 3{p -q) . m^n = (16) 

qui sous une forme équivalente à (9) définit les couples m, n 
conjugués. 

Rêverons pour un instant à l'équation (8) pour en tirer de 
nouvelles conclusions; on peut écrire: 

afl^ + [^b^ = - (yc- + f\h^) = - (y -f t,)c'^c" . 

De même: 

^bt + ^fd = _ (art- + rih^) = — (a + r,) a' ^ a" 
•^c^ + aa^ = - (liè^ +f\h^ = - {b-\--n)b'^b" 

(je rappelle que a + /3+y+<J=0et que ces coefficients se 
déterminent comme pour l'équation (8, chap. VI).) 

Je dis que deux quelconques des couples ainsi obtenus ont une 
orientante nulle (indéterminée), par exemple: 

fl'w a" \ b' ^ b" = . 

C'est en effet: 

(^a^ + -nh^) 1 ([,b^ + rji^) = 
afab-^ + (aa- + fj 6-, \ r, li-^ — 



76 P.-C. DELENS 

ou: 

^ 2 / 2 2 \ 1 2 

— ^" s ^" 3 

a[iab^ =: y'^i cA ^ 

ce que nous avons déjà démontré. 

On voit donc la configuration formée par les points a\ a" , 
b\ b" , c, c", situés par quatre sur trois cercles de centres a, 6, c, 
respectivement conjugués aux triangles bch^ cah, abh. De même 
h est centre d'un cercle conjugué au triangle abc, comme le 
traduit : 

ou: 

^v/i/a — fih- = Cl. a- + ,3 6^ + y c^ 

La relation harmonique (9) que nous avons établie entre deux 
couples m ^ îi et p ^ g : 

ni w 'i \ p ^ (/ ^ 

signifie que n est le conjugué cyclique de m par rapport k p ^ q 

donc: 

— >' — >- / — >- — *-\ 

mp ^ q -\- inq ^ p == \i>ip -\- mq) ^ n . (17) 

C'est un cas particulier d'un théorème de Laguerre que le 
conjugué d'un point m est le même par rapport à une famille 
de coniques homofocales ■ — c'est-à-dire par rapport aux foyers 
/, /' — que par rapport aux points de contact des tangentes 
menées de m à une conique de la famille. Soient en effet ma, 
ma' deux telles tangentes: 

IL m- -f 7.aa' = (a + a) (//'' — .^Vi /g) 

d'où: 

v.ni-' + a a w rt := (a -(- a)/"^ / 

et en prenant le conjugué cyclique de m par rapport aux 2 
membres: 

an^ a' | m = (ijl + a)/\^/'' | i» 

comme aussi: 

a rt w a' I ni^ = (ix -)- «) f-^ f | '"^ 

— >- . — >- . — ^ — >- 

a ma ^ mu' = (jj. -\- a) mf\^ mf 

ce qui est un théorème de Poncelet. 



GÉOMÉTRIE METRIQUE DU PLAN 11 

Quant au théorème de Laguerre, il exprime que tous les 
cercles circonscrits aux triangles maà' pour toutes les coniques 
homofocales, forment un faisceau. 

Cherchons encore l'enveloppe des droites polaires X du point 
m par rapport à un faisceau de coniques homofocales: 

le lieu est donné par le produit extérieur: 

(/•/■' I X) . (/,/2 I X) . ;h = 

se développant en: 

[/■X] [y, X] [f'j, m] + I/-X] [j, X] [/ ' /, m] + [f X] [y. X] [fj, m] 

+ [rx][y.x][/-,,m] = 
ou: 

imUi. )( ^ï^' + [f'^lid, )i^f^> = 
ou: 

(/•jmp-f f'd~;,Ti)[x^- = 

équation tangentielle d'une conique, qui est une parabole (dite 
de Chasles) et dont la droite de Monge (directrice) a pour équa- 
tion: 

{JmT' X /• + J~^' X /■' )( .1-2 = {2jli^, X o )( .I-,, = 

tandis que les foyers sont donnés par la forme cyclique: 
Jw/' >^ /■ -r J '"/■ ^ /" . 
Or nous avons vu que: 

»}f' ^f + mf w /■' = ( tnf + m/ ') _ n 

n étant conjugué cyclique de m par rapport à / et /' ; un des foyers 
de la parabole est donc ce point «, tandis que l'autre est rejeté 
à l'infini dans la direction du vecteur: 

j\~niJ-\- mf') = 23 mo 

étant le centre des coniques homofocales. 

Nous avons déjà noté que les produits intérieurs de points 
traduisaient des théorèmes relatifs aux figures formées par les 



78 



P.-C. DELËNS 



cercles. Mais les produits cycliques transforment et complètent 
d'heureuse manière les relations ainsi formées. Ainsi nous avons 
signalé que pour quatre points sur un cercle: 



rt^ . tr^ . c^ 



. dx = 



pouvait s'écrire (12, chap. VI): 



abcdUj] acdb){j\ 

'^b7d)(f 7'cTb){j\ 



= 



Or ceci traduit: 



ou 



ab ^ cd . ac ^ db ^= 



_ _ _ X 
[/ib ^ cd . ac w db) =■ 



(18) 
(19) 



c'est-à-dire que les bissectrices des couples de directions ab cdj 
ac db et aussi ad bc sont confondues si les points a, 6, c, d sont 
sur un cercle. 11 est du reste avantageux de développer ces rela- 
tions sous la forme projective de congruences géométriques, 
c'est-à-dire d'égalités entre les positions des formes, sans tenir 
compte des masses qui les affectent; l'équation: 



signifiant seulement : 



ab ^ cd = ac w db 



ab ^ cd = ac ^ db 



9 étant un coefficient numérique dont la valeur importe peu ici. 
Cette équation, sous la forme : 



ab db 

ac de 



rappelle la propriété bien connue de l'angle inscrit: 



bac = bdc (module -) 



(20) 



GEOMETRIE METRIQUE DU PLAN 79 

C'est du reste ce qu'on retrouve en développant (19) d'après 
(12, chap. II): 

Oib . li^) {~-d X TT) + (77 . 7è") (TT X ~i7) = (21) 

/\ /\ /\ /\ 

siii bac lîos bdc — sin bdc cos bue = 

équation qui, résolue en sin. ou tg., redonne la condition (20). 
Quant au centre o, il est donné par: 

ob ab ( ., ab ^ 

oc ac \ ac 

On pouvait encore développer (15) sous la forme suivante: 

[abc-] 6 X c- I rfX — [dbc-] 6 X c I aX = 



\[abc'\ d^ — [dbc] flXJ 



è X c- = 



et si on suppose que a, 6, c sont fixes, d variable sur le cercle: 

2 

6 X C 1 rfX — a [bcd] = 

détermine le cercle comme appartenant au faisceau déterminé 
par le cercle 6 x c et la droite [bc]. 

Montrons comment l'équation du cercle: 

ab ^ cd . ac ^ db '= 

conduit elle aussi au théorème de Ptolémée. Si on la rapproche 
de l'identité: 

ab w cd -\- ac ^ db -\- ad ^ bc :^ 

on voit que: 

ab w cd ac .^ db ad ^ bc 

X a V 

X, u, V étant trois nombres tels que: 

X + UL + V = 



80 P.-C. DE LE N S 

Il s'ensuit la relation entre les normes: 

s ï sa _ 2 



X2 

donc: 



r 



V 1%^ 17>< ±\/7^>< lb>< ± V ad>< bT->< = 

, Enfin, notons que: 



ca 
db cb 



cb w d(i du 

Ib 

est le rapport anharmonique complexe de quatre points du 
plan. Si ce rapport est un nombre réel, le quatrième point d 
appartient au cercle déterminé par les trois premiers. S'il est 
imaginaire, d est seulement image d'un point imaginaire du 
cercle. Selon la valeur du module du rapport, d appartient à un 
cercle déterminé par: 



db 



X 



= 0- 



cb^ dn^ 

(_a2 _'*\|' 

ca^b'X-r- cb^aXjldX = . 

Sous la forme projective, les relations cycliques traduisent 

les conditions angulaires, tandis que les formes intérieures sont, 

comme on le sait, particulièrement adaptées aux relations 

métriques. Traitons ici un problème du premier type ; sur les 

côtés ab, bc, ca d'un triangle sont trois points e, f, g; les cercles 

circonscrits aux triangles âge, bef, cfg concourent en un point d', 

il en est de même du cercle circonscrit à abc dans le cas où e, /, g 

sont en ligne droite. En effet, soit d le point de concours des deux 

premiers cercles: 

— ♦- — *- — >- — >- 

di; ^ oe = de ^ a g 
~d7> ^~bf = 7iy^~b7 . 



GÉOMÉTRIE MÉTIilQUE DU PLAN 81 

Faisons le produit membre-à-membre des deux équations; 
après suppression de de^ il reste: 





'/^ 


^ ae w bf ^ ag ^ df ^ he 


mais: 




[abe] — 


donc: 




— »- — >- 

ae = be , 


d'où: 




^7^7>r='«7- «'A 


ou, d'après: 




[cbf] = [acg] = 

— >- — »- — >- —*' 

dg ^ cf = df ^ cg 



ce qui exprime bien que d est sur le troisième cercle. Si on avait 
supposé [efg] = 0, on aurait de même montré que d appartenait 
au quatrième cercle. La démonstration géométrique usuelle est 
exactement la même, traduite de préférence par les similitud?s: 

de ae df bf 

dg ag de be 

Le théorème qui mène à la droite de Simson n'est qu'une 
réciproque particulière du théorème précédent; il suffit de re- 
prendre la démonstration en sens inverse. La démonstration 
est encore la même quand par l'inversion on substitue des cercles 
concourants en un point aux droites de la figure, et la configu- 
ration présente alors plus de symétrie. 

Suivons encore la démonstration suivante: deux cercles va- 
riables, tangents entre eux, sont assujettis à avoir chacun, en un 
point fixe, une tangente déterminée; le lieu de leurs points de 
contact est formé de deux cercles orthogonaux. 

Soient a, b, m les points de contact fixes et mobile, c, s, t les 
points de rencontre des tangentes en ces points: 

— »- — »- -»-i 

ta ^ tiu r= a m ^ 
-»- — »- — »-i, 

sb -^ A'M = b'Il ^ 

L'Enseignement niathém., 23' année; 1923. C 



82 P.-C. DELENS 

en divisant membre-à-membre et tenant compte de : [stml = 



ou: 



donc: 



ta am'~' 



ca am^ 



cb 



bni 



ca 

— >- 
cb 



G 



ma 



quelle que soit la détermination prise pour 

G 



, ,2 

ca 

)^ 
cb 



ce qui est bien le théorème énoncé. 

Nous avons assez longuement insisté sur les relations conduisant 
aux lieux circulaires; mais dans le domaine des formes quadra- 
tiques on écrit aussi aisément des lieux formés de droites, ou 
coniques. Ainsi: 

ca ^ cb . du ^ db =0 

donne comme lieu pour le point d une hyperbole équilatère pas- 
sant par les points a et 6, symétriques par rapport à son centre, 
tandis quer 

ma w au . inb w bu = 

OÙ a, b, u sont des points et un vecteur fixe, donne comme lieu 
pour m la droite ab et la droite de l'infini. 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 83 



Chapitre IX 

Les théorèmes de Laguerre et Humbert sur V orientation ; la repré- 
sentation complexe des covariants des formes binaires. 

Dans le chapitre VII, nous avons énonce que l'orientante d'une 
forme segmentaire est celle de la forme vectorielle correspon- 
dante; c'est ce que Laguerre a exprimé en disant que l'orienta- 
tion d'une courbe d'ordre n était aussi celle du système de ses 
asymptotes. 

Pour les formes du second ordre, nous avons déjà employé 
le fait que si deux formes cycliques f^f et g ^ g' avaient une orien- 
tante nulle, les familles de coniques homofocales //' — (î^jtji et 
gg' — u^/,/2 avaient pour coniques harmoniques des cercles, dont 
les asymptotes déterminent des orientantes nulles. 

Si nous écrivons maintenant le système des tangentes com- 
munes à deux coniques sous la forme: 

(/■/■' - ?'./r/2) • ^gg' - '^\iih^ )( '/■/■' - ^'/lA )i ^- ■ igs' - ?-'j\h )( ^- == 
où rc est le point courant, ou encore : 



1/7' - ,'-y,./2 )i )( ^' igë' - ?--j,h i< //■' - |iVi72 •( ^^ 



= 



quels que soient les paramètres /3 et f^, la forme orientante de 
cette forme du quatrième ordre sera: 

(/•^ /•') î ^ f^^ ^ g'] I - (/^ f'\g^ g')-^ 

= Ujf^^j^^ -^Tg^^g + fg'^rg)- 



T,, To, T3, T4 étant les quatre tangentes communes à deux 
coniques quelconques prises dans les deux familles d'homo- 
focales. 
Laguerre a énoncé un théorème analogue pour l'orientation 



84 P.-C. DE LE N S 

des tangentes communes à deux courbes quelconques, ou a deux 
de leurs homofocales, les systèmes de leurs foyers en j3arti- 
culier. 

Sans entrer dans le détail de la formation symbolique des 
résultants, ce sera encore une conséquence du fait que dans le 
calcul de la forme orientante d'une forme donnée, toute diffé- 
rence entre les homofocales disparait, les termes contenant /,/, 
en facteur s'annulant par la substitution du produit cyclique au 
produit algébrique. 

Humbert s'est aussi attaché à la considération des divers 
groupes polaires cycliques d'un point par rapport à une courbe 
de classe quelconque, et aux lieux décrits par les points obtenus 
quand la courbe variait dans un faisceau tangentiel. 

Or soit f") une courbe de classe ;?, m un point du plan: 

(«) I H-l 

donne le groupe des n — 1 points réels, communs aux deux 
faisceaux d'équations: 

/•(") )( mx"-' ){ y" = 

/■(") ,1 mx"-' )( ,;' = 

qui constituent les droites polaires de m par rapport aux tan- 
gentes menées des points cycliques à la courbe /<"). 

Le groupe polaire suivant sera le groupe polaire cyclique de m 
par rapport au précédent, et ainsi de suite, jusqu'à* 

(") I "-1 

/ - \ m— ^x = 

qui donne le point m commun aux droites: 

/<") Il m"-\r ){j1 = 
/("))( m"-'x Hj: = . 

Si on suppose maintenant que la courbe /("> appartienne à un 
faisceau : 

le lieu du point m', engendré par l'intersection de rayons homo- 



GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DU PLAN 85 

graphiques issus des points cycliques j^ et /,, sera un cercle, 
d'équation: 

\a^ I m— ^ x) . \b^ m— ^ x) := . 

Dans les mêmes conditions, le groupe de points formant la 
^ieme polaire cyclique de m aurait décrit la courbe d'équation: 

/ (/,) I p n-p\ / (/i) I p n-p\ 

\a^ i m-^ w x^-'j . \o^ \ ni^ ^ x^ — J = U 

ou: 

- (a("> i( ,nPx"-P II y-;') ( è^") ), mP x"-P )( /;) = 

et les points cycliques étant points multiples d'ordre 2{n-p), 
cette courbe est (n-p)-circulaire. 

En particulier, les foyers d'une courbe de classe n constituent 
le groupe polaire d'une courbe de classe w + 1 par rapport à un 
vecteur quelconque u de la droite de l'infini. 

La représentation complexe des covariants des formes binaires 
repose sur le principe de transfert déjà exposé entre les relations 
sur la droite et les relations cycliques du plan. Mais précédem- 
ment son exposition nécessitait l'emploi des coordonnées symé- 
triques relatives à des axes déterminés, alors qu'elle peut main- 
tenant se faire de façon absolue. Nous nous bornerons ici à 
l'étude partielle d'une forme cubique: 

{3) 

/"" = a ^ b ^ c . 

Les formes covariantes sont l'évectant cubique: 



et la hessienne: 






û- = /», _ //, 



dont le discriminant fournit l'invariant de la forme cubique, que 
nous supposerons différent de zéro. 
La hessienne peut être définie par : 



86 P.-C. DE LE N S 

ou: 

i 

(f^ ^x) \= {a ^h^ c ^x] \:= a 

qui sous l'une ou l'autre forme exprime que A, et h.^ sont les 
deux points x pour lesquels le rapport anharmonique complexe 
(abcx) est équi-anharmonique. 

L'évectant cubique est le lieu des points x pour lesquels: 

ou qui sont tels qu'un des rapports {abcx) est harmonique. 

Donc, sur le cercle circonscrit à abc, a', b', c sont les conjugués 
cycliques de a, è, c respectivement par rapport à b ^ c, c ^ a, 
a ^ b, tandis que la hessienne est représentée par les anti- 
points de h^ et h.,, conjugués au cercle précédent. 

On sait que, quel que soit le point a:, on a: 

f^ I h^ ^ X = 

et aussi que g^^ a même hessienne que /-. 

Nous voulons montrer la construction des polaires d'un point p 
par rapport à p^; soient ^i et q^ constituant le premier groupe 
polaire: 

ap ^ b >^ c -\- bp -^ c ^ a -\- cp ^ a ^ b = {ap -\- bp + cp) ^q^~^q^ 

= 3 ^/J - <7, ^ 72 

d'où: 

— >- — >- — >- — *- — >- — »- — *- — »- — >- — >- — »- — ç- 

ab ^ bc ^ ca aq^ w aq^ ^ bc bq^ ^ bq„ ^ ca cq^ w cq^ -^ ao 

3 gp ap bp cp 

Supposons d'abord p sur le cercle des points a, è, c. : 

— *- — *- 

an , ac 

bp bc 

X étant un nombre réel ; le second et le troisième rapport donnent : 

— *- -*- /~acY^- 

aq^ ^ aq„ -f X ( i^^^^ ) bq^ ^ bq^ = 

\ bc 



\ l'c ^ w (i^ + À lie ^ ^ l>^ ) \ q^ ^ qn = 



GEOMETRIE METRIQUE DU PLAN 87 

de forme : 

«1 - ^3 I 7l - -72 = • 

Or on sait en outre que : 

Aj ^ ^2 I 7i ^ 72 = 

d'où la construction de q^ _ q^^ couple conjugué à deux couples 
déterminés. 

A remarquer que: 

.hc'~' be^^ , . 6e,^ 



permet de construire les points e, et e.^, et que cette construction 
sera la même, comme aussi celle des points q^ et g,, quand à un 
point p sur le cercle on aura substitué un point hors du cercle, 
1 étant alors remplacé par un opérateur complexe (similitude). 
On construira ensuite la seconde polaire r par: 

<■/, ^ <72 1 r _ /> = 

sans aucune difficulté. 
Pour construire q^ et g.,, on pouvait aussi employer: 

)iE + -5 + 'S = 

aq hq cq 

en mettant g à la place d'un des points q^ ou q.^. 
En employant: 

ap z=. aq -\- qp , etc., 

on aura: 

qa qb qc 

De même la construction de r mènera à: 



pr , pr , ni 
pa pb pi 



f<8 P.-C.DELENS 

En employant les opérateurs conjugués, on peut écrire: 

pr" pr" pr" 

a" , b" , c" , r" étant les points inverses de a, 6, c, r par rapport à p 
avec la puissance un, ou : 

^' + /7è^' + J^' = SpP 

ce qui donne r", d'où r. C'est en somme ainsi que procède La- 
guerre, mais nous voulons insister sur le fait qu'il ne convient 

pas de représenter par i^^ ou ^^^ le vecteur pa", parce que 

pa pa 

le